資源簡介

周測7　單擺　受迫振動　機械振動綜合應用
(時間：60分鐘　滿分：100分)
一、單項選擇題：本題共7小題，每小題6分，共42分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.關于單擺，下列說法正確的是(　　)
A.擺球運動到最高點時，加速度為0
B.擺球運動到最低點時，加速度為0
C.擺球做往復運動所需回復力由重力沿運動軌跡切向分力提供
D.擺球做往復運動所需回復力由重力和擺線拉力的合力提供
2.(2024·宜春市高二月考)如圖是單擺做阻尼振動的位移—時間圖像，下列說法正確的是(　　)
A.阻尼振動是一種受迫振動
B.擺球在P時刻的勢能大于在N時刻的勢能
C.擺球在P時刻的動能大于在N時刻的動能
D.擺球在P時刻的機械能等于在N時刻的機械能
3.(2025·湛江市高二模擬)如圖所示，光滑圓弧軌道豎直固定，其半徑遠大于弧長，圓弧底端切線水平。再將兩個相同的小球甲、乙分別從圓弧軌道的頂端和中點由靜止釋放。下列說法正確的是(　　)
A.甲球到達底端時的動能大于乙球到達底端時的動能
B.甲球到達底端時的動能小于乙球到達底端時的動能
C.甲球到達底端所用的時間大于乙球到達底端所用的時間
D.甲球到達底端所用的時間小于乙球到達底端所用的時間
4.(2024·德州市高二期中)轎車的懸掛系統是由車身與輪胎間的彈簧及避震器組成的支持系統。某型號轎車的懸掛系統振動的固有周期是0.4 s，這輛轎車勻速通過某路口的條狀減速帶，已知相鄰兩條減速帶間的距離為1.2 m，則(　　)
A.當轎車以10.8 km/h的速度通過減速帶時，車身上下顛簸得最劇烈
B.轎車通過減速帶的速度越小，車身上下振動的幅度也越小
C.轎車通過減速帶的速度越大，車身上下顛簸得越劇烈
D.該轎車以任意速度通過減速帶時，車身上下振動的頻率都等于2.5 Hz，與車速無關
5.如圖所示，三根細線的結點為O，A、B端固定在同一水平面上相距為l的兩點上，△AOB為直角三角形，∠BAO=30°，∠AOB=90°。已知OC長為l，下端C點系著一個小球(直徑很小)，重力加速度為g，下列說法正確的是(以下均指小角度擺動)(　　)
A.讓小球在紙面內擺動，則周期為2π
B.讓小球在紙面內擺動，則周期為2π
C.讓小球在垂直紙面方向擺動，則周期為2π
D.讓小球在垂直紙面方向擺動，則周期為2π
6.如圖所示，在一根張緊的繩子上懸掛幾個擺球，可以用一個單擺(稱為“驅動擺”)驅動另外幾個單擺。不計空氣阻力，則(　　)
A.驅動擺只把振動形式傳播給其他單擺，不傳遞能量
B.如果驅動擺的擺長為L，重力加速度為g，則其他單擺的振動周期都等于2π
C.某個單擺擺動過程中多次通過同一位置時，速度和加速度都相同
D.如果某個單擺的擺長等于驅動擺的擺長，則這個單擺的頻率最大
7.(2024·永州一中高二月考)質量相同的甲、乙兩小球用細線系于同一根水平桿上，兩小球做簡諧運動的圖像如圖所示，則(　　)
A.兩小球經過平衡位置時速度一樣大
B.運動過程中甲的最大加速度大
C.兩小球擺動過程中乙的最大擺角大
D.運動過程中甲的機械能始終小于乙的機械能
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題8分，共24分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得8分，選對但不全的得4分，有選錯的得0分。
8.(來自魯科教材)一彈簧振子做受迫振動時的振幅與驅動力頻率的關系如圖所示。下列說法正確的是(　　)
A.假如讓振子自由振動，它的頻率為f2
B.驅動力的頻率為f2時，振子處于共振狀態
C.驅動力的頻率為f3時，振子的振動頻率為f3
D.振子做自由振動時，頻率可能為f1、f2和f3
9.(2024·開封市高二聯考)將一臺智能手機水平粘在秋千的座椅上，使手機邊緣與座椅邊緣平行(圖甲)，讓秋千以小擺角(小于5°)自由擺動，此時秋千可看作一個理想的單擺，擺長為L。從手機傳感器中得到了其垂直手機平面方向的a-t關系圖，如圖乙所示。則以下說法正確的是(　　)
A.忽略空氣阻力，秋千的回復力由重力和拉力的合力提供
B.當秋千擺至最低點時，秋千對手機的支持力大于手機所受的重力
C.秋千擺動的周期為t2-t1
D.該地的重力加速度g=
10.(2024·泰安市高二檢測)如圖甲所示，一個單擺做小角度擺動，從某次擺球由左向右通過平衡位置時開始計時，擺球相對平衡位置的位移x隨時間t變化的圖像如圖乙所示。不計空氣阻力，g取10 m/s2。則下列說法正確的是(　　)
A.單擺的位移x隨時間t變化的關系式為x=8sin πt(cm)
B.單擺的擺長約為1 m
C.從t=2.5 s到t=3 s的過程中，擺球的重力勢能逐漸增大
D.從t=2.5 s到t=3 s的過程中，擺球所受擺線拉力逐漸減小
三、非選擇題：本題共3小題，共34分。
11.(10分)(2024·邢臺市五岳聯盟檢測)(1)(4分)滑板運動場地有一種常見的圓弧形軌道，其截面如圖(a)所示，某同學用一輛滑板車和手機估測軌道半徑R(滑板車的長度遠小于軌道半徑)。主要實驗過程如下：
①用手機查得當地的重力加速度g；
②找出軌道的最低點O，把滑板車從O點移開一小段距離至P點，由靜止釋放，用手機測出它完成n次全振動的時間t，算出滑板車做往復運動的周期T=　　　　；
③將滑板車的運動視為簡諧運動，則圓弧軌道的半徑R=　　　　(用上述所給物理量符號表示)。
(2)(6分)某同學用如圖(b)所示的裝置測量重力加速度。
實驗器材：有機玻璃條(白色透光，黑色部分是寬度均為d=1.00 cm的擋光片)，鐵架臺，數字計時器(含光電門)，刻度尺。
主要實驗過程如下：
①將光電門安裝在鐵架臺上，下方放置承接玻璃條下落的緩沖物；
②用刻度尺測量兩擋光片間的距離，刻度尺的示數如圖(c)所示，讀出兩擋光片間的距離L=　　　　 cm；
③手提玻璃條上端使它靜止在　　　　方向上，讓光電門的光束從玻璃條下端的透光部分通過；
④讓玻璃條自由下落，測得兩次擋光的時間分別為t1=10.003 ms和t2=5.000 ms；
⑤根據以上測量的數據計算出重力加速度g=　　　　 m/s2(結果保留三位有效數字)。
12.(11分)(2024·北京大學附屬中學高二期中)取一單擺，將擺球拉離最初的靜止位置(即平衡位置)，無初速度釋放后，擺球可以在平衡位置附近往復運動，空氣阻力忽略不計，請回答下列問題：
(1)(2分)如圖甲所示，單擺運動的回復力由什么力提供？并畫出受力分析圖。
(2)(5分)試證明：在擺角較小的情況下，擺球做的是簡諧運動。
(3)(4分)圖乙是兩個單擺的振動圖像，則甲、乙兩個擺的擺長之比是多少？
13.(13分)如圖，長為l的細繩下方懸掛一小球，繩的另一端固定在天花板上O點處，在O點正下方l的O'處有一固定細鐵釘。將小球向右拉開，使細繩與豎直方向成一個很小的角度(約為2°)后由靜止釋放，當小球擺到最低位置時，細繩會受到細鐵釘的阻擋。地球表面的重力加速度為g。
(1)(6分)求小球擺動的周期T；
(2)(7分)航天員登上X星球，用同樣的裝置使小球擺動起來，測得小球擺動的周期為地球上擺動周期的，若已知X星球的半徑為R，引力常量為G，求X星球的質量M。
周測7　單擺　受迫振動　機械振動綜合應用
(時間：60分鐘　滿分：100分)
一、單項選擇題：本題共7小題，每小題6分，共42分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.關于單擺，下列說法正確的是(　　)
A.擺球運動到最高點時，加速度為0
B.擺球運動到最低點時，加速度為0
C.擺球做往復運動所需回復力由重力沿運動軌跡切向分力提供
D.擺球做往復運動所需回復力由重力和擺線拉力的合力提供
答案　C
解析　根據單擺的特點可知，擺球運動到最高點時，速度為0，但回復力不為零，達到最大，根據牛頓第二定律知加速度不為0，故A錯誤；擺球運動到最低點時，速度達到最大，此時擺球運動的切線方向加速度為零，但擺球具有向心加速度，根據牛頓第二定律可知，擺球的向心加速度不為0，故B錯誤；根據單擺運動特點可知，擺球做往復運動所需回復力由重力沿運動軌跡切向分力提供，故C正確，D錯誤。
2.(2024·宜春市高二月考)如圖是單擺做阻尼振動的位移—時間圖像，下列說法正確的是(　　)
A.阻尼振動是一種受迫振動
B.擺球在P時刻的勢能大于在N時刻的勢能
C.擺球在P時刻的動能大于在N時刻的動能
D.擺球在P時刻的機械能等于在N時刻的機械能
答案　C
解析　阻尼振動不是一種受迫振動，故A錯誤；擺球在P時刻與N時刻位移大小相等，即單擺所處高度相同，則重力勢能相等，故B錯誤；由于阻力影響，單擺要克服阻力做功，在運動過程中機械能逐漸減小，故擺球在P時刻的機械能大于在N時刻的機械能，而兩時刻重力勢能相等，則在P時刻的動能大于在N時刻的動能，故C正確，D錯誤。
3.(2025·湛江市高二模擬)如圖所示，光滑圓弧軌道豎直固定，其半徑遠大于弧長，圓弧底端切線水平。再將兩個相同的小球甲、乙分別從圓弧軌道的頂端和中點由靜止釋放。下列說法正確的是(　　)
A.甲球到達底端時的動能大于乙球到達底端時的動能
B.甲球到達底端時的動能小于乙球到達底端時的動能
C.甲球到達底端所用的時間大于乙球到達底端所用的時間
D.甲球到達底端所用的時間小于乙球到達底端所用的時間
答案　A
解析　被釋放前甲球的重力勢能大于乙球的重力勢能，因為兩球在圓弧軌道上運動的過程中機械能守恒，所以甲球到達底端時的動能大于乙球到達底端時的動能，故A正確，B錯誤；因為圓弧軌道的半徑遠大于弧長，所以兩球沿圓弧軌道的運動均可視為單擺擺球的運動，則半徑等于擺長，由單擺周期公式T=2π，可知它們的周期相同，到達底端所用的時間均為四分之一周期，則甲球到達底端所用的時間等于乙球到達底端所用的時間，故C、D錯誤。
4.(2024·德州市高二期中)轎車的懸掛系統是由車身與輪胎間的彈簧及避震器組成的支持系統。某型號轎車的懸掛系統振動的固有周期是0.4 s，這輛轎車勻速通過某路口的條狀減速帶，已知相鄰兩條減速帶間的距離為1.2 m，則(　　)
A.當轎車以10.8 km/h的速度通過減速帶時，車身上下顛簸得最劇烈
B.轎車通過減速帶的速度越小，車身上下振動的幅度也越小
C.轎車通過減速帶的速度越大，車身上下顛簸得越劇烈
D.該轎車以任意速度通過減速帶時，車身上下振動的頻率都等于2.5 Hz，與車速無關
答案　A
解析　當轎車以v=10.8 km/h=3 m/s的速度通過減速帶時，車身因過減速帶而產生的受迫振動的周期為T== s=0.4 s，與懸掛系統振動的固有周期相等，故此時車身會產生共振現象，顛簸得最劇烈，故A正確；過減速帶時車身上下振動的頻率與車身系統的固有頻率越接近，車身上下振動的幅度越大，顛簸得越劇烈，所以轎車通過減速帶的速度越小，車身上下振動的幅度不一定越小，轎車通過減速帶的速度越大，車身上下顛簸得也不一定越劇烈，B、C錯誤；受迫振動的物體的振動頻率等于驅動力的頻率，而驅動力的頻率與車速有關，故D錯誤。
5.如圖所示，三根細線的結點為O，A、B端固定在同一水平面上相距為l的兩點上，△AOB為直角三角形，∠BAO=30°，∠AOB=90°。已知OC長為l，下端C點系著一個小球(直徑很小)，重力加速度為g，下列說法正確的是(以下均指小角度擺動)(　　)
A.讓小球在紙面內擺動，則周期為2π
B.讓小球在紙面內擺動，則周期為2π
C.讓小球在垂直紙面方向擺動，則周期為2π
D.讓小球在垂直紙面方向擺動，則周期為2π
答案　A
解析　當小球在紙面內做小角度擺動時，懸點是O點，擺長為l，故周期T=2π，故A正確，B錯誤；小球在垂直紙面方向做小角度擺動時，懸點在直線AB上且在O點正上方，由幾何關系可知擺長l'=(1+)l，故周期T'=2π，故C、D錯誤。
6.如圖所示，在一根張緊的繩子上懸掛幾個擺球，可以用一個單擺(稱為“驅動擺”)驅動另外幾個單擺。不計空氣阻力，則(　　)
A.驅動擺只把振動形式傳播給其他單擺，不傳遞能量
B.如果驅動擺的擺長為L，重力加速度為g，則其他單擺的振動周期都等于2π
C.某個單擺擺動過程中多次通過同一位置時，速度和加速度都相同
D.如果某個單擺的擺長等于驅動擺的擺長，則這個單擺的頻率最大
答案　B
解析　驅動擺不僅把振動形式傳播給其他單擺，同時也把能量傳遞給其他單擺，故A錯誤；如果驅動擺的擺長為L，根據單擺的周期公式有T=2π，其他單擺都做受迫振動，故振動周期都等于驅動擺的周期2π，振動頻率也都等于驅動擺的頻率，故B正確，D錯誤；某個單擺擺動過程中多次通過同一位置時，速度大小相等，但方向可能不同，根據F=-kx，可得加速度a==-，多次通過同一位置時，擺球的位移x相同，所以加速度一定相同，故C錯誤。
7.(2024·永州一中高二月考)質量相同的甲、乙兩小球用細線系于同一根水平桿上，兩小球做簡諧運動的圖像如圖所示，則(　　)
A.兩小球經過平衡位置時速度一樣大
B.運動過程中甲的最大加速度大
C.兩小球擺動過程中乙的最大擺角大
D.運動過程中甲的機械能始終小于乙的機械能
答案　B
解析　x-t圖像中某點處切線的斜率表示瞬時速度，由題圖可知，甲小球位于平衡位置時的速度較大，A錯誤；由題圖可知，甲、乙的周期之比=，甲、乙的振幅之比=，根據單擺周期公式T=2π可知，甲、乙的擺長之比==，甲的擺長小，振幅大，所以擺動過程中甲的最大擺角較大，故C錯誤；設擺線與豎直方向的夾角為α，小球從最高點到最低點的過程中，由機械能守恒定律可得mgl(1-cos α)=mv2，解得小球經過平衡位置時的速度v=，擺球位于最低點時加速度最大，所以運動過程中最大加速度a==2g(1-cos α)，因為甲的最大擺角較大，所以甲的最大加速度較大，故B正確；因為甲的擺長較小，最大擺角較大，所以甲的速度為零時，位置更高，重力勢能更大，機械能更大，故D錯誤。
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題8分，共24分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得8分，選對但不全的得4分，有選錯的得0分。
8.(來自魯科教材)一彈簧振子做受迫振動時的振幅與驅動力頻率的關系如圖所示。下列說法正確的是(　　)
A.假如讓振子自由振動，它的頻率為f2
B.驅動力的頻率為f2時，振子處于共振狀態
C.驅動力的頻率為f3時，振子的振動頻率為f3
D.振子做自由振動時，頻率可能為f1、f2和f3
答案　ABC
解析　由共振曲線可知，振幅最大時，驅動力的頻率等于固有頻率，所以驅動力的頻率為f2時，振子處于共振狀態，故B正確；受迫振動的頻率由驅動力頻率決定，驅動力的頻率為f3時，振子振動的頻率也為f3，故C正確；當驅動力頻率等于固有頻率時，振子的振幅最大，故由題圖看出固有頻率為f2，振子自由振動的頻率等于系統本身的固有頻率，為f2，故A正確，D錯誤。
9.(2024·開封市高二聯考)將一臺智能手機水平粘在秋千的座椅上，使手機邊緣與座椅邊緣平行(圖甲)，讓秋千以小擺角(小于5°)自由擺動，此時秋千可看作一個理想的單擺，擺長為L。從手機傳感器中得到了其垂直手機平面方向的a-t關系圖，如圖乙所示。則以下說法正確的是(　　)
A.忽略空氣阻力，秋千的回復力由重力和拉力的合力提供
B.當秋千擺至最低點時，秋千對手機的支持力大于手機所受的重力
C.秋千擺動的周期為t2-t1
D.該地的重力加速度g=
答案　BD
解析　秋千的回復力由重力沿圓弧切線方向的分力提供，故A錯誤；當秋千擺至最低點時，有FN-mg=，可知秋千對手機的支持力大于手機所受的重力，故B正確；秋千擺動到最高點時，垂直手機平面方向的加速度(向心加速度)為0，根據題圖乙可知秋千擺動的周期為T=t3-t1，根據單擺的周期公式有T=2π，可得g=，故C錯誤，D正確。
10.(2024·泰安市高二檢測)如圖甲所示，一個單擺做小角度擺動，從某次擺球由左向右通過平衡位置時開始計時，擺球相對平衡位置的位移x隨時間t變化的圖像如圖乙所示。不計空氣阻力，g取10 m/s2。則下列說法正確的是(　　)
A.單擺的位移x隨時間t變化的關系式為x=8sin πt(cm)
B.單擺的擺長約為1 m
C.從t=2.5 s到t=3 s的過程中，擺球的重力勢能逐漸增大
D.從t=2.5 s到t=3 s的過程中，擺球所受擺線拉力逐漸減小
答案　AB
解析　由題圖乙可知，單擺的周期T=2 s，則ω==π rad/s，所以單擺的位移x隨時間t變化的關系式為x=8sin πt(cm)，故A正確；由單擺的周期公式T=2π，解得單擺的擺長l≈1 m，故B正確；由題圖乙可知，從t=2.5 s到t=3 s的過程中，擺球逐漸衡位置，所以擺球的重力勢能逐漸減小，擺球的速度逐漸增大，設擺線與豎直方向夾角為θ，則擺球所受擺線的拉力FT=Gcos θ+m，θ逐漸減小，v逐漸增大，所以擺球所受擺線拉力逐漸增大，故C、D錯誤。
三、非選擇題：本題共3小題，共34分。
11.(10分)(2024·邢臺市五岳聯盟檢測)(1)(4分)滑板運動場地有一種常見的圓弧形軌道，其截面如圖(a)所示，某同學用一輛滑板車和手機估測軌道半徑R(滑板車的長度遠小于軌道半徑)。主要實驗過程如下：
①用手機查得當地的重力加速度g；
②找出軌道的最低點O，把滑板車從O點移開一小段距離至P點，由靜止釋放，用手機測出它完成n次全振動的時間t，算出滑板車做往復運動的周期T=　　　　；
③將滑板車的運動視為簡諧運動，則圓弧軌道的半徑R=　　　　(用上述所給物理量符號表示)。
(2)(6分)某同學用如圖(b)所示的裝置測量重力加速度。
實驗器材：有機玻璃條(白色透光，黑色部分是寬度均為d=1.00 cm的擋光片)，鐵架臺，數字計時器(含光電門)，刻度尺。
主要實驗過程如下：
①將光電門安裝在鐵架臺上，下方放置承接玻璃條下落的緩沖物；
②用刻度尺測量兩擋光片間的距離，刻度尺的示數如圖(c)所示，讀出兩擋光片間的距離L=　　　　 cm；
③手提玻璃條上端使它靜止在　　　　方向上，讓光電門的光束從玻璃條下端的透光部分通過；
④讓玻璃條自由下落，測得兩次擋光的時間分別為t1=10.003 ms和t2=5.000 ms；
⑤根據以上測量的數據計算出重力加速度g=　　　　 m/s2(結果保留三位有效數字)。
答案　(1)②　③　(2)②15.40　③豎直　⑤9.74
解析　(1)滑板車做往復運動的周期為T=，根據單擺的周期公式T=2π，
得R==。
(2)兩擋光片間的距離L=15.40 cm-0=15.40 cm
手提玻璃條上端使它靜止在豎直方向上，讓光電門的光束從玻璃條下端的透光部分通過，玻璃條下部擋光片通過光電門時玻璃條的速度為v1== m/s≈1 m/s，
玻璃條上部擋光片通過光電門時玻璃條的速度為v2== m/s=2 m/s，
根據速度位移公式有-=2gL，
代入數據解得重力加速度g=≈9.74 m/s2。
12.(11分)(2024·北京大學附屬中學高二期中)取一單擺，將擺球拉離最初的靜止位置(即平衡位置)，無初速度釋放后，擺球可以在平衡位置附近往復運動，空氣阻力忽略不計，請回答下列問題：
(1)(2分)如圖甲所示，單擺運動的回復力由什么力提供？并畫出受力分析圖。
(2)(5分)試證明：在擺角較小的情況下，擺球做的是簡諧運動。
(3)(4分)圖乙是兩個單擺的振動圖像，則甲、乙兩個擺的擺長之比是多少？
答案　見解析
解析　(1)單擺運動的回復力由重力垂直擺線方向的分力提供，擺球受力分析如圖所示。
(2)回復力F回=G1=mgsin θ，
當θ很小時，有sin θ≈θ
θ等于θ角對應的弧長與半徑的比值，則F回=mg。
當θ很小時，弧長近似等于弦長，即擺球偏離平衡位置的位移x的大小，F回=mg
方向與位移的方向相反，則有F回=-kx，其中振動系數k=，即F回與位移x的大小成正比，并且總指向平衡位置，
所以在偏角很小的情況下，單擺的擺動是簡諧運動。
(3)由題圖乙可知，甲、乙兩個單擺的周期之比為1∶2，
根據單擺周期公式T=2π，可知甲、乙兩個擺的擺長之比為1∶4。
13.(13分)如圖，長為l的細繩下方懸掛一小球，繩的另一端固定在天花板上O點處，在O點正下方l的O'處有一固定細鐵釘。將小球向右拉開，使細繩與豎直方向成一個很小的角度(約為2°)后由靜止釋放，當小球擺到最低位置時，細繩會受到細鐵釘的阻擋。地球表面的重力加速度為g。
(1)(6分)求小球擺動的周期T；
(2)(7分)航天員登上X星球，用同樣的裝置使小球擺動起來，測得小球擺動的周期為地球上擺動周期的，若已知X星球的半徑為R，引力常量為G，求X星球的質量M。
答案　(1)　(2)
解析　(1)小球擺動的周期等于擺長為l的單擺和擺長為l的單擺的周期之和的二分之一，即
T=(2π+2π)=
(2)單擺在X星球上的周期為地球上的，設X星球表面的重力加速度為g'，則
=×
解得g'=4g
在X星球表面，有=mg'
解得M==。

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