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第三節(jié)　單擺
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．理解單擺模型及單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和特點(diǎn)．2．掌握影響單擺周期的因素和周期公式．3．能從不同角度認(rèn)識(shí)單擺的振動(dòng)．4．學(xué)會(huì)用單擺周期公式測(cè)定重力加速度的方法．
1．單擺模型
如果懸掛物體的繩子的____和____可以忽略不計(jì)，繩長(zhǎng)比物體的尺寸大很多，物體可以看作____，這樣的裝置可以看作單擺，單擺是實(shí)際擺的理想模型．
2．單擺的運(yùn)動(dòng)
若單擺的擺角小于____，單擺擺球的擺動(dòng)可看成________．
3．單擺的回復(fù)力
重力mg沿________方向的分力F為單擺擺球的回復(fù)力．
4．單擺的固有周期
(1)單擺振動(dòng)的周期與擺球質(zhì)量____(選填“有關(guān)”或“無關(guān)”)，與振幅____(選填“有關(guān)”或“無關(guān)”)，與擺長(zhǎng)____(選填“有關(guān)”或“無關(guān)”)．
(2)周期T與擺長(zhǎng)L的二次方根成____，與重力加速度g的二次方根成____，與擺球質(zhì)量及振幅____．
1．思考判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)．
(1)單擺模型中對(duì)細(xì)線的要求是細(xì)線的伸縮可忽略，質(zhì)量可忽略． (　　)
(2)單擺模型中對(duì)小球的要求是密度較大，其直徑與線的長(zhǎng)度相比可忽略．
(　　)
(3)擺球質(zhì)量越大，周期越長(zhǎng)． (　　)
(4)擺動(dòng)幅度越大，周期越長(zhǎng)． (　　)
2．關(guān)于單擺的運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是(　　)
A．單擺擺球運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是擺線張力和重力的合力
B．單擺擺球經(jīng)過軌跡上的同一點(diǎn)時(shí)速度是相同的
C．單擺擺球經(jīng)過軌跡上的同一點(diǎn)時(shí)加速度是相同的
D．單擺擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)受力是平衡的
3．如圖所示是一個(gè)單擺(θ ＜5°)，其周期為T，則下列說法正確的是(　　)
A．把擺球的質(zhì)量增加一倍，其周期變小
B．?dāng)[球的振幅變小時(shí)，周期也變小
C．此擺由O →B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
D．?dāng)[球由B→O時(shí)，動(dòng)能向勢(shì)能轉(zhuǎn)化
如圖所示，一根細(xì)線上端固定，下端連接一個(gè)金屬小球，用手使小球偏離豎直方向一個(gè)夾角，然后釋放.
討論：
(1)小球受到哪些力的作用？
(2)向心力和回復(fù)力分別是由什么力提供的？
　單擺模型的回復(fù)力及運(yùn)動(dòng)情況
1．單擺的回復(fù)力
(1)單擺受力：如圖所示，受細(xì)線拉力和重力作用．
(2)向心力來源：細(xì)線拉力和重力沿徑向的分力的合力．
(3)回復(fù)力來源：重力沿圓弧切線方向的分力提供使擺球振動(dòng)的回復(fù)力．
2．單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的推證
在偏角很小時(shí)，sin θ≈，又回復(fù)力大小為mg sin θ，所以單擺的回復(fù)力為F＝－x(式中x表示擺球偏離平衡位置的位移，L表示單擺的擺長(zhǎng)，負(fù)號(hào)表示回復(fù)力F與位移x的方向相反)，由此知回復(fù)力符合F＝－kx，單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．
【典例1】　振動(dòng)的單擺小球通過平衡位置時(shí)，關(guān)于小球受到的回復(fù)力及合力的說法中正確的是(　　)
A．回復(fù)力為零，合力不為零，方向指向懸點(diǎn)
B．回復(fù)力不為零，方向沿軌跡的切線
C．合力不為零，方向沿軌跡的切線
D．回復(fù)力為零，合力也為零
[思路點(diǎn)撥]　(1)考慮擺動(dòng)情況，小球在平衡位置回復(fù)力為零．
(2)考慮圓周運(yùn)動(dòng)情況，小球在平衡位置所受合力不為零．
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　單擺中的回復(fù)力
(1)單擺振動(dòng)中的回復(fù)力不是它受到的合力，而是重力沿圓弧切線方向的一個(gè)分力．單擺振動(dòng)過程中，有向心力，這是與彈簧振子的不同之處．
(2)在最大位移處時(shí)，因速度為零，所以向心力為零，故此時(shí)合力也就是回復(fù)力．
(3)在平衡位置處時(shí)，由于速度不為零，故向心力也不為零，即此時(shí)回復(fù)力為零，但合力不為零．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．關(guān)于單擺的描述，下列說法正確的是(　　)
A．單擺的運(yùn)動(dòng)一定是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
B．單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力與繩子拉力的合力
C．單擺運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過平衡位置時(shí)達(dá)到平衡狀態(tài)
D．單擺經(jīng)過平衡位置時(shí)回復(fù)力為零
　單擺的周期
1．單擺的周期公式：T＝2π．
2．對(duì)周期公式的理解
(1)單擺的周期公式在單擺偏角很小時(shí)成立(偏角為5°時(shí)，由周期公式算出的周期和精確值相差0.01%)．
(2)公式中L是擺長(zhǎng)，即懸點(diǎn)到擺球球心的距離，即L＝l線＋r球．
(3)公式中g(shù)是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定．
(4)周期T只與L和g有關(guān)，與擺球質(zhì)量m及振幅無關(guān)．所以單擺的周期也叫固有周期．
3．單擺模型的拓展
(1)圖(a)中，甲、乙在垂直紙面方向擺起來效果是相同的，所以甲擺的擺長(zhǎng)為L(zhǎng) sin α，這就是等效擺長(zhǎng)，其周期T＝2π．圖(b)中，乙在垂直于紙面方向擺動(dòng)時(shí)，與甲擺等效；乙在紙面內(nèi)小角度擺動(dòng)時(shí)，與丙擺等效．
(2)如圖(c)所示，小球在光滑的半徑較大的圓周上做小幅度(θ很小)的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，可等效為單擺，小球在A、B間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期T＝2π．
4．公式中重力加速度g的變化與等效
(1)若單擺系統(tǒng)只處在重力場(chǎng)中且處于靜止?fàn)顟B(tài)，g由單擺所處的空間位置決定，即g＝，式中R為物體到地心的距離，M為地球的質(zhì)量，g隨所在位置的高度的變化而變化．另外，在不同星球上M和R也是變化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只是在地球表面附近時(shí)的取值．
(2)等效重力加速度：若單擺系統(tǒng)處在非平衡狀態(tài)(如加速、減速、完全失重狀態(tài))，則一般情況下，等效g值等于擺球相對(duì)靜止在自己的平衡位置時(shí)，擺線所受的張力與擺球質(zhì)量的比值．如圖所示，擺球靜止在平衡位置O時(shí)，F(xiàn)T＝mg sin θ，等效重力加速度g′＝＝g sin θ．
【典例2】　一個(gè)單擺的擺長(zhǎng)為l，在其懸點(diǎn)O的正下方0.19l處有一釘子P(如圖所示)，現(xiàn)將擺球向左拉開到A，使擺線偏角θ＜5°，放手后使其擺動(dòng)，求出單擺的振動(dòng)周期．(重力加速度為g)
[思路點(diǎn)撥]　(1)左邊和右邊擺長(zhǎng)不同．
(2)單擺的周期等于兩個(gè)擺周期之和的一半．
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求單擺周期的方法
(1)在運(yùn)用T＝2π時(shí)，要注意L和g是否發(fā)生變化，如果發(fā)生變化，則分別求出不同L和g時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
(2)改變單擺振動(dòng)周期的途徑：
①改變單擺的擺長(zhǎng)．
②改變單擺的重力加速度(如改變單擺的位置或讓單擺失重或超重)．
(3)明確單擺振動(dòng)周期與單擺的質(zhì)量和振幅沒有關(guān)系．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．若單擺的擺長(zhǎng)不變，擺球的質(zhì)量由20 g增加為 40 g, 擺球離開平衡位置的最大角度由4°減為2°，則單擺振動(dòng)的(　　)
A．頻率不變，振幅不變　 B．頻率不變，振幅改變
C．頻率改變，振幅不變 D．頻率改變，振幅改變
3．(多選)如圖為甲、乙兩單擺的振動(dòng)圖像，則(　　)
A．由圖像可知兩單擺周期之比為2∶1
B．若甲、乙兩單擺在同一地點(diǎn)擺動(dòng)，則甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比l甲∶l乙＝2∶1
C．若甲、乙兩單擺在同一地點(diǎn)擺動(dòng)，則甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比l甲∶l乙＝4∶1
D．若甲、乙兩擺擺長(zhǎng)相同，且在不同的星球上擺動(dòng)，則甲、乙兩擺所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1
1．(多選)下列有關(guān)單擺運(yùn)動(dòng)過程中的受力，說法正確的是(　　)
A．單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向的一個(gè)分力
B．單擺經(jīng)過平衡位置時(shí)合力提供向心力
C．單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是擺線拉力的一個(gè)分力
D．在擺角很小的情況下，單擺回復(fù)力符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)
2．(多選)一單擺做小角度擺動(dòng)，其振動(dòng)圖像如圖所示，以下說法正確的是(　　)
A．t1時(shí)刻擺球速度為零，擺球的回復(fù)力最大
B．t2時(shí)刻擺球速度為零，懸線對(duì)它的拉力最小
C．t3時(shí)刻擺球速度為零，擺球的回復(fù)力最小
D．t4時(shí)刻擺球速度最大，懸線對(duì)它的拉力最大
3．一個(gè)質(zhì)量為m的小球在半徑為R的光滑圓弧槽上來回運(yùn)動(dòng)，如圖所示，圓弧槽的長(zhǎng)度l R．為了使小球振動(dòng)的頻率變?yōu)樵瓉淼模梢圆捎玫霓k法是(　　)
A．將R減小為原來的
B．將R增大為原來的4倍
C．將圓弧長(zhǎng)l增大為原來的4倍
D．將m減小為原來的
4．(源自人教版教材改編)(易錯(cuò))如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓弧軌道所對(duì)應(yīng)的圓心角很小，O是圓弧的最低點(diǎn)，兩個(gè)完全相同的小球M、N從圓弧左側(cè)的不同位置同時(shí)釋放，它們從釋放到到達(dá)O的過程中都經(jīng)過圖中的P點(diǎn)，下列判斷正確的是(　　)
A．M比N后到達(dá)O點(diǎn)
B．M、N通過P點(diǎn)時(shí)所受的回復(fù)力相同
C．M有可能在P點(diǎn)追上N并與之相碰
D．從釋放到到達(dá)O點(diǎn)過程中，重力對(duì)M的沖量比重力對(duì)N的沖量大
5．某學(xué)習(xí)小組的同學(xué)在實(shí)驗(yàn)室用如圖甲所示裝置研究單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，O是單擺的平衡位置，單擺在豎直平面內(nèi)左右擺動(dòng)，M、N是擺球所能到達(dá)的最遠(yuǎn)位置．取向右為正方向．圖乙是單擺的振動(dòng)圖像．已知當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮取10 m/s2，取π2＝10，下列說法正確的是(　　)
A．單擺的振幅是0.14 m，振動(dòng)的頻率是1 Hz
B．振動(dòng)的表達(dá)式為x＝0.07sin 2πt m
C．單擺的擺長(zhǎng)為1 m
D．t＝1.5 s時(shí)擺球在N點(diǎn)
回顧本節(jié)內(nèi)容，自主完成以下問題：
1．單擺是合力提供回復(fù)力嗎？
2．單擺的擺動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)嗎？
3．單擺周期與什么有關(guān)？
8 / 8第三節(jié)　單擺
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．理解單擺模型及單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和特點(diǎn)．2．掌握影響單擺周期的因素和周期公式．3．能從不同角度認(rèn)識(shí)單擺的振動(dòng)．4．學(xué)會(huì)用單擺周期公式測(cè)定重力加速度的方法．
1．單擺模型
如果懸掛物體的繩子的伸縮和質(zhì)量可以忽略不計(jì)，繩長(zhǎng)比物體的尺寸大很多，物體可以看作質(zhì)點(diǎn)，這樣的裝置可以看作單擺，單擺是實(shí)際擺的理想模型．
2．單擺的運(yùn)動(dòng)
若單擺的擺角小于5°，單擺擺球的擺動(dòng)可看成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．
3．單擺的回復(fù)力
重力mg沿圓弧切線方向的分力F為單擺擺球的回復(fù)力．
4．單擺的固有周期
(1)單擺振動(dòng)的周期與擺球質(zhì)量無關(guān)(選填“有關(guān)”或“無關(guān)”)，與振幅無關(guān)(選填“有關(guān)”或“無關(guān)”)，與擺長(zhǎng)有關(guān)(選填“有關(guān)”或“無關(guān)”)．
(2)周期T與擺長(zhǎng)L的二次方根成正比，與重力加速度g的二次方根成反比，與擺球質(zhì)量及振幅無關(guān)．
1．思考判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)．
(1)單擺模型中對(duì)細(xì)線的要求是細(xì)線的伸縮可忽略，質(zhì)量可忽略． (√)
(2)單擺模型中對(duì)小球的要求是密度較大，其直徑與線的長(zhǎng)度相比可忽略． (√)
(3)擺球質(zhì)量越大，周期越長(zhǎng)． (×)
(4)擺動(dòng)幅度越大，周期越長(zhǎng)． (×)
2．關(guān)于單擺的運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是(　　)
A．單擺擺球運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是擺線張力和重力的合力
B．單擺擺球經(jīng)過軌跡上的同一點(diǎn)時(shí)速度是相同的
C．單擺擺球經(jīng)過軌跡上的同一點(diǎn)時(shí)加速度是相同的
D．單擺擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)受力是平衡的
C　[擺球運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力由重力沿圓弧切線方向的分力提供，故A錯(cuò)誤；根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，擺球經(jīng)過軌跡上的同一點(diǎn)時(shí)速度大小相等，方向可能相同，也可能不同，加速度的大小、方向都相同，故B錯(cuò)誤，C正確；擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)，回復(fù)力為零，合力不為零，受力并不平衡，故D錯(cuò)誤.]
3．如圖所示是一個(gè)單擺(θ ＜5°)，其周期為T，則下列說法正確的是(　　)
A．把擺球的質(zhì)量增加一倍，其周期變小
B．?dāng)[球的振幅變小時(shí)，周期也變小
C．此擺由O →B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
D．?dāng)[球由B→O時(shí)，動(dòng)能向勢(shì)能轉(zhuǎn)化
C　[單擺的周期與擺球的質(zhì)量無關(guān)，A錯(cuò)誤；單擺的周期與振幅無關(guān)，B錯(cuò)誤；此擺由O→B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，C正確；擺球由B→O時(shí)，勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，D錯(cuò)誤.]
如圖所示，一根細(xì)線上端固定，下端連接一個(gè)金屬小球，用手使小球偏離豎直方向一個(gè)夾角，然后釋放.
討論：
(1)小球受到哪些力的作用？
(2)向心力和回復(fù)力分別是由什么力提供的？
提示：(1)小球受重力和細(xì)線的拉力.
(2)細(xì)線的拉力和重力沿細(xì)線方向的分力的合力提供向心力.小球重力沿圓弧切線方向的分力提供回復(fù)力.
　單擺模型的回復(fù)力及運(yùn)動(dòng)情況
1．單擺的回復(fù)力
(1)單擺受力：如圖所示，受細(xì)線拉力和重力作用．
(2)向心力來源：細(xì)線拉力和重力沿徑向的分力的合力．
(3)回復(fù)力來源：重力沿圓弧切線方向的分力提供使擺球振動(dòng)的回復(fù)力．
2．單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的推證
在偏角很小時(shí)，sin θ≈，又回復(fù)力大小為mg sin θ，所以單擺的回復(fù)力為F＝－x(式中x表示擺球偏離平衡位置的位移，L表示單擺的擺長(zhǎng)，負(fù)號(hào)表示回復(fù)力F與位移x的方向相反)，由此知回復(fù)力符合F＝－kx，單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．
【典例1】　振動(dòng)的單擺小球通過平衡位置時(shí)，關(guān)于小球受到的回復(fù)力及合力的說法中正確的是(　　)
A．回復(fù)力為零，合力不為零，方向指向懸點(diǎn)
B．回復(fù)力不為零，方向沿軌跡的切線
C．合力不為零，方向沿軌跡的切線
D．回復(fù)力為零，合力也為零
[思路點(diǎn)撥]　(1)考慮擺動(dòng)情況，小球在平衡位置回復(fù)力為零．
(2)考慮圓周運(yùn)動(dòng)情況，小球在平衡位置所受合力不為零．
A　[單擺的回復(fù)力不是它的合力，而是重力沿圓弧切線方向的分力；當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，回復(fù)力為零，但合力不為零，因?yàn)樾∏蜻€有向心力，方向指向懸點(diǎn)(即指向圓心).]
　單擺中的回復(fù)力
(1)單擺振動(dòng)中的回復(fù)力不是它受到的合力，而是重力沿圓弧切線方向的一個(gè)分力．單擺振動(dòng)過程中，有向心力，這是與彈簧振子的不同之處．
(2)在最大位移處時(shí)，因速度為零，所以向心力為零，故此時(shí)合力也就是回復(fù)力．
(3)在平衡位置處時(shí)，由于速度不為零，故向心力也不為零，即此時(shí)回復(fù)力為零，但合力不為零．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．關(guān)于單擺的描述，下列說法正確的是(　　)
A．單擺的運(yùn)動(dòng)一定是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
B．單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力與繩子拉力的合力
C．單擺運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過平衡位置時(shí)達(dá)到平衡狀態(tài)
D．單擺經(jīng)過平衡位置時(shí)回復(fù)力為零
D　[當(dāng)單擺的偏角較小時(shí)單擺的運(yùn)動(dòng)才是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤；單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力在圓弧切線上的分力提供的，故B錯(cuò)誤；單擺運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過平衡位置時(shí)有向心加速度，所以沒有達(dá)到平衡狀態(tài)，故C錯(cuò)誤；根據(jù)F＝－kx可知單擺經(jīng)過平衡位置時(shí)回復(fù)力為零，故D正確.]
　單擺的周期
1．單擺的周期公式：T＝2π．
2．對(duì)周期公式的理解
(1)單擺的周期公式在單擺偏角很小時(shí)成立(偏角為5°時(shí)，由周期公式算出的周期和精確值相差0.01%)．
(2)公式中L是擺長(zhǎng)，即懸點(diǎn)到擺球球心的距離，即L＝l線＋r球．
(3)公式中g(shù)是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定．
(4)周期T只與L和g有關(guān)，與擺球質(zhì)量m及振幅無關(guān)．所以單擺的周期也叫固有周期．
3．單擺模型的拓展
(1)圖(a)中，甲、乙在垂直紙面方向擺起來效果是相同的，所以甲擺的擺長(zhǎng)為L(zhǎng) sin α，這就是等效擺長(zhǎng)，其周期T＝2π．圖(b)中，乙在垂直于紙面方向擺動(dòng)時(shí)，與甲擺等效；乙在紙面內(nèi)小角度擺動(dòng)時(shí)，與丙擺等效．
(2)如圖(c)所示，小球在光滑的半徑較大的圓周上做小幅度(θ很小)的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，可等效為單擺，小球在A、B間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期T＝2π．
4．公式中重力加速度g的變化與等效
(1)若單擺系統(tǒng)只處在重力場(chǎng)中且處于靜止?fàn)顟B(tài)，g由單擺所處的空間位置決定，即g＝，式中R為物體到地心的距離，M為地球的質(zhì)量，g隨所在位置的高度的變化而變化．另外，在不同星球上M和R也是變化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只是在地球表面附近時(shí)的取值．
(2)等效重力加速度：若單擺系統(tǒng)處在非平衡狀態(tài)(如加速、減速、完全失重狀態(tài))，則一般情況下，等效g值等于擺球相對(duì)靜止在自己的平衡位置時(shí)，擺線所受的張力與擺球質(zhì)量的比值．如圖所示，擺球靜止在平衡位置O時(shí)，F(xiàn)T＝mg sin θ，等效重力加速度g′＝＝g sin θ．
【典例2】　一個(gè)單擺的擺長(zhǎng)為l，在其懸點(diǎn)O的正下方0.19l處有一釘子P(如圖所示)，現(xiàn)將擺球向左拉開到A，使擺線偏角θ＜5°，放手后使其擺動(dòng)，求出單擺的振動(dòng)周期．(重力加速度為g)
[思路點(diǎn)撥]　(1)左邊和右邊擺長(zhǎng)不同．
(2)單擺的周期等于兩個(gè)擺周期之和的一半．
[解析]　擺球釋放后到達(dá)右邊最高點(diǎn)B處，由機(jī)械能守恒可知B和A等高，則擺球始終做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).擺球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的擺長(zhǎng)有所變化，它的周期為兩個(gè)不同單擺的半周期的和.
擺球在左邊的周期為T1＝2π
擺球在右邊的周期為T2＝2π
則整個(gè)單擺的周期為
T＝＋＝π＋π＝1.9π
[答案]　1.9π
　求單擺周期的方法
(1)在運(yùn)用T＝2π時(shí)，要注意L和g是否發(fā)生變化，如果發(fā)生變化，則分別求出不同L和g時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
(2)改變單擺振動(dòng)周期的途徑：
①改變單擺的擺長(zhǎng)．
②改變單擺的重力加速度(如改變單擺的位置或讓單擺失重或超重)．
(3)明確單擺振動(dòng)周期與單擺的質(zhì)量和振幅沒有關(guān)系．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．若單擺的擺長(zhǎng)不變，擺球的質(zhì)量由20 g增加為 40 g, 擺球離開平衡位置的最大角度由4°減為2°，則單擺振動(dòng)的(　　)
A．頻率不變，振幅不變　 B．頻率不變，振幅改變
C．頻率改變，振幅不變 D．頻率改變，振幅改變
B　[單擺的周期公式為T＝2π，與擺球的質(zhì)量和擺角的大小無關(guān)，所以周期不變，頻率也不變，擺角減小則振幅減小，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤.]
3．(多選)如圖為甲、乙兩單擺的振動(dòng)圖像，則(　　)
A．由圖像可知兩單擺周期之比為2∶1
B．若甲、乙兩單擺在同一地點(diǎn)擺動(dòng)，則甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比l甲∶l乙＝2∶1
C．若甲、乙兩單擺在同一地點(diǎn)擺動(dòng)，則甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比l甲∶l乙＝4∶1
D．若甲、乙兩擺擺長(zhǎng)相同，且在不同的星球上擺動(dòng)，則甲、乙兩擺所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1
AC　[由題中圖像可知T甲∶T乙＝2∶1，若兩單擺在同一地點(diǎn)，則兩擺擺長(zhǎng)之比l甲∶l乙＝4∶1，若兩擺擺長(zhǎng)相等，則所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝1∶4.]
1．(多選)下列有關(guān)單擺運(yùn)動(dòng)過程中的受力，說法正確的是(　　)
A．單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向的一個(gè)分力
B．單擺經(jīng)過平衡位置時(shí)合力提供向心力
C．單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是擺線拉力的一個(gè)分力
D．在擺角很小的情況下，單擺回復(fù)力符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)
ABD　[單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力不是由重力與擺線拉力的合力提供，平衡位置時(shí)，重力和擺線拉力的合力提供向心力，B正確；單擺的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向的一個(gè)分力，而不是擺線拉力的分力，A正確，C錯(cuò)誤；當(dāng)θ＜5°時(shí)，單擺回復(fù)力符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，D正確.]
2．(多選)一單擺做小角度擺動(dòng)，其振動(dòng)圖像如圖所示，以下說法正確的是(　　)
A．t1時(shí)刻擺球速度為零，擺球的回復(fù)力最大
B．t2時(shí)刻擺球速度為零，懸線對(duì)它的拉力最小
C．t3時(shí)刻擺球速度為零，擺球的回復(fù)力最小
D．t4時(shí)刻擺球速度最大，懸線對(duì)它的拉力最大
AD　[由振動(dòng)圖像知，t1和t3時(shí)刻擺球偏離平衡位置的位移最大，此時(shí)擺球的速度為零，擺球的回復(fù)力最大，A正確，C錯(cuò)誤；t2和t4時(shí)刻擺球位移為零，正在通過平衡位置，速度最大，由于擺球做圓周運(yùn)動(dòng)(一部分)，由牛頓第二定律得出懸線對(duì)擺球拉力最大，D正確，B錯(cuò)誤.]
3．一個(gè)質(zhì)量為m的小球在半徑為R的光滑圓弧槽上來回運(yùn)動(dòng)，如圖所示，圓弧槽的長(zhǎng)度l R．為了使小球振動(dòng)的頻率變?yōu)樵瓉淼?，可以采用的辦法是(　　)
A．將R減小為原來的
B．將R增大為原來的4倍
C．將圓弧長(zhǎng)l增大為原來的4倍
D．將m減小為原來的
B　[小球在光滑圓弧槽上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，根據(jù)f＝＝， 使小球振動(dòng)的頻率變?yōu)樵瓉淼?，可將R增大為原來的4倍，圓弧長(zhǎng)度與小球質(zhì)量不影響頻率，故B正確.]
4．(源自人教版教材改編)(易錯(cuò))如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓弧軌道所對(duì)應(yīng)的圓心角很小，O是圓弧的最低點(diǎn)，兩個(gè)完全相同的小球M、N從圓弧左側(cè)的不同位置同時(shí)釋放，它們從釋放到到達(dá)O的過程中都經(jīng)過圖中的P點(diǎn)，下列判斷正確的是(　　)
A．M比N后到達(dá)O點(diǎn)
B．M、N通過P點(diǎn)時(shí)所受的回復(fù)力相同
C．M有可能在P點(diǎn)追上N并與之相碰
D．從釋放到到達(dá)O點(diǎn)過程中，重力對(duì)M的沖量比重力對(duì)N的沖量大
B　[根據(jù)單擺周期公式T＝2π，可知兩小球振動(dòng)的周期相同，M、N同時(shí)到達(dá)O點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；M、N通過P點(diǎn)時(shí)所受回復(fù)力相同，均為小球重力在該點(diǎn)沿著圓弧切線方向的分力，故B正確；M、N同時(shí)到達(dá)O點(diǎn)，則M不可能在P點(diǎn)與N相碰，故C錯(cuò)誤；從釋放到到達(dá)O點(diǎn)過程中，根據(jù)I＝mgt可知，重力對(duì)M的沖量等于重力對(duì)N的沖量，故D錯(cuò)誤.]
5．某學(xué)習(xí)小組的同學(xué)在實(shí)驗(yàn)室用如圖甲所示裝置研究單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，O是單擺的平衡位置，單擺在豎直平面內(nèi)左右擺動(dòng)，M、N是擺球所能到達(dá)的最遠(yuǎn)位置．取向右為正方向．圖乙是單擺的振動(dòng)圖像．已知當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮取10 m/s2，取π2＝10，下列說法正確的是(　　)
A．單擺的振幅是0.14 m，振動(dòng)的頻率是1 Hz
B．振動(dòng)的表達(dá)式為x＝0.07sin 2πt m
C．單擺的擺長(zhǎng)為1 m
D．t＝1.5 s時(shí)擺球在N點(diǎn)
C　[由題圖乙知振幅A＝0.07 m，周期T＝2 s，則頻率f＝＝0.5 Hz，A錯(cuò)誤；振動(dòng)的表達(dá)式為x＝A sin 2πft＝0.07sin πt m，B錯(cuò)誤；由單擺的周期公式T＝2π，解得L＝＝1 m，C正確；由題圖乙知，t＝1.5 s時(shí)擺球在負(fù)向最大位移處，因向右為正方向，所以擺球在M點(diǎn)，D錯(cuò)誤.]
回顧本節(jié)內(nèi)容，自主完成以下問題：
1．單擺是合力提供回復(fù)力嗎？
提示：不是，是重力的切向分力.
2．單擺的擺動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)嗎？
提示：擺角小于5°時(shí)，單擺的運(yùn)動(dòng)可以看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).
3．單擺周期與什么有關(guān)？
提示：擺長(zhǎng)和重力加速度.
課時(shí)分層作業(yè)(六)　單擺
?考點(diǎn)一　單擺模型的回復(fù)力及運(yùn)動(dòng)情況
1．在如圖所示的裝置中，可視為單擺的是(　　)
A　　 　B　　　　C　　　D
A　[單擺的懸線要求無彈性且粗細(xì)、質(zhì)量可忽略，擺球的直徑與懸線長(zhǎng)度相比可忽略，故A正確，B、C錯(cuò)誤；懸點(diǎn)必須固定，故D錯(cuò)誤.]
2．關(guān)于單擺，下列說法正確的是(　　)
A．?dāng)[球受到的回復(fù)力方向總是指向平衡位置
B．?dāng)[球受到的回復(fù)力是它所受的合力
C．?dāng)[球經(jīng)過平衡位置時(shí)，所受的合力為零
D．?dāng)[角很小時(shí)，擺球所受合力的大小跟擺球相對(duì)于平衡位置的位移大小成正比
A　[回復(fù)力是使擺球回到平衡位置的力，其方向總是指向平衡位置，故A正確；擺球所受的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向的分力，不是擺球所受的合力，故B錯(cuò)誤；擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)，回復(fù)力為零，但由于擺球做圓周運(yùn)動(dòng)，有向心力，合力不為零，方向指向懸點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；擺角很小時(shí)，回復(fù)力與擺球相對(duì)于平衡位置的位移大小成正比，但合力沒有此關(guān)系，故D錯(cuò)誤.]
3．有一個(gè)正在擺動(dòng)的秒擺(T＝2 s)，若取擺球正從平衡位置向左運(yùn)動(dòng)時(shí)開始計(jì)時(shí)，那么當(dāng)t＝1.6 s時(shí)，以下對(duì)擺球的運(yùn)動(dòng)情況及回復(fù)力變化情況判斷正確的是(　　)
A．正在向左做減速運(yùn)動(dòng)，回復(fù)力正在增大
B．正在向右做減速運(yùn)動(dòng)，回復(fù)力正在增大
C．正在向右做加速運(yùn)動(dòng)，回復(fù)力正在減小
D．正在向左做加速運(yùn)動(dòng)，回復(fù)力正在減小
D　[秒擺的周期為T＝2 s，取擺球正從平衡位置向左運(yùn)動(dòng)時(shí)開始計(jì)時(shí)，當(dāng)t＝1.6 s時(shí)，即T?考點(diǎn)二　單擺的周期
4．如圖所示，置于地球表面上的一單擺在小振幅條件下擺動(dòng)的周期為T0，下列說法正確的是(　　)
A．單擺擺動(dòng)過程，繩子的拉力始終大于擺球的重力
B．單擺擺動(dòng)過程，繩子的拉力始終小于擺球的重力
C．小球所受重力和繩的拉力的合力提供單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力
D．將該單擺置于月球表面，其擺動(dòng)周期T>T0
D　[在最高點(diǎn)時(shí)，繩的拉力大小等于重力的一個(gè)分力，此時(shí)繩子的拉力小于重力，在最低點(diǎn)的時(shí)候繩的拉力和重力共同提供向心力，F(xiàn)－mg＝ma，可得F＝mg＋ma，故A、B錯(cuò)誤；小球所受重力和繩的拉力的合力的切向分力提供單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力，徑向分力提供向心力，故C錯(cuò)誤；月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，根據(jù)單擺周期公式T＝2π可知，將該單擺置于月球表面，其擺動(dòng)周期T>T0，故D正確.]
5．周期是2 s的單擺叫秒擺，取重力加速度大小g＝π2，則秒擺的擺長(zhǎng)是(　　)
A．1 m B．2 m
C．3 m D．4 m
A　[由題意可知，T＝2 s，g＝π2，由單擺的周期公式T＝2π，可得秒擺的擺長(zhǎng)L＝＝ m＝1 m, A正確，B、C、D錯(cuò)誤.]
6．(多選)如圖甲所示，小明做擺角較小的單擺實(shí)驗(yàn)，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達(dá)的左右最遠(yuǎn)位置，小明通過實(shí)驗(yàn)測(cè)出當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭＝9.8 m/s2，并且根據(jù)實(shí)驗(yàn)情況繪制了單擺的振動(dòng)圖像如圖乙所示，設(shè)圖中單擺向右振動(dòng)為正方向，取π2＝9.8，則下列選項(xiàng)正確的是(　　)
A．此單擺的振動(dòng)頻率是2 Hz
B．單擺的擺長(zhǎng)約為1.0 m
C．僅改變擺球質(zhì)量，單擺周期不變
D．t＝0時(shí)刻，擺球位于B點(diǎn)
BCD　[由題圖乙可知，此單擺的周期T＝2 s，則此單擺的振動(dòng)頻率f＝＝0.5 Hz，故A錯(cuò)誤；根據(jù)單擺周期公式T＝2π，可得單擺的擺長(zhǎng)L＝＝1.0 m，僅改變擺球質(zhì)量，單擺周期不變，故B、C正確；t＝0時(shí)刻，由題圖乙可知，擺球位于負(fù)向最大位移處，因單擺向右振動(dòng)為正方向，則擺球位于B點(diǎn)，故D正確.]
7．如圖所示為同一地點(diǎn)的兩個(gè)單擺甲、乙的振動(dòng)圖像，下列說法正確的是(　　)
A．甲擺的擺長(zhǎng)比乙擺的擺長(zhǎng)大
B．甲擺的振幅是乙擺振幅的3倍
C．甲擺的機(jī)械能比乙擺的機(jī)械能大
D．在t＝1 s時(shí)有正向最大加速度的是乙擺
D　[由題圖可知，兩單擺的周期相同，同一地點(diǎn)重力加速度g相同，由單擺的周期公式T＝2π可知，甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)相等，故A錯(cuò)誤；甲擺的振幅為6 cm，乙擺的振幅為3 cm，則甲擺的振幅是乙擺振幅的2倍，故B錯(cuò)誤；盡管甲擺的振幅比乙擺大，兩擺的擺長(zhǎng)相等，但由于兩擺的擺球質(zhì)量未知，故無法比較機(jī)械能的大小，故C錯(cuò)誤；在t＝1 s 時(shí)，甲擺經(jīng)過平衡位置，振動(dòng)的加速度為零，而乙擺的位移為負(fù)向最大，則乙擺具有正向最大加速度，故D正確.]
8．如圖所示，在傾角為α的光滑斜面頂端固定一擺長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺，單擺在斜面上做小角度擺動(dòng)，擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)的速度為v，擺球質(zhì)量為m，重力加速度為g，則以下判斷正確的是(　　)
A．單擺在斜面上擺動(dòng)的周期為T＝2π
B．?dāng)[球經(jīng)過平衡位置時(shí)受到的回復(fù)力大小為F＝m
C．若小球帶正電，并加一沿斜面向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，則單擺的振動(dòng)周期將增大
D．若小球帶正電，并加一沿斜面向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，則單擺的振動(dòng)周期將減小
D　[單擺在平衡位置時(shí)，等效重力加速度為g′＝g sin α，所以單擺在斜面上擺動(dòng)的周期T＝2π＝2π，故A錯(cuò)誤；回復(fù)力大小與偏離平衡位置位移大小成正比，故擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)受到的回復(fù)力大小為0，故B錯(cuò)誤；若小球帶正電，并加一沿斜面向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，單擺在平衡位置時(shí)，等效重力加速度為g″＝g sin α＋，所以單擺在斜面上擺動(dòng)的周期T′＝2π＝2π，周期減小，故C錯(cuò)誤，D正確.]
9．(多選)將一臺(tái)智能手機(jī)水平粘在秋千的座椅上，使手機(jī)邊緣與座椅邊緣平行(圖甲)，讓秋千以小擺角(小于5°)自由擺動(dòng)，此時(shí)秋千可看作一個(gè)理想的單擺，擺長(zhǎng)為L(zhǎng)．從手機(jī)傳感器中得到了其垂直手機(jī)平面方向的a-t關(guān)系圖如圖乙所示．則以下說法正確的是(　　)
A．忽略空氣阻力，秋千的回復(fù)力由重力和拉力的合力提供
B．當(dāng)秋千擺至最低點(diǎn)時(shí)，秋千對(duì)手機(jī)的支持力大于手機(jī)所受的重力
C．秋千擺動(dòng)的周期為t3－t1
D．該地的重力加速度g＝
BC　[忽略空氣阻力，秋千的回復(fù)力由重力沿單擺運(yùn)動(dòng)切線方向的分力提供，A錯(cuò)誤；在最低點(diǎn)，合力提供向心力，N－mg＝m，秋千對(duì)手機(jī)的支持力N＝mg＋m>mg，故秋千對(duì)手機(jī)的支持力大于手機(jī)所受的重力，B正確；秋千的周期為從最大振幅偏角到另外一最大振幅偏角位置再回到原最大振幅偏角位置所用的時(shí)間，所以兩次經(jīng)過最低點(diǎn)，有兩次向心加速度最大，根據(jù)垂直手機(jī)平面方向的a-t關(guān)系圖，周期為T＝t3－t1，C正確；根據(jù)單擺周期公式T＝2π，又T＝t3－t1，故當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭＝，D錯(cuò)誤.]
10．如圖甲所示，有一懸掛在O點(diǎn)的單擺，將小球(可視為質(zhì)點(diǎn))拉到A點(diǎn)后釋放，小球在同一豎直平面內(nèi)的A、B、C之間來回?cái)[動(dòng)，已知B點(diǎn)為小球運(yùn)動(dòng)中的最低點(diǎn)，A、C兩點(diǎn)為小球運(yùn)動(dòng)中的最高點(diǎn)，擺角為α(α<5°)．在O點(diǎn)接有一力傳感器，圖乙表示從某時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，由力傳感器測(cè)出的細(xì)線對(duì)小球的拉力大小F隨時(shí)間t變化的曲線，由力傳感器測(cè)得最小拉力為F2，圖中F2、t0已知，當(dāng)?shù)刂亓铀俣却笮間，求：
(1)單擺的周期T和擺長(zhǎng)L；
(2)小球的質(zhì)量m；
(3)力傳感器測(cè)出的拉力的最大值F1．
[解析]　(1)由題圖乙可知，單擺周期為T＝2t0
由單擺周期公式T＝2π
解得L＝
(2)小球在A、C點(diǎn)時(shí)拉力最小，則有F2＝mg cos α
解得m＝
(3)小球在平衡位置B點(diǎn)時(shí)拉力最大，根據(jù)牛頓第二定律有F1－mg＝m
小球從A到B過程，由動(dòng)能定理得
mgL(1－cos α)＝mv2
解得F1＝F2.
[答案]　(1)2t0　　(2)　(3)F2
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