資源簡介

素養提升課(二)　平衡條件的應用
[學習目標]　1．掌握解決靜態平衡問題的常用方法。2．學會用解析法、圖解法、三角形相似法解決動態平衡問題。3．掌握解決臨界問題和極值問題的方法。
考點1　靜態平衡問題
1．靜態平衡的定義
靜態平衡是指物體在共點力的作用下保持靜止狀態時的平衡。
2．靜態平衡的理解
(1)運動學特征：處于靜態平衡的物體速度為零，加速度為零。
(2)平衡條件：處于靜態平衡的物體所受的合力為零。
(3)實例：日常生活中，三角形支架以其優越的平衡穩定性被廣泛采用，如大型展覽館、體育館屋頂的鋼架結構，馬路邊的路燈支架，建筑工地的塔吊支架等靜態平衡裝置大多采用三角形結構。
【典例1】　如圖所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O為球心。一質量為m的小滑塊，在水平力F的作用下靜止于P點，設滑塊所受支持力為FN，OP與水平方向的夾角為θ。下列關系正確的是(　　)
A．F＝　　　　　 B．F＝mg tan θ
C．FN＝ D．FN＝mg tan θ
思路點撥：(1)滑塊處于靜止狀態，所受合外力為零。
(2)選取滑塊為研究對象可采用合成法、效果分解法、正交分解法求解。
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解決靜態平衡問題的方法及步驟
(1)處理平衡問題，常用的方法有合成法、分解法、正交分解法等。
(2)應用平衡條件解題的步驟
①明確研究對象(物體、質點或繩的結點等)。
②對研究對象進行受力分析。
③建立合適的坐標系，應用共點力的平衡條件，選擇恰當的方法列出平衡方程。
④求解方程，并討論結果。
[跟進訓練]1．如圖所示，質量為m的小球置于傾角為30°的光滑斜面上，勁度系數為k的輕質彈簧，一端系在小球上，另一端固定在墻上的P點，小球靜止時，彈簧與豎直方向的夾角為30°，則彈簧的伸長量為(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C． D．
考點2　動態平衡問題
1．動態平衡
(1)所謂動態平衡問題，是指通過控制某些物理量，使物體的狀態發生緩慢變化，而在這個過程中物體又始終處于一系列的平衡狀態，常利用圖解法解決此類問題。
(2)基本思路：化“動”為“靜”，“靜”中求“動”。
2．分析動態平衡問題的方法
方法 步驟
解析法 根據已知量的變化情況來確定未知量的變化情況
圖解法 (1)根據已知量的變化情況，畫出平行四邊形邊、角的變化 (2)確定未知量大小、方向的變化
相似三 角形法 (1)根據已知條件畫出兩個不同情況對應的力的三角形和空間幾何三角形，確定對應邊，利用三角形相似知識列出比例式 (2)確定未知量大小的變化情況
作輔助 圓法 (1)根據已知條件(兩變力的夾角不變)畫出受力分析圖，將三個力的矢量首尾相連構成閉合三角形 (2)以不變的力為弦作力三角形的外接圓 (3)在輔助圓中根據力三角形的變化確定各力的變化情況
角度1　解析法和圖解法的應用
【典例2】　(雙選)如圖所示，把一個物體用兩根等長的細繩Oa和Ob懸掛在半圓環上，O點為半圓環的圓心。讓a端固定不動，當b端由最高點向最低點d緩慢移動的過程中，Oa和Ob兩繩對物體的拉力T1和T2的大小變化是(　　)
A．T1始終增大
B．T1逐漸減小
C．T2先增大后減小
D．T2先減小后增大
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角度2　三角形相似法的應用
【典例3】　一輕桿BO，其O端用光滑鉸鏈固定在豎直輕桿AO上，B端掛一重物，且系一細繩，細繩跨過桿頂A處的光滑小滑輪，用力F拉住，如圖所示?，F將細繩緩慢往左拉，使桿BO與桿AO間的夾角θ逐漸減小，則在此過程中，拉力F及桿B端所受的壓力FN的大小變化情況是 (　　)
A．FN先減小后增大　　 B．FN始終不變
C．F先減小后增大 D．F始終不變
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[跟進訓練]
2．(角度1)如圖所示，在粗糙水平地面上放著一個截面為四分之一圓弧的柱狀物體A，A的左端緊靠豎直墻，A與豎直墻之間放一光滑圓球B，整個裝置處于靜止狀態。則把柱狀物體A向右緩慢移動少許的過程中，下列判斷正確的是(　　)
A．球B對墻的壓力增大
B．球B對柱狀物體A的壓力增大
C．地面對柱狀物體A的摩擦力不變
D．地面對柱狀物體A的支持力不變
3．(角度2)(雙選)如圖所示，光滑的半球形物體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小定滑輪，輕繩的一端系一小球，小球靠在半球上的A點，另一端繞過定滑輪后用力拉住，使小球靜止，現緩慢地拉繩，在使小球沿球面由A點移動到半球面的頂點B的過程中，半球形物體對小球的支持力FN和繩對小球的拉力FT的變化情況是(　　)
A．FN變大 B．FN不變
C．FT變小 D．FT先變小后變大
考點3　平衡問題中的臨界問題和極值問題
1．臨界問題
(1)問題界定：物體所處平衡狀態將要發生變化的狀態為臨界狀態，涉及臨界狀態的問題為臨界問題。
(2)問題特點
①當某物理量發生變化時，會引起其他幾個物理量的變化。
②注意某現象“恰好出現”或“恰好不出現”的條件。
(3)分析方法：基本方法是假設推理法，即先假設某種情況成立，然后根據平衡條件及有關知識進行論證、求解。
2．極值問題
(1)問題界定：物體平衡的極值問題，一般指在力的變化過程中涉及力的最大值和最小值的問題。
(2)分析方法
①解析法：根據物體的平衡條件列出方程，在解方程時，采用數學知識求極值或根據物理臨界條件求極值。
②圖解法：根據物體的平衡條件作出力的矢量圖，畫出平行四邊形或矢量三角形進行動態分析，確定最大值或最小值。
【典例4】　如圖所示，小球的質量為2 kg，兩根輕繩AB和AC的一端連接于豎直墻上，另一端系于小球上，AC繩水平，AB繩與AC繩成θ＝60°角，在小球上另施加一個方向與水平線也成θ角的拉力F，g取。若要使繩都能拉直，求拉力F的大小范圍。
思路點撥：因為繩都能拉直，所以各個夾角不變化。分兩種情況，即第一種是FB＝0時，第二種是FC＝0時，分別解出即可。
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　　臨界與極值問題的分析技巧
(1)求解平衡中的臨界問題和極值問題時，首先要正確地進行受力分析和變化過程分析，找出平衡中的臨界點和極值點。
(2)臨界條件必須在變化中尋找，不能停留在一個狀態來研究臨界問題；要把某個物理量推向極端，即極大或極小，并依此作出科學的推理分析，從而做出判斷或給出結論。
[跟進訓練]
4．如圖所示，光滑的大圓環固定在豎直平面上，圓心為O點，P為環上最高點，輕彈簧的一端固定在P點，另一端連接一個套在大環上的小球Q，小球靜止在圖示位置，彈簧與豎直方向的夾角為30°，則下列說法不正確的是(　　)
A．小球受三個力的作用
B．大圓環對小球的力的方向一定沿OQ指向外
C．彈簧可能處于壓縮狀態也可能處于伸長狀態
D．小球所受大圓環的力的大小等于重力大小
7 / 7素養提升課(二)　平衡條件的應用
[學習目標]　1．掌握解決靜態平衡問題的常用方法。2．學會用解析法、圖解法、三角形相似法解決動態平衡問題。3．掌握解決臨界問題和極值問題的方法。
考點1　靜態平衡問題
1．靜態平衡的定義
靜態平衡是指物體在共點力的作用下保持靜止狀態時的平衡。
2．靜態平衡的理解
(1)運動學特征：處于靜態平衡的物體速度為零，加速度為零。
(2)平衡條件：處于靜態平衡的物體所受的合力為零。
(3)實例：日常生活中，三角形支架以其優越的平衡穩定性被廣泛采用，如大型展覽館、體育館屋頂的鋼架結構，馬路邊的路燈支架，建筑工地的塔吊支架等靜態平衡裝置大多采用三角形結構。
【典例1】　如圖所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O為球心。一質量為m的小滑塊，在水平力F的作用下靜止于P點，設滑塊所受支持力為FN，OP與水平方向的夾角為θ。下列關系正確的是(　　)
A．F＝　　　　　 B．F＝mg tan θ
C．FN＝ D．FN＝mg tan θ
思路點撥：(1)滑塊處于靜止狀態，所受合外力為零。
(2)選取滑塊為研究對象可采用合成法、效果分解法、正交分解法求解。
A　[方法一：合成法
滑塊受力如圖甲所示，由平衡條件知，＝tan θ，＝sin θ，解得F＝，FN＝。
方法二：效果分解法
將重力按產生的作用效果分解，如圖乙所示，則F＝G2＝，FN＝G1＝。
方法三：正交分解法
將滑塊受的力沿水平、豎直方向分解，如圖丙所示，則mg＝FNsin θ，F＝FNcos θ，聯立解得F＝，FN＝，綜上可知，選項A正確。]
　解決靜態平衡問題的方法及步驟
(1)處理平衡問題，常用的方法有合成法、分解法、正交分解法等。
(2)應用平衡條件解題的步驟
①明確研究對象(物體、質點或繩的結點等)。
②對研究對象進行受力分析。
③建立合適的坐標系，應用共點力的平衡條件，選擇恰當的方法列出平衡方程。
④求解方程，并討論結果。
[跟進訓練]
1．如圖所示，質量為m的小球置于傾角為30°的光滑斜面上，勁度系數為k的輕質彈簧，一端系在小球上，另一端固定在墻上的P點，小球靜止時，彈簧與豎直方向的夾角為30°，則彈簧的伸長量為 (　　)
A．　　　　　　　　 B．
C． D．
C　[方法一：正交分解法
如圖甲所示為小球的受力情況，其中F為彈簧的彈力，由幾何關系可知，彈力F與斜面之間的夾角為30°。將小球所受的重力mg和彈力F分別沿平行于斜面和垂直于斜面的方向進行正交分解，由共點力的平衡條件知，彈力F沿斜面向上的分力與重力mg沿斜面向下的分力大小相等，即F cos 30°＝mg sin 30°，由胡克定律得F＝kx，聯立解得彈簧的伸長量x＝，選項C正確。
甲　　　　　　　　　　　乙
方法二：合成法
如圖乙所示，將彈力F和斜面對小球的支持力FN直接合成，圖中的F′即為兩力的合力。
由幾何關系可知，圖中α＝120°，β＝30°，由正弦定理可得＝，而彈力F＝kx，聯立解得彈簧的伸長量x＝。]
考點2　動態平衡問題
1．動態平衡
(1)所謂動態平衡問題，是指通過控制某些物理量，使物體的狀態發生緩慢變化，而在這個過程中物體又始終處于一系列的平衡狀態，常利用圖解法解決此類問題。
(2)基本思路：化“動”為“靜”，“靜”中求“動”。
2．分析動態平衡問題的方法
方法 步驟
解析法 根據已知量的變化情況來確定未知量的變化情況
圖解法 (1)根據已知量的變化情況，畫出平行四邊形邊、角的變化 (2)確定未知量大小、方向的變化
相似三角形法 (1)根據已知條件畫出兩個不同情況對應的力的三角形和空間幾何三角形，確定對應邊，利用三角形相似知識列出比例式 (2)確定未知量大小的變化情況
作輔助圓法 (1)根據已知條件(兩變力的夾角不變)畫出受力分析圖，將三個力的矢量首尾相連構成閉合三角形 (2)以不變的力為弦作力三角形的外接圓 (3)在輔助圓中根據力三角形的變化確定各力的變化情況
角度1　解析法和圖解法的應用
【典例2】　(雙選)如圖所示，把一個物體用兩根等長的細繩Oa和Ob懸掛在半圓環上，O點為半圓環的圓心。讓a端固定不動，當b端由最高點向最低點d緩慢移動的過程中，Oa和Ob兩繩對物體的拉力T1和T2的大小變化是(　　)
A．T1始終增大　　　　　 B．T1逐漸減小
C．T2先增大后減小 D．T2先減小后增大
AD　[作出力T1和T2的示意圖，因兩繩子的拉力的合力與物體的重力大小相等、方向相反，作出平行四邊形如圖所示：
在Ob轉動的過程中，由圖可知，Oa的拉力T1一直增大，而Ob的拉力T2先減小后增大，當Ob垂直于Oa時T2最小，故A、D正確，B、C錯誤。]
角度2　三角形相似法的應用
【典例3】　一輕桿BO，其O端用光滑鉸鏈固定在豎直輕桿AO上，B端掛一重物，且系一細繩，細繩跨過桿頂A處的光滑小滑輪，用力F拉住，如圖所示?，F將細繩緩慢往左拉，使桿BO與桿AO間的夾角θ逐漸減小，則在此過程中，拉力F及桿B端所受的壓力FN的大小變化情況是 (　　)
A．FN先減小后增大　　　 B．FN始終不變
C．F先減小后增大 D．F始終不變
B　[取桿BO的B端為研究對象，受到AB間細繩的拉力(大小為F)、桿BO的支持力FN和懸掛重物的細繩的拉力(大小為G)的作用，將FN與G合成，其合力與AB間細繩上拉力F等大反向，如圖所示，將三個力相連構成封閉的三角形(如圖中畫豎線部分)，力的三角形與幾何三角形OBA相似，設AO長為H，BO長為L，繩長為l，利用相似三角形可得＝＝，式中G、H、L均保持不變，l逐漸變小，則FN不變，F逐漸變小。B正確。]
[跟進訓練]
2．(角度1)如圖所示，在粗糙水平地面上放著一個截面為四分之一圓弧的柱狀物體A，A的左端緊靠豎直墻，A與豎直墻之間放一光滑圓球B，整個裝置處于靜止狀態。則把柱狀物體A向右緩慢移動少許的過程中，下列判斷正確的是(　　)
A．球B對墻的壓力增大
B．球B對柱狀物體A的壓力增大
C．地面對柱狀物體A的摩擦力不變
D．地面對柱狀物體A的支持力不變
D　[球B受重力、柱狀物體A的支持力F1和墻的支持力F2，如圖甲所示，設F1與豎直方向的夾角為θ，將重力G分解為G1和G2，根據平衡條件可知，F1＝G1＝，F2＝G2＝G tan θ。把柱狀物體A向右緩慢移動少許的過程中，根據幾何關系可知，柱狀物體A對球B的支持力F1與豎直方向的夾角θ減小，所以cos θ增大，tan θ減小，即墻壁對球B的支持力F2減小，A對球B的支持力F1減小，則球B對墻的壓力減小，球B對柱狀物體A的壓力也減小，選項A、B錯誤；對A、B整體進行受力分析，如圖乙所示，由平衡條件可知，柱狀物體A受地面的摩擦力大小Ff＝F2，則Ff減小，地面對柱狀物體A的支持力等于A、B的重力之和，大小不變，選項C錯誤，D正確。
　]
甲　　　　　　　　　乙
3．(角度2)(雙選)如圖所示，光滑的半球形物體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小定滑輪，輕繩的一端系一小球，小球靠在半球上的A點，另一端繞過定滑輪后用力拉住，使小球靜止，現緩慢地拉繩，在使小球沿球面由A點移動到半球面的頂點B的過程中，半球形物體對小球的支持力FN和繩對小球的拉力FT的變化情況是(　　)
A．FN變大　　　　　　 B．FN不變
C．FT變小 D．FT先變小后變大
BC　[以小球為研究對象，小球受重力G、繩的拉力FT和半球形物體的支持力FN，作出FN、FT的合力F，如圖所示，由平衡條件可知，F＝G，由相似三角形知識得＝＝，解得FN＝G，FT＝G。由題知，緩慢地將小球從A點拉到B點過程中，O1O、AO不變，O1A變小，可見FT變小，FN不變，B、C正確。]
考點3　平衡問題中的臨界問題和極值問題
1．臨界問題
(1)問題界定：物體所處平衡狀態將要發生變化的狀態為臨界狀態，涉及臨界狀態的問題為臨界問題。
(2)問題特點
①當某物理量發生變化時，會引起其他幾個物理量的變化。
②注意某現象“恰好出現”或“恰好不出現”的條件。
(3)分析方法：基本方法是假設推理法，即先假設某種情況成立，然后根據平衡條件及有關知識進行論證、求解。
2．極值問題
(1)問題界定：物體平衡的極值問題，一般指在力的變化過程中涉及力的最大值和最小值的問題。
(2)分析方法
①解析法：根據物體的平衡條件列出方程，在解方程時，采用數學知識求極值或根據物理臨界條件求極值。
②圖解法：根據物體的平衡條件作出力的矢量圖，畫出平行四邊形或矢量三角形進行動態分析，確定最大值或最小值。
【典例4】　如圖所示，小球的質量為 2 kg，兩根輕繩AB和AC的一端連接于豎直墻上，另一端系于小球上，AC繩水平，AB繩與AC繩成θ＝60°角，在小球上另施加一個方向與水平線也成θ角的拉力F，g取。若要使繩都能拉直，求拉力F的大小范圍。
思路點撥：因為繩都能拉直，所以各個夾角不變化。分兩種情況，即第一種是FB＝0時，第二種是FC＝0時，分別解出即可。
[解析]　小球受重力mg、AB拉力FB、AC拉力FC和F作用處于平衡狀態，如圖所示。
由
有
要兩繩伸直則應滿足FB≥0，FC≥0
FB≥0時，F≤＝ N
FC≥0時，F≥＝ N
綜上所述，F的大小范圍為 N≤F≤ N。
[答案]　 N≤F≤ N
　臨界與極值問題的分析技巧
(1)求解平衡中的臨界問題和極值問題時，首先要正確地進行受力分析和變化過程分析，找出平衡中的臨界點和極值點。
(2)臨界條件必須在變化中尋找，不能停留在一個狀態來研究臨界問題；要把某個物理量推向極端，即極大或極小，并依此作出科學的推理分析，從而做出判斷或給出結論。
[跟進訓練]
4．如圖所示，光滑的大圓環固定在豎直平面上，圓心為O點，P為環上最高點，輕彈簧的一端固定在P點，另一端連接一個套在大環上的小球Q，小球靜止在圖示位置，彈簧與豎直方向的夾角為30°，則下列說法不正確的是(　　)
A．小球受三個力的作用
B．大圓環對小球的力的方向一定沿OQ指向外
C．彈簧可能處于壓縮狀態也可能處于伸長狀態
D．小球所受大圓環的力的大小等于重力大小
C　[對小球進行受力分析，小球受重力、支持力、彈簧的彈力三個力的作用，故A正確；若彈簧處于壓縮狀態，則小球受向下的重力，由P指向Q的彈力，由Q指向O的支持力，分析得這三力不可能平衡，則彈簧處于伸長狀態，大圓環對小球的力的方向一定沿OQ指向外，故B正確，C錯誤；對小球受力分析，如圖所示，根據三角形相似有＝＝，由幾何關系可得PQ＝OP＝OQ，可知大圓環對小球的力等于小球的重力，故D正確。]
素養提升練(二)　平衡條件的應用
一、選擇題
1．(教材P116T5改編)(雙選)如圖所示，輕質不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點，懸掛衣服的衣架掛鉤是光滑的，掛于繩上處于靜止狀態。如果只人為改變一個條件，當衣架靜止時，下列說法正確的是(　　)
A．繩的右端上移到b′，繩子拉力不變
B．將桿N向右移一些，繩子拉力變大
C．繩的兩端高度差越小，繩子拉力越小
D．若換掛質量更大的衣服，則衣架懸掛點右移
AB　[設兩段繩子間的夾角為2α，由平衡條件可知，2F cos α＝mg，所以F＝，設繩子總長為L，兩桿間距離為s，由幾何關系L1sin α＋L2sin α＝s，得sin α＝＝，繩子右端上移，L、s都不變，則α不變，繩子張力F也不變，A正確；桿N向右移動一些，s變大，α變大，cos α變小，F變大，B正確；繩子兩端高度差變化，不影響s和L，所以F不變，C錯誤；衣服質量增加，繩子上的拉力增加，由于α不會變化，懸掛點不會右移，D錯誤。]
2．質量為m的物體放在傾角為30°的斜面上，在平行斜面向下的力F作用下處于靜止狀態，如圖所示，下列關于斜面對物體摩擦力大小的說法不正確的是(　　)
A．一定大于F
B．一定等于F＋mg
C．可能等于mg
D．可能等于2mg
B　[設斜面對物體的摩擦力的大小為f，對物體受力分析可知，f的方向沿斜面向上，根據平衡條件可得，F＋mg sin 30°＝f，由于F的大小不確定，故B錯誤，A、C、D正確。]
3．(雙選)如圖所示，一個質量為m的滑塊靜置于傾角為30°的粗糙斜面上，一根輕彈簧一端固定在豎直墻上的P點，另一端系在滑塊上，彈簧與豎直方向的夾角為30°，則(　　)
A．滑塊可能受到三個力作用
B．彈簧一定處于壓縮狀態
C．斜面對滑塊的支持力大小可能為零
D．斜面對滑塊的摩擦力大小一定等于mg
AD　[由題可知，彈簧的方向與斜面垂直，因為彈簧的形變情況未知，所以斜面與滑塊之間的彈力大小不確定，滑塊可能只受重力、斜面的支持力和靜摩擦力三個力的作用而平衡，此時彈簧處于原長狀態，彈力為零，故A正確，B錯誤；滑塊在沿斜面方向處于平衡狀態，所以滑塊此時受到沿斜面向上的靜摩擦力，且摩擦力大小等于重力沿斜面向下的分力大小，即f＝mg sin 30°＝mg，所以摩擦力一定不為零，有摩擦力說明必有彈力，所以斜面對滑塊的支持力不可能為零，故C錯誤，D正確。]
4．如圖所示，重50 N的物體A放在傾角為37°的粗糙斜面上，有一根原長為10 cm，勁度系數為800 N/m 的彈簧，其一端固定在斜面頂端，另一端連接物體A后，彈簧長度為14 cm。現用一測力計沿斜面向下拉物體A，若物體A與斜面間的最大靜摩擦力為20 N，當彈簧的長度仍為14 cm時，測力計的讀數不可能為(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　)
A．10 N B．20 N
C．30 N D．0
C　[物體A在斜面上處于靜止狀態時合外力為零，物體A在斜面上受五個力的作用，分別為重力、支持力、彈簧彈力、摩擦力、拉力F。當摩擦力的方向沿斜面向上時，F＋mg sin 37°≤fmax＋k(14 cm－10 cm)，解得F≤22 N。當摩擦力沿斜面向下時，F最小值為零，即拉力的取值范圍為0≤F≤22 N。故選項C正確。]
5．如圖所示，斜面體P放在水平面上，物體Q放在斜面上。Q受一水平作用力F，Q和P都靜止。這時P對Q的靜摩擦力和水平面對P的靜摩擦力分別為f1、f2?，F使力F變大，系統仍靜止，則(　　)
A．f1、f2都變大
B．f1變大，f2不一定變大
C．f2變大，f1不一定變大
D．f1、f2都不一定變大
C　[把P、Q作為整體，受力分析如圖所示，可知水平面對P的靜摩擦力f2＝F，F變大時，f2一定變大；對Q受力分析，因為F變大之前Q相對于P的滑動趨勢不確定，可能沿斜面向上、可能沿斜面向下、也可能無相對滑動趨勢，若初始時f1方向沿斜面向上，隨著F的增大，f1先減小至零再沿斜面向下增大，若初始時f1為零或方向沿斜面向下，隨著F的增大，f1一直增大，綜上可知，C正確。]
6．如圖所示，彈性輕繩的一端固定在O點，另一端拴一個物體，物體靜止在水平地面上的B點，并對水平地面有壓力，O點的正下方A處有一垂直于紙面的光滑桿，OA為彈性輕繩的自然長度，現在用水平力使物體沿水平面運動，在這一過程中，物體所受水平面的摩擦力的大小的變化情況是(　　)
A．先變大后變小
B．先變小后變大
C．保持不變
D．條件不夠充分，無法確定
C　[假設彈性輕繩和水平方向夾角為θ，lAB＝x，則彈性輕繩的伸長量為，彈性繩的彈力T＝，對物體進行受力分析，豎直方向T sin θ＋N＝mg，得N＝mg－T sin θ，物體沿水平面運動過程摩擦力為滑動摩擦力，f＝μN＝μmg－μT sin θ＝μmg－μkx，滑動摩擦力和夾角無關，故選C。]
7．如圖所示，格魯吉亞物理學家安德里亞僅靠摩擦力將25個網球壘成9層高的直立“小塔”。網球A位于“小塔”頂層，下面各層均有3個網球，網球B位于“小塔”的第6層，已知每個網球質量均為m。下列說法不正確的是 (　　)
A．其他網球對網球B的作用力大小等于網球B的重力大小
B．拿掉網球A，“小塔”將無法保持平衡
C．第8層的三個網球與網球A間的彈力大小均為
D．最底層的3個網球受到地板的支持力均為
C　[因為網球B處于靜止狀態，所以網球B的重力與其他網球對網球B作用力的合力等大反向，故A正確；拿掉網球A之后，之前與網球A接觸的其他網球的受力情況就會發生變化，平衡條件被破壞，因此“小塔”將無法保持平衡，故B正確；第8層的三個網球各自與網球A間的彈力的合力與網球A的重力相等，但由于第8層的三個網球與網球A間的彈力并不是沿豎直向上的方向，故彈力大小不為，故C錯誤；最底層的3個網球受到地板的支持力的合力等于全部球的總重力，因此每個網球受到地板的支持力均為，故D正確。]
8．如圖所示，質量為m的物體置于傾角為θ的固定斜面上，物體與斜面之間的動摩擦因數為μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物體上使其恰能沿斜面勻速上滑，若改用水平推力F2作用于物體上，也恰能使物體沿斜面勻速上滑，則兩次的推力之比為(　　)
A．cos θ＋μsin θ B．cos θ－μsin θ
C．1＋μtan θ D．1－μtan θ
B　[物體在力F1作用下和力F2作用下運動時的受力分析如圖所示。
將重力mg、力F1和F2沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡條件可得F1＝mg sin θ＋f1，N1＝mg cos θ，f1＝μN1，F2cos θ＝mg sin θ＋f2，N2＝mg cos θ＋F2sin θ，f2＝μN2，解得F1＝mg sin θ＋μmg cos θ，F2＝，故＝cos θ－μsin θ，B正確。]
9．如圖所示，將一光滑輕桿固定在地面上，桿與地面間的夾角θ＝30°，一光滑輕環(不計重力)套在桿上，一個大小和質量都不計的滑輪通過輕繩OP懸掛在天花板上，用另一輕繩繞過滑輪系在輕環上，現用水平向右的力緩慢拉繩，當輕環靜止不動時，OP繩與天花板之間的夾角為(　　)
A．30°　 　B．45°　 　C．60°　 　D．75°
C　[設輕繩OP的張力大小為F，繞過滑輪的繩子張力大小為T。對輕環Q進行受力分析如圖1所示，則只有繩子的拉力垂直于桿的方向時，繩子的拉力沿桿的方向沒有分力，輕環靜止不動；由幾何關系可知，繩子與豎直方向之間的夾角是30°。
對滑輪進行受力分析如圖2所示，由于滑輪的質量不計，則OP對滑輪的拉力與兩段繩子上拉力的合力大小相等，方向相反，所以OP的方向一定在繞在滑輪上的兩段繩子夾角的平分線上，由幾何關系得OP與豎直方向之間的夾角β＝－30°＝30°，則OP與天花板之間的夾角為90°－β＝60°，故選C。]
10．(雙選)如圖所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面頂端裝有一光滑定滑輪。一細繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊N，另一端與斜面上的物塊M相連，系統處于靜止狀態。現用水平向左的拉力緩慢拉動N，直至懸掛N的細繩與豎直方向成45°。已知M始終保持靜止，則在此過程中(　　)
A．水平拉力的大小可能保持不變
B．M所受細繩的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M所受斜面的摩擦力大小可能先減小后增加
BD　[對N進行受力分析如圖所示，因為N的重力與水平拉力F的合力和細繩的拉力T是一對平衡力，從圖中可以看出水平拉力的大小逐漸增大，細繩的拉力也一直增大，選項A錯誤，B正確；M的質量與N的質量的大小關系不確定，設斜面傾角為θ，若mNg≥mMg sin θ，則M所受斜面的摩擦力大小會一直增大，若mNg二、非選擇題
11．如圖所示，兩個完全相同的物塊，重力大小均為G。兩物塊與水平面的動摩擦因數均為μ，一根輕繩兩端固定在兩物塊上，在繩的中點O施加一個豎直向上的拉力F，當繩子被拉直后，兩段繩的夾角為α，問當F至少為多大，兩物塊將發生滑動？(設物塊受到的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)
[解析]　對點O受力分析如圖甲所示，
由平衡條件得：
F1＝F2＝
再對任一物塊受力分析如圖乙所示(圖中選擇右邊物塊進行受力分析)，物塊發生滑動的臨界條件是：
甲　　　　　　　　　　　乙
F2sin ＝μFN
又F2cos ＋FN＝G
聯立解得出：F＝。
[答案]　
12．如圖所示，質量為m＝1.0 kg 的物塊置于傾角為θ＝37°的固定斜面上，在水平外力F作用下物塊處于靜止狀態。已知物塊和斜面間的動摩擦因數μ＝0.5，假設物塊與斜面間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求F大小的取值范圍。
[解析]　設物塊剛好不下滑時水平力為F1，有
F1cos θ＋μFN＝mg sin θ
FN＝F1sin θ＋mg cos θ
解得F1＝ N
設物塊剛好不上滑時水平力為F2，有
F2cos θ＝μFN′＋mg sin θ
FN′＝F2sin θ＋mg cos θ
解得F2＝20 N
F的范圍為 N≤F≤20 N。
[答案]　 N≤F≤20 N
13．質量為m＝0.8 kg的砝碼懸掛在輕繩PA和PB的結點上并處于靜止狀態。PA與豎直方向的夾角為37°，PB沿水平方向。質量為M＝10 kg的木塊與PB相連，靜止于傾角為37°的斜面上，如圖所示。(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)輕繩PB拉力的大?。?br/>(2)木塊所受斜面的摩擦力和彈力大小。
[解析]　(1)分析P點受力如圖甲所示，由平衡條件可得：
FA cos 37°＝mg
FA sin 37°＝FB
可解得：FB＝6 N。
甲　　　　　　　　　乙
(2)再分析M的受力情況，如圖乙所示。
由物體的平衡條件可得：
Ff＝Mg sin 37°＋FB′cos 37°
FN＋FB′sin 37°＝Mg cos 37°
又FB′＝FB
可求得：Ff＝64.8 N
FN＝76.4 N。
[答案]　(1)6 N　(2)64.8 N　76.4 N
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