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現(xiàn)代文閱讀Ⅰ
把握共性之“新”　打通應(yīng)考之“脈”
3．勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系
第二章　勻變速直線運(yùn)動(dòng)的研究
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]
1．知道勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與 v-t 圖像中圖線與橫軸圍成面積的關(guān)系。
2．理解勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系并會(huì)用來分析、解決問題。
3．會(huì)推導(dǎo)速度與位移的關(guān)系式，會(huì)用公式＝2ax進(jìn)行分析和計(jì)算。
[教用·問題初探]——通過讓學(xué)生回答問題來了解預(yù)習(xí)教材的情況
問題1　位移與時(shí)間關(guān)系式x＝v0t＋at2適用于哪種運(yùn)動(dòng)形式？
問題2　公式＝2ax中各符號(hào)的意義是什么？
探究重構(gòu)·關(guān)鍵能力達(dá)成
知識(shí)點(diǎn)一　勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移
【鏈接教材】　如圖是某物體以初速度v0做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的v-t圖像。
(1)如圖甲所示，把物體的運(yùn)動(dòng)分成5段，每一段時(shí)間內(nèi)，看成勻速直線運(yùn)動(dòng)，試著在圖中表示出這5小段的位移之和。
(2)如圖乙所示，如果把過程分割為更多的小段，和甲圖相比，哪種情形更接近整個(gè)過程的位移？
(3)依次類推，如果把過程分割成無數(shù)個(gè)小段，能否用梯形的面積代表物體在這段時(shí)間的位移？
提示：(1)位移為題圖甲中矩形面積之和，如圖中陰影所示。
(2)題圖乙更接近整個(gè)過程中的位移。
(3)能。
【知識(shí)梳理】　
1．位移在v-t圖像中的表示
做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的位移大小對(duì)應(yīng)著v-t圖像中的圖線和_________包圍的圖形的“面積”。如圖所示，物體在0～t時(shí)間內(nèi)的位移大小等于______的面積。
時(shí)間軸
梯形
2．位移與時(shí)間的關(guān)系式：x＝______________。
當(dāng)初速度為0時(shí)，x＝。
v0t＋at2
【思考討論】　如圖所示，汽車由靜止以加速度a1啟動(dòng)，行駛一段時(shí)間t1后，又以加速度a2剎車，經(jīng)時(shí)間t2后停下來。請(qǐng)思考：
提示：加速度方向不同。
問題1　汽車加速過程及剎車過程中，加速度的方向相同嗎？
問題2　根據(jù)位移與時(shí)間的關(guān)系式求加速過程及減速過程中的位移、速度及加速度的正負(fù)號(hào)如何確定？
提示：根據(jù)位移與時(shí)間的關(guān)系式求位移時(shí)，一般取初速度方向?yàn)檎较?，加速時(shí)，加速度取正值，減速時(shí)，加速度取負(fù)值。
【知識(shí)歸納】　
1．對(duì)位移與時(shí)間的關(guān)系式x＝v0t＋at2的理解
公式意義 位移隨時(shí)間變化的規(guī)律
各量意義 x、v0、a分別為t時(shí)間內(nèi)的位移、初速度、加速度
公式特點(diǎn) 含有4個(gè)量，若知其中三個(gè)，能求另外一個(gè)
矢量性 x、v0、a均為矢量，應(yīng)用公式時(shí)，一般選v0的方向?yàn)檎较?，若勻加速，a＞0；若勻減速，a＜0
適用條件 勻變速直線運(yùn)動(dòng)
2．兩種特殊形式
(1)當(dāng)v0＝0時(shí)，x＝at2，即由靜止開始的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，位移x與t2成正比。
(2)當(dāng)a＝0時(shí)，x＝v0t，即勻速直線運(yùn)動(dòng)，位移x與t成正比。
【典例1】　(對(duì)位移與時(shí)間的關(guān)系式符號(hào)的理解)物體做直線運(yùn)動(dòng)的位移x與時(shí)間t的關(guān)系為x＝5t＋t2(m)，則該物體(　　)
A．運(yùn)動(dòng)的初速度是2.5 m/s
B．運(yùn)動(dòng)的加速度是0.5 m/s2
C．第1 s內(nèi)的位移是5 m
D．在前4 s內(nèi)的平均速度是9 m/s
√
D　[根據(jù)位移與時(shí)間的關(guān)系式x＝v0t＋at2，與題中的關(guān)系式對(duì)比，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系可得到v0＝5 m/s，a＝2 m/s2，故A、B錯(cuò)誤；把t＝1 s代入位移與時(shí)間關(guān)系式，解得第1 s內(nèi)的位移是6 m，故C錯(cuò)誤；在前4 s內(nèi)，物體的平均速度為＝＝(5＋t) m/s＝9 m/s，故D正確。]
【典例2】　[鏈接教材P43例題1](位移與時(shí)間的關(guān)系式的應(yīng)用)一質(zhì)點(diǎn)沿直線從靜止開始以1 m/s2的加速度水平向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)5 s加速后，做勻速直線運(yùn)動(dòng)4 s，又經(jīng)2 s做勻減速直線運(yùn)動(dòng)直到靜止，則：
(1)質(zhì)點(diǎn)勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)速度是多大？
(2)做減速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度？
(3)質(zhì)點(diǎn)通過的總位移為多大？
[解析]　(1)加速過程的末速度大小為v＝v0＋a1t1＝0＋1×5 m/s＝
5 m/s。
(2)減速運(yùn)動(dòng)時(shí)a3＝＝ m/s2＝－2.5 m/s2，負(fù)號(hào)表示方向與運(yùn)動(dòng)方向相反，即方向向左。
(3)加速位移x1＝＝×1×52 m＝12.5 m
勻速位移x2＝vt2＝5×4 m＝20 m
減速位移x3＝＝(5×2－×2.5×22) m＝5 m
則總位移大小x＝x1＋x2＋x3＝37.5 m。
[答案]　(1)5 m/s　(2)2.5 m/s2，方向向左　(3)37.5 m
方法技巧　應(yīng)用位移公式x＝v0t＋at2的解題步驟
(1)規(guī)定一個(gè)正方向(一般以初速度的方向?yàn)檎较?。
(2)根據(jù)規(guī)定的正方向確定已知量的正、負(fù)，并用帶有正、負(fù)的數(shù)值表示。
(3)根據(jù)位移與時(shí)間的關(guān)系式或其變形式列式、求解。
(4)根據(jù)計(jì)算結(jié)果說明所求量的大小、方向。
【教材原題P43例題1】　航空母艦的艦載機(jī)既要在航母上起飛，也要在航母上降落。
(1)某艦載機(jī)起飛時(shí)，采用彈射裝置使飛機(jī)獲得10 m/s的速度后，由機(jī)上發(fā)動(dòng)機(jī)使飛機(jī)獲得25 m/s2的加速度在航母跑道上勻加速前進(jìn)，2.4 s后離艦升空。飛機(jī)勻加速滑行的距離是多少？
(2)飛機(jī)在航母上降落時(shí)，需用阻攔索使飛機(jī)迅速停下來。若某次飛機(jī)著艦時(shí)的速度為80 m/s，飛機(jī)鉤住阻攔索后經(jīng)過2.5 s停下來。將這段運(yùn)動(dòng)視為勻減速直線運(yùn)動(dòng)，此過程中飛機(jī)加速度的大小及滑行的距離各是多少？
分析　兩個(gè)問題都是已知?jiǎng)蜃兯僦本€運(yùn)動(dòng)的時(shí)間來計(jì)算位移。第(1)問需要用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系式計(jì)算。第(2)問中，飛機(jī)著艦做勻減速直線運(yùn)動(dòng)的加速度需要根據(jù)速度與時(shí)間的關(guān)系式計(jì)算。勻減速運(yùn)動(dòng)各矢量的方向較為復(fù)雜，因此需要建立一維坐標(biāo)系來確定它們的正負(fù)。
解　(1)根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系式，有x＝v0t＋at2＝
10 m/s×2.4 s＋×25 m/s2×(2.4 s)2＝96 m
(2)沿飛機(jī)滑行方向建立一維坐標(biāo)系(如圖)，飛機(jī)初速度v0＝80 m/s，末速度v＝0，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度與時(shí)間的關(guān)系式，有
a＝＝－＝－＝－32 m/s2
加速度為負(fù)值表示方向與x軸正方向相反。
再根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系式，有x＝v0t＋at2＝v0t＋t2＝v0t＝×80 m/s×2.5 s＝100 m
飛機(jī)起飛時(shí)滑行距離為96 m。著艦過程中加速度的大小為32 m/s2，滑行距離為100 m。
知識(shí)點(diǎn)二　速度與位移的關(guān)系
1．公式：＝______。
2．推導(dǎo)
速度公式：v＝_________。
位移公式：x＝______________。
由以上兩式消去t得：＝______。
2ax
v0＋at
v0t＋at2
2ax
【思考討論】　交通事故中，交警只要知道剎車時(shí)的加速度大小，再測(cè)出剎車痕跡的長(zhǎng)度，就可以求得汽車開始剎車時(shí)的速度，從而判斷汽車是否超速。這是怎么辦到的？
問題1　汽車剎車時(shí)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，車輛的加速度a是已知的，測(cè)出的剎車痕跡長(zhǎng)度即剎車時(shí)位移x的大小，若開始剎車時(shí)的車速為v0，則x與剎車時(shí)間t的關(guān)系式是什么？
提示：x＝v0t＋at2。
問題2　交通事故中剎車時(shí)間t無法測(cè)量，如何求出汽車開始剎車時(shí)的速度v0
提示：剎車時(shí)間t是未知的，但是將公式v＝v0＋at和x＝v0t＋at2聯(lián)立，消去t，可得速度與位移的關(guān)系式＝2ax，末速度v為零，測(cè)量出剎車距離x，并將已知的加速度a代入關(guān)系式，即可計(jì)算出汽車開始剎車時(shí)的速度v0。
【知識(shí)歸納】　
1．適用條件：勻變速直線運(yùn)動(dòng)，尤其是不涉及時(shí)間t的問題。
2．公式的意義：公式反映了初速度v0、末速度v、加速度a、位移x之間的關(guān)系，當(dāng)其中任意三個(gè)物理量已知時(shí)，可求另一個(gè)未知量。
3．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，應(yīng)用時(shí)必須選取統(tǒng)一的正方向。一般選v0方向?yàn)檎较颉?br/>4．兩種特殊形式
(1)當(dāng)v0＝0時(shí)，v2＝2ax(表示初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng))。
(2)當(dāng)v＝0時(shí)＝2ax(表示末速度為零的勻減速直線運(yùn)動(dòng))。
【典例3】　[鏈接教材P44例題2](速度與位移關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用)某型號(hào)航空母艦上裝有幫助戰(zhàn)斗機(jī)起飛的彈射系統(tǒng)，已知某型號(hào)的戰(zhàn)斗機(jī)在跑道上加速時(shí)能獲得的最大加速度為5.0 m/s2，當(dāng)戰(zhàn)斗機(jī)的速度達(dá)到50 m/s時(shí)才能離開航空母艦起飛。設(shè)航空母艦處于靜止?fàn)顟B(tài)。問：
(1)若要求該戰(zhàn)斗機(jī)滑行160 m后起飛，彈射系統(tǒng)必須使戰(zhàn)斗機(jī)具有多大的初速度？
(2)若某艦上不裝彈射系統(tǒng)，要求該型號(hào)戰(zhàn)斗機(jī)仍能在此艦上正常起飛，該艦身長(zhǎng)至少應(yīng)為多長(zhǎng)？
[解析]　(1)設(shè)彈射系統(tǒng)使戰(zhàn)斗機(jī)具有的初速度為v0，由速度與位移的關(guān)系式＝2ax
可得v0＝30 m/s。
(2)不裝彈射系統(tǒng)時(shí)，戰(zhàn)斗機(jī)從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。
由v2＝2ax′
可知該艦身長(zhǎng)至少應(yīng)為x′＝250 m。
[答案]　(1)30 m/s　(2)250 m
【教材原題P44例題2】動(dòng)車鐵軌旁兩相鄰里程碑之間的距離是1 km。某同學(xué)乘坐動(dòng)車時(shí)，通過觀察里程碑和車廂內(nèi)電子屏上顯示的動(dòng)車速度來估算動(dòng)車減速進(jìn)站時(shí)的加速度大小。當(dāng)他身邊的窗戶經(jīng)過某一里程碑時(shí)，屏幕顯示的動(dòng)車速度是126 km/h(如圖)。動(dòng)車又前進(jìn)了3個(gè)里程碑時(shí)，速度變?yōu)?4 km/h。把動(dòng)車進(jìn)站過程視為勻減速直線運(yùn)動(dòng)，那么動(dòng)車進(jìn)站的加速度是多少？它還要行駛多遠(yuǎn)才能停下來？
分析　由于把動(dòng)車進(jìn)站過程視為勻減速直線運(yùn)動(dòng)，因此可以應(yīng)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度與位移的關(guān)系式計(jì)算動(dòng)車的加速度。本題加速度方向跟速度方向相反，因此需要建立一維坐標(biāo)系來處理相關(guān)物理量的正負(fù)號(hào)。
解　沿動(dòng)車運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较蚪⒁痪S坐標(biāo)系。把動(dòng)車通過3 000 m的運(yùn)動(dòng)稱為前一過程，之后到停下來稱為后一過程。
設(shè)在前一過程中的末位置為M點(diǎn)。初速度v0＝126 km/h＝35 m/s，末速度vM＝54 km/h＝15 m/s，位移x1＝3 000 m。
對(duì)前一過程，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度與位移的關(guān)系式，有
a＝＝＝
對(duì)后一過程，末速度v＝0，初速度vM＝15 m/s。
由v2＝＋2ax2，有
x2＝＝＝674 m
動(dòng)車進(jìn)站的加速度大小為0.167 m/s2，方向與動(dòng)車運(yùn)動(dòng)方向相反；還要行駛674 m才能停下來。
【典例4】　(源自魯科版教材例題)(速度與位移的關(guān)系式的綜合應(yīng)用)
汽車從開始制動(dòng)到停止所行駛的距離，是衡量汽車制動(dòng)性能的參數(shù)之一。某型號(hào)的汽車以100 km/h的速度在柏油路面上行駛，急剎車后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。若勻減速時(shí)的加速度大小為5 m/s2，開始制動(dòng)后2 s內(nèi)汽車行駛的距離是多少？從開始制動(dòng)到完全停止，汽車行駛的距離是多少？(結(jié)果均保留一位小數(shù))
[解析]　選定初速度方向?yàn)檎较?，由題意知v0＝100 km/h≈27.8 m/s，a＝－5 m/s2，v＝0，t＝2 s
根據(jù)v＝v0＋at，可知汽車剎車時(shí)間
t0＝＝5.56 s
因?yàn)閠x1＝v0t＋at2＝27.8 m/s×2 s＋×(－5 m/s2)×(2 s)2＝45.6 m
根據(jù)公式＝2ax，可得汽車從開始制動(dòng)到完全停止的位移x2＝≈77.3 m
所以，開始制動(dòng)后2 s內(nèi)汽車行駛的距離為45.6 m；從開始制動(dòng)到完全停止，汽車行駛的距離為77.3 m。
[答案]　45.6 m　77.3 m
易錯(cuò)警示　應(yīng)用速度與位移的關(guān)系式的兩點(diǎn)注意
(1)若不涉及時(shí)間，優(yōu)先選用＝2ax。
(2)選用＝2ax，要注意符號(hào)關(guān)系，必要時(shí)應(yīng)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，驗(yàn)證其合理性。
知識(shí)點(diǎn)三　剎車問題
1．問題特點(diǎn)：勻減速到速度為零后停止運(yùn)動(dòng)，加速度a突然消失。
2．求解時(shí)要注意確定實(shí)際運(yùn)動(dòng)時(shí)間(減速到零所用時(shí)間為t0)
(1)如果t0(2)如果t0>t，說明經(jīng)過時(shí)間t運(yùn)動(dòng)還沒有停止，則能用題目所給的時(shí)間t直接求解位移。
3．求解實(shí)際剎車時(shí)間和剎車位移時(shí)可以采用逆向思維法把整個(gè)剎車過程看成反向的初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。
【典例5】　(剎車問題的計(jì)算)一輛汽車正在平直的公路上以
72 km/h的速度行駛，司機(jī)看見紅色信號(hào)燈便立即踩下制動(dòng)器，此后，汽車開始做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。設(shè)汽車減速過程的加速度大小為 5 m/s2，求：
(1)開始制動(dòng)后，前2 s內(nèi)汽車行駛的距離；
(2)開始制動(dòng)后，前5 s內(nèi)汽車行駛的距離。
[解析]　汽車的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度v＝0，加速度a＝
－5 m/s2
汽車運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t＝＝ s＝4 s。
(1)因?yàn)閠1＝2 s故x1＝＝(20×2－×5×22)m＝30 m。
(2)因?yàn)閠2＝5 s>t，所以汽車5 s時(shí)已停止運(yùn)動(dòng)。
故x2＝v0t＋at2＝(20×4－×5×42)m＝40 m。
[答案]　(1)30 m　(2)40 m
【典例6】　(逆向思維的應(yīng)用)汽車剎車前的速度為10 m/s，剎車獲得的加速度大小為2 m/s2，求：
(1)汽車剎車開始后2 s末的速度大??；
(2)汽車靜止前最后3 s內(nèi)滑行的距離。
[解析]　(1)汽車剎車開始后2 s末的速度大小為v＝v0－at1＝10 m/s－2×2 m/s＝6 m/s。
(2)可以進(jìn)行逆向分析，認(rèn)為汽車由靜止開始在t2＝3 s內(nèi)做逆向的勻加速運(yùn)動(dòng)。
故x＝＝×2×32 m＝9 m。
[答案]　(1)6 m/s　(2)9 m
【教用·備選例題】
【典例1】　一個(gè)質(zhì)點(diǎn)做加速直線運(yùn)動(dòng)，依次經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，B為A、C中點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)在A、B、C三點(diǎn)的速度大小之比為1∶2∶3，質(zhì)點(diǎn)在AB段加速度大小恒為a1，在BC段加速度大小恒為a2，則a1∶a2等于(　　)
A．2∶5 B．3∶5
C．4∶5 D．1∶1
√
B　[設(shè)質(zhì)點(diǎn)依次經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的速度大小分別為v、2v、3v，由題意知(2v)2－v2＝2a1xAB，(3v)2－(2v)2＝2a2xBC，又xAB＝xBC，因此得＝，解得a1∶a2＝3∶5，故選B。]
【典例2】　(多選)汽車以10 m/s的速度開始剎車，剎車中加速度大小為2 m/s2，關(guān)于汽車的運(yùn)動(dòng)情況，下列說法正確的是(　　)
A．剎車后6 s末的速度大小為2 m/s
B．剎車后6 s內(nèi)的位移大小為25 m
C．剎車后6 s內(nèi)的位移大小為24 m
D．停止前第3 s內(nèi)、第2 s內(nèi)、最后1 s內(nèi)的位移大小之比為 5∶3∶1
√
√
BD　[汽車開始剎車到最終停止的過程為勻減速直線運(yùn)動(dòng)，初速度v0＝
10 m/s，末速度為零，加速度為a＝－2 m/s2。設(shè)汽車經(jīng)過時(shí)間t停止運(yùn)動(dòng)，則有t＝＝ s＝5 s，汽車在5 s末停止運(yùn)動(dòng)，此后速度為零，A錯(cuò)誤；汽車5 s末停止運(yùn)動(dòng)，剎車位移x＝＝ m＝25 m，第6 s內(nèi)汽車靜止不動(dòng)，B正確，C錯(cuò)誤；汽車的剎車過程反過來看就是初速度為零、加速度為a′＝2 m/s2的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則由公式x＝at2，可知汽車停止前第1 s內(nèi)、第2 s內(nèi)、第3 s內(nèi)的位移大小之比為1∶3∶5，那么，汽車停止前第3 s內(nèi)、第2 s內(nèi)、最后1 s內(nèi)的位移大小之比就為5∶3∶1，D正確。]
1．示意圖中ae段為港珠澳大橋上四段110 m的等跨鋼箱連續(xù)梁橋，若汽車從a點(diǎn)由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，通過ab段的時(shí)間為t，則通過be段的時(shí)間為(　　)
A．t B．t
C．3t D．9t
應(yīng)用遷移·隨堂評(píng)估自測(cè)
√
A　[設(shè)通過be段的時(shí)間為ts，通過ab段過程中，由位移與時(shí)間的關(guān)系式得x＝at2，通過ae段過程中，由位移與時(shí)間的關(guān)系式得4x＝a(ts＋t)2，聯(lián)立解得ts＝t，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。]
2．2024年11月4日，神舟十八號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，在距離地面1.6 m時(shí)，速度為8 m/s，返回艙的緩沖發(fā)動(dòng)機(jī)開始向下噴氣，艙體減速，到達(dá)地面時(shí)速度恰好為零，此過程可視為豎直方向的勻減速直線運(yùn)動(dòng)。該減速過程加速度的大小為(　　)
A．5 m/s2 B．10 m/s2
C．20 m/s2 D．40 m/s2
√
C　[根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移與速度的關(guān)系式可得－2ah＝，可得該減速過程加速度的大小為a＝＝ m/s2＝20 m/s2，故選C。]
3．(多選)一輛汽車開始剎車后運(yùn)動(dòng)的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律是x＝10t－2t2，x和t的單位分別是m和s，以下說法正確的是(　　)
A．初速度v0＝10 m/s，加速度大小a＝4 m/s2
B．初速度v0＝4 m/s，加速度大小a＝10 m/s2
C．汽車剎車到停止所用時(shí)間為5 s
D．汽車剎車后4 s內(nèi)的位移大小是12.5 m
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AD　[根據(jù)x＝v0t＋at2＝(10t－2t2) m可得v0＝10 m/s，a＝－4 m/s2，即初速度為10 m/s，加速度大小為4 m/s2，故A正確，B錯(cuò)誤；汽車速度減為零的時(shí)間為t0＝＝ s＝2.5 s，則剎車后4 s內(nèi)的位移大小為x＝＝ m＝12.5 m，故C錯(cuò)誤，D正確。]
4．以18 m/s的速度行駛的汽車，制動(dòng)后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，在3 s內(nèi)前進(jìn)36 m(制動(dòng)3 s時(shí)汽車未停止)。求汽車的加速度及制動(dòng)后5 s內(nèi)發(fā)生的位移大小。
[解析]　初速度v0＝18 m/s，時(shí)間t＝3 s，位移x＝36 m
根據(jù)x＝v0t＋at2
解得a＝＝＝－4 m/s2
則加速度大小為4 m/s2，方向與初速度方向相反。
根據(jù)v＝v0＋at，汽車停止運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
t′＝＝＝4.5 s
故汽車在制動(dòng)后5 s內(nèi)的位移與4.5 s內(nèi)的位移相等，x′＝|a|t′2＝40.5 m。
[答案]　4 m/s2，與初速度方向相反　40.5 m
回歸本節(jié)知識(shí)，完成以下問題：
1．勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系式為x＝v0t＋at2，式中x的含義是什么？
提示：x是物體在時(shí)間t內(nèi)的位移，如果認(rèn)為物體在t＝0時(shí)刻位于坐標(biāo)原點(diǎn)，則x也是物體在時(shí)刻t的位置。
2．如果物體在做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，在使用上述公式分析問題時(shí)，需要注意什么？
提示：若以初速度方向?yàn)檎较颍瑒t加速度a代入數(shù)據(jù)時(shí)要用負(fù)數(shù)。
提示：運(yùn)用公式v＝v0＋at和x＝v0t＋at2，兩個(gè)公式聯(lián)立，消掉時(shí)間t。
3．速度與位移的關(guān)系式＝2ax是怎樣推導(dǎo)出來的？
4．在“剎車”類問題中要關(guān)注什么？
提示：關(guān)注實(shí)際停止的時(shí)間。
?題組一　勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移
1．某汽車從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為5 m/s2，根據(jù)x＝v0t＋at2計(jì)算10 s內(nèi)的位移為(　　)
A．25 m B．250 m
C．500 m D．1 000 m
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課時(shí)分層作業(yè)(七)
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B　[由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系式x＝v0t＋at2，可得x＝×5×102 m＝250 m，故選B。]
2．小球以某一較大初速度沖上足夠長(zhǎng)的光滑斜面，加速度大小為
5 m/s2，則小球在沿斜面上滑過程中最后一秒的位移是(　　)
A．2.0 m B．2.5 m
C．3.0 m D．3.5 m
題號(hào)
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B　[小球沿光滑斜面向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，可等效看成反向的初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，故上滑最后一秒的位移x＝at2＝×5×12 m＝2.5 m，故B正確。]
題號(hào)
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3．一輛汽車在平直公路上做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，公路邊每隔15 m有一棵樹，如圖所示，汽車通過A、B兩相鄰的樹用了3 s，通過B、C兩相鄰的樹用了2 s，則下列說法正確的是(　　)
A．此汽車運(yùn)動(dòng)的加速度大小為2 m/s2
B．此汽車經(jīng)過A樹時(shí)的速度大小為3.0 m/s
C．此汽車經(jīng)過B樹時(shí)的速度大小為6.5 m/s
D．此汽車經(jīng)過B樹時(shí)的速度大小為6.0 m/s
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C　[設(shè)汽車經(jīng)過A樹時(shí)的速度為v1，加速度為a，對(duì)汽車在A、B間的運(yùn)動(dòng)由位移與時(shí)間的關(guān)系式有x＝，對(duì)汽車在A、C間的運(yùn)動(dòng)根據(jù)位移與時(shí)間的關(guān)系式有2x＝v1(t1＋t2)＋a(t1＋t2)2，聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得a＝1 m/s2，v1＝3.5 m/s，故A、B錯(cuò)誤；由速度與時(shí)間的關(guān)系式v＝v0＋at得，通過B樹時(shí)的速度大小為v2＝v1＋at1＝
6.5 m/s，故C正確，D錯(cuò)誤。]
?題組二　速度與位移的關(guān)系
4．如圖所示，物體A在斜面上由靜止勻加速滑下x1后，又勻減速地在水平面上滑過x2后停下，測(cè)得x2＝2x1，則物體在斜面上的加速度大小a1與水平面上加速度大小a2的關(guān)系為(　　)
A．a(chǎn)1＝a2 B．a(chǎn)1＝2a2
C．a(chǎn)1＝a2 D．a(chǎn)1＝4a2
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B　[設(shè)物體在斜面末端時(shí)的速度大小為vt，由＝2ax得－02＝＝2(－a2)x2，聯(lián)立解得a1＝2a2，故選B。]
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5．京杭大運(yùn)河始建于春秋時(shí)期，是我國(guó)古代勞動(dòng)人民創(chuàng)造的一項(xiàng)偉大工程。一艘游輪在運(yùn)河上航行，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，該游輪的初始速度是3 m/s，航行50 m后速度變?yōu)? m/s，則它的加速度大小是(　　)
A．0.30 m/s2 B．0.25 m/s2
C．0.40 m/s2 D．0.45 m/s2
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C　[根據(jù)位移與時(shí)間的關(guān)系式＝2ax，解得a＝0.40 m/s2，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確。]
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6．一滑雪運(yùn)動(dòng)員由靜止開始沿斜坡勻加速下滑。當(dāng)下滑距離為l時(shí)，速度為v。那么，當(dāng)他的速度是時(shí)，下滑的距離是(　　)
A．
C．
C　[由公式＝2al，得l＝，則l1＝＝＝，故選項(xiàng)C正確。]
?題組三　剎車問題
7．以初速度為10 m/s行駛的汽車，某時(shí)刻開始以大小為5 m/s2的加速度剎車，剎車后第1 s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)距離和剎車后2 s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)距離之比為(　　)
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶3 D．3∶4
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D　[設(shè)剎車時(shí)初速度為v0，加速度大小為a，汽車開始剎車到停止所需時(shí)間為t＝＝ s＝2 s。根據(jù)位移與時(shí)間關(guān)系式可知?jiǎng)x車后第
1 s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)距離為x1＝＝7.5 m，汽車經(jīng)過2 s剛好停止，故剎車后2 s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)距離為x2＝＝10 m，可知x1∶x2＝3∶4，故選D。]
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8．一輛汽車以速度v0＝25 m/s在平直的公路上勻速行駛，當(dāng)駕駛員發(fā)現(xiàn)較遠(yuǎn)的前方堵車，于是開始剎車，最后1 s內(nèi)的位移為2.5 m，求：
(1)剎車時(shí)加速度的大??；
(2)剎車開始后最初2 s內(nèi)的平均速度大小；
(3)剎車后6 s內(nèi)的位移大小。
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[解析]　(1)汽車最后1 s內(nèi)的位移為2.5 m，由逆向思維可得x1＝，解得汽車加速度大小為a＝＝5 m/s2。
(2)由勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式可得，汽車前2 s內(nèi)的位移為x2＝＝40 m
所以前2 s內(nèi)的平均速度大小為v2＝＝20 m/s。
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(3)設(shè)汽車經(jīng)過時(shí)間t速度減小為零，t＝＝5 s<6 s，5 s末汽車已經(jīng)停下，所以剎車后6 s內(nèi)的位移大小為x＝＝62.5 m。
[答案]　(1)5 m/s2　(2)20 m/s　(3)62.5 m
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9．某同學(xué)做研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)，通過定滑輪用鉤碼拖拽小車，使得小車由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，測(cè)得小車在第5 s內(nèi)的位移是27 m，則(　　)
A．小車在2 s末的速度是20 m/s
B．小車在第5 s內(nèi)的平均速度是9 m/s
C．小車在第2 s內(nèi)的位移是9 m
D．小車在5 s內(nèi)的位移是125 m
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C　[設(shè)加速度大小為a，由題意可得a×(5 s)2－a×(4 s)2＝27 m，解得a＝6 m/s2，小車在2 s末的速度是v1＝at1＝12 m/s故A錯(cuò)誤；小車在第5 s內(nèi)的平均速度是＝ m/s＝27 m/s，故B錯(cuò)誤；小車在第2 s內(nèi)的位移是x1＝(×6×22－×6×12)m＝9 m，故C正確；小車在5 s內(nèi)的位移是x2＝×6×52 m＝75 m，故D錯(cuò)誤。]
10．(2024·全國(guó)甲卷)為搶救病人，一輛救護(hù)車緊急出發(fā)，鳴著笛沿水平直路從t＝0時(shí)由靜止開始做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度大小a＝2 m/s2，在t1＝10 s時(shí)停止加速開始做勻速運(yùn)動(dòng)，之后某時(shí)刻救護(hù)車停止鳴笛，t2＝41 s時(shí)在救護(hù)車出發(fā)處的人聽到救護(hù)車發(fā)出的最后的鳴笛聲。已知聲速v0＝340 m/s，求：
(1)救護(hù)車勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小；
(2)在停止鳴笛時(shí)救護(hù)車距出發(fā)處的距離。
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[解析]　(1)根據(jù)題意可知，救護(hù)車勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小為v＝at1
代入數(shù)據(jù)解得v＝20 m/s。
(2)設(shè)救護(hù)車在t＝t0時(shí)停止鳴笛，則由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律可知，此時(shí)救護(hù)車距出發(fā)處的距離為
x＝＋v(t0－t1)
又x＝v0(t2－t0)
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得x＝680 m。
[答案]　(1)20 m/s　(2)680 m
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11．如圖所示，A、B、C依次是光滑斜面上的三個(gè)點(diǎn)，OA間距為20 m，AB＝4BC。一個(gè)小球以初速度12 m/s從斜面底端O點(diǎn)沖上該固定斜面，沿斜面做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過2 s，小球第一次通過A點(diǎn)，又經(jīng) 5 s 第二次通過C點(diǎn)。
(1)小球的加速度大小為多少？
(2)BC間的距離是多大？
(3)小球兩次經(jīng)過B點(diǎn)的時(shí)間差是多少？
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[解析]　(1)取沿斜面向上為正方向，從O運(yùn)動(dòng)到A過程，有xOA＝
解得a＝－2 m/s2
則小球的加速度大小為2 m/s2。
(2)小球從O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第二次通過C點(diǎn)，有
xOC＝v0(t1＋t2)＋a(t1＋t2)2
解得xOC＝35 m
可知xAC＝xOC－xOA＝15 m
解得xBC＝xAC＝3 m。
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(3)小球從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B過程，有xOB＝
解得tB1＝4 s，tB2＝8 s
經(jīng)過B點(diǎn)的時(shí)間差為Δt＝tB2－tB1＝4 s。
[答案]　(1)2 m/s2　(2)3 m　(3)4 s
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