資源簡介

3．牛頓第二定律
[學習目標]
1．掌握牛頓第二定律的內容和數學表達式。
2．知道國際單位制中力的單位是怎樣定義的。
3．會運用牛頓第二定律分析和處理實際生活中的簡單問題。
[教用·問題初探]——通過讓學生回答問題來了解預習教材的情況
問題1　牛頓第二定律的內容是什么？
問題2　牛頓第二定律的表達式F＝kma中，什么條件下k＝1
　對牛頓第二定律的理解
【鏈接教材】　如圖所示是教材中的賽車，為什么賽車在設計時質量要小，動力要大？
提示：可以獲取較大的加速度。
【知識梳理】　
1．內容：物體加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它的質量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。
2．表達式：F＝kma，式中k是比例系數，F是物體所受的合力。
3．意義
(1)闡述了力、質量和加速度三者數量間的關系。
(2)明確了加速度的方向與力的方向一致。
4．力的單位
(1)力的單位：牛頓，符號是N。
(2)1 N的物理意義：使質量為1 kg的物體產生1 m/s2的加速度的力，稱為1 N，即1 N＝1 kg·m/s2。
【思考討論】　如圖所示，小明用力拉地面上的箱子，但箱子沒動。
問題1　根據牛頓第二定律，有力就能產生加速度，但為什么箱子一直沒動呢？
提示：牛頓第二定律F＝kma中的力F指的是物體受到的合力，盡管小明對箱子有一個拉力作用，但箱子受到的合力為零，所以不能產生加速度。
問題2　若小明增大拉力，依然未拉動，則箱子的加速度仍為零。這種現象是不是說明力發生變化時，對應加速度可能不變？
提示：不是，當拉力發生變化時，拉力對應的加速度立即發生變化。只不過地面對箱子的靜摩擦力會隨之發生相應變化，使箱子受到的合力仍為零，合加速度仍為零，加速度不變。
【知識歸納】　
1．對表達式F＝ma的理解
(1)單位統一：表達式中F、m、a三個物理量的單位都必須是國際單位。
(2)F的含義：F是合力時，加速度a指的是合加速度，即物體的加速度；F是某個分力時，加速度a是該分力產生的加速度。
2．牛頓第二定律的五個性質
性質 理解
因果性 力是產生加速度的原因，只要物體所受的合力不為0，物體就具有加速度
同體性 F、m、a都是對同一物體而言的
獨立性 作用在物體上的每一個力都產生加速度，物體的實際加速度是這些加速度的矢量和
瞬時性 加速度與合力是瞬時對應關系，同時產生，同時變化，同時消失
矢量性 F＝ma是一個矢量式。物體的加速度方向由它受的合力方向決定，且總與合力的方向相同
【典例1】　(對牛頓第二定律的理解)(多選)關于牛頓第二定律，下列說法正確的是(　　)
A．在公式F＝ma中，若F為合力，則a等于作用在該物體上的每一個力產生的加速度的矢量和
B．某一瞬時的加速度，只能由這一瞬時的外力決定，而與這一瞬時之前或之后的外力無關
C．在公式F＝ma中，若F為合力，則a等于作用在該物體上的每一個力產生的加速度的代數和
D．物體的運動方向一定與物體所受的合力的方向一致
[思路點撥]　解此題關鍵有兩點：
(1)理解公式F＝ma中各符號的意義、公式的意義及適用條件。
(2)掌握牛頓第二定律的五個性質。
AB　[F＝ma具有瞬時性，故B正確；在公式F＝ma中，若F為合力，則a為合力產生的加速度，它是各分力產生加速度的矢量和，故A正確，C錯誤；如果物體做減速運動，則v與a反向，因a的方向與物體所受合力方向一致，則此時物體的運動方向與物體所受合力方向相反，故D錯誤。]
【典例2】　(加速度與合力的方向關系)(多選)一架無人機在豎直平面內沿傾斜的虛線做變速直線運動，如圖所示，將無人機的重力記為G，除重力外的其他外力的合力記為F，加速度記為a。則下列關于無人機在此過程中受力分析及加速度方向的示意圖可能正確的是(　　)
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
AD　[根據牛頓第二定律可得F合＝ma，可知加速度的方向與合力的方向相同。根據平行四邊形定則可知，A、D中F與G的合力方向可能與a的方向相同，B、C中F與G的合力方向不可能與a的方向相同，故選AD。]
　牛頓第二定律的瞬時性問題
【思考討論】　如圖所示的小球放在水平面上，小球與水平輕彈簧及與豎直方向成θ＝45°角的不可伸長的輕繩一端相連，小球與水平面的動摩擦因數μ＝0.2，質量為m＝2 kg，此時小球處于靜止狀態，且水平面對小球的彈力恰好為零。(取g＝10 m/s2)
問題1　圖中小球受到哪些力的作用？
提示：小球受重力、彈簧的拉力、輕繩的拉力。
問題2　當剪斷輕繩的瞬間小球的加速度大小和方向？
提示：8 m/s2，方向向左。
問題3　當剪斷彈簧的瞬間小球的加速度大小和方向？
提示：0。
【知識歸納】　
1．問題模型
類別 彈力表現形式 彈力方向 能否突變
輕繩 拉力 沿繩收縮方向 能
橡皮條 拉力 沿橡皮條收縮方向 不能
輕彈簧 拉力、支持力 沿彈簧軸線方向 不能
輕桿 拉力、支持力 不確定 能
(1)輕繩、輕桿模型不發生明顯形變就能產生彈力，剪斷(或脫離)后，形變恢復幾乎不需要時間，故認為彈力可以立即改變或消失。
(2)輕彈簧、橡皮條模型的形變量大，形變恢復需要較長時間，在瞬時性問題中，它們的自由端連有物體時，其彈力的大小不能突變，往往可以看成是不變的。
2．兩個關鍵
(1)分析瞬時前、后的受力情況和運動狀態。
(2)明確繩或桿類、彈簧或橡皮條類模型的特點。
【典例3】　(輕繩與橡皮條模型)(多選)如圖所示，質量為m的小球被一根橡皮筋AC和一根繩BC系住，當小球靜止時，橡皮筋處在水平方向上，重力加速度為g。下列判斷正確的是(　　)
A．在AC被突然剪斷的瞬間，BC對小球的拉力不變
B．在AC被突然剪斷的瞬間，小球的加速度大小為g sin θ
C．在BC被突然剪斷的瞬間，小球的加速度大小為
D．在BC被突然剪斷的瞬間，小球的加速度大小為g sin θ
[思路點撥]　解答本題應把握以下兩點：
(1)在AC被突然剪斷的瞬間，BC對小球的拉力發生突變。
(2)在BC被突然剪斷的瞬間，橡皮筋AC的彈力不能突變。
BC　[設小球靜止時繩BC的拉力為F，橡皮筋AC的拉力為T，由平衡條件可得F cos θ＝mg，F sin θ＝T，解得F＝，T＝mg tan θ。在AC被突然剪斷的瞬間，BC上的拉力F發生了突變，小球的加速度方向沿與BC垂直的方向且斜向下，大小為a＝＝g sin θ，B正確，A錯誤；在BC被突然剪斷的瞬間，橡皮筋AC的拉力不變，小球的合力大小與BC被剪斷前的拉力大小相等，方向沿BC方向斜向下，故加速度a′＝＝，C正確，D錯誤。]
[母題變式]　如果將[典例3]中的BC繩換成輕彈簧，橡皮筋AC換成細線，如圖所示。求剪斷細線AC的瞬間小球的加速度。(重力加速度為g)
[解析]　水平細線AC剪斷瞬間，小球所受重力mg和彈簧彈力FT不變，小球所受的合力F與水平細線AC的拉力等大反向，則小球的加速度a方向水平向右，如圖所示，則mg tan θ＝ma，所以a＝g tan θ。
[答案]　g tan θ，方向水平向右
【典例4】　(輕桿與輕繩模型)如圖所示，質量為m的小球用水平輕繩系住，并用傾角為30°的光滑木板AB托住，小球恰好處于靜止狀態。在木板AB突然向下撤離的瞬間，小球的加速度大小為(重力加速度大小為g)(　　)
A．0 B．g
C．g D．g
C　[在木板AB突然向下撤離的瞬間，木板對小球的彈力和輕繩對小球的拉力突然消失，小球只受重力的作用，所以小球的加速度大小為g，C正確。]
【典例5】　(輕桿與彈簧模型)如圖所示，物塊1、2間用剛性輕質桿連接，物塊3、4間用輕質彈簧相連，物塊1、3的質量均為m，物塊2、4的質量均為M，兩個系統均置于水平放置的光滑木板上，并處于靜止狀態。現將兩木板沿水平方向突然抽出，設抽出后的瞬間，物塊1、2、3、4的加速度大小分別為a1、a2、a3、a4。重力加速度大小為g，則有(　　)
A．a1＝a2＝a3＝a4＝0
B．a1＝a2＝a3＝a4＝g
C．a1＝a2＝g，a3＝0，a4＝g
D．a1＝g，a2＝g，a3＝0，a4＝g
C　[在抽出木板的瞬間，物塊1、2與剛性輕質桿接觸處的形變立即消失，受到的合力均等于各自重力，所以由牛頓第二定律知a1＝a2＝g，而物塊3、4間的輕質彈簧的形變還來不及改變，此時彈簧對物塊3向上的彈力大小和對物塊4向下的彈力大小仍為mg，因此物塊3滿足mg＝F，a3＝0；由牛頓第二定律得物塊4滿足a4＝＝g，所以C正確。]
　“三步”巧解瞬時加速度問題
(1)分析原來物體的受力情況。
(2)分析物體在彈力發生突變時的受力情況。
(3)由牛頓第二定律列方程求解。
　牛頓第二定律的簡單應用
【思考討論】　民航客機一般都有緊急出口，發生意外情況的飛機緊急著陸后，打開緊急出口，狹長的氣囊會自動充氣，生成一條連接出口與地面的斜面，人員可沿斜面滑行到地上。
問題1　人在氣囊上下滑過程中受哪些力作用？試畫出受力分析圖。
提示：受重力、彈力和摩擦力三個力的作用，受力分析如圖所示。
問題2　如何計算人在氣囊上下滑的加速度a
提示：將重力分解，沿斜面方向，由牛頓第二定律得 mg sin θ－f＝ma，可以求得加速度a。
【知識歸納】　
1．應用牛頓第二定律解題的方法
(1)合成法：首先確定研究對象，畫出受力示意圖，當物體只受兩個力作用時，利用平行四邊形定則在加速度方向上直接求出合力，再根據牛頓第二定律列方程求解。
(2)正交分解法：當物體受多個力作用處于加速狀態時，常用正交分解法求物體所受的合力，再應用牛頓第二定律求加速度。為減少矢量的分解以簡化運算，建立坐標系時，可有如下兩個角度：
①分解力：通常以加速度a的方向為x軸正方向，建立直角坐標系，將物體所受的各個力分解在x軸和y軸上，分別求得x軸和y軸的合力Fx和Fy，得方程。
②分解加速度：若物體所受各力都在互相垂直的方向上，但加速度卻不在這兩個方向上，這時可以把力的方向規定為x軸、y軸正方向，只需分解加速度a，求得ax和ay，根據牛頓第二定律得方程。
2．應用牛頓第二定律的一般步驟
(1)確定研究對象。
(2)進行受力分析和運動情況分析，作出受力和運動的示意圖。
(3)求合力F或加速度a。
(4)根據F＝ma列方程求解。
【典例6】　[鏈接教材P96例題1](加速度與速度的計算)雪橇是我國東北地區冬天的運輸工具，如圖所示是一匹馬拉著總質量為100 kg的雪橇在水平方向運動。假設阻力不計，馬的拉力沿水平方向，大小為120 N，那么雪橇獲得的加速度有多大？從靜止開始運動到5.0 s末，雪橇的速度是多少？
[解析]　由牛頓第二定律F＝ma可知，雪橇的加速度
a＝＝＝＝1.2 m/s2
5.0 s末雪橇的速度
v＝at＝1.2 m/s2×5.0 s＝6.0 m/s。
[答案]　1.2 m/s2　6.0 m/s
【教材原題P96例題1】　在平直路面上，質量為 1 100 kg 的汽車在進行研發的測試，當速度達到100 km/h時取消動力，經過70 s停了下來。汽車受到的阻力是多少？重新起步加速時牽引力為2 000 N，產生的加速度是多少？假定試車過程中汽車受到的阻力不變。
分析　如圖甲，取消動力后，汽車在平直路面上只受阻力的作用。由于阻力不變，根據牛頓第二定律，汽車在平直路面上運動的加速度將保持不變。由加速度可以求出汽車受到的阻力。
如圖乙，重新起步后，汽車在平直路面上受到牽引力和阻力。由于二者大小都不變，所以汽車的加速度恒定不變。根據牛頓第二定律可以求出汽車運動的加速度。
解　以汽車為研究對象。設汽車運動方向為x軸正方向，建立一維坐標系。取消動力后，汽車做勻減速直線運動。初速度v0＝100 km/h≈27.8 m/s，末速度為0，滑行時間t＝70 s。
根據勻變速直線運動速度與時間的關系式，加速度為a1＝＝－
汽車受到的阻力為
F阻＝ma1＝－＝－≈－437 N
汽車受到的阻力是437 N，方向與運動方向相反。重新起步后，汽車所受的合力為
F合＝2 000 N－437 N＝1 563 N
由牛頓第二定律可以得到汽車的加速度
a2＝＝≈1.42 m/s2
重新起步產生的加速度是1.42 m/s2，方向與運動方向相同。
【典例7】　(源自魯科版教材)(力的計算)如圖所示，一載有小孩的雪橇總質量為 30 kg，在拉力F作用下沿水平地面向右做直線運動，該拉力與水平面夾角為30°，經過50 cm，速度由0.6 m/s均勻減至 0.4 m/s。 已知雪橇與地面間的動摩擦因數為0.2，求作用力F的大小(g取9.8 m/s2，cos 30°取 0.866，結果保留3位有效數字)。
[思路點撥]　由題意可知，物體做勻減速直線運動，已知初速度、末速度和位移，由運動學公式可求加速度，再由牛頓第二定律求出未知力。
[解析]　以小孩和雪橇整體為研究對象，
建立直角坐標系，受力分析如圖所示。
由題意可知，v0＝0.6 m/s，vt＝0.4 m/s，s＝50 cm＝0.5 m，m＝30 kg，μ＝0.2，θ＝30°。
由公式＝2as得
a＝＝ m/s2＝－0.2 m/s2
加速度方向沿x軸負方向。根據牛頓第二定律，沿水平方向有
F cos θ－Ff＝ma
沿豎直方向有N＋F sin θ－mg＝0
又因為Ff＝μN，所以聯立以上各式，得
F＝＝ N≈54.7 N
所以拉力F的大小為54.7 N。
[答案]　54.7 N
【典例8】　[鏈接教材P97例題2](合成法與正交分解法的應用)
如圖所示，車廂頂部固定一定滑輪，在跨過滑輪的繩子的兩端分別系一個小球和一個物塊，小球的質量為m1，物塊的質量為m2，且m2＞m1，物塊靜止在車廂底板上，當車廂向右運動時，系小球的那段繩子與豎直方向的夾角為θ。若滑輪、繩子的質量和摩擦忽略不計，重力加速度為g，求：
(1)車廂的加速度大??；
(2)車廂底板對物塊的支持力和摩擦力。
[解析]　(1)解法一：力的合成法
設車廂的加速度為a，小球的加速度與車廂的加速度相同，對小球進行受力分析，如圖甲所示，由牛頓第二定律得F合＝m1g tan θ＝m1a
解得a＝g tan θ。
解法二：正交分解法
以小球為研究對象，進行受力分析，如圖乙所示
在水平方向上：T sin θ＝m1a
在豎直方向上：T cos θ＝m1g
解得a＝g tan θ。
(2)對物塊進行受力分析，如圖丙所示
豎直方向上：N＋T′＝m2g
由(1)知T＝
又T′＝T
則車廂底板對物塊的支持力N＝m2g－，方向豎直向上
物塊受到的摩擦力f＝m2a＝m2g tan θ，方向水平向右。
[答案]　(1)g tan θ　(2)m2g－，方向豎直向上　m2g tan θ，方向水平向右
　應用牛頓第二定律解題的三點技巧
(1)應用牛頓第二定律時，要注意分析物體的受力情況和運動情況。
(2)受力較多時常用正交分解法解題，建立坐標系時常以加速度的方向為某一坐標軸的正方向。
(3)對于多個物體組成的系統，若各個物體加速度相同，則可以看作一個整體來應用牛頓第二定律。
【教材原題P97例題2】　某同學在列車車廂的頂部用細線懸掛一個小球，在列車以某一加速度漸漸啟動的過程中，細線就會偏過一定角度并相對車廂保持靜止，通過測定偏角的大小就能確定列車的加速度(如圖)。在某次測定中，懸線與豎直方向的夾角為θ，求列車的加速度。
分析　列車在加速行駛的過程中，小球始終與列車保持相對靜止狀態，所以，小球的加速度與列車的加速度相同。
對小球進行受力分析，根據力的合成法則求解合力。再根據牛頓第二定律，求出小球的加速度，從而獲得列車的加速度。
解　方法1　選擇小球為研究對象。設小球的質量為m，小球在豎直平面內受到重力G、繩的拉力FT(圖甲)。在這兩個力的作用下，小球產生水平方向的加速度a。這表明，FT與G的合力方向水平向右，且
F＝G tan θ＝mg tan θ
根據牛頓第二定律，小球具有的加速度為a＝＝g tan θ
方法2　小球在水平方向上做勻加速直線運動，在豎直方向上處于平衡狀態。建立圖乙所示的直角坐標系。將小球所受的拉力FT分解為水平方向的Fx和豎直方向的Fy。
在豎直方向有
Fy－mg＝0，Fy＝FTcos θ
FTcos θ＝mg (1)
在水平方向有
Fx＝FTsin θ
FTsin θ＝ma (2)
(1)(2)式聯立，可以求得小球的加速度為
a＝g tan θ
列車的加速度與小球相同，大小為g tan θ，方向水平向右。
【教用·備選例題】
【典例】　如圖所示，電梯與水平面夾角為30°，當電梯加速向上運動時，人對梯面的壓力是其重力的倍，則人與梯面間的摩擦力是其重力的多少倍？
[解析]　對人進行受力分析，人受重力mg、支持力N和摩擦力f(摩擦力的方向一定與接觸面平行，由加速度的方向可推知f方向水平向右)。
建立直角坐標系，如圖甲所示，取水平向右(即f方向)為x軸正方向，此時只需分解加速度，其中ax＝a cos 30°，ay＝a sin 30°(如圖乙所示)。
建立方程并求解，由牛頓第二定律得
x方向上有f＝ma cos 30°
y方向上有N－mg＝ma sin 30°
由題意知N＝mg
聯立解得f＝mg
所以人與梯面間的摩擦力是其重力的。
[答案]　
1．關于牛頓第二定律的表達式F＝ma，下列說法正確的是(　　)
A．物理公式只能確定物理量之間的數量關系和方向關系
B．如果讓10 kg的物體產生大小為1 m/s2 的加速度，所需要的力的大小就是1 N
C．如果單位選取合適，牛頓第二定律的表達式可以是F＝1 000ma
D．由m＝可知，物體的質量與其所受的合外力成正比，與其運動的加速度成反比
C　[物理公式不僅可以確定物理量之間的數量關系和方向關系，同時也可以確定物理量間的單位關系，A錯誤；如果讓10 kg的物體產生大小為1 m/s2的加速度，所需要的力的大小是10 N，B錯誤；如果力的單位取N，質量單位取g，加速度單位取m/s2，牛頓第二定律的表達式就可以是F＝1 000ma，C正確；物體的質量是物體本身的屬性，是所含物質的多少，與物體所受合力以及物體運動的加速度無關，D錯誤。]
2．(2024·湖南卷)如圖所示，質量分別為4m、3m、2m、m的四個小球A、B、C、D通過細線或輕彈簧互相連接，懸掛于O點，處于靜止狀態，重力加速度為g。若將B、C間的細線剪斷，則剪斷瞬間B和C的加速度大小分別為(　　)
A．g，1.5g B．2g，1.5g
C．2g，0.5g D．g，0.5g
A　[細線剪斷前，對B、C、D整體受力分析，由力的平衡條件有A、B間輕彈簧的彈力FAB＝6mg，對D受力分析，由力的平衡條件有C、D間輕彈簧的彈力FCD＝mg，細線剪斷瞬間，對B由牛頓第二定律有3mg－FAB＝3maB，對C由牛頓第二定律有2mg＋FCD＝2maC，聯立解得aB＝－g，aC＝1.5g，A正確。]
3．為檢測某公路濕瀝青混凝土路面與汽車輪胎的動摩擦因數μ，測試人員讓汽車在該公路水平直道行駛，當汽車速度表顯示40 km/h時緊急剎車(車輪抱死)，車上人員用手機測得汽車滑行3.70 s后停下來，g取10 m/s2，則測得μ約為(　　)
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
B　[ 汽車滑行時做勻減速運動，則加速度大小為a＝＝m/s2≈3.0 m/s2，根據牛頓第二定律和動摩擦因數表達式得μ＝＝＝＝0.3，故A、C、D錯誤，B正確。故選B。]
4．(多選)如圖所示，某旅游景點的傾斜索道與水平線夾角θ＝30°，當載人車廂以加速度a斜向上加速運動時，人對車廂的壓力為體重的1.25倍，此時人與車廂相對靜止，已知重力加速度為g，設車廂對人的摩擦力為Ff，人的體重為G，下面正確的是(　　)
A．a＝ B．a＝
C．Ff＝G D．Ff＝G
BD　[由于人對車廂底的正壓力為其重力的1.25倍，所以在豎直方向上有FN－mg＝ma上，解得a上＝0.25g，設水平方向上的加速度為a水，則＝tan 30°＝，a水＝g，a＝＝，Ff＝ma水＝G，故B、D正確。]
回歸本節知識，完成以下問題：
1．牛頓第二定律的內容是怎樣表述的？
提示：牛頓第二定律的內容：物體加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它的質量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。
2．牛頓第二定律的比例式如何表示？
提示：a∝，也可以寫成等式F＝kma。
3．式中各物理量的單位是什么，其中力的單位“牛頓”是怎樣定義的？
提示：F的單位：N；m的單位：kg；a的單位：m/s2；能使質量為1 kg的物體產生1 m/s2的加速度的力定義為1牛頓。
4．當物體受到幾個共點力的作用時，式中的F指什么？此時的比例式如何表示？
提示：F指合力。m＝。
課時分層作業(十五)
?題組一　對牛頓第二定律的理解
1．(多選)下列對牛頓第二定律的理解正確的是(　　)
A．牛頓第二定律說明當物體有加速度時，物體才受到外力的作用
B．合力產生的加速度，可認為是作用于物體上的每個力所產生的加速度的矢量和
C．加速度的方向總跟合力的方向一致
D．當外力停止作用時，加速度隨之消失
BCD　[力是產生加速度的原因，故A錯誤；由合力與分力的關系可知，合力產生的加速度與每個分力產生的加速度的矢量和是一樣的，故B正確；由F＝ma可知，a與F的方向時刻相同，C正確；加速度與外力是瞬時對應關系，外力停止作用，加速度同時消失，D正確。]
2．(多選)關于牛頓第二定律的表達式F＝kma，下列說法正確的是(　　)
A．在任何情況下式中k都等于1
B．式中k的數值由質量、加速度和力的大小決定
C．式中k的數值由質量、加速度和力的單位決定
D．物理學中定義使質量為1 kg的物體產生1 m/s2的加速度的力為1 N
CD　[在牛頓第二定律的表達式F＝kma中，k的數值由質量、加速度和力的單位決定，只有當質量的單位為kg、加速度的單位為m/s2、力的單位為N時，比例系數k才等于1，A、B錯誤，C正確；由牛頓第二定律F＝ma知m＝1 kg、a＝1 m/s2時，1 N＝，即使質量為1 kg的物體產生1 m/s2的加速度的力為1 N，D正確。]
3．靜止在光滑水平面上的物體，受到一個水平拉力，當拉力開始作用的瞬間，下列說法正確的是(　　)
A．物體立即獲得速度
B．物體立即獲得加速度
C．物體加速度仍為零
D．物體同時獲得速度和加速度
B　[物體靜止在光滑水平面上，受到水平拉力的瞬間，合力等于拉力，根據牛頓第二定律知物體立刻產生加速度，而物體由于具有慣性，此瞬間還保持原來的運動狀態，速度為零，選項B正確。]
?題組二　牛頓第二定律的瞬時性問題
4．(多選)質量均為m的A、B兩球之間系著一個不計質量的水平輕彈簧并放在光滑水平臺面上，A球緊靠墻壁，如圖所示，今用水平力F推B球使其向左壓彈簧，突然撤去F的瞬間(　　)
A．A的加速度大小為
B．A的加速度大小為零
C．B的加速度大小為
D．B的加速度大小為
BD　[在撤去力F的瞬間，A球受力情況不變，仍靜止，A的加速度為零，選項A錯誤，B正確；在撤去力F的瞬間，彈簧的彈力還沒來得及發生變化，故B的加速度大小為，選項C錯誤，D正確。]
5．如圖所示，A、B兩球質量相等，光滑斜面的傾角為θ，圖甲中A、B兩球用輕彈簧相連，圖乙中A、B兩球用輕質桿相連，系統靜止時，擋板C與斜面垂直，輕彈簧、輕桿均與斜面平行，在突然撤去擋板的瞬間有(　　)
A．兩圖中兩球加速度均為g sin θ
B．兩圖中A球的加速度均為零
C．圖乙中輕桿的作用力一定為零
D．圖甲中B球的加速度是圖乙中B球加速度的3倍
C　[題圖甲中彈簧彈力F＝mg sin θ，突然撤去擋板的瞬間，彈簧形變量來不及變化，彈力不變；對A球進行受力分析，仍處于平衡狀態，加速度為0；對B球進行受力分析，根據牛頓第二定律有F＋mg sin θ＝maB，解得aB＝2g sin θ。題圖乙中輕桿為剛性桿，突然撤去擋板的瞬間，輕桿作用力突變為0，以AB為整體，根據牛頓第二定律有2mg sin θ＝2ma，解得a＝g sin θ，即A、B的加速度都為g sin θ。綜上所述可得C正確，A、B、D錯誤。]
?題組三　牛頓第二定律的簡單應用
6．(多選)質量為1 kg的物體受3 N和4 N的兩個共點力的作用，物體的加速度可能是(　　)
A．5 m/s2 B．7 m/s2
C．8 m/s2 D．9 m/s2
AB　[由力的合成知識可知，F1＝3 N、F2＝4 N的共點力的合力范圍為1 N≤F≤7 N，根據F＝ma知加速度范圍為1 m/s2≤a≤7 m/s2，故A、B正確。]
7．如圖所示，有兩輛小車放在光滑的水平面上，在相同的力F作用下運動，其中A車的加速度為3 m/s2，B車的加速度為7 m/s2。則A車和B車的質量之比mA∶mB為(　　)
A．1∶2 B．3∶7
C．7∶3 D．4∶1
C　[兩個力F相同，則兩個力的水平分力都為F cos θ，根據牛頓第二定律知F cos θ＝ma，則mA∶mB＝aB∶aA＝7∶3，故選項C正確。]
8．質量為m的翼裝飛行者從高空跳下，通過調整身體實現飛行并控制方向，如圖所示。當他斜向上以加速度g減速直線飛行時，所受空氣作用力(　　)
A．大小等于mg B．大小等于mg
C．方向豎直向上 D．方向垂直于AB向上
A　[翼裝飛行者斜向上以加速度g減速直線飛行時，由牛頓第二定律可知F合＝mg，重力與空氣作用力的合力大小為mg，方向斜向左下方，如圖所示，由幾何關系知空氣作用力大小為F＝mg，方向與速度方向成120°角，斜向左上方，故A正確，B、C、D錯誤。
]
9．(多選)如圖所示，吊籃A、物體B、物體C的質量分別為m、3m、2m，B和C分別固定在彈簧兩端，彈簧的質量不計。B和C在吊籃的水平底板上處于靜止狀態。將懸掛吊籃的輕繩剪斷的瞬間(　　)
A．吊籃A的加速度大小為g
B．物體B的加速度大小為0
C．物體C的加速度大小為2g
D．A對C的支持力大小等于5mg
BC　[裝置靜止時，彈簧的彈力F＝3mg，剪斷輕繩的瞬間，彈簧的彈力不變，將C和A看成一個整體，根據牛頓第二定律得aAC＝＝2g，即A、C的加速度均為2g，方向向下，故A錯誤，C正確；剪斷輕繩的瞬間，彈簧的彈力不變，B的合力仍然為零，則B的加速度為0，故B正確；設A對C的支持力為N，則對C由牛頓第二定律得F＋2mg－N＝2maAC，解得A對C的支持力大小N＝mg，故D錯誤。]
10．(多選)如圖所示，一質量為m的物體放在電梯內傾角為30°的固定斜面上，當電梯以加速度a(aA．斜面對物體的支持力大小為m(g－a)
B．斜面對物體的支持力大小為m(g－a)
C．斜面對物體的摩擦力大小為m(g－a)
D．斜面對物體的摩擦力大小為m(g－a)
BC　[將加速度a分解為沿斜面向下的分加速度ax和垂直斜面向下的分加速度ay，則有ax＝a sin 30°，ay＝a cos 30°，以物體為研究對象，垂直斜面方向和沿斜面方向分別根據牛頓第二定律可得mg cos 30°－N＝may，mg sin 30°－f＝max，聯立解得N＝m(g－a)，f＝m(g－a)，故選BC。]
11．質量為40 kg的物體放在水平面上，某人用繩子沿著與水平方向成37°角斜向上的方向拉著物體向右前進，繩子的拉力為200 N，已知物體與水平面間的動摩擦因數為0.5，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)求此時物體的加速度；
(2)若在拉的過程中突然松手，求此時物體的加速度。
[解析]　(1)在拉力作用下，物體受力如圖甲所示
由牛頓第二定律得
F cos 37°－μ(mg－F sin 37°)＝ma1
解得a1＝0.5 m/s2
方向水平向右。
(2)松手后，物體受力如圖乙所示
由牛頓第二定律得
μmg＝ma2
解得a2＝5 m/s2，方向水平向左。
[答案]　(1)0.5 m/s2，方向水平向右　(2)5 m/s2，方向水平向左
12．(源自魯科版教材改編)自制一個加速度計，其構造是：一根輕桿，下端固定一個小球，上端裝在水平軸O上，桿可在豎直平面內左右擺動，用白硬紙作為表盤，放在桿擺動的平面上，并刻上刻度，可以直接讀出加速度的大小和方向。使用時，加速度計右端朝汽車前進的方向，如圖所示，g取9.8 m/s2。
(1)硬紙上刻度線b在經過O點的豎直線上，則在b處應標的加速度數值是多少？
(2)刻度線c和O點的連線與Ob的夾角為30°，則c處應標的加速度數值是多少？
(3)刻度線d和O點的連線與Ob的夾角為45°。在汽車前進時，若輕桿穩定地指在d處，則0.5 s內汽車速度變化了多少？
[解析]　(1)當輕桿與Ob重合時，小球所受合力為0，其加速度為0，車的加速度亦為0，故b處應標的加速度數值為0。
(2)方法一：合成法
當輕桿與Oc重合時，以小球為研究對象，受力分析如圖甲所示
根據力的合成的平行四邊形定則和牛頓第二定律得mg tan θ＝ma1
解得a1＝g tan θ＝9.8× m/s2≈5.66 m/s2。
方法二：正交分解法
建立直角坐標系，并將輕桿對小球的拉力正交分解，如圖乙所示
則沿水平方向有F sin θ＝ma
豎直方向有F cos θ－mg＝0
聯立以上兩式可解得小球的加速度a≈5.66 m/s2
即c處應標的加速度數值為 5.66 m/s2。
(3)若輕桿與Od重合，同理可得mg tan 45°＝ma2
解得a2＝g tan 45°＝9.8 m/s2，方向水平向左，與速度方向相反，所以在0.5 s內汽車速度應變小，變化量Δv＝a2Δt＝9.8×0.5 m/s＝4.9 m/s。
[答案]　(1)0　(2)5.66 m/s2　(3)變小了 4.9 m/s
22/223．牛頓第二定律
[學習目標]
1．掌握牛頓第二定律的內容和數學表達式。
2．知道國際單位制中力的單位是怎樣定義的。
3．會運用牛頓第二定律分析和處理實際生活中的簡單問題。
　對牛頓第二定律的理解
【鏈接教材】　如圖所示是教材中的賽車，為什么賽車在設計時質量要小，動力要大？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識梳理】　
1．內容：物體加速度的大小跟它受到的作用力成__________，跟它的質量成__________，加速度的方向跟__________相同。
2．表達式：__________，式中k是比例系數，F是物體所受的__________。
3．意義
(1)闡述了力、質量和__________三者數量間的關系。
(2)明確了__________的方向與力的方向一致。
4．力的單位
(1)力的單位：__________，符號是N。
(2)1 N的物理意義：使質量為1 kg的物體產生1 m/s2的加速度的力，稱為1 N，即1 N＝1 __________。
【思考討論】　如圖所示，小明用力拉地面上的箱子，但箱子沒動。
問題1　根據牛頓第二定律，有力就能產生加速度，但為什么箱子一直沒動呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題2　若小明增大拉力，依然未拉動，則箱子的加速度仍為零。這種現象是不是說明力發生變化時，對應加速度可能不變？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識歸納】　
1．對表達式F＝ma的理解
(1)單位統一：表達式中F、m、a三個物理量的單位都必須是國際單位。
(2)F的含義：F是合力時，加速度a指的是合加速度，即物體的加速度；F是某個分力時，加速度a是該分力產生的加速度。
2．牛頓第二定律的五個性質
性質 理解
因果性 力是產生加速度的原因，只要物體所受的合力不為0，物體就具有加速度
同體性 F、m、a都是對同一物體而言的
獨立性 作用在物體上的每一個力都產生加速度，物體的實際加速度是這些加速度的矢量和
瞬時性 加速度與合力是瞬時對應關系，同時產生，同時變化，同時消失
矢量性 F＝ma是一個矢量式。物體的加速度方向由它受的合力方向決定，且總與合力的方向相同
【典例1】　(對牛頓第二定律的理解)(多選)關于牛頓第二定律，下列說法正確的是(　　)
A．在公式F＝ma中，若F為合力，則a等于作用在該物體上的每一個力產生的加速度的矢量和
B．某一瞬時的加速度，只能由這一瞬時的外力決定，而與這一瞬時之前或之后的外力無關
C．在公式F＝ma中，若F為合力，則a等于作用在該物體上的每一個力產生的加速度的代數和
D．物體的運動方向一定與物體所受的合力的方向一致
[思路點撥]　解此題關鍵有兩點：
(1)理解公式F＝ma中各符號的意義、公式的意義及適用條件。
(2)掌握牛頓第二定律的五個性質。
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【典例2】　(加速度與合力的方向關系)(多選)一架無人機在豎直平面內沿傾斜的虛線做變速直線運動，如圖所示，將無人機的重力記為G，除重力外的其他外力的合力記為F，加速度記為a。則下列關于無人機在此過程中受力分析及加速度方向的示意圖可能正確的是(　　)
A　　　　　B　　　　C　　　　D
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　牛頓第二定律的瞬時性問題
【思考討論】　如圖所示的小球放在水平面上，小球與水平輕彈簧及與豎直方向成θ＝45°角的不可伸長的輕繩一端相連，小球與水平面的動摩擦因數μ＝0.2，質量為m＝2 kg，此時小球處于靜止狀態，且水平面對小球的彈力恰好為零。(取g＝10 m/s2)
問題1　圖中小球受到哪些力的作用？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題2　當剪斷輕繩的瞬間小球的加速度大小和方向？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題3　當剪斷彈簧的瞬間小球的加速度大小和方向？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識歸納】　
1．問題模型
類別 彈力表現形式 彈力方向 能否突變
輕繩 拉力 沿繩收縮方向 能
橡皮條 拉力 沿橡皮條收縮方向 不能
輕彈簧 拉力、支持力 沿彈簧軸線方向 不能
輕桿 拉力、支持力 不確定 能
(1)輕繩、輕桿模型不發生明顯形變就能產生彈力，剪斷(或脫離)后，形變恢復幾乎不需要時間，故認為彈力可以立即改變或消失。
(2)輕彈簧、橡皮條模型的形變量大，形變恢復需要較長時間，在瞬時性問題中，它們的自由端連有物體時，其彈力的大小不能突變，往往可以看成是不變的。
2．兩個關鍵
(1)分析瞬時前、后的受力情況和運動狀態。
(2)明確繩或桿類、彈簧或橡皮條類模型的特點。
【典例3】　(輕繩與橡皮條模型)(多選)如圖所示，質量為m的小球被一根橡皮筋AC和一根繩BC系住，當小球靜止時，橡皮筋處在水平方向上，重力加速度為g。下列判斷正確的是(　　)
A．在AC被突然剪斷的瞬間，BC對小球的拉力不變
B．在AC被突然剪斷的瞬間，小球的加速度大小為g sin θ
C．在BC被突然剪斷的瞬間，小球的加速度大小為
D．在BC被突然剪斷的瞬間，小球的加速度大小為g sin θ
[思路點撥]　解答本題應把握以下兩點：
(1)在AC被突然剪斷的瞬間，BC對小球的拉力發生突變。
(2)在BC被突然剪斷的瞬間，橡皮筋AC的彈力不能突變。
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[母題變式]　如果將[典例3]中的BC繩換成輕彈簧，橡皮筋AC換成細線，如圖所示。求剪斷細線AC的瞬間小球的加速度。(重力加速度為g)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例4】　(輕桿與輕繩模型)如圖所示，質量為m的小球用水平輕繩系住，并用傾角為30°的光滑木板AB托住，小球恰好處于靜止狀態。在木板AB突然向下撤離的瞬間，小球的加速度大小為(重力加速度大小為g)(　　)
A．0 B．g
C．g D．g
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【典例5】　(輕桿與彈簧模型)如圖所示，物塊1、2間用剛性輕質桿連接，物塊3、4間用輕質彈簧相連，物塊1、3的質量均為m，物塊2、4的質量均為M，兩個系統均置于水平放置的光滑木板上，并處于靜止狀態。現將兩木板沿水平方向突然抽出，設抽出后的瞬間，物塊1、2、3、4的加速度大小分別為a1、a2、a3、a4。重力加速度大小為g，則有(　　)
A．a1＝a2＝a3＝a4＝0
B．a1＝a2＝a3＝a4＝g
C．a1＝a2＝g，a3＝0，a4＝g
D．a1＝g，a2＝g，a3＝0，a4＝g
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　“三步”巧解瞬時加速度問題
(1)分析原來物體的受力情況。
(2)分析物體在彈力發生突變時的受力情況。
(3)由牛頓第二定律列方程求解。
　牛頓第二定律的簡單應用
【思考討論】　民航客機一般都有緊急出口，發生意外情況的飛機緊急著陸后，打開緊急出口，狹長的氣囊會自動充氣，生成一條連接出口與地面的斜面，人員可沿斜面滑行到地上。
問題1　人在氣囊上下滑過程中受哪些力作用？試畫出受力分析圖。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題2　如何計算人在氣囊上下滑的加速度a
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識歸納】　
1．應用牛頓第二定律解題的方法
(1)合成法：首先確定研究對象，畫出受力示意圖，當物體只受兩個力作用時，利用平行四邊形定則在加速度方向上直接求出合力，再根據牛頓第二定律列方程求解。
(2)正交分解法：當物體受多個力作用處于加速狀態時，常用正交分解法求物體所受的合力，再應用牛頓第二定律求加速度。為減少矢量的分解以簡化運算，建立坐標系時，可有如下兩個角度：
①分解力：通常以加速度a的方向為x軸正方向，建立直角坐標系，將物體所受的各個力分解在x軸和y軸上，分別求得x軸和y軸的合力Fx和Fy，得方程。
②分解加速度：若物體所受各力都在互相垂直的方向上，但加速度卻不在這兩個方向上，這時可以把力的方向規定為x軸、y軸正方向，只需分解加速度a，求得ax和ay，根據牛頓第二定律得方程。
2．應用牛頓第二定律的一般步驟
(1)確定研究對象。
(2)進行受力分析和運動情況分析，作出受力和運動的示意圖。
(3)求合力F或加速度a。
(4)根據F＝ma列方程求解。
【典例6】　[鏈接教材P96例題1](加速度與速度的計算)雪橇是我國東北地區冬天的運輸工具，如圖所示是一匹馬拉著總質量為100 kg的雪橇在水平方向運動。假設阻力不計，馬的拉力沿水平方向，大小為120 N，那么雪橇獲得的加速度有多大？從靜止開始運動到5.0 s末，雪橇的速度是多少？
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【典例7】　(源自魯科版教材)(力的計算)如圖所示，一載有小孩的雪橇總質量為 30 kg，在拉力F作用下沿水平地面向右做直線運動，該拉力與水平面夾角為30°，經過50 cm，速度由0.6 m/s均勻減至 0.4 m/s。 已知雪橇與地面間的動摩擦因數為0.2，求作用力F的大小(g取9.8 m/s2，cos 30°取 0.866，結果保留3位有效數字)。
[思路點撥]　由題意可知，物體做勻減速直線運動，已知初速度、末速度和位移，由運動學公式可求加速度，再由牛頓第二定律求出未知力。
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【典例8】　[鏈接教材P97例題2](合成法與正交分解法的應用)
如圖所示，車廂頂部固定一定滑輪，在跨過滑輪的繩子的兩端分別系一個小球和一個物塊，小球的質量為m1，物塊的質量為m2，且m2＞m1，物塊靜止在車廂底板上，當車廂向右運動時，系小球的那段繩子與豎直方向的夾角為θ。若滑輪、繩子的質量和摩擦忽略不計，重力加速度為g，求：
(1)車廂的加速度大?。?br/>(2)車廂底板對物塊的支持力和摩擦力。
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　應用牛頓第二定律解題的三點技巧
(1)應用牛頓第二定律時，要注意分析物體的受力情況和運動情況。
(2)受力較多時常用正交分解法解題，建立坐標系時常以加速度的方向為某一坐標軸的正方向。
(3)對于多個物體組成的系統，若各個物體加速度相同，則可以看作一個整體來應用牛頓第二定律。
1．關于牛頓第二定律的表達式F＝ma，下列說法正確的是(　　)
A．物理公式只能確定物理量之間的數量關系和方向關系
B．如果讓10 kg的物體產生大小為1 m/s2 的加速度，所需要的力的大小就是1 N
C．如果單位選取合適，牛頓第二定律的表達式可以是F＝1 000ma
D．由m＝可知，物體的質量與其所受的合外力成正比，與其運動的加速度成反比
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(2024·湖南卷)如圖所示，質量分別為4m、3m、2m、m的四個小球A、B、C、D通過細線或輕彈簧互相連接，懸掛于O點，處于靜止狀態，重力加速度為g。若將B、C間的細線剪斷，則剪斷瞬間B和C的加速度大小分別為(　　)
A．g，1.5g B．2g，1.5g
C．2g，0.5g D．g，0.5g
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．為檢測某公路濕瀝青混凝土路面與汽車輪胎的動摩擦因數μ，測試人員讓汽車在該公路水平直道行駛，當汽車速度表顯示40 km/h時緊急剎車(車輪抱死)，車上人員用手機測得汽車滑行3.70 s后停下來，g取10 m/s2，則測得μ約為(　　)
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．(多選)如圖所示，某旅游景點的傾斜索道與水平線夾角θ＝30°，當載人車廂以加速度a斜向上加速運動時，人對車廂的壓力為體重的1.25倍，此時人與車廂相對靜止，已知重力加速度為g，設車廂對人的摩擦力為Ff，人的體重為G，下面正確的是(　　)
A．a＝ B．a＝
C．Ff＝G D．Ff＝G
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
回歸本節知識，完成以下問題：
1．牛頓第二定律的內容是怎樣表述的？
2．牛頓第二定律的比例式如何表示？
3．式中各物理量的單位是什么，其中力的單位“牛頓”是怎樣定義的？
4．當物體受到幾個共點力的作用時，式中的F指什么？此時的比例式如何表示？
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