資源簡介

5．共點力的平衡
[學習目標]
1．知道什么是共點力及共點力作用下物體平衡狀態的概念。
2．掌握共點力平衡的條件。
3．會用共點力平衡的條件，分析生活和生產中的實際問題。
　共點力平衡的條件
【鏈接教材】　下列如教材圖中所示的受力情境，哪些圖表示共點力？共點力的作用點一定作用在同一位置嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識梳理】　
1．共點力
幾個力如果都作用在物體的__________，或者它們的作用線__________，這幾個力叫作共點力。如圖所示。
2．平衡狀態：物體保持__________或__________狀態。
3．二力平衡條件：作用在同一物體上的兩個力，如果__________、方向相反，并且在同一條直線上，那么這兩個力平衡。
4．在共點力作用下物體平衡的條件是__________。
【思考討論】　一燈泡吊在天花板下，現用另一細繩將燈泡拉到如圖位置，燈泡靜止。
問題1　此時燈泡受幾個力？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題2　試根據二力平衡條件，推導說明：若一個物體受三個力作用而處于平衡狀態，則其中一個力與另外兩個力的合力滿足怎樣的關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識歸納】　
1．共點力平衡的條件：合力等于0，即F合＝0。
正交分解表示法
其中Fx合和Fy合分別表示物體在x軸和y軸上所受的合力。
2．平衡條件的推論
(1)二力平衡：若物體在兩個力作用下處于平衡狀態，則這兩個力一定等大、反向。
(2)三力平衡：若物體在三個共點力作用下處于平衡狀態，則任意兩個力的合力與第三個力等大、反向。
(3)多力平衡：若物體在n個共點力作用下處于平衡狀態，則其中任意一個力必定與另外(n－1)個力的合力等大、反向。
【典例1】　(對平衡狀態的理解)(多選)下列運動項目中的運動員處于平衡狀態的是(　　)
A．體操運動員雙手握住單杠吊在空中不動時
B．蹦床運動員在空中上升到最高點時
C．舉重運動員在舉起杠鈴后不動的那段時間內
D．游泳運動員仰臥在水面靜止不動時
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【典例2】　(人教版P79T1改編)(對平衡條件的理解)物體在五個共點力的作用下保持平衡，如圖所示，其中F1大小為 10 N，方向水平向右，求：
(1)若撤去力F1，而保持其余四個力不變，其余四個力的合力的大小和方向；
(2)若將F1轉過90°，物體所受的合力大小。
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　解決共點力平衡問題的常用方法
【思考討論】　在科學研究中，可以用風力儀直接測量風力的大小，其原理如圖所示。儀器中一根輕質金屬絲懸掛著一個金屬球。無風時，金屬絲豎直下垂；當受到沿水平方向吹來的風時，金屬絲偏離豎直方向一個角度。風力越大，偏角越大。通過傳感器，就可以根據偏角的大小指示出風力。
問題1　有風時金屬球受哪幾個力的作用？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題2　如何計算風力大小F跟金屬球的質量m、偏角θ之間的關系(試畫出受力分析圖)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識歸納】　
1．合成法
物體在三個共點力作用下處于平衡狀態時，將其中的任意兩個力合成，其合力一定與第三個力平衡，從而把三力平衡問題轉化為二力平衡問題。
2．分解法
物體在三個共點力作用下處于平衡狀態時，將其中任意一個力沿其他兩個力的反方向分解，則每個方向上的一對力大小相等，方向相反，從而把三力平衡問題轉化為兩個方向上的二力平衡問題。
3．正交分解法
(1)物體在三個或三個以上的共點力作用下處于平衡狀態時，將物體所受的各個力均向兩個互相垂直的方向上分解，然后分別在這兩個方向上列平衡方程。
(2)平衡方程
＝F1x＋F2x＋F3x＋…＋Fnx＝0，
＝F1y＋F2y＋F3y＋…＋Fny＝0。
【典例3】　(合成法的應用)用繩子將鳥籠掛在一根橫梁上，如圖所示。若鳥籠重19.6 N，求繩子OA和OB對結點O的拉力(結果保留1位小數)。
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【典例4】　[鏈接教材P77例題1](分解法的應用)如圖所示，建筑裝修中，工人用質量為m的磨石對與豎直方向成θ角的斜壁進行打磨，當對磨石施加豎直向上大小為F的推力時，磨石恰好沿斜壁向上勻速運動。已知磨石與斜壁之間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，則磨石受到的摩擦力大小為(　　)
A．(F－mg)sin θ B．μ(F－mg)sin θ
C．μ(F－mg)cos θ D．μ(F－mg)
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【典例5】　(正交分解法的應用)如圖所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O為球心。一質量為m的滑塊，在水平力F的作用下靜止于P點，設滑塊所受支持力為FN，OP與水平方向的夾角為θ。重力加速度為g，下列關系式正確的是(　　)
A．F＝ B．F＝mg tan θ
C．FN＝ D．FN＝mg tan θ
　“四步”巧解共點力平衡問題
　“活結”與“死結”、“活桿”與“死桿”模型
1．活結：當繩繞過光滑的滑輪或掛鉤時，由于滑輪或掛鉤對繩無約束，因此繩上的張力處處相等，即滑輪只改變力的方向不改變力的大小，如圖所示。
2．死結：若結點不是滑輪，是固定點時，稱為“ 死結” ，則兩側繩上的彈力不一定相等，如圖所示。
3．活桿：若輕桿用光滑的轉軸或鉸鏈連接，當桿處于平衡時桿所受到的彈力方向一定沿著桿，否則會引起桿的轉動。如圖甲所示，若 C為轉軸，則輕桿在緩慢轉動中，彈力方向始終沿桿的方向。
4．死桿：若輕桿被固定不發生轉動，則桿所受到的彈力方向不一定沿桿的方向。如圖乙所示。
【典例6】　(“活結”與“死結”模型)(2024·浙江1月選考)如圖所示，在同一豎直平面內，小球A、B上系有不可伸長的細線a、b、c和d，其中a的上端懸掛于豎直固定的支架上，d跨過左側定滑輪、c跨過右側定滑輪分別與相同配重P、Q相連，調節左、右兩側定滑輪高度達到平衡。已知小球A、B和配重P、Q質量均為 50 g，細線c、d平行且與水平方向成θ＝30°角(不計摩擦)，重力加速度g＝10 m/s2，則細線a、b的拉力分別為(　　)
A．2 N，1 N B．2 N，0.5 N
C．1 N，1 N D．1 N，0.5 N
【典例7】　(“活桿”與“死桿”模型)如圖甲所示，細繩AD跨過固定的水平輕桿BC右端的輕質光滑定滑輪懸掛一質量為M1的物體，∠ACB＝30°；圖乙中輕桿HG一端用鉸鏈固定在豎直墻壁上，另一端G通過細繩EG拉住，EG與水平方向的夾角為30°，在輕桿的G點用細繩GF懸掛一質量為M2的物體(都處于靜止狀態)，重力加速度為g。求：
(1)細繩AC段的張力大小FTAC與細繩EG的張力大小FTEG之比；
(2)輕桿BC對C端的支持力；
(3)輕桿HG對G端的支持力。
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1．(多選)下列關于共點力的平衡與平衡條件的說法正確的是(　　)
A．如果物體的運動速度為零，則必處于平衡狀態
B．如果物體的運動速度大小不變，則必處于平衡狀態
C．如果物體處于平衡狀態，則物體沿任意方向的合力都必為零
D．如果物體受到三個共點力的作用而處于平衡狀態，則任意兩個力的合力與第三個力大小相等、方向相反
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．如圖所示，輕質網兜兜住重力為 G的足球，用輕繩掛于光滑豎直墻壁上的 A點，輕繩的拉力為FT，墻壁對足球的支持力為FN，則(　　)
A．FTC．FT>G 　　 D．FT＝G
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．如圖所示，圓心為О、半徑為R的圓環豎直放置并固定在水平面上，其左側緊貼圓環固定一根豎直桿，圓環上方有一小定滑輪P，P位于О點的正上方，OP之間的距離為2R。質量為m的小球A穿在豎直桿上，小球B穿在圓環上，一輕繩跨過定滑輪P將A、B連接，輕繩的長度為3R。當A、B處于靜止狀態時，A、P之間的輕繩與豎直方向的夾角為53°，不計一切摩擦，重力加速度大小為g，求：
(1)輕繩拉力F的大小；
(2)小球B的質量M(結果可用分式表示)。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
回歸本節知識，完成以下問題：
1．什么是物體的平衡狀態？共點力作用下物體處于平衡狀態的條件是什么？
2．解決平衡問題的常用方法有哪些？
9/95．共點力的平衡
[學習目標]
1．知道什么是共點力及共點力作用下物體平衡狀態的概念。
2．掌握共點力平衡的條件。
3．會用共點力平衡的條件，分析生活和生產中的實際問題。
[教用·問題初探]——通過讓學生回答問題來了解預習教材的情況
問題1　什么是共點力？共點力平衡的條件是什么？
問題2　處于平衡狀態的物體一定靜止嗎？
　共點力平衡的條件
【鏈接教材】　下列如教材圖中所示的受力情境，哪些圖表示共點力？共點力的作用點一定作用在同一位置嗎？
提示：甲和丁是共點力；共點力的作用點不一定作用在同一位置，但其作用線一定交于一點。
【知識梳理】　
1．共點力
幾個力如果都作用在物體的同一點，或者它們的作用線相交于一點，這幾個力叫作共點力。如圖所示。
2．平衡狀態：物體保持靜止或勻速直線運動狀態。
3．二力平衡條件：作用在同一物體上的兩個力，如果大小相等、方向相反，并且在同一條直線上，那么這兩個力平衡。
4．在共點力作用下物體平衡的條件是合力為0。
【思考討論】　一燈泡吊在天花板下，現用另一細繩將燈泡拉到如圖位置，燈泡靜止。
問題1　此時燈泡受幾個力？
提示：受重力和兩根細繩的拉力共三個力的作用。
問題2　試根據二力平衡條件，推導說明：若一個物體受三個力作用而處于平衡狀態，則其中一個力與另外兩個力的合力滿足怎樣的關系？
提示：如圖所示，燈泡受三個力的作用，將F1和F2合成，可以發現F1和F2的合力F合與重力G滿足二力平衡，所以三個力平衡，則其中一個力與另外兩個力的合力必定大小相等、方向相反。
【知識歸納】　
1．共點力平衡的條件：合力等于0，即F合＝0。
正交分解表示法
其中Fx合和Fy合分別表示物體在x軸和y軸上所受的合力。
2．平衡條件的推論
(1)二力平衡：若物體在兩個力作用下處于平衡狀態，則這兩個力一定等大、反向。
(2)三力平衡：若物體在三個共點力作用下處于平衡狀態，則任意兩個力的合力與第三個力等大、反向。
(3)多力平衡：若物體在n個共點力作用下處于平衡狀態，則其中任意一個力必定與另外(n－1)個力的合力等大、反向。
【典例1】　(對平衡狀態的理解)(多選)下列運動項目中的運動員處于平衡狀態的是(　　)
A．體操運動員雙手握住單杠吊在空中不動時
B．蹦床運動員在空中上升到最高點時
C．舉重運動員在舉起杠鈴后不動的那段時間內
D．游泳運動員仰臥在水面靜止不動時
ACD　[物體處于平衡狀態的條件是F合＝0，物體處于靜止或勻速直線運動狀態，故A、C、D正確；B項中蹦床運動員上升到最高點時，v＝0，F合≠0，不會靜止在最高點，故不是處于平衡狀態，B錯誤。]
【典例2】　(人教版P79T1改編)(對平衡條件的理解)物體在五個共點力的作用下保持平衡，如圖所示，其中F1大小為 10 N，方向水平向右，求：
(1)若撤去力F1，而保持其余四個力不變，其余四個力的合力的大小和方向；
(2)若將F1轉過90°，物體所受的合力大小。
[解析]　(1)五個共點力平衡時合力為零，則其余四個力的合力與F1等大、反向，故其余四個力的合力大小為10 N，方向水平向左。
(2)若將F1轉過90°得到F1′，則F1′與其余四個力的合力F垂直，F合＝＝ N＝10 N。
[答案]　(1)10 N　方向水平向左　(2)10 N
　解決共點力平衡問題的常用方法
【思考討論】　在科學研究中，可以用風力儀直接測量風力的大小，其原理如圖所示。儀器中一根輕質金屬絲懸掛著一個金屬球。無風時，金屬絲豎直下垂；當受到沿水平方向吹來的風時，金屬絲偏離豎直方向一個角度。風力越大，偏角越大。通過傳感器，就可以根據偏角的大小指示出風力。
問題1　有風時金屬球受哪幾個力的作用？
提示：有風時，金屬球受到三個力的作用：重力、水平方向的風力和金屬絲的拉力。
問題2　如何計算風力大小F跟金屬球的質量m、偏角θ之間的關系(試畫出受力分析圖)
提示：可以用合成法、分解法、正交分解法(如圖所示)。
【知識歸納】　
1．合成法
物體在三個共點力作用下處于平衡狀態時，將其中的任意兩個力合成，其合力一定與第三個力平衡，從而把三力平衡問題轉化為二力平衡問題。
2．分解法
物體在三個共點力作用下處于平衡狀態時，將其中任意一個力沿其他兩個力的反方向分解，則每個方向上的一對力大小相等，方向相反，從而把三力平衡問題轉化為兩個方向上的二力平衡問題。
3．正交分解法
(1)物體在三個或三個以上的共點力作用下處于平衡狀態時，將物體所受的各個力均向兩個互相垂直的方向上分解，然后分別在這兩個方向上列平衡方程。
(2)平衡方程
＝F1x＋F2x＋F3x＋…＋Fnx＝0，
＝F1y＋F2y＋F3y＋…＋Fny＝0。
【典例3】　(合成法的應用)用繩子將鳥籠掛在一根橫梁上，如圖所示。若鳥籠重19.6 N，求繩子OA和OB對結點O的拉力(結果保留1位小數)。
[解析]　以結點O為研究對象，根據共點力平衡的條件，受力分析如圖所示。
F＝T，且T＝G
由三角函數關系得
F1＝F cos 30°＝19.6× N≈17.0 N
F2＝F sin 30°＝19.6×0.5 N＝9.8 N
所以，繩子OA對結點O的拉力大小是17.0 N，方向沿繩由O指向A；OB對結點O的拉力大小是 9.8 N，方向沿繩由O指向B。
[答案]　見解析
【典例4】　[鏈接教材P77例題1](分解法的應用)如圖所示，建筑裝修中，工人用質量為m的磨石對與豎直方向成θ角的斜壁進行打磨，當對磨石施加豎直向上大小為F的推力時，磨石恰好沿斜壁向上勻速運動。已知磨石與斜壁之間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，則磨石受到的摩擦力大小為(　　)
A．(F－mg)sin θ B．μ(F－mg)sin θ
C．μ(F－mg)cos θ D．μ(F－mg)
B　[對磨石進行受力分析，如圖所示，由平衡條件，沿斜壁方向有 (F－mg)·cos θ＝Ff；垂直于斜壁方向有FN＝(F－mg)·sin θ，故摩擦力Ff＝μFN＝μ(F－mg)sin θ，選項B正確，A、C、D錯誤。
]
【教材原題P77例題1】　某幼兒園要在空地上做一個滑梯(圖甲)，根據空地的大小，滑梯的水平跨度確定為6 m。設計時，滑板和兒童褲料之間的動摩擦因數取0.4，為使兒童在滑梯游戲時能在滑板上滑下，滑梯至少要多高？
分析　將滑梯抽象為一個斜面的模型(圖乙)，以正在勻速滑下的小孩為研究對象。
小孩受到三個力的作用：重力G、斜面的支持力FN和滑動摩擦力Ff。
當這三個力的合力為0時，小孩能在滑板上獲得一定速度后勻速滑下，則斜面的高度即為所要求的滑梯的高度。
解　在圖乙中，沿平行和垂直于斜面的兩個方向建立直角坐標系。把重力G沿兩個坐標軸的方向分解為Gx和Gy，這樣的分解稱為正交分解。
設斜面傾角為θ，由于Gy垂直于AB、G垂直于AC，故Gy和G的夾角也等于θ。用l、b和h分別表示AB、AC和BC的長度。
根據共點力平衡的條件和直角三角形中三角函數關系可知：
在x軸方向上Gx－Ff＝0
Ff＝Gx＝G sin θ＝G (1)
在y軸方向上Gy－FN＝0
FN＝Gy＝G cos θ＝G (2)
由于Ff＝μFN (3)
把(1)(2)式代入(3)式有G＝μG
可求得h＝μb＝0.4×6 m＝2.4 m
滑梯至少要2.4 m高，兒童才能從滑梯上滑下。
【典例5】　(正交分解法的應用)如圖所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O為球心。一質量為m的滑塊，在水平力F的作用下靜止于P點，設滑塊所受支持力為FN，OP與水平方向的夾角為θ。重力加速度為g，下列關系式正確的是(　　)
A．F＝ B．F＝mg tan θ
C．FN＝ D．FN＝mg tan θ
A　[對滑塊進行受力分析，如圖所示，將FN沿水平方向和豎直方向進行正交分解，根據平衡條件列方程，水平方向有FNcos θ＝F，豎直方向有FNsin θ＝mg，聯立解得FN＝，F＝，故A正確，B、C、D錯誤。
]
　“四步”巧解共點力平衡問題
　“活結”與“死結”、“活桿”與“死桿”模型
1．活結：當繩繞過光滑的滑輪或掛鉤時，由于滑輪或掛鉤對繩無約束，因此繩上的張力處處相等，即滑輪只改變力的方向不改變力的大小，如圖所示。
2．死結：若結點不是滑輪，是固定點時，稱為“ 死結” ，則兩側繩上的彈力不一定相等，如圖所示。
3．活桿：若輕桿用光滑的轉軸或鉸鏈連接，當桿處于平衡時桿所受到的彈力方向一定沿著桿，否則會引起桿的轉動。如圖甲所示，若 C為轉軸，則輕桿在緩慢轉動中，彈力方向始終沿桿的方向。
4．死桿：若輕桿被固定不發生轉動，則桿所受到的彈力方向不一定沿桿的方向。如圖乙所示。
【典例6】　(“活結”與“死結”模型)(2024·浙江1月選考)如圖所示，在同一豎直平面內，小球A、B上系有不可伸長的細線a、b、c和d，其中a的上端懸掛于豎直固定的支架上，d跨過左側定滑輪、c跨過右側定滑輪分別與相同配重P、Q相連，調節左、右兩側定滑輪高度達到平衡。已知小球A、B和配重P、Q質量均為 50 g，細線c、d平行且與水平方向成θ＝30°角(不計摩擦)，重力加速度g＝10 m/s2，則細線a、b的拉力分別為(　　)
A．2 N，1 N B．2 N，0.5 N
C．1 N，1 N D．1 N，0.5 N
D　[由題意可知細線c對A的拉力和細線d對B的拉力大小相等、方向相反，對A、B整體分析可知細線a的拉力大小為Ta＝(mA＋mB)g＝1 N，設細線b與水平方向夾角為α，分別對A、B分析有 Tb sin α＋Tc sin θ＝mAg，Tb cos α＝Td cos θ，解得Tb＝0.5 N，故選D。]
【典例7】　(“活桿”與“死桿”模型)如圖甲所示，細繩AD跨過固定的水平輕桿BC右端的輕質光滑定滑輪懸掛一質量為M1的物體，∠ACB＝30°；圖乙中輕桿HG一端用鉸鏈固定在豎直墻壁上，另一端G通過細繩EG拉住，EG與水平方向的夾角為30°，在輕桿的G點用細繩GF懸掛一質量為M2的物體(都處于靜止狀態)，重力加速度為g。求：
(1)細繩AC段的張力大小FTAC與細繩EG的張力大小FTEG之比；
(2)輕桿BC對C端的支持力；
(3)輕桿HG對G端的支持力。
[解析]　分別取C點和G點為研究對象，進行受力分析如圖1和圖2所示。
(1)圖1中細繩AD跨過輕質光滑定滑輪懸掛質量為M1的物體，物體處于平衡狀態，則FTAC＝FTCD＝M1g
圖2中有FTEGsin 30°＝M2g，得FTEG＝2M2g
所以＝。
(2)圖1中，由幾何關系知FTAC、FNC、FTCD三個力之間的夾角都為120°，則FNC＝FTAC＝M1g，FNC的方向與水平方向成30°，指向右上方。
(3)圖2中，有FTEGsin 30°＝M2g，FTEGcos 30°＝FNG，所以FNG＝＝M2g，方向水平向右。
[答案]　(1)　(2)M1g，方向與水平方向成30°指向右上方　(3)M2g，方向水平向右
【教用·備選例題】　(多選)如圖所示，重物A被繞過小滑輪P的細線所懸掛，B物體放在粗糙的水平桌面上；小滑輪P被一根斜拉短線系于天花板上的O點；O′是三根線的結點，bO′水平拉著B物體，cO′沿豎直方向拉著彈簧；彈簧、細線、小滑輪的重力和細線與滑輪間的摩擦力均可忽略，整個裝置處于平衡靜止狀態，g取10 m/s2。若懸掛小滑輪的斜線OP的張力大小是20 N，則下列說法正確的是(　　)
A．彈簧的彈力大小為10 N
B．重物A的質量為2 kg
C．桌面對B物體的摩擦力大小為10 N
D．OP與豎直方向的夾角為60°
AB　[O′點是三根線的結點，屬于“死結”，而小滑輪重力不計且與細線間的摩擦力可忽略，故P處為“活結”。由mAg＝FO′a，FOP＝2FO′acos 30°，可解得FO′a＝20 N，mA＝2 kg，選項B正確；OP的方向沿角平分線方向，故OP與豎直方向的夾角為30°，選項D錯誤；對O′受力分析，由平衡條件可得F彈＝FO′asin 30°，FO′b＝FO′acos 30°，對物體B有FfB＝FO′b，聯立解得F彈＝10 N，FfB＝10 N，選項A正確，C錯誤。]
1．(多選)下列關于共點力的平衡與平衡條件的說法正確的是(　　)
A．如果物體的運動速度為零，則必處于平衡狀態
B．如果物體的運動速度大小不變，則必處于平衡狀態
C．如果物體處于平衡狀態，則物體沿任意方向的合力都必為零
D．如果物體受到三個共點力的作用而處于平衡狀態，則任意兩個力的合力與第三個力大小相等、方向相反
CD　[物體運動速度為零時不一定處于平衡狀態，A錯誤；物體運動速度大小不變、方向變化時，物體不做勻速直線運動，不處于平衡狀態，B錯誤；物體處于平衡狀態時，合力為零，物體沿任意方向的合力都必為零，C正確；物體受到三個共點力作用而處于平衡狀態時，合力為零，則任意兩個力的合力與第三個力等大反向，D正確。]
2．如圖所示，輕質網兜兜住重力為 G的足球，用輕繩掛于光滑豎直墻壁上的 A點，輕繩的拉力為FT，墻壁對足球的支持力為FN，則(　　)
A．FTC．FT>G 　　 D．FT＝G
C　[對網兜和足球受力分析，設輕繩與豎直墻面夾角為 θ，由平衡條件得FT＝＝，FN＝G tan θ，可知FT>G，FT>FN，故選項C正確。 ]
3．如圖所示，圓心為О、半徑為R的圓環豎直放置并固定在水平面上，其左側緊貼圓環固定一根豎直桿，圓環上方有一小定滑輪P，P位于О點的正上方，OP之間的距離為2R。質量為m的小球A穿在豎直桿上，小球B穿在圓環上，一輕繩跨過定滑輪P將A、B連接，輕繩的長度為3R。當A、B處于靜止狀態時，A、P之間的輕繩與豎直方向的夾角為53°，不計一切摩擦，重力加速度大小為g，求：
(1)輕繩拉力F的大小；
(2)小球B的質量M(結果可用分式表示)。
[解析]　(1)對A進行受力分析，A受到重力、豎直桿施加的彈力和輕繩的拉力，由平衡條件有
F cos 53°＝mg
可得F＝mg。
(2)由幾何關系，可得LAP＝＝R，LPB＝3R－LAP＝R
對B進行受力分析，B受重力、支持力和拉力作用，由相似三角形有
＝
可得M＝m。
[答案]　(1)mg　(2)m
回歸本節知識，完成以下問題：
1．什么是物體的平衡狀態？共點力作用下物體處于平衡狀態的條件是什么？
提示：物體保持靜止或勻速直線運動狀態；物體所受合力為0，即F合＝0。
2．解決平衡問題的常用方法有哪些？
提示：合成法、分解法、正交分解法、矢量三角形法。
課時分層作業(十三)
?題組一　共點力平衡的條件
1．一個物體受到三個共點力的作用，如果三個力的大小為如下各組情況，那么有可能使物體處于平衡狀態的是(　　)
A．1 N　4 N　7 N B．2 N　6 N　9 N
C．2 N　5 N　8 N D．6 N　8 N　6 N
D　[因為兩個力的合力大小范圍是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，若F3在此范圍內，就可能與F平衡，故D正確。]
2．如圖所示，水平面上一物體在與水平面成θ角斜向右上方的拉力F作用下處于靜止狀態。以Ff、FN分別表示物體受到的水平面對其的摩擦力、支持力，G表示物體受到的重力，則下列判斷正確的是(　　)
A．F和G的合力的方向可能水平向右
B．F和Ff的合力方向豎直向上
C．FN可能為零
D．F和Ff的合力可能大于G
B　[由水平方向受力平衡可知，物體一定受到水平向左的靜摩擦力Ff的作用，故FN一定不為零，選項C錯誤；物體受四個力的作用處于平衡狀態，則F和G的合力的方向與FN、Ff的合力方向相反，一定是斜向右下方，選項A錯誤；由于FN、G的合力方向豎直向下，故F和Ff的合力與FN、G的合力方向相反，一定豎直向上，且一定小于G，選項B正確，D錯誤。]
?題組二　解決共點力平衡問題的常用方法
3．在杭州亞運會攀巖項目男子團體速度接力決賽中，中國隊獲得冠軍。一質量為80 kg(包含裝備)的攀巖愛好者，在攀巖過程中的某一時刻處于平衡狀態，如圖所示，此時攀巖愛好者腿部與豎直巖壁的夾角為37°，手臂與豎直方向的夾角θ＝53°。忽略兩腿及兩臂間的夾角，重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，sin 37°＝0.6，則巖壁對手臂的力F1、巖壁對腳的力F2大小分別為(　　)
A．F1＝480 N，F2＝640 N
B．F1＝640 N，F2＝480 N
C．F1＝400 N，F2＝520 N
D．F1＝520 N，F2＝400 N
A　[以攀巖愛好者和裝備整體為研究對象，受重力Mg、巖壁對手臂的力F1和巖壁對腳的力F2，如圖所示，根據平衡條件得F1＝Mg cos 53°＝480 N，F2＝Mg cos 37°＝640 N，故選A。
]
4．用卡車運輸質量為m的勻質圓筒狀工件，為使工件保持固定，將其置于兩光滑斜面之間，如圖所示。兩斜面Ⅰ、Ⅱ固定在車上，傾角分別為30°和60°。重力加速度為g。當卡車沿平直公路勻速行駛時，圓筒對斜面Ⅰ、Ⅱ壓力的大小分別為F1、F2，則(　　)
A．F1＝mg，F2＝mg
B．F1＝mg，F2＝mg
C．F1＝mg，F2＝mg
D．F1＝mg，F2＝mg
D　[將圓筒的重力垂直于斜面Ⅰ、Ⅱ進行分解，如圖所示，由幾何關系可知，F1＝＝mg cos 30°＝mg，F2＝F′2＝mg cos 60°＝mg，D正確。
]
5．(多選)如圖所示，質量為m的物體受到推力F作用，沿水平方向做勻速直線運動。已知推力F與水平面的夾角為θ，物體與地面間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，則物體所受的摩擦力大小為(　　)
A．F sin θ B．F cos θ
C．μF D．μ(mg＋F sin θ)
BD　[物體做勻速直線運動，處于平衡狀態，物體受力如圖所示，由平衡條件可知，在水平方向上有Ff＝F cos θ，故A錯誤，B正確；在豎直方向上有FN＝mg＋F sin θ，則Ff＝μFN＝μ(mg＋F sin θ)，故C錯誤，D正確。
]
?題組三　“活結”與“死結”、“活桿”與“死桿”模型
6．如圖所示，輕繩MN的兩端固定在水平天花板上，質量為m1＝2 kg的物體系在輕繩MN的某處，懸掛有質量為m2的物體的光滑輕滑輪跨在輕繩MN上。系統靜止時的幾何關系如圖。則m2為(　　)
A．1 kg B．1.5 kg
C．2 kg D．3 kg
C　[設系在M點的繩彈力大小為F1，系在N點的繩彈力大小為F2，對m1，由平衡條件得F1sin 60°＝F2sin 30°＋m1g，F1cos 60°＝F2sin 60°，則F1＝m1g，F2＝m1g，對整體有F1sin 60°＋F2sin 30°＝(m1＋m2)g，解得m2＝2 kg，C正確。]
7．如圖所示，在水平天花板的A點處固定一根輕桿a，桿與天花板保持垂直。桿的下端有一個輕滑輪O。一根細線上端固定在該天花板的B點處，細線跨過滑輪O，下端系一個重力為G的物體，BO段細線與天花板的夾角為θ＝30°。系統保持靜止，不計一切摩擦。下列說法正確的是(　　)
A．細線BO對天花板的拉力大小是3G
B．a桿對滑輪的作用力大小是1.8G
C．a桿和細線對滑輪的作用力的合力大小是2G
D．a桿對滑輪的作用力大小是G
D　[細線上的拉力處處相等，因此細線BO對天花板的拉力大小是G，故A錯誤；兩段細線上拉力大小均為G，合力為2G cos 60°＝G，大小等于a桿對滑輪的作用力大小，故B錯誤，D正確；a桿和細線對滑輪的作用力的合力大小是0，故C錯誤。]
8．如圖所示為三種形式的吊車的示意圖，OA為桿，均可繞O點轉動，重力不計，AB為纜繩，當它們吊起相同重物時，桿OA受力分別為F1、F2、F3，則它們的大小關系是(　　)
A．F1>F2>F3 B．F1>F3＝F2
C．F1＝F2>F3 D．F1＝F2＝F3
C　[分別對三種形式的結點進行受力分析，各圖中FT＝G，在圖(a)中，F1＝2G cos 30°＝G，在圖(b)中，F2＝G tan 60°＝G，在圖(c)中，F3＝G cos 30°＝G，可知F1＝F2>F3，故C正確，A、B、D錯誤。
]
9．(2024·河北卷)如圖所示，彈簧測力計下端掛有一質量為0.20 kg的光滑均勻球體，球體靜止于帶有固定擋板的斜面上，斜面傾角為30 °，擋板與斜面夾角為60 °。若彈簧測力計位于豎直方向，讀數為1.0 N，g取10 m/s2，擋板對球體支持力的大小為(　　)
A． N B．1.0 N
C． N D．2.0 N
A　[對球體進行受力分析，球體受重力mg、彈簧測力計的拉力T、擋板對其的支持力N1、斜面對其的支持力N2，如圖所示。
則有N1cos 60°＝N2cos 60°，N1sin 60°＋N2sin 60°＋T＝mg，可得N1＝N2＝ N，A正確。]
10．某壓榨機的結構示意圖如圖所示，其中B為固定鉸鏈，若在A鉸鏈處作用一垂直于墻壁的力F，則由于力F的作用，滑塊C壓緊物體D。設C與D光滑接觸，桿的重力及滑塊C的重力不計。圖中a＝0.6 m，b＝0.1 m，則物體D所受壓力的大小與力F的比值為(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
A　[設力F與AC方向間的夾角為θ，將力F按作用效果沿AB和AC兩個方向進行分解，作出力的分解圖如圖甲所示，則有2F2cos θ＝F，解得F2＝，再將F2按作用效果分解成N和N′，作出力的分解圖如圖乙所示，則有N＝F2sin θ，聯立得N＝，根據幾何知識可知tan θ＝＝6，則N＝3F，故A正確，B、C、D錯誤。
]
11．如圖所示，物體的質量m＝4.4 kg，用與豎直方向成θ＝37°的斜向右上方的推力把該物體壓在豎直墻壁上，并使它沿墻壁在豎直方向上做勻速直線運動。物體與墻壁間的動摩擦因數μ＝0.5，重力加速度g＝10 N/kg，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)求推力F的大小；
(2)若將推力的方向改為豎直向上推動物體，且物體仍做勻速直線運動，則推力F′為多大。
[解析]　(1)若物體向上做勻速直線運動，受力分析如圖甲所示
則有F cos θ＝mg＋Ff
F sin θ＝FN
Ff＝μFN
故推力F＝＝ N＝88 N
若物體向下做勻速直線運動，受力分析如圖乙所示，則有
F cos θ＋F′f＝mg
F sin θ＝FN′
F′f＝μF′N
故推力F＝＝ N＝40 N。
(2)若將推力的方向改為豎直向上推動物體做勻速直線運動，物體只受重力和推力，根據平衡條件可得F′＝mg＝44 N。
[答案]　(1)88 N或40 N　(2)44 N
12．如圖所示，水平輕繩AC一端固定在墻上，另一端連接小球A；另一根輕繩跨過光滑定滑輪后分別連接小球A和水平地面上的物體B。已知物體B的質量mB＝3 kg，小球A的質量mA＝ kg。跨過定滑輪的輕繩兩側與豎直方向夾角均為30°，小球A和物體B均處于靜止狀態，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)輕繩AC的張力大小；
(2)物體B所受地面的摩擦力大小和支持力大小。
[解析]　(1)對小球A進行受力分析可知，小球A受重力、輕繩AC的拉力和輕繩OA的拉力，根據平衡條件得FAC＝mAg tan 30°，FOA＝
解得FAC＝10 N，FOA＝20 N。
(2)輕繩OA和OB為定滑輪兩邊的繩，拉力大小相等，即FOA＝FOB
物體B受重力、輕繩OB的拉力、地面的摩擦力f和支持力N，則有f＝FOBsin 30°
FOBcos 30°＋N＝mBg
解得f＝10 N，N＝(30－10)N。
[答案]　(1)10 N　(2)10 N　(30－10)N
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