資源簡介

精簡小練習(二十九)　電容器　
帶電粒子在電場中的運動
1．如圖為某一機器人上的電容式位移傳感器工作時的簡化模型圖。當被測物體在左右方向發生位移時，電介質板隨之在電容器兩極板之間移動，連接電容器的靜電計會顯示電容器電壓的變化，進而能測出電容的變化，最后就能探測到物體位移的變化，若靜電計上的指針偏角為θ，則被測物體(　 )
A．向左移動時，θ增加 B．向右移動時，θ增加
C．向左移動時，θ不變 D．向右移動時，θ減少
解析：選B　當被測物體向左移動時，電容器極板間的電介質增多，則電容會增大，由于電荷量不變，則電容器極板間的電壓減小，即θ減少，故A、C錯誤；當被測物體向右移動時，同理可知B正確，D錯誤。
2．(2025年1月·八省聯考陜晉寧青卷)靜電懸浮技術是利用靜電場對帶電物體的電場力來平衡重力，從而實現材料懸浮無容器處理的一種先進技術，其原理示意圖如圖所示。若兩平行金屬極板間電勢差為U，間距為d，質量為m的金屬微粒懸浮于其中，重力加速度大小為g，則金屬微粒所帶電荷的電性和電荷量q分別為(　 )
A．負電荷，q＝ B．負電荷，q＝
C．正電荷，q＝ D．正電荷，q＝
解析：選C　由題圖可知，兩極板間電場強度方向豎直向上，金屬微粒受電場力方向豎直向上，可知金屬微粒帶正電，由平衡條件可知q＝mg，解得q＝，故選C。
3．(2023·全國甲卷)在一些電子顯示設備中，讓陰極發射的電子束通過適當的非勻強電場，可以使發散的電子束聚集。下列4幅圖中帶箭頭的實線表示電場線，如果用虛線表示電子可能的運動軌跡，其中正確的是(　 )
解析：選A　運動中的物體所受合力應指向運動軌跡凹側，結合電子受到的電場力及電子的運動軌跡進行分析，可知A正確，B、C、D錯誤。
4.水平放置的平行金屬板A、B連接一恒定電壓，兩個質量相等的電荷M和N同時分別從極板A的邊緣和兩極板的正中間沿水平方向進入板間電場，兩電荷恰好在板間某點相遇，如圖所示。若不考慮電荷的重力和它們之間的相互作用，則下列說法正確的是(　 )
A．電荷M的比荷大于電荷N的比荷
B．兩電荷在電場中運動的加速度相等
C．從兩電荷進入電場到兩電荷相遇，電場力對電荷M做的功等于電場力對電荷N做的功
D．電荷M進入電場的初速度大小與電荷N進入電場的初速度大小一定相同
解析：選A　設兩板間電壓為U，間距為d，兩電荷的質量均為m。則由題意有：·t2＋＝·t2，由上式分析得：>，則兩個電荷的加速度aM>aN，電場力對電荷所做的功WM>WN，A正確，B、C錯誤；由題圖可知，兩電荷相遇時，在水平方向上電荷M的位移大，所以vM0>vN0，D錯誤。
5.如圖所示，水平金屬板A、B分別與電源兩極相連，帶電油滴處于靜止狀態。現將B板右端向下移動一小段距離，兩金屬板表面仍均為等勢面，則該油滴(　 )
A．仍然保持靜止　　　　　　 B．豎直向下運動
C．向左下方運動 D．向右下方運動
解析：選D　開始時油滴處于靜止狀態，有mg＝q，
B板右端下移時，U不變，d變大，電場力F＝q變小，mg＞F。并且A、B兩板之間的等差等勢面右端將均勻地順次向下移動，又電場強度垂直于等勢面，可得油滴的受力如圖所示，mg與F的合力方向為向右下方，故油滴向右下方運動。
6.一位同學用底面半徑為r的圓桶形塑料瓶制作了一種電容式傳感器，用來測定瓶內溶液深度的變化。如圖所示，瓶的外壁涂有一層導電涂層，和瓶內導電溶液構成電容器的兩極，它們通過探針和導線與電源、電流計、開關相連，中間層的塑料為絕緣電介質，其厚度為d，相對介電常數為εr。若發現在某一小段時間t內有大小為I的電流從下向上流過電流計，電源電壓恒定為U，則下列說法正確的是(　 )
A．瓶內液面升高了
B．瓶內液面升高了
C．瓶內液面降低了
D．瓶內液面降低了
解析：選C　由題圖可知，液體與瓶外壁涂的導電涂層構成了電容器，其間距離不變，液面高度變化時正對面積發生變化；由C＝可知，當液面升高時，正對面積S增大，則電容增大，當液面降低時，正對面積S減小，則電容減小，由于電流從下向上流過電流計，可知該時間內電容器上的電荷量減小，由于電勢差不變，則電容器的電容減小，瓶內液面降低，t時間內減少的電荷量q＝It，由C＝可得q＝U·ΔC，又ΔC＝，ΔS＝2πrΔh，聯立解得Δh＝，故C正確。
7．(多選)如圖所示，陰極燈絲被加熱后產生初速度為0的電子，在3×104 V加速電壓的作用下，以極高的速度向陽極運動；穿過陽極后，在金屬電極A1、A2間1×103 V電壓形成的聚焦電場作用下，轟擊到物料上，其動能全部轉換為熱能，使物料不斷熔煉。已知某電子在熔煉爐中的軌跡如圖中虛線OPO′所示，P是軌跡上的一點，聚焦電場過P點的一條電場線如圖中弧線所示，則(　 )
A．電極A1的電勢高于電極A2的電勢
B．電子在P點時速度方向與聚焦電場強度方向夾角大于90°
C．聚焦電場只改變電子速度的方向，不改變電子速度的大小
D．電子轟擊到物料上時的動能大于3×104 eV
解析：選ABD　由粒子運動軌跡與力的關系可知電子在P點受到的電場力斜向左下方，電子帶負電，所以電場強度方向與電子受到的電場力方向相反，斜向右上方，即電極A1的電勢高于電極A2的電勢，故A正確；電子在P點時速度方向與聚焦電場強度方向夾角大于90°，故B正確；聚焦電場不僅改變電子速度的方向，也改變電子速度的大小，故C錯誤；由動能定理，電子到達聚焦電場時動能已經為3×104 eV，再經過聚焦電場加速，可知電子轟擊到物料上時的動能大于3×104 eV，故D正確。
8.(多選)兩個質量相等、電荷量不等的帶電粒子甲、乙，以不同的速率沿著AO方向垂直射入勻強電場，電場方向豎直向上，它們在圓形區域中運動的時間相同，運動軌跡如圖所示。不計粒子所受的重力，下列說法正確的是(　 )
A．甲粒子帶負電荷
B．甲粒子所帶的電荷量比乙粒子少
C．乙粒子在圓形區域中電勢能變化量小
D．乙粒子進入電場時具有的動能比甲粒子小
解析：選BD　甲粒子向上偏轉，所受的電場力向上，與電場方向相同，故甲粒子帶正電荷，A錯誤；兩個粒子在勻強電場中均做類平拋運動，在豎直方向上均做初速度為零的勻加速直線運動，有y＝at2＝t2，E、t、m相等，則y∝q，因為甲粒子的偏轉距離y較小，可知甲粒子所帶的電荷量比乙粒子少，B正確；電場力對粒子做功為W＝qEy，甲粒子電荷量少，偏轉距離小，則電場力對甲粒子做功少，其電勢能變化量小，C錯誤；水平方向有x＝v0t，在相同時間內，乙粒子的水平位移小，則乙粒子進入電場時的初速度小，而兩個粒子質量相等，則乙粒子進入電場時具有的動能比甲粒子小，D正確。
9.如圖，兩金屬板P、Q水平放置，間距為d。兩金屬板正中間有一水平放置的金屬網G，P、Q、G的尺寸相同。G接地，P、Q的電勢均為φ(φ>0)。質量為m、電荷量為q(q>0)的粒子自G的左端上方距離G為h的位置，以速度v0平行于紙面水平射入電場，重力忽略不計。
(1)求粒子第一次穿過G時的動能，以及它從射入電場至此時在水平方向上的位移大小；
(2)若粒子恰好從G的下方距離G也為h的位置離開電場，則金屬板的長度最短應為多少？
解析：(1)PG、QG間場強大小相等，設均為E。粒子在PG間所受電場力F的方向豎直向下，設粒子的加速度大小為a，有E＝①
F＝qE＝ma②
設粒子第一次到達G時動能為Ek，由動能定理有
qEh＝Ek－mv02③
設粒子第一次到達G時所用的時間為t，粒子在水平方向的位移大小為l，則有h＝at2④
l＝v0t⑤
聯立①②③④⑤式解得
Ek＝mv02＋qh⑥
l＝v0。⑦
(2)若粒子穿過G一次就從電場的右側飛出，則金屬板的長度最短。由對稱性知，此時金屬板的長度L為
L＝2l＝2v0。⑧
答案：(1)mv02＋qh　v0　(2)2v0
10．多反射飛行時間質譜儀是一種測量離子質量的新型實驗儀器，其基本原理如圖所示，從離子源A處飄出的離子初速度不計，經電壓為U的勻強電場加速后射入質量分析器。質量分析器由兩個反射區和長為l的漂移管(無場區域)構成，開始時反射區1、2均未加電場，當離子第一次進入漂移管時，兩反射區開始加上電場強度大小相等、方向相反的勻強電場，其電場強度足夠大，使得進入反射區的離子能夠反射回漂移管。離子在質量分析器中經多次往復即將進入反射區2時，撤去反射區的電場，離子打在熒光屏B上被探測到，可測得離子從A到B的總飛行時間。設實驗所用離子的電荷量均為q，不計離子重力。
(1)求質量為m的離子第一次通過漂移管所用的時間T1；
(2)反射區加上電場，電場強度大小為E，求離子能進入反射區的最大距離x；
(3)已知質量為m0的離子總飛行時間為t0，待測離子的總飛行時間為t1，兩種離子在質量分析器中反射相同次數，求待測離子質量m1。
解析：(1)設離子經加速電場加速后的速度大小為v，有qU＝mv2①
離子在漂移管中做勻速直線運動，則T1＝②
聯立①②式，得T1＝ 。③
(2)根據動能定理，有qU－qEx＝0④
得x＝。⑤
(3)離子在加速電場中運動和反射區電場中每次單向運動均為勻變速直線運動，平均速度大小均相等，
設其為，有＝⑥
通過⑤式可知，離子在反射區的電場中運動路程是與離子本身無關的，所以不同離子在電場區運動的總路程相等，設為L1，在無場區的總路程設為L2，根據題目條件可知，離子在無場區速度大小恒為v，設離子的總飛行時間為t總，有t總＝＋⑦
聯立①⑥⑦式，得t總＝(2L1＋L2) ⑧
可見，離子從A到B的總飛行時間與成正比。依題意可得＝
可得m1＝2m0。⑨
答案：(1) 　(2)　(3)2m0精簡小練習(二十九)　電容器　
帶電粒子在電場中的運動
1．如圖為某一機器人上的電容式位移傳感器工作時的簡化模型圖。當被測物體在左右方向發生位移時，電介質板隨之在電容器兩極板之間移動，連接電容器的靜電計會顯示電容器電壓的變化，進而能測出電容的變化，最后就能探測到物體位移的變化，若靜電計上的指針偏角為θ，則被測物體(　 )
A．向左移動時，θ增加 B．向右移動時，θ增加
C．向左移動時，θ不變 D．向右移動時，θ減少
2．(2025年1月·八省聯考陜晉寧青卷)靜電懸浮技術是利用靜電場對帶電物體的電場力來平衡重力，從而實現材料懸浮無容器處理的一種先進技術，其原理示意圖如圖所示。若兩平行金屬極板間電勢差為U，間距為d，質量為m的金屬微粒懸浮于其中，重力加速度大小為g，則金屬微粒所帶電荷的電性和電荷量q分別為(　 )
A．負電荷，q＝ B．負電荷，q＝
C．正電荷，q＝ D．正電荷，q＝
3．(2023·全國甲卷)在一些電子顯示設備中，讓陰極發射的電子束通過適當的非勻強電場，可以使發散的電子束聚集。下列4幅圖中帶箭頭的實線表示電場線，如果用虛線表示電子可能的運動軌跡，其中正確的是(　 )
4.水平放置的平行金屬板A、B連接一恒定電壓，兩個質量相等的電荷M和N同時分別從極板A的邊緣和兩極板的正中間沿水平方向進入板間電場，兩電荷恰好在板間某點相遇，如圖所示。若不考慮電荷的重力和它們之間的相互作用，則下列說法正確的是(　 )
A．電荷M的比荷大于電荷N的比荷
B．兩電荷在電場中運動的加速度相等
C．從兩電荷進入電場到兩電荷相遇，電場力對電荷M做的功等于電場力對電荷N做的功
D．電荷M進入電場的初速度大小與電荷N進入電場的初速度大小一定相同
5.如圖所示，水平金屬板A、B分別與電源兩極相連，帶電油滴處于靜止狀態。現將B板右端向下移動一小段距離，兩金屬板表面仍均為等勢面，則該油滴(　 )
A．仍然保持靜止　　　　　　 B．豎直向下運動
C．向左下方運動 D．向右下方運動
6.一位同學用底面半徑為r的圓桶形塑料瓶制作了一種電容式傳感器，用來測定瓶內溶液深度的變化。如圖所示，瓶的外壁涂有一層導電涂層，和瓶內導電溶液構成電容器的兩極，它們通過探針和導線與電源、電流計、開關相連，中間層的塑料為絕緣電介質，其厚度為d，相對介電常數為εr。若發現在某一小段時間t內有大小為I的電流從下向上流過電流計，電源電壓恒定為U，則下列說法正確的是(　 )
A．瓶內液面升高了
B．瓶內液面升高了
C．瓶內液面降低了
D．瓶內液面降低了
7．(多選)如圖所示，陰極燈絲被加熱后產生初速度為0的電子，在3×104 V加速電壓的作用下，以極高的速度向陽極運動；穿過陽極后，在金屬電極A1、A2間1×103 V電壓形成的聚焦電場作用下，轟擊到物料上，其動能全部轉換為熱能，使物料不斷熔煉。已知某電子在熔煉爐中的軌跡如圖中虛線OPO′所示，P是軌跡上的一點，聚焦電場過P點的一條電場線如圖中弧線所示，則(　 )
A．電極A1的電勢高于電極A2的電勢
B．電子在P點時速度方向與聚焦電場強度方向夾角大于90°
C．聚焦電場只改變電子速度的方向，不改變電子速度的大小
D．電子轟擊到物料上時的動能大于3×104 eV
8.(多選)兩個質量相等、電荷量不等的帶電粒子甲、乙，以不同的速率沿著AO方向垂直射入勻強電場，電場方向豎直向上，它們在圓形區域中運動的時間相同，運動軌跡如圖所示。不計粒子所受的重力，下列說法正確的是(　 )
A．甲粒子帶負電荷
B．甲粒子所帶的電荷量比乙粒子少
C．乙粒子在圓形區域中電勢能變化量小
D．乙粒子進入電場時具有的動能比甲粒子小
9.如圖，兩金屬板P、Q水平放置，間距為d。兩金屬板正中間有一水平放置的金屬網G，P、Q、G的尺寸相同。G接地，P、Q的電勢均為φ(φ>0)。質量為m、電荷量為q(q>0)的粒子自G的左端上方距離G為h的位置，以速度v0平行于紙面水平射入電場，重力忽略不計。
(1)求粒子第一次穿過G時的動能，以及它從射入電場至此時在水平方向上的位移大小；
(2)若粒子恰好從G的下方距離G也為h的位置離開電場，則金屬板的長度最短應為多少？
10．多反射飛行時間質譜儀是一種測量離子質量的新型實驗儀器，其基本原理如圖所示，從離子源A處飄出的離子初速度不計，經電壓為U的勻強電場加速后射入質量分析器。質量分析器由兩個反射區和長為l的漂移管(無場區域)構成，開始時反射區1、2均未加電場，當離子第一次進入漂移管時，兩反射區開始加上電場強度大小相等、方向相反的勻強電場，其電場強度足夠大，使得進入反射區的離子能夠反射回漂移管。離子在質量分析器中經多次往復即將進入反射區2時，撤去反射區的電場，離子打在熒光屏B上被探測到，可測得離子從A到B的總飛行時間。設實驗所用離子的電荷量均為q，不計離子重力。
(1)求質量為m的離子第一次通過漂移管所用的時間T1；
(2)反射區加上電場，電場強度大小為E，求離子能進入反射區的最大距離x；
(3)已知質量為m0的離子總飛行時間為t0，待測離子的總飛行時間為t1，兩種離子在質量分析器中反射相同次數，求待測離子質量m1。

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