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現代文閱讀Ⅰ
把握共性之“新”　打通應考之“脈”
素養提升課(三)　追及相遇問題　豎直上拋運動
第二章　勻變速直線運動的研究
[學習目標]
1．掌握追及相遇問題的分析思路和方法。
2．掌握豎直上拋運動的特點，能用全過程分析法或者分段法解決豎直上拋運動的問題。
探究重構·關鍵能力達成
探究1　追及、相遇問題的分析與求解
1．追及相遇問題
兩物體在同一直線上一前一后運動，它們之間的距離發生變化時，可能出現最大距離、最小距離或者距離為零的情況，這類問題稱為追及相遇問題，討論追及相遇問題的實質是兩物體能否在同一時刻到達同一位置。
2．分析追及相遇問題的思路和方法
(1)抓住一個條件、用好兩個關系
①一個條件：速度相等。這是兩物體是否追上(或相撞)、距離最大、距離最小的臨界點，是解題的切入點。
②兩個關系：時間關系和位移關系。通過畫示意圖找出兩物體位移之間的數量關系，是解題的突破口。
(2)常用方法
①物理分析法：抓住“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關鍵，認真審題，挖掘題中的隱含條件，建立物體運動關系的圖景，并畫出運動情況示意圖，找出位移關系。
②圖像法：將兩者的v-t圖像畫在同一坐標系中，然后利用圖像求解。
③數學分析法：設從開始至相遇時間為t，根據條件列位移關系方程，得到關于t的一元二次方程，用判別式進行討論。若Δ＞0，即有兩個解，說明可以相遇兩次；若Δ＝0，說明剛好追上或相遇；若Δ<0，說明追不上或不能相碰。
【典例1】　一輛汽車以3 m/s2的加速度開始啟動的瞬間，一輛以
6 m/s的速度做勻速直線運動的自行車恰好從汽車的旁邊通過。
(1)汽車在追上自行車前運動多長時間與自行車相距最遠？此時的距離是多少？
(2)汽車經多長時間追上自行車？追上自行車時汽車的瞬時速度是多大？
[思路點撥]　開始時自行車的速度大于汽車的速度，二者之間的距離逐漸增大，當汽車的速度等于自行車的速度時，二者相距最遠；之后汽車的速度大于自行車的速度，二者之間距離逐漸縮短，直到追上。
[解析]　(1)解法一　基本規律法
汽車與自行車的速度相等時兩車相距最遠，設此時經過的時間為t1，汽車的速度為v1，兩車間的距離為Δx，則有
v1＝at1＝v自
所以t1＝＝2 s
Δx＝v自＝6 m。
解法二　極值法或數學分析法
設汽車在追上自行車之前經過時間t1，兩車間的距離為
Δx＝x1－x2＝v自
代入已知數據得Δx＝ m
由二次函數求極值的條件知t1＝2 s時，Δx最大，
此時Δx＝6 m。
解法三　圖像法
自行車和汽車運動的v-t圖像如圖所示，由圖可以看出，在相遇前，t1時刻兩車速度相等，兩車相距最遠，此時的距離為陰影三角形的面積。
t1＝＝ s＝2 s
Δx＝＝ m＝6 m。
(2)解法一　基本規律法
當兩車位移相等時，汽車追上自行車，設此時經過的時間為t2，汽車的瞬時速度為v2，則有
v自t2＝
解得t2＝＝ s＝4 s
v2＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。
解法二　圖像法
由圖可以看出，在t1時刻之后，由圖線v自、v汽和t＝t2構成的三角形的面積與標有陰影的三角形面積相等，此時汽車與自行車的位移相等，即汽車與自行車相遇。
由幾何關系知t2＝2t1＝4 s，v2＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。
[答案]　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s
規律總結　分析追及問題的思路及三個易錯點
1．解決追及相遇問題的思路
2．三個易錯點
(1)追趕物體與被追趕物體的速度恰好相等是臨界條件，往往是解決問題的重要條件。
(2)若被追趕的物體做勻減速運動，一定要注意追上前該物體是否已經停止運動。
(3)仔細審題，充分挖掘題目中的隱含條件，同時注意v-t圖像的應用。
[針對訓練]
1．甲、乙兩車在一條平直的公路上同向并排行駛，t＝0時刻甲車開始剎車，甲車的速度隨時間變化的圖像如圖甲所示，以t＝0時刻甲車所在位置為坐標原點，以甲車速度方向為正方向建立x軸，乙車的位置坐標隨時間變化的圖像如圖乙所示，圖像為頂點在30 m處的拋物線。下列說法正確的是(　　)
A．甲車做勻變速直線運動的加速度大小為2.5 m/s2
B．乙車做勻變速直線運動的加速度大小為6.25 m/s2
C．t＝4 s時甲、乙兩車相距最遠
D．甲、乙兩車只相遇一次
√
A　[甲車做勻變速直線運動的加速度大小為a1＝＝ m/s2＝2.5 m/s2，故A正確；由題可知，乙的初速度為零，在t0＝4 s內的位移為20 m，則有x0＝可得，乙車做勻變速直線運動的加速度大小為a2＝2.5 m/s2，故B錯誤；若甲車和乙車相遇，則有v甲t－a1t2＝a2t2＋30 m，代入數據解得t＝
2 s<8 s或t＝6 s<8 s，則甲、乙兩車相遇兩次，故D錯誤；由題圖可知，8 s后甲車速度為零，乙車速度不為零，且8 s后乙車在前甲車在后，則8 s后兩者間距離一直增大，故C錯誤。]
2．5G自動駕駛是基于5G通信技術實現網聯式全域感知、協同決策與智慧云控，相較傳統“單車式”無人駕駛，具有革命性演進。A、B兩輛5G自動駕駛測試車在同一平直公路的兩相鄰車道上向右勻速行駛，B車在A車前，A車的速度大小為v1＝8 m/s，B車的速度大小為v2＝20 m/s，如圖所示，當A、B兩車相距x0＝4 m時，B車因前方突發情況緊急剎車(已知剎車過程的運動可視為勻減速直線運動)，加速度大小為a＝2 m/s2，從此時開始計時，求：
(1)A車追上B車之前，兩者相距的最大距離；
(2)A車追上B車所用的時間。
[解析]　(1)當A、B兩車速度相等時相距最遠，則v1＝v2－at1
又xB＝
二者之間的最大距離
Δxm＝xB＋x0－xA＝xB＋x0－v1t1
代入數據解得Δxm＝40 m。
(2)B車剎車停止運動所用時間t0＝＝ s＝10 s
B車剎車停止運動的位移x′B＝＝ m＝100 m
此時x′A＝v1t0＝80 m
則x′A故A車追上B車所用時間為t＝t0＋t2＝10 s＋3 s＝13 s。
[答案]　(1)40 m　(2)13 s
探究2　豎直上拋運動
1．豎直上拋運動
將一個物體以某一初速度v0豎直向上拋出，拋出的物體只在重力作用下運動，這種運動就是豎直上拋運動。
2．豎直上拋運動的性質
(1)上升階段：初速度v0向上，加速度為g，方向豎直向下，是勻減速運動。
(2)下降階段：初速度為零，加速度為g，是自由落體運動。
(3)全過程可以看作是初速度為v0(豎直向上)、加速度為g(豎直向下)的勻變速直線運動。
3．豎直上拋運動的規律
通常取初速度v0的方向為正方向，則a＝－g。
(1)速度與時間的關系式：v＝v0－gt。
(2)位移與時間的關系式：h＝v0t－gt2。
(3)位移和速度的關系式：＝－2gh。
(4)上升的最大高度：H＝。
(5)上升到最高點(即v＝0時)所需的時間：t＝。
4．豎直上拋運動的特點
(1)對稱性(如圖所示)
①時間對稱性，對同一段距離，上升過程和下降過程時間相等，tAB＝tBA，tOC＝tCO。
②速度對稱性：上升過程和下降過程通過同一點時速度大小相等、方向相反，vB＝－vB′，vA＝－vA′。
(2)多解性
通過某一點可能對應兩個時刻，即物體可能處于上升階段，也可能處于下降階段。
【典例2】　氣球下掛一重物，以v0＝10 m/s勻速上升，當到達離地面高175 m處時，懸掛重物的繩子突然斷裂，那么重物再經多長時間落到地面？落地速度大小為多少？(空氣阻力不計，g取10 m/s2)
[解析]　解法一　分段法
繩子斷裂后，重物先勻減速上升，速度減為零后，再勻加速下降。
重物上升階段，時間t1＝＝1 s
由＝2gh1知，h1＝＝5 m
重物下降階段，下降距離H＝h1＋175 m＝180 m
設下落時間為t2，則H＝，故t2＝＝6 s
重物落地總時間t＝t1＋t2＝7 s，速度v＝gt2＝60 m/s。
解法二　全程法
取初速度方向為正方向
重物全程位移h＝v0t－gt2，其中h＝－175 m
可解得t＝7 s(或t＝－5 s舍去)
由v＝v0－gt得v＝－60 m/s，負號表示方向豎直向下。
[答案]　7 s　60 m/s
規律方法　豎直上拋運動的處理方法
分段法 上升階段是初速度為v0、a＝－g的勻減速直線運動；下落階段是自由落體運動
全過程 分析法 全過程看作初速度為v0、a＝－g的勻變速直線運動
(1)v>0時，上升階段；v<0時，下落階段
(2)x>0時，物體在拋出點的上方；x<0時，物體在拋出點的下方
[針對訓練]
3．某同學在高臺邊將一物塊以某一速度豎直向上拋出，拋出后經
2 s物塊上升到最高點，再經過3 s物塊落到地面。不計空氣阻力的影響，g取10 m/s2，則以下說法正確的是(　　)
A．物塊拋出點距地面的高度為20 m
B．物塊落地時的速度大小為30 m/s
C．物塊剛拋出時的速度大小為10 m/s
D．物塊在第3秒內的位移大小為10 m
√
B　[物塊向上運動的過程可以反向看成自由落體運動，物塊上升過程h＝gt2＝20 m，物塊剛拋出時的速度大小為v＝gt＝20 m/s，物塊下落的高度h′＝gt′2＝45 m，物塊拋出點距地面的高度h0＝h′－h＝25 m，故A、C錯誤；物塊下落的過程為自由落體運動，故物塊落地時的速度大小為v＝gt′＝30 m/s，故B正確；物塊運動的第3秒是物塊下落過程的第1秒，故物塊在第3秒內的位移大小為h″＝gt″2＝5 m，故D錯誤。]
4．某校一課外活動小組自制了一枚火箭，設火箭發射后始終在垂直于地面的方向上運動。火箭點火后可認為做勻加速直線運動，經過4 s到達離地面40 m高處時燃料恰好用完，若不計空氣阻力，取g＝10 m/s2，求：
(1)燃料恰好用完時火箭的速度大小；
(2)火箭上升離地面的最大高度；
(3)火箭從發射到返回發射點的時間(結果保留3位有效數字)。
[解析]　(1)設燃料恰好用完時火箭的速度大小為v。
根據運動學公式有h＝t
解得v＝20 m/s。
(2)燃料用完后，火箭能夠繼續上升的時間t1＝＝2 s
火箭能夠繼續上升的高度h1＝＝20 m
因此火箭離地面的最大高度H＝h＋h1＝60 m。
(3)火箭由最高點落至地面的時間
t2＝＝2 s
火箭從發射到返回發射點的時間
t總＝t＋t1＋t2≈9.46 s。
[答案]　(1)20 m/s　(2)60 m　(3)9.46 s
1．一同學將排球自O點墊起，排球豎直向上運動，隨后下落回到O點。設排球在運動過程中所受空氣阻力忽略不計。則該排球(　　)
A．上升時間等于下落時間
B．離開O點時的速度與落回O點時的速度相同
C．達到最高點時加速度為零
D．上升加速度與下降加速度方向相反
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素養提升練(三)
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A　[排球上升和下降過程中加速度相等均為g，則根據豎直上拋運動的對稱性可知上升時間等于下落時間，選項A正確；離開O點時的速度與落回O點時的速度大小相等，但方向不同，選項B錯誤；達到最高點時加速度為g，選項C錯誤；上升加速度與下降加速度方向相同，均為豎直向下，選項D錯誤。]
2．一小球以25 m/s的初速度豎直向上拋出，重力加速度g取10 m/s2，不計空氣阻力，則小球拋出后第3 s末的速度(　　)
A．大小為5 m/s，方向豎直向下
B．大小為5 m/s，方向豎直向上
C．大小為55 m/s，方向豎直向上
D．大小為55 m/s，方向豎直向下
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A　[根據豎直上拋運動的規律有v＝v0－gt，解得v＝－5 m/s，故第
3 s末小球速度大小為5 m/s，方向豎直向下，故選A。]
3．一跳水運動員從離水面10 m高的平臺上向上躍起，舉雙臂直體離開臺面，此時其重心位于從手到腳全長的中心，躍起后重心升高0.45 m達到最高點，落水時身體豎直，手先入水(在此過程中運動員水平方向的運動忽略不計)。從離開跳臺到手觸水面，他可用于完成空中動作的時間最接近下面哪個答案(計算時，可以把運動員看作全部質量集中在重心的一個質點。g取 10 m/s2)(　　)
A．1.8 s B．1.7 s
C．1.6 s D．1.4 s
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B　[跳水運動員到達最高點時有h1＝，可得跳水運動員到達最高點的時間為t1＝0.3 s，跳水運動員從最高點運動至水面，有h1＋h2＝，可得跳水運動員從最高點運動至水面的時間為t2≈1.4 s，可用于完成空中動作的時間約為t＝t1＋t2＝1.7 s，故選B。]
4．超速行駛和疲勞駕駛是導致交通事故最多的危險駕駛行為。某司機駕駛一輛小轎車在其疲勞駕駛階段以180 km/h的速度在平直的公路上行駛，某時刻突然發現正前方60 m處有一輛卡車正在以
72 km/h的速度行駛，于是立即制動，制動加速度大小恒為 5 m/s2。 若忽略司機的反應時間，在小轎車采取制動的同時，卡車立即做勻加速直線運動，為避免相撞，卡車的加速度大小至少為(　　)
A．15 m/s2 B．2 m/s2
C．2.5 m/s2 D．3 m/s2
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C　[由題知，小轎車的初速度v1＝180 km/h＝50 m/s，卡車的初速度為v2＝72 km/h＝20 m/s。 當兩車速度相等的時候，距離最小，若此時恰好追上，設卡車的加速度大小為a2，根據速度關系有v1－a1t＝v2＋a2t，根據位移關系有v1t－a1t2＝v2t＋a2t2＋Δx，其中Δx＝
60 m，聯立可得t＝4 s，a2＝2.5 m/s2，故選C。]
5．一個從地面開始做豎直上拋運動的物體，它兩次經過一個較低點A的時間間隔是TA，兩次經過一個較高點B的時間間隔是TB，重力加速度為g，則A、B兩點之間的距離為(　　)
A． B．
C． D．g(TA－TB)
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A　[物體做豎直上拋運動經過同一點，上升時間與下落時間相等，則從豎直上拋運動的最高點到點A的時間tA＝，從豎直上拋運動的最高點到點B的時間tB＝，則A、B兩點的距離x＝＝，故選A。]
6．(多選)在平直公路上，自行車與同方向行駛的一輛汽車在t＝0時同時經過某一個路標，它們的位移x(m)隨時間t(s)變化的規律：汽車為x＝ m，自行車為x＝6t m，則下列說法正確的是(　　)
A．汽車做勻減速直線運動，自行車做勻速運動
B．不能確定汽車和自行車各做什么運動
C．開始經過路標后較短時間內汽車在前，自行車在后
D．當自行車追上汽車時，它們距路標96 m
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ACD　[由汽車的位移時間關系為x＝()m 可知汽車做勻減速直線運動，由自行車的位移時間關系為x＝6t m可知自行車做勻速直線運動，選項A正確，B錯誤；開始階段汽車的初速度大于自行車的速度，所以在較短時間內汽車的位移大于自行車的位移，汽車在前，自行車在后，選項C正確；根據 m＝6t m得t＝16 s，此時距路標的距離s＝96 m，選項D正確。]
A　　 　　　B　　 　　　C　　　　 　　D
7．(多選)兩輛游戲賽車a、b在兩條平行的直車道上行駛，t＝0時兩車都在同一計時線處，此時比賽開始。它們在四次比賽中的v-t圖像如圖所示，則下列圖像對應的比賽中，有一輛賽車能夠追上另一輛的是(　　)
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AC　[選項A中，當t＝20 s時，兩圖線與時間軸所圍的“面積”相等，此時b追上a，選項A正確；選項B中，a圖線與時間軸所圍的“面積”始終小于b圖線與時間軸所圍的“面積”，所以不可能追上，選項B錯誤；選項C中，在t＝20 s時，兩圖線與時間軸所圍的“面積”相等，此時b追上a，選項C正確；選項D中，a圖線與時間軸所圍的“面積”始終小于b圖線與時間軸所圍的“面積”，所以不可能追上，選項D錯誤。]
8．一個步行者以6 m/s的速度勻速追趕一輛被紅燈阻停的汽車，當他距離汽車25 m時，綠燈亮了，汽車以1 m/s2的加速度勻加速啟動前進，下列結論正確的是(　　)
A．步行者能追上汽車，追趕過程中步行者跑了36 m
B．步行者不能追上汽車，步行者、車最近距離是7 m
C．步行者能追上汽車，追上前步行者共跑了43 m
D．步行者不能追上汽車，且汽車啟動后步行者、車相距越來越遠
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B　[設經過時間t兩者速度相等，此時步行者與汽車的距離最近，t＝＝ s＝6 s，步行者的位移為x1＝vt＝6×6 m＝36 m，汽車的位移為x2＝＝×1×36 m＝18 m，x1－x2＝18 m＜25 m，故不能追上，步行者、車最近距離是Δx＝25 m－18 m＝7 m，故B正確，A、C、D錯誤。]
9．甲、乙兩車在同一條平直公路上行駛，其x-t圖像如圖所示，已知甲車做勻變速直線運動，其余數據已在圖中標出。根據圖中數據可知(　　)
A．t＝2 s時刻，甲、乙兩車速度大小相等
B．t＝2 s時刻，甲、乙兩車相遇
C．0～2 s內，甲車位移等于乙車位移
D．相遇之前，t＝1 s時兩車相距最遠
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B　[x-t圖像的斜率表示速度，可知t＝2 s時刻，甲車的速度比乙車大，故A錯誤；t＝2 s時刻，甲、乙兩車相遇，故B正確；0～2 s內，甲車的位移為x甲＝
6 m－(－2)m＝8 m，乙車的位移為x乙＝(6－0) m＝6 m10．如圖所示，A、B兩物體相距s＝7 m，物體A以vA＝4 m/s的速度向右勻速運動，而物體B此時的速度為vB＝10 m/s，向右做勻減速運動，加速度a＝－2 m/s2，那么物體A追上物體B所用的時間為(　　)
A．7 s
B．8 s
C．9 s
D．10 s
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B　[物體A做勻速直線運動，位移xA＝vAt＝4t(m)。 物體B做勻減速直線運動，減速過程的位移xB＝vBt＋at2＝(10t－t2) m。設物體B速度減為零所用時間為t1，則t1＝＝5 s，在t1＝5 s 的時間內，物體B的位移為xB1＝25 m，物體A的位移為xA1＝20 m，由于xA1＜xB1＋s，故前 5 s 內物體A未追上物體B；5 s后，物體B靜止不動，故物體A追上物體B的總時間為t總＝＝ s＝8 s，故選項B正確。]
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11．當汽車在路上出現故障時，應在車后放置三角警示牌(如圖所示)，以提醒后面駕車司機，減速安全通過。在夜間，有一貨車因故障停駛，后面有一小轎車以30 m/s的速度向前駛來，由于夜間視線不好，小轎車駕駛員只能看清前方50 m的物體，并且他的反應時間為0.6 s，制動后加速度大小最大為5 m/s2。求：
(1)小轎車從剎車到停止所用的最短時間；
(2)三角警示牌至少要放在車后多遠處，才能有效避免兩車相撞。
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[解析]　(1)設從剎車到停止最短時間為t2，則
t2＝＝ s＝6 s。
(2)反應時間內做勻速運動，則x1＝v0t1
解得x1＝18 m
設從剎車到停止的最小位移為x2，則x2＝
解得x2＝90 m
則小轎車從發現警示牌到停止的行駛距離為
x＝x1＋x2＝108 m
所求間距Δx＝x－50 m＝58 m。
[答案]　(1)6 s　(2)58 m
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12．如圖所示，AB為空心圓管、C是可視為質點的小球，AB長度為L＝
1 m，AB與C在同一豎直線上，A、C之間距離為h＝20 m。零時刻，AB做自由落體運動，C從地面以初速度v0開始做豎直上拋運動，g＝10 m/s2。
(1)若小球從A點由靜止開始下落，求它落到地面所需的時間；
(2)要使小球C在AB落地前穿過AB，v0至少多大？
(3)若小球向上穿過AB管的時間為0.01 s，求小球上拋時的
初速度v0的大小。
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[解析]　(1)小球從A點由靜止開始下落，做自由落體運動，根據h＝gt2
解得小球落到地面所需的時間為t＝＝2 s。
(2)要使C在AB落地前穿過AB的臨界條件是：圓管落地的瞬間小球與B點相遇；圓管的落地時間為2 s，此時C恰好與B相遇，則v0t－gt2＝L
解得v0＝10.5 m/s。
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(3)設小球C從開始至剛到空心圓管A端的時間為t1，AB空心圓管下落的高度為h1＝
小球C上升的高度為x1＝
且h1＋x1＝h，可得v0t1＝h
設小球C剛穿過AB空心圓管時的時間為t2，AB空心圓管下落的高度為h2＝
題號
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小球C上升的高度為x2＝
則h2＋x2－L＝h，得v0t2－L＝h
又t2－t1＝0.01 s
聯立解得v0＝100 m/s。
[答案]　(1)2 s　(2)10.5 m/s　(3)100 m/s
謝 謝！

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