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第四節(jié)　用單擺測(cè)量重力加速度
[實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)]　1．會(huì)根據(jù)單擺周期公式確定實(shí)驗(yàn)思路．2．會(huì)使用刻度尺測(cè)量擺長(zhǎng)，會(huì)使用秒表測(cè)量單擺的周期．3．能設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案，會(huì)正確安裝實(shí)驗(yàn)裝置并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作．4．能正確處理數(shù)據(jù)并能從多個(gè)角度進(jìn)行實(shí)驗(yàn)誤差分析．
一、實(shí)驗(yàn)器材
長(zhǎng)約1 m的細(xì)線、球心開(kāi)有小孔的金屬小球、帶有鐵夾的鐵架臺(tái)、長(zhǎng)約1 m的毫米刻度尺、秒表、游標(biāo)卡尺．
二、實(shí)驗(yàn)原理與設(shè)計(jì)
單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，由周期公式T＝2π，可得g＝．因此，測(cè)出單擺擺長(zhǎng)和振動(dòng)周期，便可計(jì)算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋?br/>用秒表測(cè)量30～50次全振動(dòng)的時(shí)間，計(jì)算平均做一次全振動(dòng)的時(shí)間，得到的便是振動(dòng)周期．
三、實(shí)驗(yàn)步驟
1．讓細(xì)線穿過(guò)小球上的小孔，在細(xì)線的一端打一個(gè)稍大一些的結(jié)，制成一個(gè)單擺．
2．將鐵夾固定在鐵架臺(tái)上端，鐵架臺(tái)放在實(shí)驗(yàn)桌邊，把單擺上端固定在鐵夾上，使擺球自由下垂，并在單擺平衡位置處做上標(biāo)記，如圖所示．
3．用刻度尺測(cè)擺線長(zhǎng)度L0(精確到1 mm)，用游標(biāo)卡尺測(cè)小球的直徑d．測(cè)量多次，取平均值，計(jì)算擺長(zhǎng)L＝L0＋．
4．將小球從平衡位置拉至一個(gè)偏角小于5°的位置并由靜止釋放，使其在豎直面內(nèi)振動(dòng)．待振動(dòng)穩(wěn)定后，從小球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)開(kāi)始用秒表計(jì)時(shí)，測(cè)量N次全振動(dòng)的時(shí)間t(注意N以30～50次最佳)，則周期T＝．如此重復(fù)多次，取平均值．
5．改變擺長(zhǎng)，重復(fù)實(shí)驗(yàn)多次，將數(shù)據(jù)填入表格．
6．將每次實(shí)驗(yàn)得到的L、T代入g＝計(jì)算重力加速度，取平均值，即為測(cè)得的當(dāng)?shù)刂亓铀俣龋?br/>四、數(shù)據(jù)處理
1．平均值法：每改變一次擺長(zhǎng)，將相應(yīng)的L和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值．設(shè)計(jì)如表所示實(shí)驗(yàn)表格．
實(shí)驗(yàn)次數(shù) 擺長(zhǎng)L/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s-2) g的平均值
1 g＝
2
3
2．圖像法：由T＝2π得T2＝L，作出T2-L圖像，即以T2為縱軸，以L為橫軸，其斜率k＝．由圖像的斜率即可求出重力加速度g．
五、注意事項(xiàng)
1．選擇材料時(shí)應(yīng)選擇細(xì)而不易伸長(zhǎng)的線，比如用單根尼龍絲、絲線等，長(zhǎng)度一般不應(yīng)短于1 m，小球應(yīng)選用密度較大的金屬球，直徑最好不超過(guò)2 cm．
2．單擺懸線的上端不可隨意卷在鐵夾的桿上，應(yīng)夾緊在鐵夾中，以免擺動(dòng)時(shí)擺線下滑、擺長(zhǎng)改變．
3．注意擺動(dòng)時(shí)控制擺線偏離豎直方向不超過(guò)5·°．
4．?dāng)[球擺動(dòng)時(shí)，要使之保持在同一個(gè)豎直平面內(nèi)，不要形成圓錐擺．
5．計(jì)算單擺的振動(dòng)次數(shù)時(shí)，應(yīng)以擺球通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，以后擺球應(yīng)從同一方向通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)計(jì)數(shù)，要多測(cè)幾次全振動(dòng)的時(shí)間，用取平均值的辦法求周期．
六、誤差分析
1．本實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差主要來(lái)源于單擺模型本身是否符合要求，即：懸點(diǎn)是否固定，是單擺還是復(fù)擺，球、線是否符合要求，振動(dòng)是圓錐擺還是同一豎直平面內(nèi)的振動(dòng)，以及測(cè)量哪段長(zhǎng)度作為擺長(zhǎng)等．
2．本實(shí)驗(yàn)的偶然誤差主要來(lái)自時(shí)間(單擺周期)的測(cè)量．因此，要注意測(cè)準(zhǔn)時(shí)間(周期)，要從擺球通過(guò)平衡位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，最好采用倒數(shù)計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)的方法，不能多記或漏記振動(dòng)次數(shù)．為了減小偶然誤差，應(yīng)進(jìn)行多次測(cè)量后取平均值．時(shí)間的測(cè)量中，秒表讀數(shù)的有效數(shù)字的末位在“秒”的十分位即可．
【典例1】　物理實(shí)驗(yàn)社團(tuán)的某小組同學(xué)在實(shí)驗(yàn)室用單擺測(cè)量重力加速度．
(1)圖中有關(guān)器材的選擇和安裝最合理的是______．
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
(2)該同學(xué)在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中有如下操作，請(qǐng)判斷是否恰當(dāng)(選填“是”或“否”)．
①把單擺從平衡位置拉開(kāi)約5°釋放．(　　)
②在擺球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)啟動(dòng)秒表計(jì)時(shí)．(　　)
③把秒表記錄擺球一次全振動(dòng)的時(shí)間作為周期(　　)
(3)該同學(xué)改進(jìn)測(cè)量方法后，得到的部分測(cè)量數(shù)據(jù)見(jiàn)表．用螺旋測(cè)微器測(cè)量其中一個(gè)擺球直徑的示數(shù)如圖，該球的直徑為_(kāi)_____ mm．根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以初步判斷單擺周期隨________的增大而增大．
數(shù)據(jù)組編號(hào) 擺長(zhǎng)/mm 擺球質(zhì)量/g 周期/s
1 999.3 32.2 2.0
2 999.3 16.5 2.0
3 799.2 32.2 1.8
4 799.2 16.5 1.8
5 501.1 32.2 1.4
6 501.1 16.5 1.4
[解析]　 為了減小空氣阻力對(duì)小球的影響，小球應(yīng)選擇小鐵球；小球擺動(dòng)過(guò)程中，應(yīng)保證擺長(zhǎng)保持不變，故懸點(diǎn)處應(yīng)固定不動(dòng)，所以應(yīng)用鐵夾固定細(xì)線的懸點(diǎn)，且細(xì)線選擇彈性小的細(xì)絲線.單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)要求擺角小，單擺從平衡位置拉開(kāi)約5°釋放滿足此條件；因?yàn)樽畹忘c(diǎn)位置固定、容易觀察，所以在擺球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)啟動(dòng)秒表計(jì)時(shí)；擺球一次全振動(dòng)的時(shí)間太短，不易讀準(zhǔn)，誤差大，應(yīng)測(cè)多個(gè)周期的時(shí)間求平均值.螺旋測(cè)微器的讀數(shù)為20.5 mm＋18.5×0.01 mm＝20.685 mm.由表中數(shù)據(jù)可以初步判斷單擺周期隨擺長(zhǎng)的增大而增大.
[答案]　(1)C　(2)①是　②是　③否　(3)20.685(20.683～20.687均可)　擺長(zhǎng)
【典例2】　在做“用單擺測(cè)量重力加速度”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，用擺長(zhǎng)L和周期T計(jì)算重力加速度的公式是g＝________．若已知擺球直徑為2.00 cm，讓刻度尺的零點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)擺線的懸點(diǎn)，擺線豎直下垂，如圖甲所示，則單擺擺長(zhǎng)是________m．若測(cè)定了40次全振動(dòng)的時(shí)間為75.2 s，則單擺擺動(dòng)周期是________．
為了提高測(cè)量精度，需多次改變L值，并測(cè)得相應(yīng)的T值．現(xiàn)將測(cè)得的六組數(shù)據(jù)標(biāo)示在以L為橫坐標(biāo)、以T2為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)系上，即圖乙中用“·”表示的點(diǎn)，則：
(1)單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)應(yīng)滿足的條件是________________．
(2)試根據(jù)圖乙中給出的數(shù)據(jù)點(diǎn)作出T2和L的關(guān)系圖線，根據(jù)圖線可求出g＝_____m/s2(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)．
[解析]　由T＝2π，可知g＝
由題圖甲可知
擺長(zhǎng)L＝(88.50－1.00)cm＝87.50 cm＝0.875 0 m.
T＝＝1.88 s.
(1)單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件是擺角小于5°.
(2)把在一條直線上的點(diǎn)連在一起，誤差較大的點(diǎn)平均分布在直線的兩側(cè)，如圖所示，則直線斜率k＝由g＝＝，可得g≈9.8 m/s2(9.7～9.9 m/s2均可).
[答案]　　0.875 0　1.88 s　(1)擺角小于5°　(2)見(jiàn)解析圖　9.8 m/s2(9.7～9.9 m/s2均可)
【典例3】　甲、乙兩個(gè)學(xué)習(xí)小組分別利用單擺測(cè)量重力加速度．
(1)甲組同學(xué)采用如圖甲所示的實(shí)驗(yàn)裝置．
①為比較準(zhǔn)確地測(cè)量出當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊臄?shù)值，除秒表外，在下列器材中，還應(yīng)該選用________．(用器材前的字母表示)
a．長(zhǎng)度接近1 m的細(xì)繩
b．長(zhǎng)度為30 cm左右的細(xì)繩
c．直徑為1.8 cm的塑料球
d．直徑為1.8 cm的鐵球
e．最小刻度為1 cm的米尺
f．最小刻度為1 mm的米尺
②該組同學(xué)先測(cè)出懸點(diǎn)到小球球心的距離L，然后用秒表測(cè)出單擺完成n次全振動(dòng)所用的時(shí)間t．請(qǐng)寫(xiě)出重力加速度的表達(dá)式g＝________．(用所測(cè)物理量表示)
③在測(cè)量擺長(zhǎng)后，測(cè)量周期時(shí)，擺球振動(dòng)過(guò)程中懸點(diǎn)O處擺線的固定出現(xiàn)松動(dòng)，擺長(zhǎng)略微變長(zhǎng)，這將會(huì)導(dǎo)致所測(cè)重力加速度的數(shù)值________(選填“偏大”“偏小”或“不變”)．
(2)乙組同學(xué)在圖甲所示裝置的基礎(chǔ)上再增加一個(gè)速度傳感器，如圖乙所示．將擺球拉開(kāi)一小角度使其做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，速度傳感器記錄了擺球振動(dòng)過(guò)程中速度隨時(shí)間變化的關(guān)系，v-t 圖線如圖丙所示．
①由圖丙可知，該單擺的周期T＝______s．
②更換擺線長(zhǎng)度后，多次測(cè)量，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用計(jì)算機(jī)作出T2-L圖線，并根據(jù)圖線擬合得到方程T2＝4.04L(s2)．由此可以得出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭＝__________m/s2 (取π2＝9.86，結(jié)果保留三位有效數(shù)字)．
[解析]　(1)①根據(jù)T＝2π得g＝，知需要測(cè)量擺長(zhǎng)，即擺線長(zhǎng)和小球的直徑，擺線應(yīng)選1 m左右的不可伸長(zhǎng)的線，小球應(yīng)選用質(zhì)量大、體積小的金屬球，測(cè)量擺線長(zhǎng)的米尺的最小刻度應(yīng)為1 mm，故選a、d、f.
②因?yàn)門(mén)＝，則g＝＝
③擺長(zhǎng)略微變長(zhǎng)，則擺長(zhǎng)的測(cè)量值偏小，則導(dǎo)致測(cè)得的重力加速度偏小.
(2)①由v-t圖線可知，單擺的周期T＝2.0 s.
②由T＝2π，得T2＝L
即T2-L圖線的斜率k＝＝4.04 s2/m
解得g≈9.76 m/s2.
[答案]　(1)①adf　②　③偏小　(2)①2.0　②9.76
1．某同學(xué)在做“利用單擺測(cè)重力加速度”的實(shí)驗(yàn)．某次用刻度尺測(cè)得擺線長(zhǎng)為 67.80 cm．用游標(biāo)卡尺測(cè)得小球直徑的讀數(shù)如圖甲所示，則小球直徑為_(kāi)_______cm；重復(fù)實(shí)驗(yàn)幾次，改變擺線的長(zhǎng)度L，用秒表測(cè)出相應(yīng)的周期T，再以L為橫坐標(biāo)、T2為縱坐標(biāo)作圖，對(duì)應(yīng)的圖像應(yīng)為圖乙中的直線________(選填“1”“2”或“3”)．若已知直線的斜率為k，請(qǐng)寫(xiě)出重力加速度g的表達(dá)式________．
[解析]　根據(jù)游標(biāo)卡尺的讀數(shù)規(guī)律，直徑為1.6 cm＋0.05×8 mm＝1.640 cm；
根據(jù)單擺周期公式T＝2π
解得T2＝L＋
可知，圖像應(yīng)為題圖乙中的直線“1”；
可知斜率k＝
解得g＝
[答案]　1.640　1　g＝
2．小明利用如圖甲所示的單擺測(cè)量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋?br/>(1)下列說(shuō)法正確的是________．
A．?dāng)[線要選擇適當(dāng)細(xì)些、長(zhǎng)些、彈性小些的細(xì)線
B．質(zhì)量大、體積小的擺球可以減小空氣阻力帶來(lái)的影響
C．單擺偏離平衡位置的角度越大越好
D．為了減小誤差，擺球應(yīng)從最高點(diǎn)開(kāi)始計(jì)時(shí)
(2)為了更精確測(cè)量擺長(zhǎng)，小明用10分度的游標(biāo)卡尺測(cè)量擺球直徑，如圖乙所示，擺球直徑為_(kāi)_____ mm．利用刻度尺測(cè)得擺線長(zhǎng)為97.10 cm，則該單擺的擺長(zhǎng)l＝______ cm．若他用秒表記錄下單擺50次全振動(dòng)所用的時(shí)間，由圖丙可知該次實(shí)驗(yàn)中50次全振動(dòng)所用時(shí)間為_(kāi)_______ s．
[解析]　(1)為了減小實(shí)驗(yàn)誤差，擺線選擇細(xì)些的、彈性小的、并且適當(dāng)長(zhǎng)一些，擺球選擇質(zhì)量大、體積小的，可以減小空氣阻力帶來(lái)的影響，故A、B正確；為了減小實(shí)驗(yàn)誤差，保證擺球盡量做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，擺角小于5度，故C錯(cuò)誤；為了減小測(cè)量誤差，測(cè)量周期時(shí)應(yīng)從擺球經(jīng)過(guò)最低位置時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選AB.
(2)擺球直徑d＝20 mm＋6×0.1 mm＝20.6 mm
該單擺的擺長(zhǎng)l＝97.10 cm＋ mm＝98.13 cm
該次實(shí)驗(yàn)中50次全振動(dòng)所用時(shí)間為t＝1 min＋39.7 s＝99.7 s.
[答案]　(1)AB　(2)20.6　98.13　99.7
3．一學(xué)生小組做“用單擺測(cè)量重力加速度的大小”的實(shí)驗(yàn)．
(1)用實(shí)驗(yàn)室提供的螺旋測(cè)微器測(cè)量擺球直徑．首先，調(diào)節(jié)螺旋測(cè)微器，擰動(dòng)微調(diào)旋鈕使測(cè)微螺桿和測(cè)砧相觸時(shí)，發(fā)現(xiàn)固定刻度的橫線與可動(dòng)刻度上的零刻度線未對(duì)齊，如圖甲所示，該示數(shù)為_(kāi)_______ mm；螺旋測(cè)微器在夾有擺球時(shí)示數(shù)如圖乙所示，該示數(shù)為_(kāi)_______ mm，則擺球的直徑為_(kāi)_____ mm．
(2)單擺實(shí)驗(yàn)的裝置示意圖如圖丙所示，其中角度盤(pán)需要固定在桿上的確定點(diǎn)O處，擺線在角度盤(pán)上所指的示數(shù)為擺角的大小．若將角度盤(pán)固定在O點(diǎn)上方，則擺線在角度盤(pán)上所指的示數(shù)為5°時(shí)，實(shí)際擺角________(選填“大于”或“小于”)5°．
(3)某次實(shí)驗(yàn)所用單擺的擺線長(zhǎng)度為81.50 cm，則擺長(zhǎng)為_(kāi)_______ cm．實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到從擺球第1次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)到第61次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)的時(shí)間間隔為 54.60 s, 則此單擺周期為_(kāi)_______ s, 該小組測(cè)得的重力加速度大小為_(kāi)_______ m/s2(結(jié)果均保留三位有效數(shù)字，π2取9.870)．
[解析]　(1)測(cè)量前測(cè)微螺桿和測(cè)砧相觸時(shí)，題圖甲的示數(shù)d0＝0＋0.7×0.01 mm＝0.007 mm
螺旋測(cè)微器讀數(shù)是固定刻度讀數(shù)(0.5 mm的整數(shù)倍)加可動(dòng)刻度(0.5 mm以下的小數(shù))讀數(shù)，題圖乙中讀數(shù)d1＝20 mm＋3.4×0.01 mm＝20.034 mm
則擺球的直徑d＝d1－d0＝20.027 mm.
(2)角度盤(pán)的大小一定，即在規(guī)定的位置安裝角度盤(pán)，測(cè)量的擺角準(zhǔn)確，但將角度盤(pán)固定在規(guī)定位置上方，即角度盤(pán)到懸掛點(diǎn)的距離變短，同樣的角度，擺線在刻度盤(pán)上掃過(guò)的弧長(zhǎng)變短，故擺線在角度盤(pán)上所指的示數(shù)為5°時(shí)，實(shí)際擺角大于5°.
(3)單擺的擺線長(zhǎng)度為81.50 cm，則擺長(zhǎng)為l＝l0＋＝81.50 cm＋ cm≈82.5 cm
一次全振動(dòng)單擺經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)兩次，故此單擺的周期為T(mén)＝＝ s＝1.82 s
由單擺的周期表達(dá)式T＝2π得，重力加速度g＝≈9.83 m/s2.
[答案]　(1)0.007(0.006～0.008均可)　20.034(20.032～20.035均可)　20.027(20.024～20.029均可)　(2)大于　(3)82.5　1.82　9.83
4．“用單擺測(cè)量重力加速度”的實(shí)驗(yàn)裝置如圖所示，回答下列小題．
(1)組裝單擺時(shí)，應(yīng)在下列器材中選用_____________________________________．
A．長(zhǎng)度為1 m左右的細(xì)線
B．長(zhǎng)度為30 cm左右的細(xì)線
C．直徑為1.8 cm的塑料球
D．直徑為1.8 cm的鐵球
(2)測(cè)出懸點(diǎn)O到小球球心的距離(擺長(zhǎng))L及單擺完成n次全振動(dòng)所用的時(shí)間t，則重力加速度g＝________(用L、n、t表示)．
(3)下表是某同學(xué)記錄的3組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并做了部分計(jì)算處理．
組次 1 2 3
擺長(zhǎng)L/cm 80.00 90.00 100.00
50次全振動(dòng)時(shí)間t/s 90.0 95.5 100.5
振動(dòng)周期T/s 1.80 1.91
重力加速度g/m·s-2 9.74 9.73
請(qǐng)計(jì)算出第3組實(shí)驗(yàn)中的T＝________ s，g＝________ m/s2．
(4)用多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作出T2-L圖像，也可以求出重力加速度g．已知三位同學(xué)作出的T2-L圖線的示意圖如圖中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都過(guò)原點(diǎn)，圖線b對(duì)應(yīng)的g值最接近當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊闹担畡t相對(duì)于圖線b，下列分析正確的是________．
A．出現(xiàn)圖線a的原因可能是測(cè)量相同的周期時(shí)，誤將懸點(diǎn)到小球下端的距離記為擺長(zhǎng)L
B．圖線a對(duì)應(yīng)的g值等于圖線b對(duì)應(yīng)的g值
C．出現(xiàn)圖線c的原因可能是誤將49次全振動(dòng)記為50次
D．圖線c對(duì)應(yīng)的g值小于圖線b對(duì)應(yīng)的g值
[解析]　(1)組裝單擺時(shí)，應(yīng)選用1 m左右的細(xì)線，擺球應(yīng)選擇體積小、密度大的球，故A、D正確.故選AD.
(2)單擺的振動(dòng)周期T＝
根據(jù)單擺的周期公式T＝2π
解得g＝＝
(3)根據(jù)公式T＝，解得T＝2.01 s
g＝≈9.77 m/s2.
(4)由題圖可知，圖線a中當(dāng)L為零時(shí)，T不為零，原因是測(cè)量擺長(zhǎng)偏小，可能是將懸點(diǎn)到小球上端的距離記為擺長(zhǎng)，故A錯(cuò)誤；圖線a的實(shí)際擺長(zhǎng)為L(zhǎng)′＝L＋Δx，根據(jù)單擺的周期公式T＝2π，可得T2＝L＋，所以圖線a的斜率等于圖線b的斜率，圖線a對(duì)應(yīng)的g值等于圖線b對(duì)應(yīng)的g值，故B正確；由k＝得g＝，可知當(dāng)k變小，重力加速度g變大，因此圖線c對(duì)應(yīng)的g值大于圖線b對(duì)應(yīng)的g值，故D錯(cuò)誤；若實(shí)驗(yàn)中誤將49次全振動(dòng)記為50次，則周期的測(cè)量值偏小，導(dǎo)致重力加速度的測(cè)量值偏大，圖線的斜率k偏小，故C正確.故選BC.
[答案]　(1)AD　(2)　(3)2.01　9.77　(4)BC
5．在“用單擺測(cè)量重力加速度”的實(shí)驗(yàn)中：
(1)若完成n次全振動(dòng)的時(shí)間為t，用毫米刻度尺測(cè)得的擺線長(zhǎng)(懸點(diǎn)到擺球上端的距離)為L(zhǎng)0，用刻度尺測(cè)得擺球的直徑為d，用上述物理量的符號(hào)寫(xiě)出測(cè)重力加速度的一般表達(dá)式g＝________．
(2)實(shí)驗(yàn)中某同學(xué)發(fā)現(xiàn)測(cè)得的重力加速度的值總是偏大，下列原因中可能的是________．
A．實(shí)驗(yàn)室處在高山上，距離海面太高
B．單擺所用的擺球質(zhì)量太大了
C．實(shí)際測(cè)出n次全振動(dòng)的時(shí)間t，誤作為(n＋1)次全振動(dòng)的時(shí)間
D．以線長(zhǎng)作為擺長(zhǎng)來(lái)計(jì)算
(3)甲同學(xué)測(cè)量出幾組不同的擺長(zhǎng)L和周期T的數(shù)值，畫(huà)出如圖甲所示T2-L圖像中的實(shí)線OM；乙同學(xué)也進(jìn)行了與甲同學(xué)同樣的實(shí)驗(yàn)，但實(shí)驗(yàn)后他發(fā)現(xiàn)測(cè)量擺長(zhǎng)時(shí)忘了加上擺球的半徑，則該同學(xué)作出的T2-L圖線為_(kāi)_______(選填“①”“②”“③”或“④”)．
(4)丙同學(xué)將單擺固定在力傳感器上，得到了拉力隨時(shí)間的變化曲線，已知擺長(zhǎng)L1＝0.99 m，根據(jù)圖丙中的信息可得，重力加速度 g＝________ m/s2(取π2＝9.87，結(jié)果保留三位有效數(shù)字)．
[解析]　(1)根據(jù)T＝2π
可得g＝＝＝
(2)測(cè)得的重力加速度偏大，根據(jù)g＝，實(shí)驗(yàn)室處在高山上，距離海面太高，則重力加速度會(huì)偏小，A錯(cuò)誤；單擺所用的擺球質(zhì)量大小與周期無(wú)關(guān)，B錯(cuò)誤；實(shí)際測(cè)出n次全振動(dòng)的時(shí)間t，誤作為(n＋1)次全振動(dòng)的時(shí)間，則周期測(cè)量值偏小，計(jì)算出的重力加速度偏大，C正確；以擺線長(zhǎng)作為擺長(zhǎng)來(lái)計(jì)算，則擺長(zhǎng)計(jì)算偏小，測(cè)得的重力加速度偏小，D錯(cuò)誤.故選C.
(3)根據(jù)單擺的周期公式T＝2π
可得T2＝L
T2-L圖線斜率k＝
解得g＝
實(shí)驗(yàn)后乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)測(cè)量擺長(zhǎng)時(shí)忘了加上擺球的半徑，擺長(zhǎng)L＝0時(shí)，縱軸截距不為零，加上擺球半徑后圖線應(yīng)該到正確位置，由于重力加速度不變，則圖線的斜率不變，故圖線應(yīng)該為②.
(4)由題圖丙可知，單擺的周期為T(mén)＝2 s，
則根據(jù)T＝2π
可得g＝＝ m/s2≈9.77 m/s2.
[答案]　(1)　(2)C　(3)②　(4)9.77第四節(jié)　用單擺測(cè)量重力加速度
[實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)]　1．會(huì)根據(jù)單擺周期公式確定實(shí)驗(yàn)思路．2．會(huì)使用刻度尺測(cè)量擺長(zhǎng)，會(huì)使用秒表測(cè)量單擺的周期．3．能設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案，會(huì)正確安裝實(shí)驗(yàn)裝置并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作．4．能正確處理數(shù)據(jù)并能從多個(gè)角度進(jìn)行實(shí)驗(yàn)誤差分析．
一、實(shí)驗(yàn)器材
長(zhǎng)約1 m的細(xì)線、球心開(kāi)有小孔的金屬小球、帶有鐵夾的鐵架臺(tái)、長(zhǎng)約1 m的毫米刻度尺、秒表、游標(biāo)卡尺．
二、實(shí)驗(yàn)原理與設(shè)計(jì)
單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，由周期公式T＝2π，可得g＝．因此，測(cè)出單擺擺長(zhǎng)和振動(dòng)周期，便可計(jì)算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋?br/>用秒表測(cè)量30～50次全振動(dòng)的時(shí)間，計(jì)算平均做一次全振動(dòng)的時(shí)間，得到的便是振動(dòng)周期．
三、實(shí)驗(yàn)步驟
1．讓細(xì)線穿過(guò)小球上的小孔，在細(xì)線的一端打一個(gè)稍大一些的結(jié)，制成一個(gè)單擺．
2．將鐵夾固定在鐵架臺(tái)上端，鐵架臺(tái)放在實(shí)驗(yàn)桌邊，把單擺上端固定在鐵夾上，使擺球自由下垂，并在單擺平衡位置處做上標(biāo)記，如圖所示．
3．用刻度尺測(cè)擺線長(zhǎng)度L0(精確到1 mm)，用游標(biāo)卡尺測(cè)小球的直徑d．測(cè)量多次，取平均值，計(jì)算擺長(zhǎng)L＝L0＋．
4．將小球從平衡位置拉至一個(gè)偏角小于5°的位置并由靜止釋放，使其在豎直面內(nèi)振動(dòng)．待振動(dòng)穩(wěn)定后，從小球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)開(kāi)始用秒表計(jì)時(shí)，測(cè)量N次全振動(dòng)的時(shí)間t(注意N以30～50次最佳)，則周期T＝．如此重復(fù)多次，取平均值．
5．改變擺長(zhǎng)，重復(fù)實(shí)驗(yàn)多次，將數(shù)據(jù)填入表格．
6．將每次實(shí)驗(yàn)得到的L、T代入g＝計(jì)算重力加速度，取平均值，即為測(cè)得的當(dāng)?shù)刂亓铀俣龋?br/>四、數(shù)據(jù)處理
1．平均值法：每改變一次擺長(zhǎng)，將相應(yīng)的L和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值．設(shè)計(jì)如表所示實(shí)驗(yàn)表格．
實(shí)驗(yàn)次數(shù) 擺長(zhǎng)L/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s-2) g的平均值
1 g＝
2
3
2．圖像法：由T＝2π得T2＝L，作出T2-L圖像，即以T2為縱軸，以L為橫軸，其斜率k＝．由圖像的斜率即可求出重力加速度g．
五、注意事項(xiàng)
1．選擇材料時(shí)應(yīng)選擇細(xì)而不易伸長(zhǎng)的線，比如用單根尼龍絲、絲線等，長(zhǎng)度一般不應(yīng)短于1 m，小球應(yīng)選用密度較大的金屬球，直徑最好不超過(guò)2 cm．
2．單擺懸線的上端不可隨意卷在鐵夾的桿上，應(yīng)夾緊在鐵夾中，以免擺動(dòng)時(shí)擺線下滑、擺長(zhǎng)改變．
3．注意擺動(dòng)時(shí)控制擺線偏離豎直方向不超過(guò)5·°．
4．?dāng)[球擺動(dòng)時(shí)，要使之保持在同一個(gè)豎直平面內(nèi)，不要形成圓錐擺．
5．計(jì)算單擺的振動(dòng)次數(shù)時(shí)，應(yīng)以擺球通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，以后擺球應(yīng)從同一方向通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)計(jì)數(shù)，要多測(cè)幾次全振動(dòng)的時(shí)間，用取平均值的辦法求周期．
六、誤差分析
1．本實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差主要來(lái)源于單擺模型本身是否符合要求，即：懸點(diǎn)是否固定，是單擺還是復(fù)擺，球、線是否符合要求，振動(dòng)是圓錐擺還是同一豎直平面內(nèi)的振動(dòng)，以及測(cè)量哪段長(zhǎng)度作為擺長(zhǎng)等．
2．本實(shí)驗(yàn)的偶然誤差主要來(lái)自時(shí)間(單擺周期)的測(cè)量．因此，要注意測(cè)準(zhǔn)時(shí)間(周期)，要從擺球通過(guò)平衡位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，最好采用倒數(shù)計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)的方法，不能多記或漏記振動(dòng)次數(shù)．為了減小偶然誤差，應(yīng)進(jìn)行多次測(cè)量后取平均值．時(shí)間的測(cè)量中，秒表讀數(shù)的有效數(shù)字的末位在“秒”的十分位即可．
【典例1】　物理實(shí)驗(yàn)社團(tuán)的某小組同學(xué)在實(shí)驗(yàn)室用單擺測(cè)量重力加速度．
(1)圖中有關(guān)器材的選擇和安裝最合理的是______．
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
(2)該同學(xué)在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中有如下操作，請(qǐng)判斷是否恰當(dāng)(選填“是”或“否”)．
①把單擺從平衡位置拉開(kāi)約5°釋放．(　　)
②在擺球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)啟動(dòng)秒表計(jì)時(shí)．(　　)
③把秒表記錄擺球一次全振動(dòng)的時(shí)間作為周期(　　)
(3)該同學(xué)改進(jìn)測(cè)量方法后，得到的部分測(cè)量數(shù)據(jù)見(jiàn)表．用螺旋測(cè)微器測(cè)量其中一個(gè)擺球直徑的示數(shù)如圖，該球的直徑為_(kāi)_____ mm．根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以初步判斷單擺周期隨________的增大而增大．
數(shù)據(jù)組編號(hào) 擺長(zhǎng)/mm 擺球質(zhì)量/g 周期/s
1 999.3 32.2 2.0
2 999.3 16.5 2.0
3 799.2 32.2 1.8
4 799.2 16.5 1.8
5 501.1 32.2 1.4
6 501.1 16.5 1.4
[聽(tīng)課記錄](méi)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例2】　在做“用單擺測(cè)量重力加速度”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，用擺長(zhǎng)L和周期T計(jì)算重力加速度的公式是g＝________．若已知擺球直徑為2.00 cm，讓刻度尺的零點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)擺線的懸點(diǎn)，擺線豎直下垂，如圖甲所示，則單擺擺長(zhǎng)是________m．若測(cè)定了40次全振動(dòng)的時(shí)間為75.2 s，則單擺擺動(dòng)周期是________．
為了提高測(cè)量精度，需多次改變L值，并測(cè)得相應(yīng)的T值．現(xiàn)將測(cè)得的六組數(shù)據(jù)標(biāo)示在以L為橫坐標(biāo)、以T2為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)系上，即圖乙中用“·”表示的點(diǎn)，則：
(1)單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)應(yīng)滿足的條件是________________．
(2)試根據(jù)圖乙中給出的數(shù)據(jù)點(diǎn)作出T2和L的關(guān)系圖線，根據(jù)圖線可求出g＝_____m/s2(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)．
[聽(tīng)課記錄](méi)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例3】　甲、乙兩個(gè)學(xué)習(xí)小組分別利用單擺測(cè)量重力加速度．
(1)甲組同學(xué)采用如圖甲所示的實(shí)驗(yàn)裝置．
①為比較準(zhǔn)確地測(cè)量出當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊臄?shù)值，除秒表外，在下列器材中，還應(yīng)該選用________．(用器材前的字母表示)
a．長(zhǎng)度接近1 m的細(xì)繩
b．長(zhǎng)度為30 cm左右的細(xì)繩
c．直徑為1.8 cm的塑料球
d．直徑為1.8 cm的鐵球
e．最小刻度為1 cm的米尺
f．最小刻度為1 mm的米尺
②該組同學(xué)先測(cè)出懸點(diǎn)到小球球心的距離L，然后用秒表測(cè)出單擺完成n次全振動(dòng)所用的時(shí)間t．請(qǐng)寫(xiě)出重力加速度的表達(dá)式g＝________．(用所測(cè)物理量表示)
③在測(cè)量擺長(zhǎng)后，測(cè)量周期時(shí)，擺球振動(dòng)過(guò)程中懸點(diǎn)O處擺線的固定出現(xiàn)松動(dòng)，擺長(zhǎng)略微變長(zhǎng)，這將會(huì)導(dǎo)致所測(cè)重力加速度的數(shù)值________(選填“偏大”“偏小”或“不變”)．
(2)乙組同學(xué)在圖甲所示裝置的基礎(chǔ)上再增加一個(gè)速度傳感器，如圖乙所示．將擺球拉開(kāi)一小角度使其做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，速度傳感器記錄了擺球振動(dòng)過(guò)程中速度隨時(shí)間變化的關(guān)系，v-t 圖線如圖丙所示．
①由圖丙可知，該單擺的周期T＝______s．
②更換擺線長(zhǎng)度后，多次測(cè)量，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用計(jì)算機(jī)作出T2-L圖線，并根據(jù)圖線擬合得到方程T2＝4.04L(s2)．由此可以得出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭＝__________m/s2 (取π2＝9.86，結(jié)果保留三位有效數(shù)字)．
[聽(tīng)課記錄](méi)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．某同學(xué)在做“利用單擺測(cè)重力加速度”的實(shí)驗(yàn)．某次用刻度尺測(cè)得擺線長(zhǎng)為 67.80 cm．用游標(biāo)卡尺測(cè)得小球直徑的讀數(shù)如圖甲所示，則小球直徑為_(kāi)_______cm；重復(fù)實(shí)驗(yàn)幾次，改變擺線的長(zhǎng)度L，用秒表測(cè)出相應(yīng)的周期T，再以L為橫坐標(biāo)、T2為縱坐標(biāo)作圖，對(duì)應(yīng)的圖像應(yīng)為圖乙中的直線________(選填“1”“2”或“3”)．若已知直線的斜率為k，請(qǐng)寫(xiě)出重力加速度g的表達(dá)式________．
2．小明利用如圖甲所示的單擺測(cè)量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋?br/>(1)下列說(shuō)法正確的是________．
A．?dāng)[線要選擇適當(dāng)細(xì)些、長(zhǎng)些、彈性小些的細(xì)線
B．質(zhì)量大、體積小的擺球可以減小空氣阻力帶來(lái)的影響
C．單擺偏離平衡位置的角度越大越好
D．為了減小誤差，擺球應(yīng)從最高點(diǎn)開(kāi)始計(jì)時(shí)
(2)為了更精確測(cè)量擺長(zhǎng)，小明用10分度的游標(biāo)卡尺測(cè)量擺球直徑，如圖乙所示，擺球直徑為_(kāi)_____ mm．利用刻度尺測(cè)得擺線長(zhǎng)為97.10 cm，則該單擺的擺長(zhǎng)l＝______ cm．若他用秒表記錄下單擺50次全振動(dòng)所用的時(shí)間，由圖丙可知該次實(shí)驗(yàn)中50次全振動(dòng)所用時(shí)間為_(kāi)_______ s．
3．一學(xué)生小組做“用單擺測(cè)量重力加速度的大小”的實(shí)驗(yàn)．
(1)用實(shí)驗(yàn)室提供的螺旋測(cè)微器測(cè)量擺球直徑．首先，調(diào)節(jié)螺旋測(cè)微器，擰動(dòng)微調(diào)旋鈕使測(cè)微螺桿和測(cè)砧相觸時(shí)，發(fā)現(xiàn)固定刻度的橫線與可動(dòng)刻度上的零刻度線未對(duì)齊，如圖甲所示，該示數(shù)為_(kāi)_______ mm；螺旋測(cè)微器在夾有擺球時(shí)示數(shù)如圖乙所示，該示數(shù)為_(kāi)_______ mm，則擺球的直徑為_(kāi)_____ mm．
(2)單擺實(shí)驗(yàn)的裝置示意圖如圖丙所示，其中角度盤(pán)需要固定在桿上的確定點(diǎn)O處，擺線在角度盤(pán)上所指的示數(shù)為擺角的大小．若將角度盤(pán)固定在O點(diǎn)上方，則擺線在角度盤(pán)上所指的示數(shù)為5°時(shí)，實(shí)際擺角________(選填“大于”或“小于”)5°．
(3)某次實(shí)驗(yàn)所用單擺的擺線長(zhǎng)度為81.50 cm，則擺長(zhǎng)為_(kāi)_______ cm．實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到從擺球第1次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)到第61次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)的時(shí)間間隔為 54.60 s, 則此單擺周期為_(kāi)_______ s, 該小組測(cè)得的重力加速度大小為_(kāi)_______ m/s2(結(jié)果均保留三位有效數(shù)字，π2取9.870)．
4．“用單擺測(cè)量重力加速度”的實(shí)驗(yàn)裝置如圖所示，回答下列小題．
(1)組裝單擺時(shí)，應(yīng)在下列器材中選用_____________________________________．
A．長(zhǎng)度為1 m左右的細(xì)線
B．長(zhǎng)度為30 cm左右的細(xì)線
C．直徑為1.8 cm的塑料球
D．直徑為1.8 cm的鐵球
(2)測(cè)出懸點(diǎn)O到小球球心的距離(擺長(zhǎng))L及單擺完成n次全振動(dòng)所用的時(shí)間t，則重力加速度g＝________(用L、n、t表示)．
(3)下表是某同學(xué)記錄的3組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并做了部分計(jì)算處理．
組次 1 2 3
擺長(zhǎng)L/cm 80.00 90.00 100.00
50次全振動(dòng)時(shí)間t/s 90.0 95.5 100.5
振動(dòng)周期T/s 1.80 1.91
重力加速度g/m·s-2 9.74 9.73
請(qǐng)計(jì)算出第3組實(shí)驗(yàn)中的T＝________ s，g＝________ m/s2．
(4)用多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作出T2-L圖像，也可以求出重力加速度g．已知三位同學(xué)作出的T2-L圖線的示意圖如圖中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都過(guò)原點(diǎn)，圖線b對(duì)應(yīng)的g值最接近當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊闹担畡t相對(duì)于圖線b，下列分析正確的是________．
A．出現(xiàn)圖線a的原因可能是測(cè)量相同的周期時(shí)，誤將懸點(diǎn)到小球下端的距離記為擺長(zhǎng)L
B．圖線a對(duì)應(yīng)的g值等于圖線b對(duì)應(yīng)的g值
C．出現(xiàn)圖線c的原因可能是誤將49次全振動(dòng)記為50次
D．圖線c對(duì)應(yīng)的g值小于圖線b對(duì)應(yīng)的g值
5．在“用單擺測(cè)量重力加速度”的實(shí)驗(yàn)中：
(1)若完成n次全振動(dòng)的時(shí)間為t，用毫米刻度尺測(cè)得的擺線長(zhǎng)(懸點(diǎn)到擺球上端的距離)為L(zhǎng)0，用刻度尺測(cè)得擺球的直徑為d，用上述物理量的符號(hào)寫(xiě)出測(cè)重力加速度的一般表達(dá)式g＝________．
(2)實(shí)驗(yàn)中某同學(xué)發(fā)現(xiàn)測(cè)得的重力加速度的值總是偏大，下列原因中可能的是________．
A．實(shí)驗(yàn)室處在高山上，距離海面太高
B．單擺所用的擺球質(zhì)量太大了
C．實(shí)際測(cè)出n次全振動(dòng)的時(shí)間t，誤作為(n＋1)次全振動(dòng)的時(shí)間
D．以線長(zhǎng)作為擺長(zhǎng)來(lái)計(jì)算
(3)甲同學(xué)測(cè)量出幾組不同的擺長(zhǎng)L和周期T的數(shù)值，畫(huà)出如圖甲所示T2-L圖像中的實(shí)線OM；乙同學(xué)也進(jìn)行了與甲同學(xué)同樣的實(shí)驗(yàn)，但實(shí)驗(yàn)后他發(fā)現(xiàn)測(cè)量擺長(zhǎng)時(shí)忘了加上擺球的半徑，則該同學(xué)作出的T2-L圖線為_(kāi)_______(選填“①”“②”“③”或“④”)．
(4)丙同學(xué)將單擺固定在力傳感器上，得到了拉力隨時(shí)間的變化曲線，已知擺長(zhǎng)L1＝0.99 m，根據(jù)圖丙中的信息可得，重力加速度 g＝________ m/s2(取π2＝9.87，結(jié)果保留三位有效數(shù)字)．

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