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現(xiàn)代文閱讀Ⅰ
把握共性之“新”　打通應(yīng)考之“脈”
素養(yǎng)提升課(一)　勻變速直線運(yùn)動(dòng)　平均速度公式及圖像問題
第二章　勻變速直線運(yùn)動(dòng)的研究
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]
1．掌握勻變速直線運(yùn)動(dòng)的平均速度公式，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。
2．掌握勻變速直線運(yùn)動(dòng)的x-t圖像和v-t圖像中坐標(biāo)、斜率、截距、交點(diǎn)的含義。
3．能根據(jù)圖像分析物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。
探究重構(gòu)·關(guān)鍵能力達(dá)成
探究1　勻變速直線運(yùn)動(dòng)的平均速度公式
1．三個(gè)平均速度公式及適用條件
(1)＝，適用于所有運(yùn)動(dòng)。
(2)＝，適用于勻變速直線運(yùn)動(dòng)。
(3)＝，即一段時(shí)間內(nèi)的平均速度等于這段時(shí)間中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度，適用于勻變速直線運(yùn)動(dòng)。
2．公式＝＝的推導(dǎo)
設(shè)物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的初速度為v0，加速度為a，t時(shí)刻的速度為v
由x＝v0t＋at2得
平均速度＝＝v0＋at　①
由v＝v0＋at知，當(dāng)t′＝時(shí)有＝v0＋a·　②
由①②得＝
又v＝＋a·　③
由②③解得＝
綜上所述有＝＝。
[解析]　如圖所示，連續(xù)兩段相等時(shí)間T內(nèi)的平均速度分別為
＝＝ m/s＝6 m/s
＝＝ m/s＝16 m/s
且＝＝
【典例1】　一物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在連續(xù)相等的兩個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)，通過的位移分別是24 m和64 m，每一個(gè)時(shí)間間隔為4 s，求物體的初速度、末速度及加速度。
由于B是A、C的中間時(shí)刻，則vB＝＝＝ m/s＝11 m/s
解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s
加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2。
[答案]　1 m/s　21 m/s　2.5 m/s2
[針對(duì)訓(xùn)練]
1．一輛汽車從車站由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，一段時(shí)間之后，司機(jī)發(fā)現(xiàn)一乘客未上車，便立即剎車做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。已知汽車從啟動(dòng)到停止一共經(jīng)歷了10 s，在此過程中，汽車的最大速度為5 m/s，則這段時(shí)間內(nèi)汽車前進(jìn)的位移為(　　)
A．20 m B．25 m
C．30 m D．40 m
√
B　[設(shè)汽車的最大速度為vm，加速時(shí)間為t1，減速時(shí)間為t2，加速階段的平均速度＝＝，減速階段的平均速度＝＝，x＝t1＋t2＝(t1＋t2)＝vmt，解得x＝25 m，故選B。]
2．一物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，相繼經(jīng)過兩段距離為 24 m 的路程，第一段用時(shí)2 s，第二段用時(shí)4 s，則物體的加速度大小是(　　)
A．1 m/s2 B．2 m/s2
C．6 m/s2 D．12 m/s2
√
B　[第一段平均速度為v1＝＝ m/s＝12 m/s，第二段平均速度為v2＝＝ m/s＝6 m/s，根據(jù)某段時(shí)間內(nèi)的平均速度等于中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度知，兩個(gè)中間時(shí)刻的時(shí)間間隔為Δt＝1 s＋2 s＝3 s，加速度為a＝＝ m/s2＝－2 m/s2，故選B。]
探究2　x-t圖像與v-t圖像
1．x-t圖像與v-t圖像的比較
比較內(nèi)容 x-t圖像 v-t圖像
圖像
物理意義 反映的是位移隨時(shí)間的變化規(guī)律 反映的是速度隨時(shí)間的變化規(guī)律
比較內(nèi)容 x-t圖像 v-t圖像
① 表示物體從位移為正處開始一直做反向勻速直線運(yùn)動(dòng)并過零位移處 表示物體先做正向勻減速直線運(yùn)動(dòng)，再做負(fù)向勻加速直線運(yùn)動(dòng)
② 表示物體靜止不動(dòng) 表示物體做正向勻速直線運(yùn)動(dòng)
比較內(nèi)容 x-t圖像 v-t圖像
③ 表示物體從位移為零處開始做正向勻速運(yùn)動(dòng) 表示物體從靜止開始做正向勻加速直線運(yùn)動(dòng)
④ 表示物體做加速直線運(yùn)動(dòng) 表示物體做加速度逐漸增大的加速運(yùn)動(dòng)
比較內(nèi)容 x-t圖像 v-t圖像
圖像與時(shí)間軸圍成 的“面積”的意義 無實(shí)際意義 表示相應(yīng)時(shí)間內(nèi)的位移
2．圖像問題的三點(diǎn)注意
(1)x-t圖像：圖像上某點(diǎn)切線的斜率表示該時(shí)刻物體的速度，圖像上一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)物體某一時(shí)刻的位置。
(2)v-t圖像：圖像上某點(diǎn)切線的斜率表示該時(shí)刻物體的加速度，圖像上一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)物體某一時(shí)刻的速度。
(3)形狀一樣的圖線，在不同圖像中所表示的物理意義不同，因此在應(yīng)用時(shí)要特別注意看清楚圖像的縱、橫軸所描述的是什么物理量。
【典例2】　如圖所示的x-t圖像和v-t圖像中，給出四條曲線1、2、3、4代表四個(gè)不同物體的運(yùn)動(dòng)情況，關(guān)于它們的物理意義，下列描述正確的是(　　)
A．圖線1表示物體做曲線運(yùn)動(dòng)
B．x-t圖像中t1時(shí)刻v1＞v2
C．v-t圖像中0至t3時(shí)間內(nèi)3和4的平均速度大小相等
D．兩圖像中，t2、t4時(shí)刻2、4開始反向運(yùn)動(dòng)
√
B　[圖線1表示的是變速直線運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；x-t圖像中t1時(shí)刻物體1的速度v1大于物體2的速度v2，選項(xiàng)B正確；在v-t圖像中圖線與時(shí)間軸圍成圖形的面積表示位移，0至t3時(shí)間內(nèi)，x4＞x3，則＞，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；x-t圖像中t2時(shí)刻物體2開始反向運(yùn)動(dòng)，v-t圖像中t4時(shí)刻物體4開始減速，但運(yùn)動(dòng)方向不變，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。]
[針對(duì)訓(xùn)練]
3．(多選)蹦極是一項(xiàng)非常刺激的戶外休閑活動(dòng)。如圖甲所示，為了研究游客下落速度與下落時(shí)間的關(guān)系，在游客身上安裝傳感器，讓其從靜止開始豎直下落，得到如圖乙所示的v-t圖像，圖中0～t1時(shí)間內(nèi)圖線為直線，t1～t3時(shí)間內(nèi)圖線為曲線。以下說法正確的是(　　)
A．0～t1時(shí)間內(nèi)，游客的位移大小為v1t1
B．t1～t2時(shí)間內(nèi)，游客的平均速度大于
C．t2時(shí)刻，游客的加速度等于零
D．t2～t3時(shí)間內(nèi)，游客做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)
√
√
BC　[根據(jù)v-t圖線與橫軸圍成的面積表示位移，可知0～t1時(shí)間內(nèi)，游客的位移大小為x1＝v1t1，故A錯(cuò)誤；t1～t2時(shí)間內(nèi)，游客做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，若游客做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，則游客的平均速度為
，故B正確；根據(jù)v-t圖線的斜率表示加速度，可知t2時(shí)刻，游客的加速度等于零，故C正確；t2～t3時(shí)間內(nèi)，v-t 圖線的斜率為負(fù)，絕對(duì)值增大，故游客做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)，故D錯(cuò)誤。]
4．(多選)甲、乙兩質(zhì)點(diǎn)均做直線運(yùn)動(dòng)，其中甲的位移—時(shí)間圖像如圖(a)所示，乙的速度—時(shí)間圖像如圖(b)所示，根據(jù)圖像可判斷(　　)


A．0～2 s內(nèi)，甲質(zhì)點(diǎn)做加速直線運(yùn)動(dòng)，乙質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)
B．2～3 s內(nèi)，甲質(zhì)點(diǎn)靜止不動(dòng)，乙質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)
C．3～5 s內(nèi)，甲質(zhì)點(diǎn)和乙質(zhì)點(diǎn)均做減速直線運(yùn)動(dòng)
D．0～5 s內(nèi)，甲質(zhì)點(diǎn)的位移為－10 m，乙質(zhì)點(diǎn)的位移為100 m
√
√
BD　[x-t圖像的斜率表示速度，v-t圖像的斜率表示加速度，則0～
2 s內(nèi)甲質(zhì)點(diǎn)的速度不變，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，乙質(zhì)點(diǎn)的加速度方向與初速度方向相同，做加速直線運(yùn)動(dòng)，A錯(cuò)誤；2～3 s內(nèi)，甲質(zhì)點(diǎn)靜止不動(dòng)，乙質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，B正確；3～5 s內(nèi)，甲質(zhì)點(diǎn)的速度不變，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，乙質(zhì)點(diǎn)的速度減小，做減速直線運(yùn)動(dòng)，C錯(cuò)誤；0～5 s內(nèi)，甲質(zhì)點(diǎn)的位移為x甲＝(0－10) m＝－10 m，乙質(zhì)點(diǎn)的位移等于v-t圖像與t軸所圍成的面積，為100 m，D正確。]
1．某戰(zhàn)機(jī)起飛前由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，達(dá)到起飛速度v所需的時(shí)間為t，則起飛前的運(yùn)動(dòng)距離為(　　)
A．vt B．
C．2vt D．不能確定
題號(hào)
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√
素養(yǎng)提升練(一)
B　[因?yàn)閼?zhàn)機(jī)在起飛前由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則x＝ t＝t＝t，B正確。]
題號(hào)
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√
2．一輛汽車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，初速度為2 m/s，經(jīng)過4 s速度為
10 m/s，在這段時(shí)間內(nèi)，下列說法正確的是(　　)
A．汽車的加速度為4 m/s2 B．汽車的加速度為3 m/s2
C．汽車的位移為24 m D．汽車的平均速度為3 m/s
C　[汽車的加速度a＝＝2 m/s2，故A、B錯(cuò)誤；平均速度t＝24 m，故C正確。]
3．一物體先做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度a1＝2 m/s2，加速一段時(shí)間t1，然后接著做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，直到速度減為零，已知整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程所用的時(shí)間t＝20 s，總位移為300 m，則物體運(yùn)動(dòng)的最大速度為(　　)
A．15 m/s B．30 m/s
C．7.5 m/s D．無法求解
題號(hào)
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題號(hào)
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B　[設(shè)最大速度為vm，勻加速直線運(yùn)動(dòng)過程＝(0＋vm)＝vm，勻減速直線運(yùn)動(dòng)過程
＝＝＝ m/s，解得vm＝30 m/s，故選B。]
4．(多選)一個(gè)物體自t＝0時(shí)開始做直線運(yùn)動(dòng)，其速度—時(shí)間圖像如圖所示。下列說法正確的是(　　)
A．第5 s內(nèi)的加速度方向與第6 s內(nèi)
的加速度方向相反
B．在第5 s末，物體離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)
C．在0～4 s內(nèi)，物體的平均速度為7.5 m/s
D．在0～6 s內(nèi)，物體的平均速率為7.5 m/s
題號(hào)
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√
√
題號(hào)
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BC　[v-t圖像的斜率表示加速度，可知第5 s內(nèi)的加速度方向與第6 s內(nèi)的加速度方向相同，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；在0～5 s內(nèi)物體的速度一直為正值，可知在第5 s末，物體離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)，選項(xiàng)B正確；在0～4 s 內(nèi)，物體的位移x4＝×10 m＝30 m，平均速度為＝＝ m/s＝7.5 m/s，選項(xiàng)C正確；在0～6 s內(nèi)，物體的路程x6＝×10 m＋×1×10 m＝40 m，平均速率為＝＝ m/s≈6.67 m/s，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。]
題號(hào)
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5．(多選)如圖為一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)的速度—時(shí)間圖像，如圖中實(shí)線所示，其初速度為v0，末速度為v，則它在t0時(shí)間內(nèi)的平均速度和加速度應(yīng)是(　　)
A．平均速度小于 B．平均速度大于
C．加速度逐漸減小 D．加速度逐漸增大
√
√
題號(hào)
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AD　[如圖所示，若質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的v-t 圖線為②，則
＜，故A正確，B錯(cuò)誤；由a＝知，某一時(shí)刻圖線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線的斜率可表示該時(shí)刻的加
速度的大小，由題圖可看出圖線的斜率在不斷變
大，也就表示加速度在不斷變大，故C錯(cuò)誤，D正
確。]
題號(hào)
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6．一物體做直線運(yùn)動(dòng)，其加速度隨時(shí)間變化的a-t圖像如圖所示，下列v-t圖像中，可能正確描述此物體運(yùn)動(dòng)的是(　　)
A　　　　 　　B　　　　 　C　　　　 　　D
√
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D　[0～時(shí)間內(nèi)物體向正方向加速運(yùn)動(dòng)，時(shí)刻的速度為；～T時(shí)間內(nèi)物體向正方向以速度做勻速運(yùn)動(dòng)；T～時(shí)間內(nèi)加速度大小不變，方向相反，則向正方向減速運(yùn)動(dòng)，時(shí)刻的速度減為零；～2T時(shí)間內(nèi)向負(fù)方向做加速運(yùn)動(dòng)，2T時(shí)刻的速度為－。故選D。]
7．(多選)若AB＝3 m、BC＝12 m，如圖所示。已知質(zhì)點(diǎn)在A、B間的速度增加量為Δv＝2 m/s，在B、C間的速度增加量為Δv′ ＝4 m/s，則下列說法正確的是(　　)
A．質(zhì)點(diǎn)在A、B間的平均速度大小為3 m/s
B．質(zhì)點(diǎn)從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間為3 s
C．質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的速度大小為3 m/s
D．質(zhì)點(diǎn)的加速度大小為2 m/s2
題號(hào)
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√
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AD　[設(shè)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過A時(shí)速度為v，又由于質(zhì)點(diǎn)在AB段速度增加量為Δv＝2 m/s，
故通過B時(shí)速度為v＋2 m/s，同理通過C時(shí)速度為v＋6 m/s，根據(jù)勻變速直線
運(yùn)動(dòng)的速度與位移的關(guān)系，有(v＋2 m/s)2－v2＝2a·AB，(v＋6 m/s)2－(v＋
2 m/s)2＝2a·BC，聯(lián)立解得v＝2 m/s，a＝2 m/s2，故C錯(cuò)誤，D正確；質(zhì)點(diǎn)在
AB段的平均速度大小
′＝ m/s＝6 m/s，質(zhì)點(diǎn)從B處運(yùn)動(dòng)到C處
的時(shí)間為t＝＝2 s，故B錯(cuò)誤。]
8．甲、乙兩輛小車在同一平直公路上同向做直線運(yùn)動(dòng)，甲做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，乙做勻速直線運(yùn)動(dòng)。其x-t圖像如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．在t2時(shí)刻兩車速度相等
B．在0～t2時(shí)間內(nèi)，甲車的平均速度等于乙車
的平均速度
C．在t2時(shí)刻，甲車速度大于乙車速度
D．在t1～t2之間的某一時(shí)刻，兩車加速度相等
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C　[x-t圖像斜率表示速度，由題圖可知，在t2時(shí)刻甲車圖線斜率大于乙車圖線斜率，則在t2時(shí)刻甲車速度大于乙車速度，故A錯(cuò)誤，C正確；根據(jù)＝可知，由于0～t2時(shí)間內(nèi)兩車的位移不相等，則平均速度不相等，故B錯(cuò)誤；由題意可知，甲車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，乙車做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則兩車的加速度不可能相等，故D錯(cuò)誤。]
題號(hào)
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9．一質(zhì)點(diǎn)做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，初速度v0＝2 m/s，前4 s內(nèi)位移為
20 m，求：
(1)質(zhì)點(diǎn)前4 s內(nèi)的平均速度大小；
(2)質(zhì)點(diǎn)第4 s末的速度大小；
(3)質(zhì)點(diǎn)第2 s末的速度大小。
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[解析]　(1)利用平均速度公式，前4 s內(nèi)的平均速度大小
＝＝ m/s＝5 m/s。
(2)根據(jù)＝
代入數(shù)據(jù)解得，第4 s末的速度大小v4＝8 m/s。
(3)第2 s末為這段時(shí)間的中間時(shí)刻，故v2＝＝5 m/s。
[答案]　(1)5 m/s　(2)8 m/s　(3)5 m/s
10．公交車是學(xué)生上學(xué)的重要交通工具之一，當(dāng)公交車快到校門口時(shí)，司機(jī)往往關(guān)閉公交車發(fā)動(dòng)機(jī)，讓公交車做勻減速直線運(yùn)動(dòng)進(jìn)站，已知行駛120 m時(shí)速度減小為原來的一半，再行駛8 s靜止，求公交車關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)的速度大小和行駛的距離。
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[解析]　以公交車初速度方向?yàn)檎较颍卉囘M(jìn)入站臺(tái)前做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)公交車關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)的速度為v0，加速度大小為a，則at2＝
而前半段時(shí)間t1＝＝t2＝8 s
由s1＝t1＝120 m
解得v0＝20 m/s
行駛的距離s＝(t1＋t2)＝160 m。
[答案]　20 m/s　160 m
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11．空間探測器從某一星球表面豎直升空，發(fā)動(dòng)機(jī)推力為恒力。探測器升空后發(fā)動(dòng)機(jī)因故障突然關(guān)閉，探測器從升空到落回星球表面的速度隨時(shí)間變化的圖像如圖所示，根據(jù)圖像，求：
(1)該探測器在加速上升時(shí)的加速度大小
及上升的最大高度Hm；
(2)探測器落回星球表面時(shí)的速度大小v；
(3)探測器從最大高度到落回星球表面所用的時(shí)間t。
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[解析]　(1)在0～10 s內(nèi)探測器在加速上升，其加速度大小為
a1＝＝6 m/s2
由題圖得，探測器上升的最大高度為
Hm＝ m＝900 m。
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(2)在10 s后，探測器關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，其運(yùn)動(dòng)過程中的加速度大小為a2＝＝3 m/s2
由v2＝2a2Hm
得v＝＝30 m/s。
(3)由Hm＝a2t2得探測器從最高點(diǎn)下落到星球表面的時(shí)間為t＝＝10 s。
[答案]　(1)6 m/s2　900 m　(2)30 m/s　(3)10 s
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