資源簡介

3．勻變速直線運動的位移與時間的關系
[學習目標]
1．知道勻變速直線運動的位移與 v-t 圖像中圖線與橫軸圍成面積的關系。
2．理解勻變速直線運動的位移與時間的關系并會用來分析、解決問題。
3．會推導速度與位移的關系式，會用公式＝2ax進行分析和計算。
　勻變速直線運動的位移
【鏈接教材】　如圖是某物體以初速度v0做勻變速直線運動的v-t圖像。
(1)如圖甲所示，把物體的運動分成5段，每一段時間內，看成勻速直線運動，試著在圖中表示出這5小段的位移之和。
(2)如圖乙所示，如果把過程分割為更多的小段，和甲圖相比，哪種情形更接近整個過程的位移？
(3)依次類推，如果把過程分割成無數個小段，能否用梯形的面積代表物體在這段時間的位移？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識梳理】　
1．位移在v-t圖像中的表示
做勻變速直線運動的物體的位移大小對應著v-t圖像中的圖線和__________包圍的圖形的“面積”。如圖所示，物體在0～t時間內的位移大小等于__________的面積。
2．位移與時間的關系式：x＝__________。
當初速度為0時，x＝_________。
【思考討論】　如圖所示，汽車由靜止以加速度a1啟動，行駛一段時間t1后，又以加速度a2剎車，經時間t2后停下來。請思考：
問題1　汽車加速過程及剎車過程中，加速度的方向相同嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題2　根據位移與時間的關系式求加速過程及減速過程中的位移、速度及加速度的正負號如何確定？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識歸納】　
1．對位移與時間的關系式x＝v0t＋at2的理解
公式意義 位移隨時間變化的規律
各量意義 x、v0、a分別為t時間內的位移、初速度、加速度
公式特點 含有4個量，若知其中三個，能求另外一個
矢量性 x、v0、a均為矢量，應用公式時，一般選v0的方向為正方向，若勻加速，a＞0；若勻減速，a＜0
適用條件 勻變速直線運動
2．兩種特殊形式
(1)當v0＝0時，x＝at2，即由靜止開始的勻加速直線運動，位移x與t2成正比。
(2)當a＝0時，x＝v0t，即勻速直線運動，位移x與t成正比。
【典例1】　(對位移與時間的關系式符號的理解)物體做直線運動的位移x與時間t的關系為x＝5t＋t2(m)，則該物體(　　)
A．運動的初速度是2.5 m/s
B．運動的加速度是0.5 m/s2
C．第1 s內的位移是5 m
D．在前4 s內的平均速度是9 m/s
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【典例2】　[鏈接教材P43例題1](位移與時間的關系式的應用)一質點沿直線從靜止開始以1 m/s2的加速度水平向右做勻加速直線運動，經5 s加速后，做勻速直線運動4 s，又經2 s做勻減速直線運動直到靜止，則：
(1)質點勻速直線運動時速度是多大？
(2)做減速直線運動時的加速度？
(3)質點通過的總位移為多大？
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　應用位移公式x＝v0t＋at2的解題步驟
(1)規定一個正方向(一般以初速度的方向為正方向)。
(2)根據規定的正方向確定已知量的正、負，并用帶有正、負的數值表示。
(3)根據位移與時間的關系式或其變形式列式、求解。
(4)根據計算結果說明所求量的大小、方向。
　速度與位移的關系
1．公式：＝__________。
2．推導
速度公式：v＝__________。
位移公式：x＝__________。
由以上兩式消去t得：＝__________。
【思考討論】　交通事故中，交警只要知道剎車時的加速度大小，再測出剎車痕跡的長度，就可以求得汽車開始剎車時的速度，從而判斷汽車是否超速。這是怎么辦到的？
問題1　汽車剎車時做勻減速直線運動，車輛的加速度a是已知的，測出的剎車痕跡長度即剎車時位移x的大小，若開始剎車時的車速為v0，則x與剎車時間t的關系式是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
問題2　交通事故中剎車時間t無法測量，如何求出汽車開始剎車時的速度v0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識歸納】　
1．適用條件：勻變速直線運動，尤其是不涉及時間t的問題。
2．公式的意義：公式反映了初速度v0、末速度v、加速度a、位移x之間的關系，當其中任意三個物理量已知時，可求另一個未知量。
3．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，應用時必須選取統一的正方向。一般選v0方向為正方向。
4．兩種特殊形式
(1)當v0＝0時，v2＝2ax(表示初速度為零的勻加速直線運動)。
(2)當v＝0時＝2ax(表示末速度為零的勻減速直線運動)。
【典例3】　[鏈接教材P44例題2](速度與位移關系的簡單應用)某型號航空母艦上裝有幫助戰斗機起飛的彈射系統，已知某型號的戰斗機在跑道上加速時能獲得的最大加速度為5.0 m/s2，當戰斗機的速度達到50 m/s時才能離開航空母艦起飛。設航空母艦處于靜止狀態。問：
(1)若要求該戰斗機滑行160 m后起飛，彈射系統必須使戰斗機具有多大的初速度？
(2)若某艦上不裝彈射系統，要求該型號戰斗機仍能在此艦上正常起飛，該艦身長至少應為多長？
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【典例4】　(源自魯科版教材例題)(速度與位移的關系式的綜合應用)
汽車從開始制動到停止所行駛的距離，是衡量汽車制動性能的參數之一。某型號的汽車以100 km/h的速度在柏油路面上行駛，急剎車后做勻減速直線運動。若勻減速時的加速度大小為5 m/s2，開始制動后2 s內汽車行駛的距離是多少？從開始制動到完全停止，汽車行駛的距離是多少？(結果均保留一位小數)
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　應用速度與位移的關系式的兩點注意
(1)若不涉及時間，優先選用＝2ax。
(2)選用＝2ax，要注意符號關系，必要時應對計算結果進行分析，驗證其合理性。
　剎車問題
1．問題特點：勻減速到速度為零后停止運動，加速度a突然消失。
2．求解時要注意確定實際運動時間(減速到零所用時間為t0)
(1)如果t0(2)如果t0>t，說明經過時間t運動還沒有停止，則能用題目所給的時間t直接求解位移。
3．求解實際剎車時間和剎車位移時可以采用逆向思維法把整個剎車過程看成反向的初速度為零的勻加速直線運動。
【典例5】　(剎車問題的計算)一輛汽車正在平直的公路上以72 km/h的速度行駛，司機看見紅色信號燈便立即踩下制動器，此后，汽車開始做勻減速直線運動。設汽車減速過程的加速度大小為 5 m/s2，求：
(1)開始制動后，前2 s內汽車行駛的距離；
(2)開始制動后，前5 s內汽車行駛的距離。
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【典例6】　(逆向思維的應用)汽車剎車前的速度為10 m/s，剎車獲得的加速度大小為2 m/s2，求：
(1)汽車剎車開始后2 s末的速度大小；
(2)汽車靜止前最后3 s內滑行的距離。
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1．示意圖中ae段為港珠澳大橋上四段110 m的等跨鋼箱連續梁橋，若汽車從a點由靜止開始做勻加速直線運動，通過ab段的時間為t，則通過be段的時間為(　　)
A．t B．t
C．3t D．9t
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．2024年11月4日，神舟十八號載人飛船返回艙在東風著陸場成功著陸，在距離地面1.6 m時，速度為8 m/s，返回艙的緩沖發動機開始向下噴氣，艙體減速，到達地面時速度恰好為零，此過程可視為豎直方向的勻減速直線運動。該減速過程加速度的大小為(　　)
A．5 m/s2 B．10 m/s2
C．20 m/s2 D．40 m/s2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．(多選)一輛汽車開始剎車后運動的位移隨時間變化的規律是x＝10t－2t2，x和t的單位分別是m和s，以下說法正確的是(　　)
A．初速度v0＝10 m/s，加速度大小a＝4 m/s2
B．初速度v0＝4 m/s，加速度大小a＝10 m/s2
C．汽車剎車到停止所用時間為5 s
D．汽車剎車后4 s內的位移大小是12.5 m
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．以18 m/s的速度行駛的汽車，制動后做勻減速直線運動，在3 s內前進36 m(制動3 s時汽車未停止)。求汽車的加速度及制動后5 s內發生的位移大小。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
回歸本節知識，完成以下問題：
1．勻變速直線運動的位移與時間的關系式為x＝v0t＋at2，式中x的含義是什么？
2．如果物體在做勻減速直線運動，在使用上述公式分析問題時，需要注意什么？
3．速度與位移的關系式＝2ax是怎樣推導出來的？
4．在“剎車”類問題中要關注什么？
8/83．勻變速直線運動的位移與時間的關系
[學習目標]
1．知道勻變速直線運動的位移與 v-t 圖像中圖線與橫軸圍成面積的關系。
2．理解勻變速直線運動的位移與時間的關系并會用來分析、解決問題。
3．會推導速度與位移的關系式，會用公式＝2ax進行分析和計算。
[教用·問題初探]——通過讓學生回答問題來了解預習教材的情況
問題1　位移與時間關系式x＝v0t＋at2適用于哪種運動形式？
問題2　公式＝2ax中各符號的意義是什么？
　勻變速直線運動的位移
【鏈接教材】　如圖是某物體以初速度v0做勻變速直線運動的v-t圖像。
(1)如圖甲所示，把物體的運動分成5段，每一段時間內，看成勻速直線運動，試著在圖中表示出這5小段的位移之和。
(2)如圖乙所示，如果把過程分割為更多的小段，和甲圖相比，哪種情形更接近整個過程的位移？
(3)依次類推，如果把過程分割成無數個小段，能否用梯形的面積代表物體在這段時間的位移？
提示：(1)位移為題圖甲中矩形面積之和，如圖中陰影所示。
(2)題圖乙更接近整個過程中的位移。
(3)能。
【知識梳理】　
1．位移在v-t圖像中的表示
做勻變速直線運動的物體的位移大小對應著v-t圖像中的圖線和時間軸包圍的圖形的“面積”。如圖所示，物體在0～t時間內的位移大小等于梯形的面積。
2．位移與時間的關系式：x＝v0t＋at2。
當初速度為0時，x＝。
【思考討論】　如圖所示，汽車由靜止以加速度a1啟動，行駛一段時間t1后，又以加速度a2剎車，經時間t2后停下來。請思考：
問題1　汽車加速過程及剎車過程中，加速度的方向相同嗎？
提示：加速度方向不同。
問題2　根據位移與時間的關系式求加速過程及減速過程中的位移、速度及加速度的正負號如何確定？
提示：根據位移與時間的關系式求位移時，一般取初速度方向為正方向，加速時，加速度取正值，減速時，加速度取負值。
【知識歸納】　
1．對位移與時間的關系式x＝v0t＋at2的理解
公式意義 位移隨時間變化的規律
各量意義 x、v0、a分別為t時間內的位移、初速度、加速度
公式特點 含有4個量，若知其中三個，能求另外一個
矢量性 x、v0、a均為矢量，應用公式時，一般選v0的方向為正方向，若勻加速，a＞0；若勻減速，a＜0
適用條件 勻變速直線運動
2．兩種特殊形式
(1)當v0＝0時，x＝at2，即由靜止開始的勻加速直線運動，位移x與t2成正比。
(2)當a＝0時，x＝v0t，即勻速直線運動，位移x與t成正比。
【典例1】　(對位移與時間的關系式符號的理解)物體做直線運動的位移x與時間t的關系為x＝5t＋t2(m)，則該物體(　　)
A．運動的初速度是2.5 m/s
B．運動的加速度是0.5 m/s2
C．第1 s內的位移是5 m
D．在前4 s內的平均速度是9 m/s
D　[根據位移與時間的關系式x＝v0t＋at2，與題中的關系式對比，根據對應關系可得到v0＝5 m/s，a＝2 m/s2，故A、B錯誤；把t＝1 s代入位移與時間關系式，解得第1 s內的位移是6 m，故C錯誤；在前4 s內，物體的平均速度為＝＝(5＋t) m/s＝9 m/s，故D正確。]
【典例2】　[鏈接教材P43例題1](位移與時間的關系式的應用)一質點沿直線從靜止開始以1 m/s2的加速度水平向右做勻加速直線運動，經5 s加速后，做勻速直線運動4 s，又經2 s做勻減速直線運動直到靜止，則：
(1)質點勻速直線運動時速度是多大？
(2)做減速直線運動時的加速度？
(3)質點通過的總位移為多大？
[解析]　(1)加速過程的末速度大小為v＝v0＋a1t1＝0＋1×5 m/s＝5 m/s。
(2)減速運動時a3＝＝ m/s2＝－2.5 m/s2，負號表示方向與運動方向相反，即方向向左。
(3)加速位移x1＝＝×1×52 m＝12.5 m
勻速位移x2＝vt2＝5×4 m＝20 m
減速位移x3＝＝(5×2－×2.5×22) m＝5 m
則總位移大小x＝x1＋x2＋x3＝37.5 m。
[答案]　(1)5 m/s　(2)2.5 m/s2，方向向左　(3)37.5 m
　應用位移公式x＝v0t＋at2的解題步驟
(1)規定一個正方向(一般以初速度的方向為正方向)。
(2)根據規定的正方向確定已知量的正、負，并用帶有正、負的數值表示。
(3)根據位移與時間的關系式或其變形式列式、求解。
(4)根據計算結果說明所求量的大小、方向。
【教材原題P43例題1】　航空母艦的艦載機既要在航母上起飛，也要在航母上降落。
(1)某艦載機起飛時，采用彈射裝置使飛機獲得10 m/s的速度后，由機上發動機使飛機獲得25 m/s2的加速度在航母跑道上勻加速前進，2.4 s后離艦升空。飛機勻加速滑行的距離是多少？
(2)飛機在航母上降落時，需用阻攔索使飛機迅速停下來。若某次飛機著艦時的速度為80 m/s，飛機鉤住阻攔索后經過2.5 s停下來。將這段運動視為勻減速直線運動，此過程中飛機加速度的大小及滑行的距離各是多少？
分析　兩個問題都是已知勻變速直線運動的時間來計算位移。第(1)問需要用勻變速直線運動的位移與時間的關系式計算。第(2)問中，飛機著艦做勻減速直線運動的加速度需要根據速度與時間的關系式計算。勻減速運動各矢量的方向較為復雜，因此需要建立一維坐標系來確定它們的正負。
解　(1)根據勻變速直線運動的位移與時間的關系式，有x＝v0t＋at2＝10 m/s×2.4 s＋×25 m/s2×(2.4 s)2＝96 m
(2)沿飛機滑行方向建立一維坐標系(如圖)，飛機初速度v0＝80 m/s，末速度v＝0，根據勻變速直線運動的速度與時間的關系式，有
a＝＝－＝－＝－32 m/s2
加速度為負值表示方向與x軸正方向相反。
再根據勻變速直線運動的位移與時間的關系式，有x＝v0t＋at2＝v0t＋t2＝v0t＝×80 m/s×2.5 s＝100 m
飛機起飛時滑行距離為96 m。著艦過程中加速度的大小為32 m/s2，滑行距離為100 m。
　速度與位移的關系
1．公式：＝2ax。
2．推導
速度公式：v＝v0＋at。
位移公式：x＝v0t＋at2。
由以上兩式消去t得：＝2ax。
【思考討論】　交通事故中，交警只要知道剎車時的加速度大小，再測出剎車痕跡的長度，就可以求得汽車開始剎車時的速度，從而判斷汽車是否超速。這是怎么辦到的？
問題1　汽車剎車時做勻減速直線運動，車輛的加速度a是已知的，測出的剎車痕跡長度即剎車時位移x的大小，若開始剎車時的車速為v0，則x與剎車時間t的關系式是什么？
提示：x＝v0t＋at2。
問題2　交通事故中剎車時間t無法測量，如何求出汽車開始剎車時的速度v0
提示：剎車時間t是未知的，但是將公式v＝v0＋at和x＝v0t＋at2聯立，消去t，可得速度與位移的關系式＝2ax，末速度v為零，測量出剎車距離x，并將已知的加速度a代入關系式，即可計算出汽車開始剎車時的速度v0。
【知識歸納】　
1．適用條件：勻變速直線運動，尤其是不涉及時間t的問題。
2．公式的意義：公式反映了初速度v0、末速度v、加速度a、位移x之間的關系，當其中任意三個物理量已知時，可求另一個未知量。
3．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，應用時必須選取統一的正方向。一般選v0方向為正方向。
4．兩種特殊形式
(1)當v0＝0時，v2＝2ax(表示初速度為零的勻加速直線運動)。
(2)當v＝0時＝2ax(表示末速度為零的勻減速直線運動)。
【典例3】　[鏈接教材P44例題2](速度與位移關系的簡單應用)某型號航空母艦上裝有幫助戰斗機起飛的彈射系統，已知某型號的戰斗機在跑道上加速時能獲得的最大加速度為5.0 m/s2，當戰斗機的速度達到50 m/s時才能離開航空母艦起飛。設航空母艦處于靜止狀態。問：
(1)若要求該戰斗機滑行160 m后起飛，彈射系統必須使戰斗機具有多大的初速度？
(2)若某艦上不裝彈射系統，要求該型號戰斗機仍能在此艦上正常起飛，該艦身長至少應為多長？
[解析]　(1)設彈射系統使戰斗機具有的初速度為v0，由速度與位移的關系式＝2ax
可得v0＝30 m/s。
(2)不裝彈射系統時，戰斗機從靜止開始做勻加速直線運動。
由v2＝2ax′
可知該艦身長至少應為x′＝250 m。
[答案]　(1)30 m/s　(2)250 m
【教材原題P44例題2】動車鐵軌旁兩相鄰里程碑之間的距離是1 km。某同學乘坐動車時，通過觀察里程碑和車廂內電子屏上顯示的動車速度來估算動車減速進站時的加速度大小。當他身邊的窗戶經過某一里程碑時，屏幕顯示的動車速度是126 km/h(如圖)。動車又前進了3個里程碑時，速度變為54 km/h。把動車進站過程視為勻減速直線運動，那么動車進站的加速度是多少？它還要行駛多遠才能停下來？
分析　由于把動車進站過程視為勻減速直線運動，因此可以應用勻變速直線運動的速度與位移的關系式計算動車的加速度。本題加速度方向跟速度方向相反，因此需要建立一維坐標系來處理相關物理量的正負號。
解　沿動車運動方向為正方向建立一維坐標系。把動車通過3 000 m的運動稱為前一過程，之后到停下來稱為后一過程。
設在前一過程中的末位置為M點。初速度v0＝126 km/h＝35 m/s，末速度vM＝54 km/h＝15 m/s，位移x1＝3 000 m。
對前一過程，根據勻變速直線運動的速度與位移的關系式，有
a＝＝＝
對后一過程，末速度v＝0，初速度vM＝15 m/s。
由v2＝＋2ax2，有
x2＝＝＝674 m
動車進站的加速度大小為0.167 m/s2，方向與動車運動方向相反；還要行駛674 m才能停下來。
【典例4】　(源自魯科版教材例題)(速度與位移的關系式的綜合應用)
汽車從開始制動到停止所行駛的距離，是衡量汽車制動性能的參數之一。某型號的汽車以100 km/h的速度在柏油路面上行駛，急剎車后做勻減速直線運動。若勻減速時的加速度大小為5 m/s2，開始制動后2 s內汽車行駛的距離是多少？從開始制動到完全停止，汽車行駛的距離是多少？(結果均保留一位小數)
[解析]　選定初速度方向為正方向，由題意知v0＝100 km/h≈27.8 m/s，a＝－5 m/s2，v＝0，t＝2 s
根據v＝v0＋at，可知汽車剎車時間
t0＝＝5.56 s
因為tx1＝v0t＋at2＝27.8 m/s×2 s＋×(－5 m/s2)×(2 s)2＝45.6 m
根據公式＝2ax，可得汽車從開始制動到完全停止的位移x2＝≈77.3 m
所以，開始制動后2 s內汽車行駛的距離為45.6 m；從開始制動到完全停止，汽車行駛的距離為77.3 m。
[答案]　45.6 m　77.3 m
　應用速度與位移的關系式的兩點注意
(1)若不涉及時間，優先選用＝2ax。
(2)選用＝2ax，要注意符號關系，必要時應對計算結果進行分析，驗證其合理性。
　剎車問題
1．問題特點：勻減速到速度為零后停止運動，加速度a突然消失。
2．求解時要注意確定實際運動時間(減速到零所用時間為t0)
(1)如果t0(2)如果t0>t，說明經過時間t運動還沒有停止，則能用題目所給的時間t直接求解位移。
3．求解實際剎車時間和剎車位移時可以采用逆向思維法把整個剎車過程看成反向的初速度為零的勻加速直線運動。
【典例5】　(剎車問題的計算)一輛汽車正在平直的公路上以72 km/h的速度行駛，司機看見紅色信號燈便立即踩下制動器，此后，汽車開始做勻減速直線運動。設汽車減速過程的加速度大小為 5 m/s2，求：
(1)開始制動后，前2 s內汽車行駛的距離；
(2)開始制動后，前5 s內汽車行駛的距離。
[解析]　汽車的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5 m/s2
汽車運動的總時間t＝＝ s＝4 s。
(1)因為t1＝2 s故x1＝＝(20×2－×5×22)m＝30 m。
(2)因為t2＝5 s>t，所以汽車5 s時已停止運動。
故x2＝v0t＋at2＝(20×4－×5×42)m＝40 m。
[答案]　(1)30 m　(2)40 m
【典例6】　(逆向思維的應用)汽車剎車前的速度為10 m/s，剎車獲得的加速度大小為2 m/s2，求：
(1)汽車剎車開始后2 s末的速度大??；
(2)汽車靜止前最后3 s內滑行的距離。
[解析]　(1)汽車剎車開始后2 s末的速度大小為v＝v0－at1＝10 m/s－2×2 m/s＝6 m/s。
(2)可以進行逆向分析，認為汽車由靜止開始在t2＝3 s內做逆向的勻加速運動。
故x＝＝×2×32 m＝9 m。
[答案]　(1)6 m/s　(2)9 m
【教用·備選例題】
【典例1】　一個質點做加速直線運動，依次經過A、B、C三點，B為A、C中點。質點在A、B、C三點的速度大小之比為1∶2∶3，質點在AB段加速度大小恒為a1，在BC段加速度大小恒為a2，則a1∶a2等于(　　)
A．2∶5 B．3∶5
C．4∶5 D．1∶1
B　[設質點依次經過A、B、C三點的速度大小分別為v、2v、3v，由題意知(2v)2－v2＝2a1xAB，(3v)2－(2v)2＝2a2xBC，又xAB＝xBC，因此得＝，解得a1∶a2＝3∶5，故選B。]
【典例2】　(多選)汽車以10 m/s的速度開始剎車，剎車中加速度大小為2 m/s2，關于汽車的運動情況，下列說法正確的是(　　)
A．剎車后6 s末的速度大小為2 m/s
B．剎車后6 s內的位移大小為25 m
C．剎車后6 s內的位移大小為24 m
D．停止前第3 s內、第2 s內、最后1 s內的位移大小之比為 5∶3∶1
BD　[汽車開始剎車到最終停止的過程為勻減速直線運動，初速度v0＝10 m/s，末速度為零，加速度為a＝－2 m/s2。設汽車經過時間t停止運動，則有t＝＝ s＝5 s，汽車在5 s末停止運動，此后速度為零，A錯誤；汽車5 s末停止運動，剎車位移x＝＝ m＝25 m，第6 s內汽車靜止不動，B正確，C錯誤；汽車的剎車過程反過來看就是初速度為零、加速度為a′＝2 m/s2的勻加速直線運動，則由公式x＝at2，可知汽車停止前第1 s內、第2 s內、第3 s內的位移大小之比為1∶3∶5，那么，汽車停止前第3 s內、第2 s內、最后1 s內的位移大小之比就為5∶3∶1，D正確。]
1．示意圖中ae段為港珠澳大橋上四段110 m的等跨鋼箱連續梁橋，若汽車從a點由靜止開始做勻加速直線運動，通過ab段的時間為t，則通過be段的時間為(　　)
A．t B．t
C．3t D．9t
A　[設通過be段的時間為ts，通過ab段過程中，由位移與時間的關系式得x＝at2，通過ae段過程中，由位移與時間的關系式得4x＝a(ts＋t)2，聯立解得ts＝t，故A正確，B、C、D錯誤。]
2．2024年11月4日，神舟十八號載人飛船返回艙在東風著陸場成功著陸，在距離地面1.6 m時，速度為8 m/s，返回艙的緩沖發動機開始向下噴氣，艙體減速，到達地面時速度恰好為零，此過程可視為豎直方向的勻減速直線運動。該減速過程加速度的大小為(　　)
A．5 m/s2 B．10 m/s2
C．20 m/s2 D．40 m/s2
C　[根據勻變速直線運動位移與速度的關系式可得－2ah＝，可得該減速過程加速度的大小為a＝＝ m/s2＝20 m/s2，故選C。]
3．(多選)一輛汽車開始剎車后運動的位移隨時間變化的規律是x＝10t－2t2，x和t的單位分別是m和s，以下說法正確的是(　　)
A．初速度v0＝10 m/s，加速度大小a＝4 m/s2
B．初速度v0＝4 m/s，加速度大小a＝10 m/s2
C．汽車剎車到停止所用時間為5 s
D．汽車剎車后4 s內的位移大小是12.5 m
AD　[根據x＝v0t＋at2＝(10t－2t2) m可得v0＝10 m/s，a＝－4 m/s2，即初速度為10 m/s，加速度大小為4 m/s2，故A正確，B錯誤；汽車速度減為零的時間為t0＝＝ s＝2.5 s，則剎車后4 s內的位移大小為x＝＝ m＝12.5 m，故C錯誤，D正確。]
4．以18 m/s的速度行駛的汽車，制動后做勻減速直線運動，在3 s內前進36 m(制動3 s時汽車未停止)。求汽車的加速度及制動后5 s內發生的位移大小。
[解析]　初速度v0＝18 m/s，時間t＝3 s，位移x＝36 m
根據x＝v0t＋at2
解得a＝＝＝－4 m/s2
則加速度大小為4 m/s2，方向與初速度方向相反。
根據v＝v0＋at，汽車停止運動的時間
t′＝＝＝4.5 s
故汽車在制動后5 s內的位移與4.5 s內的位移相等，x′＝|a|t′2＝40.5 m。
[答案]　4 m/s2，與初速度方向相反　40.5 m
回歸本節知識，完成以下問題：
1．勻變速直線運動的位移與時間的關系式為x＝v0t＋at2，式中x的含義是什么？
提示：x是物體在時間t內的位移，如果認為物體在t＝0時刻位于坐標原點，則x也是物體在時刻t的位置。
2．如果物體在做勻減速直線運動，在使用上述公式分析問題時，需要注意什么？
提示：若以初速度方向為正方向，則加速度a代入數據時要用負數。
3．速度與位移的關系式＝2ax是怎樣推導出來的？
提示：運用公式v＝v0＋at和x＝v0t＋at2，兩個公式聯立，消掉時間t。
4．在“剎車”類問題中要關注什么？
提示：關注實際停止的時間。
課時分層作業(七)
?題組一　勻變速直線運動的位移
1．某汽車從靜止開始做勻加速直線運動，加速度為5 m/s2，根據x＝v0t＋at2計算10 s內的位移為(　　)
A．25 m B．250 m
C．500 m D．1 000 m
B　[由勻變速直線運動的位移與時間的關系式x＝v0t＋at2，可得x＝×5×102 m＝250 m，故選B。]
2．小球以某一較大初速度沖上足夠長的光滑斜面，加速度大小為5 m/s2，則小球在沿斜面上滑過程中最后一秒的位移是(　　)
A．2.0 m B．2.5 m
C．3.0 m D．3.5 m
B　[小球沿光滑斜面向上做勻減速運動，可等效看成反向的初速度為零的勻加速運動，故上滑最后一秒的位移x＝at2＝×5×12 m＝2.5 m，故B正確。]
3．一輛汽車在平直公路上做勻變速直線運動，公路邊每隔15 m有一棵樹，如圖所示，汽車通過A、B兩相鄰的樹用了3 s，通過B、C兩相鄰的樹用了2 s，則下列說法正確的是(　　)
A．此汽車運動的加速度大小為2 m/s2
B．此汽車經過A樹時的速度大小為3.0 m/s
C．此汽車經過B樹時的速度大小為6.5 m/s
D．此汽車經過B樹時的速度大小為6.0 m/s
C　[設汽車經過A樹時的速度為v1，加速度為a，對汽車在A、B間的運動由位移與時間的關系式有x＝，對汽車在A、C間的運動根據位移與時間的關系式有2x＝v1(t1＋t2)＋a(t1＋t2)2，聯立并代入數據解得a＝1 m/s2，v1＝3.5 m/s，故A、B錯誤；由速度與時間的關系式v＝v0＋at得，通過B樹時的速度大小為v2＝v1＋at1＝6.5 m/s，故C正確，D錯誤。]
?題組二　速度與位移的關系
4．如圖所示，物體A在斜面上由靜止勻加速滑下x1后，又勻減速地在水平面上滑過x2后停下，測得x2＝2x1，則物體在斜面上的加速度大小a1與水平面上加速度大小a2的關系為(　　)
A．a1＝a2 B．a1＝2a2
C．a1＝a2 D．a1＝4a2
B　[設物體在斜面末端時的速度大小為vt，由＝2ax得－02＝＝2(－a2)x2，聯立解得a1＝2a2，故選B。]
5．京杭大運河始建于春秋時期，是我國古代勞動人民創造的一項偉大工程。一艘游輪在運河上航行，做勻加速直線運動，該游輪的初始速度是3 m/s，航行50 m后速度變為7 m/s，則它的加速度大小是(　　)
A．0.30 m/s2 B．0.25 m/s2
C．0.40 m/s2 D．0.45 m/s2
C　[根據位移與時間的關系式＝2ax，解得a＝0.40 m/s2，故A、B、D錯誤，C正確。]
6．一滑雪運動員由靜止開始沿斜坡勻加速下滑。當下滑距離為l時，速度為v。那么，當他的速度是時，下滑的距離是(　　)
A．
C．
C　[由公式＝2al，得l＝，則l1＝＝＝，故選項C正確。]
?題組三　剎車問題
7．以初速度為10 m/s行駛的汽車，某時刻開始以大小為5 m/s2的加速度剎車，剎車后第1 s內的運動距離和剎車后2 s內的運動距離之比為(　　)
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶3 D．3∶4
D　[設剎車時初速度為v0，加速度大小為a，汽車開始剎車到停止所需時間為t＝＝ s＝2 s。根據位移與時間關系式可知剎車后第1 s內的運動距離為x1＝＝7.5 m，汽車經過2 s剛好停止，故剎車后2 s內的運動距離為x2＝＝10 m，可知x1∶x2＝3∶4，故選D。]
8．一輛汽車以速度v0＝25 m/s在平直的公路上勻速行駛，當駕駛員發現較遠的前方堵車，于是開始剎車，最后1 s內的位移為2.5 m，求：
(1)剎車時加速度的大小；
(2)剎車開始后最初2 s內的平均速度大小；
(3)剎車后6 s內的位移大小。
[解析]　(1)汽車最后1 s內的位移為2.5 m，由逆向思維可得x1＝，解得汽車加速度大小為a＝＝5 m/s2。
(2)由勻變速直線運動公式可得，汽車前2 s內的位移為x2＝＝40 m
所以前2 s內的平均速度大小為v2＝＝20 m/s。
(3)設汽車經過時間t速度減小為零，t＝＝5 s<6 s，5 s末汽車已經停下，所以剎車后6 s內的位移大小為x＝＝62.5 m。
[答案]　(1)5 m/s2　(2)20 m/s　(3)62.5 m
9．某同學做研究勻變速直線運動的實驗，通過定滑輪用鉤碼拖拽小車，使得小車由靜止開始做勻加速直線運動，測得小車在第5 s內的位移是27 m，則(　　)
A．小車在2 s末的速度是20 m/s
B．小車在第5 s內的平均速度是9 m/s
C．小車在第2 s內的位移是9 m
D．小車在5 s內的位移是125 m
C　[設加速度大小為a，由題意可得a×(5 s)2－a×(4 s)2＝27 m，解得a＝6 m/s2，小車在2 s末的速度是v1＝at1＝12 m/s故A錯誤；小車在第5 s內的平均速度是＝ m/s＝27 m/s，故B錯誤；小車在第2 s內的位移是x1＝(×6×22－×6×12)m＝9 m，故C正確；小車在5 s內的位移是x2＝×6×52 m＝75 m，故D錯誤。]
10．(2024·全國甲卷)為搶救病人，一輛救護車緊急出發，鳴著笛沿水平直路從t＝0時由靜止開始做勻加速運動，加速度大小a＝2 m/s2，在t1＝10 s時停止加速開始做勻速運動，之后某時刻救護車停止鳴笛，t2＝41 s時在救護車出發處的人聽到救護車發出的最后的鳴笛聲。已知聲速v0＝340 m/s，求：
(1)救護車勻速運動時的速度大??；
(2)在停止鳴笛時救護車距出發處的距離。
[解析]　(1)根據題意可知，救護車勻速運動時的速度大小為v＝at1
代入數據解得v＝20 m/s。
(2)設救護車在t＝t0時停止鳴笛，則由運動學規律可知，此時救護車距出發處的距離為
x＝＋v(t0－t1)
又x＝v0(t2－t0)
聯立并代入數據解得x＝680 m。
[答案]　(1)20 m/s　(2)680 m
11．如圖所示，A、B、C依次是光滑斜面上的三個點，OA間距為20 m，AB＝4BC。一個小球以初速度12 m/s從斜面底端O點沖上該固定斜面，沿斜面做勻減速直線運動。經過2 s，小球第一次通過A點，又經 5 s 第二次通過C點。
(1)小球的加速度大小為多少？
(2)BC間的距離是多大？
(3)小球兩次經過B點的時間差是多少？
[解析]　(1)取沿斜面向上為正方向，從O運動到A過程，有xOA＝
解得a＝－2 m/s2
則小球的加速度大小為2 m/s2。
(2)小球從O點開始運動到第二次通過C點，有
xOC＝v0(t1＋t2)＋a(t1＋t2)2
解得xOC＝35 m
可知xAC＝xOC－xOA＝15 m
解得xBC＝xAC＝3 m。
(3)小球從O點運動到B過程，有xOB＝
解得tB1＝4 s，tB2＝8 s
經過B點的時間差為Δt＝tB2－tB1＝4 s。
[答案]　(1)2 m/s2　(2)3 m　(3)4 s
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