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第3節　牛頓第二運動定律
[學習目標]　1．掌握牛頓第二定律的文字內容和數學表達式。2．知道單位制、基本單位、導出單位和國際單位制的概念。3．學會利用牛頓第二定律解決實際問題，并且能夠從不同角度解決動力學問題，具有質疑和創新意識。
知識點一　牛頓第二運動定律及其意義
1．內容：物體加速度的大小與所受合外力的大小成正比，與物體的質量成反比，加速度方向與合外力方向相同。
2．表達式：F＝kma，k是比例常數，F是物體所受的合外力。當各物理量的單位都取國際單位時，k＝1，F＝ma。
3．力的單位：牛頓，符號是N。
4．1 N的物理意義：使質量為1 kg的物體產生1 m/s2的加速度所用的力為1 kgm/s2，稱為1 N，即1 N＝1 kgm/s2。
　比例式F＝kma中的k一定等于1，這種說法對嗎？
提示：不對。
1．思考辨析(正確的打√，錯誤的打×)
(1)由牛頓第二運動定律知，合外力大的物體的加速度一定大。 (×)
(2)牛頓第二運動定律說明了質量大的物體其加速度一定小。 (×)
(3)任何情況下，物體的加速度的方向始終與它所受的合外力方向一致。 (√)
知識點二　國際單位制
1．單位制：由基本單位和導出單位組成。
2．國際單位
(1)基本單位：在力學中有米(m)(長度單位)、千克(kg)(質量單位)、秒(s)(時間單位)。
(2)導出單位：在力學中利用物理公式從三個基本單位導出的其他單位。
3．意義與作用：在用公式進行計算的時候，如果已知量都采用國際單位制中的單位，計算的結果也必然是國際單位制單位。因此，在計算時所列的等式中，就不必一一寫出每個物理量的單位，只要在計算結果的數據后面寫出待求量的單位即可。
4．國際單位制中的七個基本物理量和相應的基本單位
物理量名稱 物理量符號 單位名稱 單位符號
長度 l 米 m
質量 m 千克(公斤) kg
時間 t 秒 s
電流 I 安[培] A
物質的量 n 摩[爾] mol
熱力學溫度 T 開[爾文] K
發光強度 I，(Iv) 坎[德拉] cd
　可以利用單位，反推出公式正確性和計算結果的正確性。
2．思考辨析(正確的打√，錯誤的打×)
(1)力的單位牛頓是基本單位。 (×)
(2)質量是基本量。 (√)
(3)物理公式表示了物理量間的數量關系和單位關系。 (√)
賽車要求能在盡可能短的時間內達到最大速度。
(1)賽車的加速度由哪些因素決定？
(2)可采取哪些措施來提高賽車的加速度？
提示：(1)賽車的加速度a由賽車的受力F和質量m共同決定。
(2)受力F越大、質量m越小，則加速度a越大。可裝備功率很大的發動機，增大動力；在設計時還可考慮選用輕型材料，減小質量。
考點1　對牛頓第二定律的理解
1．合外力與加速度的關系
2．力與運動的關系
3．牛頓第二運動定律的五個性質
性質 理解
因果性 力是產生加速度的原因，只要物體所受的合力不為0，物體就具有加速度
矢量性 F＝ma是一個矢量式。物體的加速度的方向由它受的合力的方向決定，且總與合力的方向相同
瞬時性 加速度與合外力是瞬時對應關系，同時產生，同時變化，同時消失
同體性 F＝ma中F、m、a都是對同一物體而言的
獨立性 作用在物體上的每一個力都產生加速度，物體的實際加速度是這些加速度的矢量和
相對性 牛頓第二定律只適用于慣性參考系
【典例1】　(雙選)關于牛頓第二定律，下列說法正確的是(　　)
A．加速度與合力的關系是瞬時對應關系，即a與F同時產生、同時變化、同時消失
B．加速度的方向總是與合外力的方向相同
C．同一物體的運動速度變化越大，受到的合外力也越大
D．物體的質量與它所受的合外力成正比，與它的加速度成反比
思路點撥：理解牛頓第二定律的五性是解決該問題的關鍵。
AB　[加速度與力的關系是瞬時對應關系，即a與F是同時產生、同時變化、同時消失，A正確；根據牛頓第二定律得，加速度的方向總是與合外力的方向相同，B正確；速度變化大，加速度不一定大，則合力不一定大，C錯誤；質量是物體的固有屬性，不隨合力、加速度的變化而變化，D錯誤。]
　合外力、加速度、速度的關系
(1)力與加速度為因果關系：力是因，加速度是果。只要物體所受的合外力不為零，就會產生加速度。加速度與合外力的方向是相同的，大小與合外力成正比。
(2)力與速度無因果關系：合外力的方向與速度的方向可以相同，可以相反，還可以有夾角。合外力的方向與速度的方向相同時，物體做加速運動，相反時物體做減速運動。
(3)兩個加速度公式的區別
a＝是加速度的定義式，是比值定義法定義的物理量，a與v、Δv、Δt均無關；a＝是加速度的決定式，加速度由其受到的合外力和質量決定。
[跟進訓練]
1．(雙選)牛頓第二定律的公式F＝ma大家已經相當熟悉，關于它的各種性質說法正確的是 (　　)
A．a和F之間是瞬時的對應關系，同時存在，同時消失，同時改變
B．a與v的方向時時刻刻總相同，v的方向改變，a的方向立即改變
C．v與F的方向時時刻刻總相同，v的方向改變，F的方向立即改變
D．物體的加速度是合外力產生的，即F＝ma，又可以理解為各力產生的加速度的矢量和
AD　[根據a＝，牛頓第二定律有瞬時性，a與F同時產生，同時變化，同時消失，A正確；根據a＝可知，牛頓第二定律有矢量性，加速度的方向與合外力的方向相同，但運動的方向不一定與加速度方向相同，B、C錯誤；根據a＝，a等于作用在物體上的合力與質量的比值，也可以說成是每個力產生的加速度的矢量和，D正確。]
考點2　牛頓第二定律的應用
1．運用牛頓第二定律解題的步驟
2．求解加速度的兩種方法
(1)合成法：若物體只受兩個力作用時，應用平行四邊形定則求這兩個力的合力的大小，再應用牛頓第二定律求加速度的大小，物體所受合外力的方向即為加速度的方向。
(2)正交分解法：當物體受多個力作用處于加速狀態時，常用正交分解法求物體所受的合力，再應用牛頓第二定律求加速度。為減少矢量的分解以簡化運算，建立坐標系時，可有如下兩個角度：
分解力 通常以加速度a的方向為x軸正方向，建立直角坐標系，將物體所受的各個力分解在x軸和y軸上，分別得x軸和y軸的合力Fx和Fy，得方程
分解加 速度 若物體所受各力都在互相垂直的方向上，但加速度卻不在這兩個方向上，這時可以以力的方向為x軸、y軸正方向，只需分解加速度a，得ax和ay，根據牛頓第二定律得方程
【典例2】　[鏈接教材P130例題]如圖所示，水平地面上有一質量M＝3 kg的小車，在車廂頂端用一細線懸掛一質量m＝1 kg的小球，某時刻起給小車施加一水平恒力F，穩定后，懸掛小球的細線偏離豎直方向37°角，球和車廂相對靜止。取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)如果地面是光滑的，求解車廂運動的加速度并說明車廂的運動情況；
(2)求懸線對小球拉力的大小。
思路點撥：正確選取研究對象，準確作出受力分析，是解題的關鍵。
[解析]　方法一：合成法
(1)由于車廂沿水平方向運動，所以小球有水平方向的加速度，所受合力F沿水平方向，選小球為研究對象，進行受力分析。
由幾何關系可得F′＝mg tan θ
小球的加速度a＝＝g tan θ＝7.5 m/s2，方向向右。
則車廂做向右的勻加速直線運動或向左的勻減速直線運動。
(2)懸線對球的拉力大小為FT＝＝ N＝12.5 N。
方法二：正交分解法
以水平向右為x軸正方向建立坐標系，并將懸線對小球的拉力FT正交分解。
則沿水平方向有FTsin θ＝ma
豎直方向有FTcos θ－mg＝0
聯立解得a＝7.5 m/s2，
FT＝12.5 N
且加速度方向向右，故車廂做向右的勻加速直線運動或向左的勻減速直線運動。
[答案]　(1)7.5 m/s2，方向向右　車廂做向右的勻加速直線運動或向左的勻減速直線運動
(2)12.5 N
[母題變式]
在【典例2】情境下，小車與地面之間存在摩擦，且動摩擦因數μ＝0.25，依然給小車施加相同的外力F。求：
(1)車廂運動的加速度并說明車廂的運動情況；
(2)懸線與豎直線夾角的正切值。
[解析]　(1)通過典例2可知，車廂及小球的加速度為a＝7.5 m/s2，所以施加的外力F＝(m＋M)a＝30 N
當小車與地面之間存在摩擦時，摩擦力f＝μFN＝μ(M＋m)g＝10 N
向右做加速運動時，整體所受合外力F合＝F－f＝20 N
整體加速度a′＝＝5 m/s2
當向左做減速運動時，整體所受合外力F合＝F＋f＝40 N
整體加速度a″＝＝10 m/s2
車廂與小球運動狀態相同，即向右做加速度大小為的勻加速直線運動，或向左做加速度大小為的勻減速直線運動。
(2)對小球進行受力分析，設懸線與豎直線的夾角為α
FTcos α＝mg
FTsin α＝ma′
兩式聯立解得tan α＝
或FTcos α＝mg
FTsin α＝ma″
兩式聯立解得tan α＝1。
[答案]　(1)5 m/s2，方向向右，車廂做向右的勻加速直線運動或10 m/s2，方向向右，車廂做向左的勻減速直線運動　(2)或1
　在牛頓第二定律的應用中，采用正交分解法時，在受力分析后，建立直角坐標系是關鍵。坐標系的建立原則上是任意的，但常常使加速度在某一坐標軸上，另一坐標軸上的合力為零，或在坐標軸上的力最多。
【教材原題P130例題】　某高速列車(圖5-9)起動后的初始階段，可視為在恒定的牽引力作用下做勻加速直線運動。若在該階段列車組的牽引力為3.04×105 N，列車所受阻力為7.9×104 N，列車質量為4.5×105 kg，則列車從起動至速度達到60 km/h需要多長時間？
分析　已知牽引力F、阻力f和列車質量m，由牛頓第二定律可求出列車運動的加速度a。列車做勻加速直線運動，已知起動時的初速度為0和末速度vt的大小，結合求出的加速度a，由勻變速直線運動的速度公式可求出所需要的時間。
解　以列車為研究對象，受力分析如圖5-10所示。
由題意可知，m＝4.5×105 kg，F＝3.04×105 N，f＝7.9×104 N，v0＝0，vt＝60 km/h＝16.7 m/s。
選定列車運動方向為正方向。由牛頓第二定律，得
F－f＝ma
a＝
＝
＝0.50 m/s2
由勻變速直線運動的速度公式vt＝v0＋at，得
t＝＝＝33.4 s
所以，列車從起動至速度達到60 km/h需要的時間為33.4 s。
[跟進訓練]
2．乘坐“空中纜車”飽覽大自然的美景是旅游者絕妙的選擇。若某一纜車沿著坡度為30°的山坡以加速度a加速上行，如圖所示。在纜車中放一個與山坡表面平行的斜面，斜面上放一個質量為m的小物塊，小物塊相對斜面靜止(設纜車始終保持豎直狀態)，則(　　)
A．小物塊受到的支持力方向豎直向上
B．小物塊受到的摩擦力方向平行斜面向下
C．小物塊受到的靜摩擦力為mg＋ma
D．小物塊受到的滑動摩擦力為mg＋ma
C　[以物塊為研究對象，分析受力情況，物塊受重力mg、斜面的支持力N和靜摩擦力f，且具有沿斜面方向向上的加速度a，根據平衡條件可知支持力N垂直于斜面向上，根據牛頓第二運動定律可知靜摩擦力f沿斜面向上，故A、B錯誤；由于小物塊和斜面保持相對靜止，小物塊受到的摩擦力為靜摩擦力，根據牛頓第二運動定律得f－mg sin 30°＝ma，解得f＝mg＋ma，方向平行斜面向上，故C正確，D錯誤。]
考點3　動力學的兩類基本問題
1．已知受力情況確定運動情況
基本思路：加速度是聯系力和運動情況的橋梁。已知受力情況，首先根據牛頓第二定律求出物體的加速度，再根據運動學規律確定物體的運動情況。
2．已知運動情況確定受力情況
基本思路：已知物體的運動情況，先根據運動學規律求出物體的加速度，再根據牛頓第二定律確定物體的受力情況。
【典例3】　[鏈接教材P133例題]運動員拉車胎進行100 m賽跑訓練體能。車胎的質量m＝8.5 kg，運動員拉車胎的繩子與水平方向的夾角為θ＝37°，車胎與地面間的動摩擦因數μ＝0.7。某次比賽中，一名運動員拉著車胎從靜止開始全力奔跑，跑出20 m達到最大速度(這一過程可看作勻加速直線運動)，然后以最大速度勻速跑到終點，共用時15 s。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)運動員加速所用的時間t1和達到的最大速度v；
(2)運動員勻加速運動階段對車胎的拉力F。
[解析]　(1)勻加速階段位移為x1＝t1
勻速階段位移為x2＝100 m－x1＝v(15 s－t1)
聯立解得v＝8 m/s，t1＝5 s。
(2)由速度公式v＝at1
得a＝＝ m/s2＝1.6 m/s2
對車胎受力分析，并正交分解，如圖所示
在x軸方向，F cos 37°－Ff＝ma
在y軸方向，FN＋F sin 37°－mg＝0
且Ff＝μFN
代入數據聯立解得
F≈59.92 N
方向沿繩與水平方向成37°。
[答案]　(1)5 s　8 m/s　(2)59.92 N　方向沿繩與水平方向成37°
　從受力情況確定運動情況應注意的三個方面
(1)方程的形式：牛頓第二定律F＝ma，體現了力是產生加速度的原因。應用時方程式的等號左右應該體現出前因后果的形式，切記不要寫成F－ma＝0的形式，這樣形式的方程失去了物理意義。
(2)正方向的選取：通常選取加速度方向為正方向，與正方向同向的力取正值，與正方向反向的力取負值。
(3)求解：F、m、a采用國際單位制單位，解題時寫出方程式和相應的文字說明，必要時對結果進行討論。
【教材原題P133例題】　如圖5-12所示，一載有小孩的雪橇總質量為30 kg，在拉力F的作用下，沿水平地面向右做直線運動，該拉力與水平面的夾角為30°。經過50 cm，速度由0.6 m/s均勻減至0.4 m/s。已知雪橇與地面間的動摩擦因數為0.2，求作用力F的大小。
分析　由題意可知，物體做勻減速直線運動，已知初速度、末速度和位移，由運動學公式可求加速度，再由牛頓第二定律求出未知力。
解　以小孩和雪橇整體為研究對象，建立平面直角坐標系，受力分析如圖5-13所示。
由題意可知，v0＝0.6 m/s，vt＝0.4 m/s，s＝50 cm＝0.5 m，m＝30 kg，μ＝0.2，θ＝30°。
由公式＝2as，得
a＝＝ m/s2＝－0.2 m/s2
加速度方向沿x軸負方向。根據牛頓第二定律，沿水平方向，有
F cos θ－f＝ma
沿豎直方向，有
N＋F sin θ－mg＝0
又因為f＝μN，所以聯立以上各式，得F＝
＝ N
＝54.7 N
所以拉力F的大小為54.7 N。
[跟進訓練]
3．(雙選)某小球所受的合力與時間的關系如圖所示，各段的合力大小相同，作用時間相同，設小球從靜止開始運動，由此可判定(　　)
A．小球向前運動，再返回停止
B．小球向前運動，再返回不會停止
C．小球始終向前運動
D．小球在4 s末速度為0
CD　[由題圖可知，在0～1 s，小球向前做勻加速直線運動，1 s末速度最大；在1～2 s，小球以大小相等的加速度向前做勻減速直線運動，2 s末速度為零，依此類推，可知A、B錯誤，C、D正確。]
考點4　國際單位制
1．推導單位
物理公式在確定各物理量的數量關系時，同時也確定了各物理量的單位關系，所以我們可以根據物理公式中物理量間的關系，推導出物理量的單位。
2．檢驗計算結果
各量的單位統一成國際單位，計算結果的單位和該物理量的國際單位一致時，該運算過程才可能是正確的。若所求物理量的單位不對，則結果一定錯。
【典例4】　(教材P137T2改編)聲音在空氣中的傳播速度v與空氣的密度ρ、壓強p有關。下列關于聲音傳播速度的表達式(k為比例系數，無單位)可能正確的是(　　)
A．v＝k　　　　　　 B．v＝
C．v＝ D．v＝
B　[壓強p可由公式p＝求得，則其單位為1 ＝1 kg/(ms2)；密度ρ可由公式ρ＝求得，則ρ的單位為kg/m3。由于題中k無單位，則k的單位為m2/s2，顯然不是速度的單位，選項A錯誤；而的單位為m/s，選項B正確；又的單位為s/m，不是速度的單位，選項C錯誤；的單位為kg/(m2s)，不是速度的單位，選項D錯誤。]
　(1)在進行物理運算時，最終的結果往往是一個表達式，很難判斷其正誤。這時，可將全部物理量的國際單位制單位代入式中，對單位進行運算，若得到的單位不是所求物理量的國際單位制單位，結果就一定是錯誤的。
(2)值得注意的是，運用量綱檢查法得到的單位正確，但結果不一定是正確的。
[跟進訓練]
4．一物體在2 N的外力作用下，產生10 cm/s2的加速度，求該物體的質量。下面是幾種不同的求法，其中單位運用正確、簡潔而又規范的是(　　)
A．m＝＝ kg＝0.2 kg
B．m＝＝＝20 ＝20 kg
C．m＝＝＝20 kg
D．m＝＝ kg＝20 kg
D　[在進行數量運算的同時，也要把單位代進去運算。帶單位運算時，每一個數據均要帶上單位，且單位換算要準確。也可以把題中的已知量的單位都用國際單位表示，計算的結果就用國際單位表示，這樣在統一已知量的單位后，就不必一一寫出各個量的單位，只要在數字后面寫出正確的單位即可。在備選的四個選項中，選項A、C均錯誤，選項B解題過程正確，但不簡潔，只有選項D運算正確，且簡潔又規范。]
1．如圖所示為我國出土的2000年前的王莽時期測量長度的工具， 在國際單位制中長度的國際單位是(　　)
A．毫米　　　　　　 B．厘米
C．分米 D．米
D　[國際單位制中長度的單位是米，故選D。]
2．力F1作用在物體上產生的加速度a1＝3 m/s2，力F2作用在該物體上產生的加速度a2＝4 m/s2，則F1和F2同時作用在該物體上，產生的加速度a的大小不可能為(　　)
A．7 m/s2 B．5 m/s2
C．1 m/s2 D．8 m/s2
D　[加速度a1、a2的方向不確定，故合加速度a的范圍為|a1－a2|≤a≤a1＋a2，即1 m/s2≤a≤7 m/s2，故D錯誤。]
3．滑翔傘是一批熱愛跳傘、滑翔翼的飛行人員發明的一種飛行器。現有一滑翔傘沿直線朝斜向下方向做勻加速直線運動。若空氣對滑翔傘和飛行人員的作用力為F，則此過程中F的方向可能是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
A　[滑翔傘沿直線朝斜向下方向做勻加速直線運動，則F與G的合力方向與v同向，故A符合題意，B、C、D不符合題意。故選A。]
4．(新情境題：以蹦床比賽為背景，考查牛頓第二定律)蹦床是奧運會中的一個比賽項目。設某位蹦床運動員僅在豎直方向上運動，運動員的腳在接觸蹦床過程中，蹦床對運動員的彈力F隨時間t的變化規律通過傳感器用計算機繪制出來，如圖所示。取g＝10 m/s2，根據F-t圖像求：
(1)運動員在運動過程中的最大加速度的大小；
(2)運動員雙腳離開蹦床后的最大速度的大小。
[解析]　(1)由題圖可知，運動員的重力G＝500 N，蹦床對運動員的最大彈力Fm＝2 500 N
設運動員的最大加速度為am，根據牛頓第二定律有：Fm－mg＝mam
又G＝mg
代入數據解得：am＝40 m/s2。
(2)由題圖可知，自由下落的時間為t＝ s＝0.8 s
由運動學公式可知最大速度vm＝gt
代入數據解得：vm＝8 m/s。
[答案]　(1)40 m/s2　(2)8 m/s
回歸本節知識，完成以下問題：
(1)物體所受的合外力與加速度的關系是怎樣的？
提示：合外力的方向決定加速度的方向，合外力的大小決定加速度的大小。
(2)動力學的兩類基本問題指的是什么？
提示：已知受力情況確定運動情況和已知運動情況確定受力情況。
(3)什么是國際單位制？國際單位制中的基本單位有哪幾個？
提示：國際計量委員會在1960年第11屆國際計量大會上制訂了一種國際通用的、包括一切計量領域的單位制，叫作國際單位制。有米、千克、秒、安[培]、開[爾文]、摩[爾]、坎[德拉]七個基本單位。
課時分層作業(十五)　牛頓第二運動定律
?題組一　對牛頓第二定律的理解
1．火箭沿豎直方向加速升空的過程中(　　)
A．合力為零
B．加速度與速度方向相反
C．合力與速度方向相同
D．加速度與合力方向相反
C　[火箭沿豎直方向加速升空，則火箭加速度方向與速度相同，故B錯誤；火箭的加速度不為零，根據牛頓第二定律可知火箭合力不為零，合力方向與加速度方向相同，則合力方向與速度方向相同，故A、D錯誤，C正確。故選C。]
2．天問一號著陸器在成功著陸火星表面的過程中，經大氣層290 s的減速，速度從4.9×103 m/s減為4.6×102 m/s；打開降落傘后，經過90 s速度進一步減為1.0×102 m/s；與降落傘分離，打開發動機減速后處于懸停狀態；經過對著陸點的探測后平穩著陸。若打開降落傘至分離前的運動可視為豎直向下運動，則著陸器(　　)
A．打開降落傘前，只受到氣體阻力的作用
B．打開降落傘至分離前，受到的合力方向豎直向上
C．打開降落傘至分離前，只受到浮力和氣體阻力的作用
D．懸停狀態中，發動機噴火的反作用力與氣體阻力是平衡力
B　[不管是否打開降落傘，著陸器始終受重力作用，A、C錯誤；打開降落傘至分離前做減速運動，則其加速度方向與運動方向相反，加速度方向向上，則合力方向豎直向上，B正確；懸停狀態中，著陸器在發動機噴火的反作用力、重力與氣體阻力的作用下平衡，D錯誤。故選B。]
?題組二　牛頓第二定律的應用
3．如圖所示，質量為m＝10 kg的物體在水平面上向左運動，物體與水平面間動摩擦因數為0.2。與此同時物體受到一個水平向右的推力F＝20 N的作用，則物體產生的加速度大小和方向是(g取)(　　)
A．0
B．4 m/s2，水平向右
C．2 m/s2，水平向左
D．2 m/s2，水平向右
B　[取向右為正方向，由牛頓第二定律得F＋f＝ma，而f＝μmg，解得a＝＝4 m/s2，故物體的加速度大小是4 m/s2，方向水平向右，B正確。]
4．如圖所示，有一箱裝得很滿的土豆，以一定的初速度在動摩擦因數為μ的水平地面上做勻減速運動，不計其他外力及空氣阻力，則中間一質量為m的土豆A受到其他土豆對它的作用力大小應是(　　)
A．mg B．μmg
C．mg D．mg
C　[土豆A受力如圖，在水平方向上土豆具有和箱子共同的水平加速度a，由牛頓第二定律知：a＝μg，土豆A的水平合外力F1＝μmg。豎直方向上土豆A所受其他土豆的作用力F2＝mg，所以其他土豆對它的作用力的大小F＝＝mg。C正確。]
5．(教材P153T8改編)在高速公路的連續下坡路段通常會設置避險車道，供發生緊急情況的車輛避險使用，本題中避險車道是主車道旁的一段上坡路面。一輛貨車在行駛過程中剎車失靈，以v0＝90 km/h的速度駛入避險車道，如圖所示。設貨車進入避險車道后牽引力為零，貨車與路面間的動摩擦因數μ＝0.30，取重力加速度大小g＝。
(1)為了防止貨車在避險車道上停下后發生溜滑現象，該避險車道上坡路面的傾角θ應該滿足什么條件？設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，結果用θ的正切值表示。
(2)若避險車道路面傾角為15°，求貨車在避險車道上行駛的最大距離。(已知sin 15°＝0.26，cos 15°＝0.97，結果保留2位有效數字)
[解析]　(1)當貨車在避險車道停下后，有fm≥mg sin θ，貨車所受的最大靜摩擦力fm＝μN＝μmg cos θ
聯立可解得tan θ≤0.30。
(2)貨車在避險車道上行駛時，a＝＝5.51 m/s2
貨車的初速度v0＝90 km/h＝25 m/s
則貨車在避險車道上行駛的最大距離為x＝≈57 m。
[答案]　(1)tan θ≤0.30 　(2)57 m
?題組三　動力學兩類問題
6．車廂底部有一質量為m＝5 kg 的物體，如圖所示，當小車以7.5 m/s2的加速度向右加速運動時，m與小車始終保持相對靜止，試分析物體的受力情況，并求出各力的大小。(g取10 m/s2)
[解析]　物體共受三個力的作用：重力、支持力和小車給它的摩擦力
其中：重力G＝mg＝50 N，方向豎直向下
支持力FN＝G＝50 N，方向豎直向上
摩擦力Ff＝ma＝5×7.5 N＝37.5 N，方向水平向右。
[答案]　見解析
7．如圖所示，質量為4 kg的物體靜止在水平面上。現用大小為40 N、與 水平方向夾角為37°的斜向上的力拉物體，使物體沿水平面做勻加速運動。(g取，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)若水平面光滑，物體的加速度是多大？
(2)若物體與水平面間的動摩擦因數為0.5，物體的加速度是多大？
[解析]　(1)水平面光滑時，物體的受力情況如圖甲所示，由牛頓第二定律得
F cos 37°＝ma1
解得a1＝8 m/s2。
　
(2)水平面不光滑時，物體的受力情況如圖乙所示，由牛頓第二定律得
F cos 37°－Ff＝ma2
FN′＋F sin 37°＝mg
Ff＝μFN′
解得a2＝6 m/s2。
[答案]　(1)8 m/s2　(2)6 m/s2
?題組四　國際單位制
8．國際單位制(SI)定義了7個基本單位，其他單位均可根據物理關系導出。1967年用銫-133原子基態的兩個超精細能級間躍遷輻射的頻率Δν＝9 192 631 770 Hz 定義秒(s)；1983年用真空中的光速c＝299 792 458 ms-1定義米(m)。2018年第26屆國際計量大會決定，7個基本單位全部用基本物理常量來定義。關于國際單位制，下列選項不正確的是(　　)
A．7個基本單位全部用物理常量定義，保證了基本單位的穩定性
B．在力學范圍內的基本單位有米(m)、千克(kg)、秒(s)
C．牛頓是導出單位，1 N＝1 kgms2
D．米每二次方秒(m/s2)、牛頓每千克(N/kg)都是重力加速度g的單位
C　[7個基本單位全部用物理常量定義，保證了基本單位的穩定性，選項A正確；在力學范圍內的基本單位有米(m)、千克(kg)、秒(s)，選項B正確；牛頓是導出單位，1 N＝1 kgm/s2，選項C錯誤；根據a＝可知，米每二次方秒(m/s2)、牛頓每千克(N/kg)都是重力加速度g的單位，選項D正確，本題選擇不正確的，故選C。]
9．趣味比賽“毛毛蟲競速”鍛煉體能的同時，考驗班級的團隊協作能力。某班級在比賽中四位同學齊心協力，默契配合，發令后瞬間加速出發，加速度大小約為 5.0 m/s2。已知“毛毛蟲”道具質量為 10 kg，重力加速度g的大小取10 m/s2。則在發令后瞬間平均每位同學對道具的作用力約為(　　)
A．10 N　　B．25 N　　C．28 N　　D．100 N
C　[設平均每位同學對道具的作用力為F，對“毛毛蟲”道具受力分析，該道具受到重力和四位同學的作用力，如圖所示。由幾何關系和牛頓第二定律得(mg)2＋(ma)2＝(4F)2，解得F≈28 N，故選C。]
10．在解一道計算結果由字母來表示的應用題時，幾個同學解得的位移結果如下，下列哪個結果可能是正確的(　　)
A．(t1＋t2)　　　　　 B．
C． D．
C　[通過觀察發現，四個選項當中包含＝a，其單位是，而且(t1＋t2)其單位是s，t1t2的單位是s2，所以t1t2這種形式的答案單位才是位移單位m。故選C。]
11．小鴻愛好摩托車漂移，某次從靜止開始沿水平面先勻加速騎行，達到最大速度后以最大速度勻速行駛，最后做勻減速運動至速度為0，已知人與摩托車總質量m＝200 kg，當運動的位移為總位移的
時開始勻速，此時開始計時，接下來牽引力隨時間變化的圖像如圖乙所示，g取10 m/s2，求：
甲
乙
(1)求摩托車與水平面的動摩擦因數和勻速運動時的速度；
(2)求勻加速運動過程中的牽引力。
[解析]　(1)由題圖乙可知，摩托車勻速運動時牽引力為1 000 N，
其受力如圖(a)所示
(a)
由平衡條件可得：F＝μmg
解得：μ＝0.5
在勻減速運動過程中，物體受力如圖(b)所示
(b)
根據牛頓第二定律得：f－F＝ma
解得：a＝4 m/s2
根據vm＝v0＋at得：
勻速運動的速度：vm＝20 m/s。
(2)在最后7.5 s內的位移為：
x1＝＝100 m
由題知：路程總長為200 m
即勻加速運動的位移為100 m
設加速時加速度為a1
加速位移為：x0＝
解得：a1＝2 m/s2
根據牛頓第二定律得：F－f＝ma
得：F＝1 400 N。
[答案]　(1)0.5　20 m/s　(2)1 400 N
1 / 22第3節　牛頓第二運動定律
[學習目標]　1．掌握牛頓第二定律的文字內容和數學表達式。2．知道單位制、基本單位、導出單位和國際單位制的概念。3．學會利用牛頓第二定律解決實際問題，并且能夠從不同角度解決動力學問題，具有質疑和創新意識。
知識點一　牛頓第二運動定律及其意義
1．內容：物體加速度的大小與所受合外力的大小成________，與物體的質量成________，加速度方向與合外力方向________。
2．表達式：F＝________，k是比例常數，F是物體所受的________。當各物理量的單位都取國際單位時，k＝1，F＝________。
3．力的單位：________，符號是N。
4．1 N的物理意義：使質量為1 kg的物體產生1 m/s2的加速度所用的力為1 kg·m/s2，稱為1 N，即1 N＝____________。
　比例式F＝kma中的k一定等于1，這種說法對嗎？
1．思考辨析(正確的打√，錯誤的打×)
(1)由牛頓第二運動定律知，合外力大的物體的加速度一定大。 (　　)
(2)牛頓第二運動定律說明了質量大的物體其加速度一定小。 (　　)
(3)任何情況下，物體的加速度的方向始終與它所受的合外力方向一致。 (　　)
知識點二　國際單位制
1．單位制：由基本單位和________組成。
2．國際單位
(1)基本單位：在力學中有________(長度單位)、________(質量單位)、________(時間單位)。
(2)導出單位：在力學中利用________從三個基本單位導出的其他單位。
3．意義與作用：在用公式進行計算的時候，如果已知量都采用國際單位制中的單位，計算的結果也必然是____________單位。因此，在計算時所列的等式中，就__________一一寫出每個物理量的單位，只要在計算結果的________后面寫出待求量的單位即可。
4．國際單位制中的七個基本物理量和相應的基本單位
物理量名稱 單位名稱 單位符號
長度 ______ m
質量 ______ kg
時間 ______ s
電流 ______ A
物質的量 摩[爾] mol
熱力學溫度 開[爾文] K
發光強度 坎[德拉] cd
　可以利用單位，反推出公式正確性和計算結果的正確性。
2．思考辨析(正確的打√，錯誤的打×)
(1)力的單位牛頓是基本單位。 (　　)
(2)質量是基本量。 (　　)
(3)物理公式表示了物理量間的數量關系和單位關系。 (　　)
賽車要求能在盡可能短的時間內達到最大速度。
(1)賽車的加速度由哪些因素決定？
(2)可采取哪些措施來提高賽車的加速度？
考點1　對牛頓第二定律的理解
1．合外力與加速度的關系
2．力與運動的關系
3．牛頓第二運動定律的五個性質
性質 理解
因果性 力是產生加速度的原因，只要物體所受的合力不為0，物體就具有加速度
矢量性 F＝ma是一個矢量式。物體的加速度的方向由它受的合力的方向決定，且總與合力的方向相同
瞬時性 加速度與合外力是瞬時對應關系，同時產生，同時變化，同時消失
同體性 F＝ma中F、m、a都是對同一物體而言的
獨立性 作用在物體上的每一個力都產生加速度，物體的實際加速度是這些加速度的矢量和
相對性 牛頓第二定律只適用于慣性參考系
【典例1】　(雙選)關于牛頓第二定律，下列說法正確的是(　　)
A．加速度與合力的關系是瞬時對應關系，即a與F同時產生、同時變化、同時消失
B．加速度的方向總是與合外力的方向相同
C．同一物體的運動速度變化越大，受到的合外力也越大
D．物體的質量與它所受的合外力成正比，與它的加速度成反比
思路點撥：理解牛頓第二定律的五性是解決該問題的關鍵。
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　合外力、加速度、速度的關系
(1)力與加速度為因果關系：力是因，加速度是果。只要物體所受的合外力不為零，就會產生加速度。加速度與合外力的方向是相同的，大小與合外力成正比。
(2)力與速度無因果關系：合外力的方向與速度的方向可以相同，可以相反，還可以有夾角。合外力的方向與速度的方向相同時，物體做加速運動，相反時物體做減速運動。
(3)兩個加速度公式的區別
a＝是加速度的定義式，是比值定義法定義的物理量，a與v、Δv、Δt均無關；a＝是加速度的決定式，加速度由其受到的合外力和質量決定。
[跟進訓練]
1．(雙選)牛頓第二定律的公式F＝ma大家已經相當熟悉，關于它的各種性質說法正確的是(　　)
A．a和F之間是瞬時的對應關系，同時存在，同時消失，同時改變
B．a與v的方向時時刻刻總相同，v的方向改變，a的方向立即改變
C．v與F的方向時時刻刻總相同，v的方向改變，F的方向立即改變
D．物體的加速度是合外力產生的，即F＝ma，又可以理解為各力產生的加速度的矢量和
考點2　牛頓第二定律的應用
1．運用牛頓第二定律解題的步驟
2．求解加速度的兩種方法
(1)合成法：若物體只受兩個力作用時，應用平行四邊形定則求這兩個力的合力的大小，再應用牛頓第二定律求加速度的大小，物體所受合外力的方向即為加速度的方向。
(2)正交分解法：當物體受多個力作用處于加速狀態時，常用正交分解法求物體所受的合力，再應用牛頓第二定律求加速度。為減少矢量的分解以簡化運算，建立坐標系時，可有如下兩個角度：
分解力 通常以加速度a的方向為x軸正方向，建立直角坐標系，將物體所受的各個力分解在x軸和y軸上，分別得x軸和y軸的合力Fx和Fy，得方程
分解加 速度 若物體所受各力都在互相垂直的方向上，但加速度卻不在這兩個方向上，這時可以以力的方向為x軸、y軸正方向，只需分解加速度a，得ax和ay，根據牛頓第二定律得方程
【典例2】　[鏈接教材P130例題]
如圖所示，水平地面上有一質量M＝3 kg的小車，在車廂頂端用一細線懸掛一質量m＝1 kg的小球，某時刻起給小車施加一水平恒力F，穩定后，懸掛小球的細線偏離豎直方向37°角，球和車廂相對靜止。取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)如果地面是光滑的，求解車廂運動的加速度并說明車廂的運動情況；
(2)求懸線對小球拉力的大小。
思路點撥：正確選取研究對象，準確作出受力分析，是解題的關鍵。
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[母題變式]
在【典例2】情境下，小車與地面之間存在摩擦，且動摩擦因數μ＝0.25，依然給小車施加相同的外力F。求：
(1)車廂運動的加速度并說明車廂的運動情況；
(2)懸線與豎直線夾角的正切值。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　在牛頓第二定律的應用中，采用正交分解法時，在受力分析后，建立直角坐標系是關鍵。坐標系的建立原則上是任意的，但常常使加速度在某一坐標軸上，另一坐標軸上的合力為零，或在坐標軸上的力最多。
[跟進訓練]
2．乘坐“空中纜車”飽覽大自然的美景是旅游者絕妙的選擇。若某一纜車沿著坡度為30°的山坡以加速度a加速上行，如圖所示。在纜車中放一個與山坡表面平行的斜面，斜面上放一個質量為m的小物塊，小物塊相對斜面靜止(設纜車始終保持豎直狀態)，則(　　)
A．小物塊受到的支持力方向豎直向上
B．小物塊受到的摩擦力方向平行斜面向下
C．小物塊受到的靜摩擦力為mg＋ma
D．小物塊受到的滑動摩擦力為mg＋ma
考點3　動力學的兩類基本問題
1．已知受力情況確定運動情況
基本思路：加速度是聯系力和運動情況的橋梁。已知受力情況，首先根據牛頓第二定律求出物體的加速度，再根據運動學規律確定物體的運動情況。
2．已知運動情況確定受力情況
基本思路：已知物體的運動情況，先根據運動學規律求出物體的加速度，再根據牛頓第二定律確定物體的受力情況。
【典例3】　[鏈接教材P133例題]運動員拉車胎進行100 m賽跑訓練體能。車胎的質量m＝8.5 kg，運動員拉車胎的繩子與水平方向的夾角為θ＝37°，車胎與地面間的動摩擦因數μ＝0.7。某次比賽中，一名運動員拉著車胎從靜止開始全力奔跑，跑出20 m達到最大速度(這一過程可看作勻加速直線運動)，然后以最大速度勻速跑到終點，共用時15 s。重力加速度g取，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)運動員加速所用的時間t1和達到的最大速度v；
(2)運動員勻加速運動階段對車胎的拉力F。
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　從受力情況確定運動情況應注意的三個方面
(1)方程的形式：牛頓第二定律F＝ma，體現了力是產生加速度的原因。應用時方程式的等號左右應該體現出前因后果的形式，切記不要寫成F－ma＝0的形式，這樣形式的方程失去了物理意義。
(2)正方向的選取：通常選取加速度方向為正方向，與正方向同向的力取正值，與正方向反向的力取負值。
(3)求解：F、m、a采用國際單位制單位，解題時寫出方程式和相應的文字說明，必要時對結果進行討論。
[跟進訓練]
3．(雙選)某小球所受的合力與時間的關系如圖所示，各段的合力大小相同，作用時間相同，設小球從靜止開始運動，由此可判定(　　)
A．小球向前運動，再返回停止
B．小球向前運動，再返回不會停止
C．小球始終向前運動
D．小球在4 s末速度為0
考點4　國際單位制
1．推導單位
物理公式在確定各物理量的數量關系時，同時也確定了各物理量的單位關系，所以我們可以根據物理公式中物理量間的關系，推導出物理量的單位。
2．檢驗計算結果
各量的單位統一成國際單位，計算結果的單位和該物理量的國際單位一致時，該運算過程才可能是正確的。若所求物理量的單位不對，則結果一定錯。
【典例4】　(教材P137T2改編)聲音在空氣中的傳播速度v與空氣的密度ρ、壓強p有關。下列關于聲音傳播速度的表達式(k為比例系數，無單位)可能正確的是(　　)
A．v＝k　　　　　　 B．v＝
C．v＝ D．v＝
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(1)在進行物理運算時，最終的結果往往是一個表達式，很難判斷其正誤。這時，可將全部物理量的國際單位制單位代入式中，對單位進行運算，若得到的單位不是所求物理量的國際單位制單位，結果就一定是錯誤的。
(2)值得注意的是，運用量綱檢查法得到的單位正確，但結果不一定是正確的。
[跟進訓練]
4．一物體在2 N的外力作用下，產生10 cm/s2的加速度，求該物體的質量。下面是幾種不同的求法，其中單位運用正確、簡潔而又規范的是(　　)
A．m＝＝ kg＝0.2 kg
B．m＝＝＝20 ＝20 kg
C．m＝＝＝20 kg
D．m＝＝ kg＝20 kg
1．如圖所示為我國出土的2000年前的王莽時期測量長度的工具， 在國際單位制中長度的國際單位是(　　)
A．毫米　　　　　　 B．厘米
C．分米 D．米
2．力F1作用在物體上產生的加速度a1＝3 m/s2，力F2作用在該物體上產生的加速度a2＝，則F1和F2同時作用在該物體上，產生的加速度a的大小不可能為(　　)
A．7 m/s2 B．5 m/s2
C．1 m/s2 D．8 m/s2
3．滑翔傘是一批熱愛跳傘、滑翔翼的飛行人員發明的一種飛行器。現有一滑翔傘沿直線朝斜向下方向做勻加速直線運動。若空氣對滑翔傘和飛行人員的作用力為F，則此過程中F的方向可能是(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
4．(新情境題：以蹦床比賽為背景，考查牛頓第二定律)蹦床是奧運會中的一個比賽項目。設某位蹦床運動員僅在豎直方向上運動，運動員的腳在接觸蹦床過程中，蹦床對運動員的彈力F隨時間t的變化規律通過傳感器用計算機繪制出來，如圖所示。取g＝10 m/s2，根據F-t圖像求：
(1)運動員在運動過程中的最大加速度的大小；
(2)運動員雙腳離開蹦床后的最大速度的大小。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
回歸本節知識，完成以下問題：
(1)物體所受的合外力與加速度的關系是怎樣的？
(2)動力學的兩類基本問題指的是什么？
(3)什么是國際單位制？國際單位制中的基本單位有哪幾個？
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