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周測6　簡諧運動及描述　簡諧運動的回復力及能量
(時間：60分鐘　滿分：100分)
一、單項選擇題：本題共7小題，每小題6分，共42分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列運動中屬于機械振動的是(　　)
A.人在地上做仰臥起坐
B.五星紅旗迎風飄揚
C.水塘里的蘆葦在微風作用后的左右擺動
D.乒乓球在水平桌面上的上下跳動
2.如圖所示，一個彈簧振子在M、N之間做簡諧運動。O為平衡位置，P、Q是振動過程中關于O點對稱的兩個位置，下列說法正確的是(　　)
A.振子運動到P、Q兩點時，位移相同
B.振子運動到P、Q兩點時，速度相同
C.振子在OP間與OQ間的運動時間相等
D.振子在從M點向N點運動過程中，速度的變化率恒定
3.如圖所示，一水平輕質彈簧左端固定在豎直墻上，右端連接一物體，物體靜止在光滑水平地面上的O點，現向左推物體，使物體到達A點后由靜止釋放，在彈力作用下物體向右運動，在物體整個運動過程中，彈簧始終處于彈性限度內，下列說法正確的是(　　)
A.物體從O點向左運動到A點的過程中，彈簧的彈性勢能先增大后減小
B.物體從O點向左運動到A點的過程中，彈簧的彈性勢能先減小后增大
C.物體從A點向右運動的過程中，彈簧的彈性勢能先增大后減小
D.物體從A點向右運動的過程中，彈簧的彈性勢能先減小后增大
4.裝有砂粒的試管豎直靜立于水面，如圖所示，將試管豎直提起少許，然后由靜止釋放并開始計時，在一段時間內試管在豎直方向近似做簡諧運動。若取豎直向上為正方向，則下列描述試管振動的圖像中可能正確的是(　　)
5.(2024·貴州省高二階段練習)如圖甲所示，懸掛在豎直方向上的彈簧振子，在C、D兩點之間做簡諧運動，O點為平衡位置。振子到達D點時開始計時，以豎直向上為正方向，一個周期內的振動圖像如圖乙所示，下列說法正確的是(　　)
A.振子在O點受到的彈簧彈力等于零
B.振子在C點和D點的回復力大小相等
C.t=0.3 s時，振子的速度方向為豎直向下
D.t=0.5 s到t=1.5 s的時間內，振子通過的路程為3 cm
6.(2024·江蘇六校高二聯考)如圖所示，水平方向的彈簧振子振動過程中先后經過a、b兩點時的速度相同，且從a到b歷時0.2 s，從b再回到a的最短時間為0.4 s，aO=bO，c、d為振子最大位移處，則該振子的振動頻率為(　　)
A.1 Hz B.1.25 Hz
C.2 Hz D.2.5 Hz
7.(2024·蘇州市高二期中)如圖，輕彈簧上端固定，下端懸掛一小鋼球，把鋼球從平衡位置O向下拉一段距離A，放手讓其運動，A為振動的振幅，用停表測出鋼球完成n個全振動所用的時間t，就是振動的周期。彈簧的彈性勢能表達式為Ep=kx2，其中k為彈簧的勁度系數，x為彈簧的形變量。現把振幅減小為原來的一半，則(　　)
A.振動周期變為原來的一半
B.經過平衡位置的動能變為原來的一半
C.最大加速度變為原來的一半
D.若n的值取小一些，可以減小測量誤差
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題8分，共24分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得8分，選對但不全的得4分，有選錯的得0分。
8.(來自教材改編)甲、乙兩個質點做簡諧運動的振動圖像如圖所示，下列關于甲和乙的簡諧運動說法正確的是(　　)
A.頻率之比為1∶1
B.一個周期內運動的路程之比為1∶2
C.甲和乙的初相位都是0
D.甲的相位比乙的相位超前
9.(2024·長春外國語學校高二開學考)在水平方向做簡諧運動的彈簧振子，其質量為m，最大速率為v，則下列說法正確的是(　　)
A.從某時刻起，在半個周期內，彈力做功一定為零
B.從某時刻起，在半個周期內，彈力做的功可能是0到mv2之間的某一個值
C.從某時刻起，在半個周期內，彈力的沖量一定為零
D.從某時刻起，在半個周期內，彈力的沖量大小可能是0到2mv之間的某一個值
10.(2024·長沙市雅禮中學高二期中)一振子沿x軸做簡諧運動，平衡位置在坐標原點。t=0時振子的位移為-0.1 m，t=2 s時位移為0.1 m，則(　　)
A.若振幅為0.1 m，振子的周期可能為 s
B.若振幅為0.1 m，振子的周期可能為 s
C.若振幅為0.2 m，振子的周期可能為6 s
D.若振幅為0.2 m，振子的周期可能為12 s
三、非選擇題：本題共3小題，共34分。
11.(9分)(2023·湖南卷改編)某同學探究彈簧振子振動周期與質量的關系，實驗裝置如圖(a)所示，輕質彈簧上端懸掛在鐵架臺上，下端掛有鉤碼，鉤碼下表面吸附一個小磁鐵，其正下方放置智能手機，手機中的磁傳感器可以采集磁感應強度實時變化的數據并輸出圖像，實驗步驟如下：
(1)測出鉤碼和小磁鐵的總質量m；
(2)在彈簧下端掛上該鉤碼和小磁鐵，使彈簧振子在豎直方向做簡諧運動，打開手機的磁傳感器軟件，此時磁傳感器記錄的磁感應強度變化周期等于彈簧振子振動周期；
(3)(3分)某次采集到的磁感應強度B的大小隨時間t變化的圖像如圖(b)所示，從圖中可以算出彈簧振子振動周期T=　　　　(用“t0”表示)；
(4)改變鉤碼質量，重復上述步驟；
(5)(3分)實驗測得數據如下表所示，分析數據可知，彈簧振子振動周期的平方與質量的關系是　　　　(填“線性的”或“非線性的”)；
m/kg 10T/s T/s T2/s2
0.015 2.43 0.243 0.059
0.025 3.14 0.314 0.099
0.035 3.72 0.372 0.138
0.045 4.22 0.422 0.178
0.055 4.66 0.466 0.217
(6)(3分)設彈簧的勁度系數為k，根據實驗結果并結合物理量的單位關系，彈簧振子振動周期的表達式可能是　　　　　　　　(填正確答案標號)。
A.2π B.2π
C.2π D.2πk
12.(12分)(2024·江門市棠下中學高二月考)如圖，輕彈簧上端固定，下端連接一小物塊A，物塊沿豎直方向做簡諧運動，以豎直向上為正方向，物塊簡諧運動的表達式為y=0.1sin(2.5πt) m，t=0時刻，物塊A開始振動，t1=0.8 s時一小球B從距物塊h高處開始自由落下；t2=1.4 s時，小球B恰好與物塊A處于同一高度；重力加速度的大小g取10 m/s2。求：
(1)(4分)簡諧運動的周期T；
(2)(4分)t=1.4 s內物塊A運動的路程s；
(3)(4分)h的大小。
13.(13分)(2025·咸寧市高二聯考)如圖，勁度系數為k的彈簧連接一個質量m=3 kg的物塊(將物塊視為質點)，用手托住物塊從彈簧原長時開始釋放，之后物塊做簡諧運動，以彈簧原長時物塊位置為坐標原點，豎直向下建立x軸，物塊運動的最低點坐標為x=0.2 m，運動中的最大速度為1 m/s。重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)(6分)彈簧的勁度系數k；
(2)(7分)物塊運動到平衡位置時彈簧的彈性勢能。
周測6　簡諧運動及描述　簡諧運動的回復力及能量
(時間：60分鐘　滿分：100分)
一、單項選擇題：本題共7小題，每小題6分，共42分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列運動中屬于機械振動的是(　　)
A.人在地上做仰臥起坐
B.五星紅旗迎風飄揚
C.水塘里的蘆葦在微風作用后的左右擺動
D.乒乓球在水平桌面上的上下跳動
答案　C
解析　物體在平衡位置附近的往復運動叫作機械振動。人在地上做仰臥起坐和五星紅旗迎風飄揚都缺少特定的平衡位置，所以不屬于機械振動；水塘里的蘆葦在微風作用后的左右擺動，其平衡位置是無風時蘆葦靜止時的豎直位置，則蘆葦的擺動是在平衡位置附近的往復運動，屬于機械振動；乒乓球靜止時在桌面位置，那么乒乓球在水平桌面上的上下跳動不是在平衡位置附近的往復運動，與機械振動的定義不符，故選C。
2.如圖所示，一個彈簧振子在M、N之間做簡諧運動。O為平衡位置，P、Q是振動過程中關于O點對稱的兩個位置，下列說法正確的是(　　)
A.振子運動到P、Q兩點時，位移相同
B.振子運動到P、Q兩點時，速度相同
C.振子在OP間與OQ間的運動時間相等
D.振子在從M點向N點運動過程中，速度的變化率恒定
答案　C
解析　由對稱性可知，振子運動到P、Q兩點時，位移等大反向、速度大小相等，故A、B錯誤；由對稱性可知，振子在OP間與OQ間的運動時間相等，故C正確；振子在從M點向N點運動過程中，由牛頓運動定律可知，加速度先減小后反向增大，即速度的變化率先減小后反向增大，故D錯誤。
3.如圖所示，一水平輕質彈簧左端固定在豎直墻上，右端連接一物體，物體靜止在光滑水平地面上的O點，現向左推物體，使物體到達A點后由靜止釋放，在彈力作用下物體向右運動，在物體整個運動過程中，彈簧始終處于彈性限度內，下列說法正確的是(　　)
A.物體從O點向左運動到A點的過程中，彈簧的彈性勢能先增大后減小
B.物體從O點向左運動到A點的過程中，彈簧的彈性勢能先減小后增大
C.物體從A點向右運動的過程中，彈簧的彈性勢能先增大后減小
D.物體從A點向右運動的過程中，彈簧的彈性勢能先減小后增大
答案　D
解析　物體做簡諧運動，O點是平衡位置，所以物體從O點向左運動到A點的過程中，物體做減速運動，彈簧的彈性勢能一直增大，故A、B錯誤；物體從A點運動到O點時，物體做加速運動，經過O點繼續向右時，物體做減速運動，所以彈簧的彈性勢能先減小后增大，故C錯誤，D正確。
4.裝有砂粒的試管豎直靜立于水面，如圖所示，將試管豎直提起少許，然后由靜止釋放并開始計時，在一段時間內試管在豎直方向近似做簡諧運動。若取豎直向上為正方向，則下列描述試管振動的圖像中可能正確的是(　　)
答案　D
解析　試管在豎直方向上做簡諧運動，平衡位置是其重力與浮力相等的位置，以豎直向上為正方向，開始時向上提起試管的距離，就是其偏離平衡位置的位移，即正向最大位移，故D正確。
5.(2024·貴州省高二階段練習)如圖甲所示，懸掛在豎直方向上的彈簧振子，在C、D兩點之間做簡諧運動，O點為平衡位置。振子到達D點時開始計時，以豎直向上為正方向，一個周期內的振動圖像如圖乙所示，下列說法正確的是(　　)
A.振子在O點受到的彈簧彈力等于零
B.振子在C點和D點的回復力大小相等
C.t=0.3 s時，振子的速度方向為豎直向下
D.t=0.5 s到t=1.5 s的時間內，振子通過的路程為3 cm
答案　B
解析　振子在O點所受合力為0，彈簧彈力與振子重力平衡，則彈簧彈力不等于零，故A錯誤；根據對稱性可知，振子在C點和D點的回復力大小相等，故B正確；由題圖乙中振動圖像可知，t=0.3 s時，振子的速度方向為豎直向上，故C錯誤；t=0.5 s到t=1.5 s的時間內，振子通過的路程為s=2A=6 cm，故D錯誤。
6.(2024·江蘇六校高二聯考)如圖所示，水平方向的彈簧振子振動過程中先后經過a、b兩點時的速度相同，且從a到b歷時0.2 s，從b再回到a的最短時間為0.4 s，aO=bO，c、d為振子最大位移處，則該振子的振動頻率為(　　)
A.1 Hz B.1.25 Hz
C.2 Hz D.2.5 Hz
答案　B
解析　由題可知，a、b兩點關于平衡位置對稱，振動過程中先后經過a、b兩點時的速度相同，且從a到b歷時t1=0.2 s，從b再回到a的最短時間為0.4 s，即從b到c所用時間t2= s=0.1 s，所以該振子振動的周期T=2t1+4t2=0.8 s，則該振子的振動頻率f==1.25 Hz，故B正確。
7.(2024·蘇州市高二期中)如圖，輕彈簧上端固定，下端懸掛一小鋼球，把鋼球從平衡位置O向下拉一段距離A，放手讓其運動，A為振動的振幅，用停表測出鋼球完成n個全振動所用的時間t，就是振動的周期。彈簧的彈性勢能表達式為Ep=kx2，其中k為彈簧的勁度系數，x為彈簧的形變量。現把振幅減小為原來的一半，則(　　)
A.振動周期變為原來的一半
B.經過平衡位置的動能變為原來的一半
C.最大加速度變為原來的一半
D.若n的值取小一些，可以減小測量誤差
答案　C
解析　彈簧振子的振動周期與振幅無關，則把振幅減小為原來的一半，鋼球振動周期不變，故A錯誤；設平衡位置彈簧的形變量為x0，則有mg=kx0，開始時，鋼球從釋放到運動至平衡位置的過程中，根據能量守恒定律有Ep1-Ep0-mgA=Ek1，其中Ep1=k(A+x0)2，Ep0=k，聯立解得Ek1=kA2，同理，振幅減小一半時，可求得Ek2=kA2，可知Ek2≠Ek1，即經過平衡位置的動能不會變為原來的一半，故B錯誤；鋼球在平衡位置時，有kx0=mg，振幅為A時，最大加速度滿足mam=k(A+x0)-mg，振幅為時，最大加速度滿足mam'=k(+x0)-mg，聯立解得am'=，故C正確；若n的值取小一些，測量誤差會增大，故D錯誤。
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題8分，共24分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得8分，選對但不全的得4分，有選錯的得0分。
8.(來自教材改編)甲、乙兩個質點做簡諧運動的振動圖像如圖所示，下列關于甲和乙的簡諧運動說法正確的是(　　)
A.頻率之比為1∶1
B.一個周期內運動的路程之比為1∶2
C.甲和乙的初相位都是0
D.甲的相位比乙的相位超前
答案　AD
解析　由題圖中圖像知，兩個簡諧運動的周期都是0.4 s，故頻率之比為1∶1；一個周期內運動的路程為4A，且A甲=A乙，則路程之比為1∶1；甲和乙的初相位分別是0和-；甲的相位比乙的相位超前0-(-)=，故選A、D。
9.(2024·長春外國語學校高二開學考)在水平方向做簡諧運動的彈簧振子，其質量為m，最大速率為v，則下列說法正確的是(　　)
A.從某時刻起，在半個周期內，彈力做功一定為零
B.從某時刻起，在半個周期內，彈力做的功可能是0到mv2之間的某一個值
C.從某時刻起，在半個周期內，彈力的沖量一定為零
D.從某時刻起，在半個周期內，彈力的沖量大小可能是0到2mv之間的某一個值
答案　AD
解析　振子在水平方向做簡諧運動，系統機械能守恒，從某時刻起經過半個周期，振子的速度大小一定相等，系統動能不變，則彈簧的彈性勢能不變，所以彈力做功一定為零，故A正確，B錯誤；對于簡諧運動，從某時刻起，經過半個周期后速度與該時刻速度大小相等、方向相反；若開始時振子在最大位移處，初速度為0，末速度也為0，其速度變化量為0，根據動量定理可知，彈力的沖量I=Δp=mΔv=0；若開始時振子在平衡位置，初速度為v，末速度為-v，其速度變化量為-2v，根據動量定理可知，彈力的沖量I=Δp=mΔv=-2mv，所以彈力的沖量大小可能是0~2mv間的某一個值，故C錯誤，D正確。
10.(2024·長沙市雅禮中學高二期中)一振子沿x軸做簡諧運動，平衡位置在坐標原點。t=0時振子的位移為-0.1 m，t=2 s時位移為0.1 m，則(　　)
A.若振幅為0.1 m，振子的周期可能為 s
B.若振幅為0.1 m，振子的周期可能為 s
C.若振幅為0.2 m，振子的周期可能為6 s
D.若振幅為0.2 m，振子的周期可能為12 s
答案　BD
解析　若振幅為0.1 m，由題意有Δt=(n+)T(n=0，1，2…)，解得T= s(n=0，1，2…)，當n=1時，振子的周期為 s，當n=2時，振子的周期為 s，A錯誤，B正確；若振幅為0.2 m，有三種情況，分別為Δt=(+n)T、Δt=(+n)T、Δt=(n+)T，其中n=0，1，2…，可得T= s或 s或 s，其中n=0，1，2…，當n=0時，T=4 s或12 s或 s，所以振子的周期可能為12 s，C錯誤，D正確。
三、非選擇題：本題共3小題，共34分。
11.(9分)(2023·湖南卷改編)某同學探究彈簧振子振動周期與質量的關系，實驗裝置如圖(a)所示，輕質彈簧上端懸掛在鐵架臺上，下端掛有鉤碼，鉤碼下表面吸附一個小磁鐵，其正下方放置智能手機，手機中的磁傳感器可以采集磁感應強度實時變化的數據并輸出圖像，實驗步驟如下：
(1)測出鉤碼和小磁鐵的總質量m；
(2)在彈簧下端掛上該鉤碼和小磁鐵，使彈簧振子在豎直方向做簡諧運動，打開手機的磁傳感器軟件，此時磁傳感器記錄的磁感應強度變化周期等于彈簧振子振動周期；
(3)(3分)某次采集到的磁感應強度B的大小隨時間t變化的圖像如圖(b)所示，從圖中可以算出彈簧振子振動周期T=　　　　(用“t0”表示)；
(4)改變鉤碼質量，重復上述步驟；
(5)(3分)實驗測得數據如下表所示，分析數據可知，彈簧振子振動周期的平方與質量的關系是　　　　(填“線性的”或“非線性的”)；
m/kg 10T/s T/s T2/s2
0.015 2.43 0.243 0.059
0.025 3.14 0.314 0.099
0.035 3.72 0.372 0.138
0.045 4.22 0.422 0.178
0.055 4.66 0.466 0.217
(6)(3分)設彈簧的勁度系數為k，根據實驗結果并結合物理量的單位關系，彈簧振子振動周期的表達式可能是　　　　　　　　(填正確答案標號)。
A.2π B.2π
C.2π D.2πk
答案　 (3) 　(5)線性的　(6)A
解析　(3)由題圖(b)可知彈簧振子振動周期T=；
(5)分析數據可知，彈簧振子振動周期的平方與質量的比值接近常量3.94，則彈簧振子振動周期的平方與質量的關系是線性的；
(6)因2π的單位為==s
因為s(秒)為周期的單位，則其他各項單位都不是周期的單位，故選A。
12.(12分)(2024·江門市棠下中學高二月考)如圖，輕彈簧上端固定，下端連接一小物塊A，物塊沿豎直方向做簡諧運動，以豎直向上為正方向，物塊簡諧運動的表達式為y=0.1sin(2.5πt) m，t=0時刻，物塊A開始振動，t1=0.8 s時一小球B從距物塊h高處開始自由落下；t2=1.4 s時，小球B恰好與物塊A處于同一高度；重力加速度的大小g取10 m/s2。求：
(1)(4分)簡諧運動的周期T；
(2)(4分)t=1.4 s內物塊A運動的路程s；
(3)(4分)h的大小。
答案　(1)0.8 s　(2)0.7 m　(3)1.7 m
解析　(1)根據物塊簡諧運動的表達式y=0.1sin(2.5πt) m，
可知ω=2.5π rad/s
則簡諧運動的周期T== s=0.8 s
(2)因n===1.75
則t=1.4 s內物塊A運動的路程s=n×4A=1.75×4×0.1 m=0.7 m
(3)t2=1.4 s時y=0.1sin(2.5πt) m=0.1sin(2.5π×1.4) m=-0.1 m
小球B做自由落體運動，有h+|y|=g(t2-t1)2
解得h=1.7 m。
13.(13分)(2025·咸寧市高二聯考)如圖，勁度系數為k的彈簧連接一個質量m=3 kg的物塊(將物塊視為質點)，用手托住物塊從彈簧原長時開始釋放，之后物塊做簡諧運動，以彈簧原長時物塊位置為坐標原點，豎直向下建立x軸，物塊運動的最低點坐標為x=0.2 m，運動中的最大速度為1 m/s。重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)(6分)彈簧的勁度系數k；
(2)(7分)物塊運動到平衡位置時彈簧的彈性勢能。
答案　(1)300 N/m　(2)1.5 J
解析　(1)根據題意，物塊從彈簧原長位置釋放，最低點坐標為x=0.2 m，
可知該簡諧運動的振幅A==0.1 m
根據簡諧運動的對稱性可知，平衡位置時物塊的速度最大，此時距離最高點的距離為A，即彈簧的形變量為A，
根據共點力平衡，有kA=mg
解得k== N/m=300 N/m。
(2)對物塊由最高點運動到平衡位置的過程，根據能量守恒，有mgA=Ep+mv2，
代入數據解得Ep=mgA-mv2=30×0.1 J-×3×12 J=1.5 J。

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