資源簡介

素養提升課(一)　勻變速直線運動　平均速度公式及圖像問題
[學習目標]
1．掌握勻變速直線運動的平均速度公式，并會進行有關計算。
2．掌握勻變速直線運動的x-t圖像和v-t圖像中坐標、斜率、截距、交點的含義。
3．能根據圖像分析物體的運動規律。
探究1　勻變速直線運動的平均速度公式
1．三個平均速度公式及適用條件
(1)＝，適用于所有運動。
(2)＝，適用于勻變速直線運動。
(3)＝，即一段時間內的平均速度等于這段時間中間時刻的瞬時速度，適用于勻變速直線運動。
2．公式＝＝的推導
設物體做勻變速直線運動的初速度為v0，加速度為a，t時刻的速度為v
由x＝v0t＋at2得
平均速度＝＝v0＋at　①
由v＝v0＋at知，當t′＝時有＝v0＋a·　②
由①②得＝
又v＝＋a·　③
由②③解得＝
綜上所述有＝＝。
【典例1】　一物體做勻變速直線運動，在連續相等的兩個時間間隔內，通過的位移分別是24 m和64 m，每一個時間間隔為4 s，求物體的初速度、末速度及加速度。
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[針對訓練]
1．一輛汽車從車站由靜止開始做勻加速直線運動，一段時間之后，司機發現一乘客未上車，便立即剎車做勻減速直線運動。已知汽車從啟動到停止一共經歷了10 s，在此過程中，汽車的最大速度為5 m/s，則這段時間內汽車前進的位移為(　　)
A．20 m B．25 m
C．30 m D．40 m
2．一物體做勻減速直線運動，相繼經過兩段距離為 24 m 的路程，第一段用時2 s，第二段用時4 s，則物體的加速度大小是(　　)
A．1 m/s2 B．2 m/s2
C．6 m/s2 D．12 m/s2
探究2　x-t圖像與v-t圖像
1．x-t圖像與v-t圖像的比較
比較內容 x-t圖像 v-t圖像
圖像
物理意義 反映的是位移隨時間的變化規律 反映的是速度隨時間的變化規律
① 表示物體從位移為正處開始一直做反向勻速直線運動并過零位移處 表示物體先做正向勻減速直線運動，再做負向勻加速直線運動
② 表示物體靜止不動 表示物體做正向勻速直線運動
③ 表示物體從位移為零處開始做正向勻速運動 表示物體從靜止開始做正向勻加速直線運動
④ 表示物體做加速直線運動 表示物體做加速度逐漸增大的加速運動
圖像與時 間軸圍成 的“面積”的意義 無實際意義 表示相應時間內的位移
2．圖像問題的三點注意
(1)x-t圖像：圖像上某點切線的斜率表示該時刻物體的速度，圖像上一個點對應物體某一時刻的位置。
(2)v-t圖像：圖像上某點切線的斜率表示該時刻物體的加速度，圖像上一個點對應物體某一時刻的速度。
(3)形狀一樣的圖線，在不同圖像中所表示的物理意義不同，因此在應用時要特別注意看清楚圖像的縱、橫軸所描述的是什么物理量。
【典例2】　如圖所示的x-t圖像和v-t圖像中，給出四條曲線1、2、3、4代表四個不同物體的運動情況，關于它們的物理意義，下列描述正確的是(　　)
A．圖線1表示物體做曲線運動
B．x-t圖像中t1時刻v1＞v2
C．v-t圖像中0至t3時間內3和4的平均速度大小相等
D．兩圖像中，t2、t4時刻2、4開始反向運動
[針對訓練]
3．(多選)蹦極是一項非常刺激的戶外休閑活動。如圖甲所示，為了研究游客下落速度與下落時間的關系，在游客身上安裝傳感器，讓其從靜止開始豎直下落，得到如圖乙所示的v-t圖像，圖中0～t1時間內圖線為直線，t1～t3時間內圖線為曲線。以下說法正確的是(　　)
A．0～t1時間內，游客的位移大小為v1t1
B．t1～t2時間內，游客的平均速度大于
C．t2時刻，游客的加速度等于零
D．t2～t3時間內，游客做加速度減小的減速運動
4．(多選)甲、乙兩質點均做直線運動，其中甲的位移—時間圖像如圖(a)所示，乙的速度—時間圖像如圖(b)所示，根據圖像可判斷(　　)
A．0～2 s內，甲質點做加速直線運動，乙質點做勻速直線運動
B．2～3 s內，甲質點靜止不動，乙質點做勻速直線運動
C．3～5 s內，甲質點和乙質點均做減速直線運動
D．0～5 s內，甲質點的位移為－10 m，乙質點的位移為100 m
4/4素養提升課(一)　勻變速直線運動　平均速度公式及圖像問題
[學習目標]
1．掌握勻變速直線運動的平均速度公式，并會進行有關計算。
2．掌握勻變速直線運動的x-t圖像和v-t圖像中坐標、斜率、截距、交點的含義。
3．能根據圖像分析物體的運動規律。
探究1　勻變速直線運動的平均速度公式
1．三個平均速度公式及適用條件
(1)＝，適用于所有運動。
(2)＝，適用于勻變速直線運動。
(3)＝，即一段時間內的平均速度等于這段時間中間時刻的瞬時速度，適用于勻變速直線運動。
2．公式＝＝的推導
設物體做勻變速直線運動的初速度為v0，加速度為a，t時刻的速度為v
由x＝v0t＋at2得
平均速度＝＝v0＋at　①
由v＝v0＋at知，當t′＝時有＝v0＋a·　②
由①②得＝
又v＝＋a·　③
由②③解得＝
綜上所述有＝＝。
【典例1】　一物體做勻變速直線運動，在連續相等的兩個時間間隔內，通過的位移分別是24 m和64 m，每一個時間間隔為4 s，求物體的初速度、末速度及加速度。
[解析]　如圖所示，連續兩段相等時間T內的平均速度分別為
＝＝ m/s＝6 m/s
＝＝ m/s＝16 m/s
且＝＝
由于B是A、C的中間時刻，則vB＝＝＝ m/s＝11 m/s
解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s
加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2。
[答案]　1 m/s　21 m/s　2.5 m/s2
[針對訓練]
1．一輛汽車從車站由靜止開始做勻加速直線運動，一段時間之后，司機發現一乘客未上車，便立即剎車做勻減速直線運動。已知汽車從啟動到停止一共經歷了10 s，在此過程中，汽車的最大速度為5 m/s，則這段時間內汽車前進的位移為(　　)
A．20 m B．25 m
C．30 m D．40 m
B　[設汽車的最大速度為vm，加速時間為t1，減速時間為t2，加速階段的平均速度＝＝，減速階段的平均速度＝＝，x＝t1＋t2＝(t1＋t2)＝vmt，解得x＝25 m，故選B。]
2．一物體做勻減速直線運動，相繼經過兩段距離為 24 m 的路程，第一段用時2 s，第二段用時4 s，則物體的加速度大小是(　　)
A．1 m/s2 B．2 m/s2
C．6 m/s2 D．12 m/s2
B　[第一段平均速度為v1＝＝ m/s＝12 m/s，第二段平均速度為v2＝＝ m/s＝6 m/s，根據某段時間內的平均速度等于中間時刻的瞬時速度知，兩個中間時刻的時間間隔為Δt＝1 s＋2 s＝3 s，加速度為a＝＝ m/s2＝－2 m/s2，故選B。]
探究2　x-t圖像與v-t圖像
1．x-t圖像與v-t圖像的比較
比較內容 x-t圖像 v-t圖像
圖像
物理意義 反映的是位移隨時間的變化規律 反映的是速度隨時間的變化規律
① 表示物體從位移為正處開始一直做反向勻速直線運動并過零位移處 表示物體先做正向勻減速直線運動，再做負向勻加速直線運動
② 表示物體靜止不動 表示物體做正向勻速直線運動
③ 表示物體從位移為零處開始做正向勻速運動 表示物體從靜止開始做正向勻加速直線運動
④ 表示物體做加速直線運動 表示物體做加速度逐漸增大的加速運動
圖像與時 間軸圍成 的“面積”的意義 無實際意義 表示相應時間內的位移
2．圖像問題的三點注意
(1)x-t圖像：圖像上某點切線的斜率表示該時刻物體的速度，圖像上一個點對應物體某一時刻的位置。
(2)v-t圖像：圖像上某點切線的斜率表示該時刻物體的加速度，圖像上一個點對應物體某一時刻的速度。
(3)形狀一樣的圖線，在不同圖像中所表示的物理意義不同，因此在應用時要特別注意看清楚圖像的縱、橫軸所描述的是什么物理量。
【典例2】　如圖所示的x-t圖像和v-t圖像中，給出四條曲線1、2、3、4代表四個不同物體的運動情況，關于它們的物理意義，下列描述正確的是(　　)
A．圖線1表示物體做曲線運動
B．x-t圖像中t1時刻v1＞v2
C．v-t圖像中0至t3時間內3和4的平均速度大小相等
D．兩圖像中，t2、t4時刻2、4開始反向運動
B　[圖線1表示的是變速直線運動，選項A錯誤；x-t圖像中t1時刻物體1的速度v1大于物體2的速度v2，選項B正確；在v-t圖像中圖線與時間軸圍成圖形的面積表示位移，0至t3時間內，x4＞x3，則＞，選項C錯誤；x-t圖像中t2時刻物體2開始反向運動，v-t圖像中t4時刻物體4開始減速，但運動方向不變，選項D錯誤。]
[針對訓練]
3．(多選)蹦極是一項非常刺激的戶外休閑活動。如圖甲所示，為了研究游客下落速度與下落時間的關系，在游客身上安裝傳感器，讓其從靜止開始豎直下落，得到如圖乙所示的v-t圖像，圖中0～t1時間內圖線為直線，t1～t3時間內圖線為曲線。以下說法正確的是(　　)
A．0～t1時間內，游客的位移大小為v1t1
B．t1～t2時間內，游客的平均速度大于
C．t2時刻，游客的加速度等于零
D．t2～t3時間內，游客做加速度減小的減速運動
BC　[根據v-t圖線與橫軸圍成的面積表示位移，可知0～t1時間內，游客的位移大小為x1＝v1t1，故A錯誤；t1～t2時間內，游客做加速度減小的加速運動，若游客做勻變速直線運動，則游客的平均速度為
，故B正確；根據v-t圖線的斜率表示加速度，可知t2時刻，游客的加速度等于零，故C正確；t2～t3時間內，v-t 圖線的斜率為負，絕對值增大，故游客做加速度增大的減速運動，故D錯誤。]
4．(多選)甲、乙兩質點均做直線運動，其中甲的位移—時間圖像如圖(a)所示，乙的速度—時間圖像如圖(b)所示，根據圖像可判斷(　　)
A．0～2 s內，甲質點做加速直線運動，乙質點做勻速直線運動
B．2～3 s內，甲質點靜止不動，乙質點做勻速直線運動
C．3～5 s內，甲質點和乙質點均做減速直線運動
D．0～5 s內，甲質點的位移為－10 m，乙質點的位移為100 m
BD　[x-t圖像的斜率表示速度，v-t圖像的斜率表示加速度，則0～2 s內甲質點的速度不變，做勻速直線運動，乙質點的加速度方向與初速度方向相同，做加速直線運動，A錯誤；2～3 s內，甲質點靜止不動，乙質點做勻速直線運動，B正確；3～5 s內，甲質點的速度不變，做勻速直線運動，乙質點的速度減小，做減速直線運動，C錯誤；0～5 s內，甲質點的位移為x甲＝(0－10) m＝－10 m，乙質點的位移等于v-t圖像與t軸所圍成的面積，為100 m，D正確。]
素養提升練(一)
1．某戰機起飛前由靜止開始做勻加速直線運動，達到起飛速度v所需的時間為t，則起飛前的運動距離為(　　)
A．vt B．
C．2vt D．不能確定
B　[因為戰機在起飛前由靜止開始做勻加速直線運動，則x＝ t＝t＝t，B正確。]
2．一輛汽車做勻加速直線運動，初速度為2 m/s，經過4 s速度為10 m/s，在這段時間內，下列說法正確的是(　　)
A．汽車的加速度為4 m/s2
B．汽車的加速度為3 m/s2
C．汽車的位移為24 m
D．汽車的平均速度為3 m/s
C　[汽車的加速度a＝＝2 m/s2，故A、B錯誤；平均速度t＝24 m，故C正確。]
3．一物體先做初速度為零的勻加速直線運動，加速度a1＝2 m/s2，加速一段時間t1，然后接著做勻減速直線運動，直到速度減為零，已知整個運動過程所用的時間t＝20 s，總位移為300 m，則物體運動的最大速度為(　　)
A．15 m/s B．30 m/s
C．7.5 m/s D．無法求解
B　[設最大速度為vm，勻加速直線運動過程＝(0＋vm)＝vm，勻減速直線運動過程＝＝＝ m/s，解得vm＝30 m/s，故選B。]
4．(多選)一個物體自t＝0時開始做直線運動，其速度—時間圖像如圖所示。下列說法正確的是(　　)
A．第5 s內的加速度方向與第6 s內的加速度方向相反
B．在第5 s末，物體離出發點最遠
C．在0～4 s內，物體的平均速度為7.5 m/s
D．在0～6 s內，物體的平均速率為7.5 m/s
BC　[v-t圖像的斜率表示加速度，可知第5 s內的加速度方向與第6 s內的加速度方向相同，選項A錯誤；在0～5 s內物體的速度一直為正值，可知在第5 s末，物體離出發點最遠，選項B正確；在0～4 s 內，物體的位移x4＝×10 m＝30 m，平均速度為＝＝ m/s＝7.5 m/s，選項C正確；在0～6 s內，物體的路程x6＝×10 m＋×1×10 m＝40 m，平均速率為＝＝ m/s≈6.67 m/s，選項D錯誤。]
5．(多選)如圖為一質點做直線運動的速度—時間圖像，如圖中實線所示，其初速度為v0，末速度為v，則它在t0時間內的平均速度和加速度應是(　　)
A．平均速度小于 B．平均速度大于
C．加速度逐漸減小 D．加速度逐漸增大
AD　[如圖所示，若質點運動的v-t 圖線為②，則
＜，故A正確，B錯誤；由a＝知，某一時刻圖線上對應點的切線的斜率可表示該時刻的加速度的大小，由題圖可看出圖線的斜率在不斷變大，也就表示加速度在不斷變大，故C錯誤，D正確。
]
6．一物體做直線運動，其加速度隨時間變化的a-t圖像如圖所示，下列v-t圖像中，可能正確描述此物體運動的是(　　)
A　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
D　[0～時間內物體向正方向加速運動，時刻的速度為；～T時間內物體向正方向以速度做勻速運動；T～時間內加速度大小不變，方向相反，則向正方向減速運動，時刻的速度減為零；～2T時間內向負方向做加速運動，2T時刻的速度為－。故選D。]
7．(多選)若AB＝3 m、BC＝12 m，如圖所示。已知質點在A、B間的速度增加量為Δv＝2 m/s，在B、C間的速度增加量為Δv′ ＝4 m/s，則下列說法正確的是(　　)
A．質點在A、B間的平均速度大小為3 m/s
B．質點從B點運動到C點的時間為3 s
C．質點經過A點時的速度大小為3 m/s
D．質點的加速度大小為2 m/s2
AD　[設質點經過A時速度為v，又由于質點在AB段速度增加量為Δv＝2 m/s，故通過B時速度為v＋2 m/s，同理通過C時速度為v＋6 m/s，根據勻變速直線運動的速度與位移的關系，有(v＋2 m/s)2－v2＝2a·AB，(v＋6 m/s)2－(v＋2 m/s)2＝2a·BC，聯立解得v＝2 m/s，a＝2 m/s2，故C錯誤，D正確；質點在AB段的平均速度大小
′＝ m/s＝6 m/s，質點從B處運動到C處的時間為t＝＝2 s，故B錯誤。]
8．甲、乙兩輛小車在同一平直公路上同向做直線運動，甲做勻加速直線運動，乙做勻速直線運動。其x-t圖像如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．在t2時刻兩車速度相等
B．在0～t2時間內，甲車的平均速度等于乙車的平均速度
C．在t2時刻，甲車速度大于乙車速度
D．在t1～t2之間的某一時刻，兩車加速度相等
C　[x-t圖像斜率表示速度，由題圖可知，在t2時刻甲車圖線斜率大于乙車圖線斜率，則在t2時刻甲車速度大于乙車速度，故A錯誤，C正確；根據＝可知，由于0～t2時間內兩車的位移不相等，則平均速度不相等，故B錯誤；由題意可知，甲車做勻加速直線運動，乙車做勻速直線運動，則兩車的加速度不可能相等，故D錯誤。]
9．一質點做勻變速直線運動，初速度v0＝2 m/s，前4 s內位移為20 m，求：
(1)質點前4 s內的平均速度大小；
(2)質點第4 s末的速度大小；
(3)質點第2 s末的速度大小。
[解析]　(1)利用平均速度公式，前4 s內的平均速度大小
＝＝ m/s＝5 m/s。
(2)根據＝
代入數據解得，第4 s末的速度大小v4＝8 m/s。
(3)第2 s末為這段時間的中間時刻，故v2＝＝5 m/s。
[答案]　(1)5 m/s　(2)8 m/s　(3)5 m/s
10．公交車是學生上學的重要交通工具之一，當公交車快到校門口時，司機往往關閉公交車發動機，讓公交車做勻減速直線運動進站，已知行駛120 m時速度減小為原來的一半，再行駛8 s靜止，求公交車關閉發動機時的速度大小和行駛的距離。
[解析]　以公交車初速度方向為正方向，公交車進入站臺前做勻減速直線運動，設公交車關閉發動機時的速度為v0，加速度大小為a，則at2＝
而前半段時間t1＝＝t2＝8 s
由s1＝t1＝120 m
解得v0＝20 m/s
行駛的距離s＝(t1＋t2)＝160 m。
[答案]　20 m/s　160 m
11．空間探測器從某一星球表面豎直升空，發動機推力為恒力。探測器升空后發動機因故障突然關閉，探測器從升空到落回星球表面的速度隨時間變化的圖像如圖所示，根據圖像，求：
(1)該探測器在加速上升時的加速度大小及上升的最大高度Hm；
(2)探測器落回星球表面時的速度大小v；
(3)探測器從最大高度到落回星球表面所用的時間t。
[解析]　(1)在0～10 s內探測器在加速上升，其加速度大小為
a1＝＝6 m/s2
由題圖得，探測器上升的最大高度為
Hm＝ m＝900 m。
(2)在10 s后，探測器關閉發動機，其運動過程中的加速度大小為a2＝＝3 m/s2
由v2＝2a2Hm
得v＝＝30 m/s。
(3)由Hm＝a2t2得探測器從最高點下落到星球表面的時間為t＝＝10 s。
[答案]　(1)6 m/s2　900 m　(2)30 m/s　(3)10 s
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