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第一節　簡諧運動
[學習目標]　1．知道機械振動和回復力的概念．2．知道彈簧振子的組成和振動情況．理解全振動、振幅、周期、頻率等概念．3．理解振動的平衡位置和位移．4．掌握簡諧運動的回復力、加速度、速度隨位移變化的規律和簡諧運動的能量特征．
知識點一　認識簡諧運動
1．機械振動
物體(或者物體的一部分)在某一中心位置(平衡位置)兩側所做的________．
2．彈簧振子
把一個有孔的小球安裝在彈簧的一端，彈簧的另一端固定，小球和彈簧穿在光滑的水平桿上，使其能在桿上自由滑動，小球和水平桿之間的摩擦可以忽略不計，小球的運動視為____的運動，這樣的系統稱為彈簧振子．
3．回復力
(1)定義：使振子回到________的力．
(2)方向：總是指向________．
(3)作用效果：使振子能返回________．
(4)公式：F＝－____，負號表示回復力的方向跟振子偏離平衡位置的位移方向____．
4．簡諧運動
物體在跟平衡位置的位移大小成____并且總指向________的回復力的作用下的振動．
5．振幅
物體振動時離開平衡位置的____距離．
6．周期
物體完成__________所需要的時間，用T表示．
7．頻率
物體在一段時間內全振動的____與所用時間之比，用f表示．周期和頻率的關系為f＝．
知識點二　簡諧運動的能量特征
對于水平彈簧振子，當振子在最大位移處時，彈簧彈性勢能____，振子動能為__；當振子在平衡位置時，彈簧彈性勢能為__，振子動能____．彈簧振子在振動過程中，機械能____．
1．思考判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．
(1)機械振動是物體在平衡位置附近所做的往復運動． (　　)
(2)彈簧振子是一種理想化的模型． (　　)
(3)簡諧運動的振幅隨時間做周期性變化． (　　)
(4)物體兩次通過平衡位置的時間叫作周期． (　　)
2．(多選)下列關于振動的回復力的說法正確的是(　　)
A．回復力方向總是指向平衡位置
B．回復力是按效果命名的
C．回復力一定是物體受到的合力
D．回復力由彈簧的彈力提供
3．(多選)對彈簧振子，其振動周期指振動物體(　　)
A．從任何一個位置出發又回到這個位置所用的時間
B．從一側最大位移處，運動到另一側最大位移處所用時間
C．從某一位置出發又沿同一運動方向回到這個位置所用時間
D．經歷了四個振幅的路程所用的時間
豎直方向的彈簧振子模型如圖所示，請思考以下問題：
(1)在平衡位置處，彈簧的彈力等于零嗎？
(2)該彈簧振子的回復力是由什么力提供的？
　平衡位置與回復力
1．機械振動的特點
(1)物體在平衡位置附近做往復運動．
(2)機械振動是一種周期性運動．
2．對簡諧運動的平衡位置的認識
(1)從物體受力特點看：物體在平衡位置所受合力不一定為零，而是沿振動方向的合力為零．
(2)從速度角度看：平衡位置是振動中速度最大的位置．
(3)彈簧振子有多種表現形式，對于不同的彈簧振子，在平衡位置處，彈簧不一定處于原長(如豎直放置的彈簧振子)．
3．回復力的理解
(1)簡諧運動的回復力的方向總是指向平衡位置．總與位移的方向相反，效果是使偏離平衡位置的物體返回到平衡位置，是產生振動的條件．
(2)簡諧運動的回復力公式：F＝－kx．
①k是比例系數，不一定是彈簧的勁度系數．其值由振動系統決定，與振幅無關．
②“－”號表示回復力的方向與偏離平衡位置的位移的方向相反．
③“x”：偏離平衡位置的位移．以平衡位置為坐標原點，以振動所在直線為坐標軸，規定正方向，則偏離平衡位置的位移可用該時刻振子所在位置的坐標表示．
(3)回復力是根據力的效果命名的，可能由合力、某個力或某個力的分力提供，它一定等于振動物體在振動方向上所受的合力．
例如：如圖甲所示，水平方向的彈簧振子，彈簧彈力充當回復力；如圖乙所示，豎直方向的彈簧振子，彈簧彈力和重力的合力充當回復力；如圖丙所示，m隨M一起振動，m的回復力由靜摩擦力提供．
【典例1】　如圖所示，對做簡諧運動的彈簧振子M的受力情況分析正確的是(　　)
A．重力、支持力、彈簧的彈力
B．重力、支持力、彈簧的彈力、回復力
C．重力、支持力、回復力、摩擦力
D．重力、支持力、摩擦力、彈簧的彈力
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟進訓練]
1．(多選)關于振動物體的平衡位置，下列說法正確的是(　　)
A．加速度改變方向的位置
B．回復力為零的位置
C．速度最大的位置
D．合外力為零的位置
　簡諧運動的物理量的變化規律
1．簡諧運動中相關量的變化規律
(1)變化規律：當物體做簡諧運動時，它偏離平衡位置的位移x、回復力F、加速度a、速度v、動能Ek、勢能Ep及振動能量E，遵循一定的變化規律，可列表如下：
物理量 x F a v Ek Ep E
遠離平衡 位置運動 增大 增大 增大 減小 減小 增大 不變
最大位移處 最大 最大 最大 零 零 最大 不變
衡 位置運動 減小 減小 減小 增大 增大 減小 不變
平衡位置 零 零 零 最大 最大 最小 不變
(2)兩個轉折點：
①平衡位置是速度大小、位移方向、回復力方向、加速度方向、動量大小、動能大小和勢能大小變化的轉折點．
②最大位移處是速度方向變化的轉折點．
(3)一個守恒：簡諧運動過程中動能和勢能之間相互轉化，但總機械能守恒．
2．簡諧運動的對稱性
如圖所示，物體在A與B間運動，O點為平衡位置，任取關于O點對稱的C、D兩點，則有：
(1)時間的對稱：
①物體來回通過相同兩點間的時間相等，即tDB＝tBD．
②物體經過關于平衡位置O對稱的等長的兩線段間的時間相等，即tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO．
(2)位移、回復力、加速度的對稱：
①物體每次經過同一點(如C點)時，位移、回復力、加速度相同．
②物體經過關于平衡位置O點對稱的兩點(如C與D)時，位移、回復力、加速度大小相等、方向相反．
(3)速度的對稱：
①物體每次經過同一點(如C點)時，速度大小相同，動能相同．
②物體經過關于平衡位置O點對稱的兩點(如C與D)時，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反，但動能一定相同．
【典例2】　如圖所示，一彈簧振子做簡諧運動，下列說法正確的是(　　)
A．若位移為負值，則加速度一定為負值
B．小球通過平衡位置時，速度為零，位移最大
C．小球每次經過平衡位置時，位移相同，速度也一定相同
D．小球每次通過同一位置時，其速度不一定相同，但位移一定相同
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　分析簡諧運動應注意的問題
(1)位移、速度、加速度和回復力都是矢量，它們要相同，必須大小相等、方向相同．
(2)回復力是變力，大小、方向發生變化，加速度也隨之發生變化．
(3)要注意簡諧運動的周期性和對稱性，由此判定振子可能的路徑，從而確定各物理量及其變化情況．
[跟進訓練]
2．(多選)如圖所示，一彈簧振子在一條直線上做簡諧運動，第一次先后經過M、N兩點時速度v(v≠0)相同，那么，下列說法正確的是(　　)
A．振子在M、N兩點所受彈簧彈力相同
B．振子在M、N兩點相對平衡位置的位移大小相等
C．振子在M、N兩點加速度大小相等
D．從M點到N點，振子先做勻加速運動，后做勻減速運動
　振幅、周期和頻率
1．對全振動的理解
(1)振動特征：一個完整的振動過程．
(2)物理量特征：位移、加速度、速度等各物理量第一次同時與初始狀態相同．
(3)時間特征：經一次全振動，振動歷時一個周期．
(4)路程特征：經一次全振動，振子的路程為振幅的4倍．
2．振幅和振動系統的能量關系
對一個確定的振動系統來說，系統能量僅由振幅決定，振幅越大，振動系統能量越大．
3．振幅與路程的關系
振動中的路程是標量，是隨時間不斷增大的，在簡諧運動中常用的定量關系是：
(1)一個周期內的路程為4倍的振幅．
(2)半個周期內的路程為2倍的振幅．
(3)個周期內的路程不一定等于一個振幅．
4．振幅與周期的關系
在簡諧運動中，一個確定的振動系統的周期(或頻率)是固定的，與振幅無關．
【典例3】　如圖所示，彈簧振子在B、C間振動，O為平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子從B到C的運動時間是1 s，則下列說法正確的是(　　)
A．振子從B經O到C完成一次全振動
B．振動周期是1 s，振幅是10 cm
C．經過兩次全振動，振子通過的路程是20 cm
D．從B開始經過3 s，振子通過的路程是30 cm
[思路點撥]　(1)振子從B經O到C的時間為T．
(2)振子的振幅是5 cm，完成一次全振動的路程為振幅的4倍．
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　振幅與路程的關系
振動中的路程是標量，是隨時間不斷增大的．一個周期內的路程為振幅的4倍，半個周期內的路程為振幅的2倍．
(1)若從特殊位置開始計時，如平衡位置、最大位移處，周期內的路程等于振幅．
(2)若從一般位置開始計時，周期內的路程與振幅之間沒有確定關系．
[跟進訓練]
訓練角度1　振幅、周期的理解
3．有一個在光滑水平面內的彈簧振子，第一次用力把彈簧壓縮x后釋放讓它振動，第二次把彈簧壓縮2x后釋放讓它振動，則先后兩次振動的周期之比和振幅之比分別為(　　)
A．1∶1，1∶1 B．1∶1，1∶2
C．1∶4，1∶4 D．1∶2，1∶2
訓練角度2　振動物體的路程
4．一個物體做簡諧運動時，周期是T，振幅是A，那么物體(　　)
A．在任意內通過的路程一定等于A
B．在任意內通過的路程一定等于2A
C．在任意內通過的路程一定等于3A
D．在任意T內通過的路程一定等于2A
1．關于振幅的各種說法中，正確的是(　　)
A．振幅是振子離開平衡位置的最大距離
B．位移是矢量，振幅是標量，位移的大小等于振幅
C．振幅等于振子運動軌跡的長度
D．振幅越大，表示振動越強，周期越長
2．關于簡諧運動，下列說法正確的是(　　)
A．位移的方向總指向平衡位置
B．加速度方向總和位移方向相反
C．位移方向總和速度方向相反
D．速度方向總和位移方向相同
3．如圖所示，彈簧振子在光滑水平桿上A、B之間做簡諧運動，O為平衡位置，A、B為位移最大的兩個位置，下列說法正確的是(　　)
A．小球從A點到O點過程中加速度逐漸增大
B．小球從O點到B點過程中回復力逐漸減小
C．小球在O點的速度最大
D．小球在A點的加速度最小
4．(多選)如圖所示，彈簧振子在光滑水平桿上的MN之間做往復振動，振幅為A，周期為T，O為平衡位置，下列說法正確的是(　　)
A．經過的時間，振子由N可運動至O
B．彈簧振子每經過時間，通過的路程均為A
C．振子由N向O運動過程中，回復力和位移逐漸減小
D．彈簧振子受重力、支持力、彈簧彈力和回復力的作用
5．如圖所示，豎直懸掛的輕彈簧下端系著A、B兩物體，mA＝0.1 kg，mB＝0.5 kg，彈簧的勁度系數k＝40 N/m，剪斷A、B間的細繩后，A做簡諧運動，不計空氣等阻力，彈簧始終沒有超過彈性限度，g取10 m/s2，求：
(1)剪斷細繩瞬間的回復力大小；
(2)振幅．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
回顧本節內容，自主完成以下問題：
1．回復力與合力是一個意思嗎？
2．1/4個周期通過的路程一定是一個振幅嗎？
3．平衡位置是哪些物理量的轉折點？
8 / 9第一節　簡諧運動
[學習目標]　1．知道機械振動和回復力的概念．2．知道彈簧振子的組成和振動情況．理解全振動、振幅、周期、頻率等概念．3．理解振動的平衡位置和位移．4．掌握簡諧運動的回復力、加速度、速度隨位移變化的規律和簡諧運動的能量特征．
知識點一　認識簡諧運動
1．機械振動
物體(或者物體的一部分)在某一中心位置(平衡位置)兩側所做的往復運動．
2．彈簧振子
把一個有孔的小球安裝在彈簧的一端，彈簧的另一端固定，小球和彈簧穿在光滑的水平桿上，使其能在桿上自由滑動，小球和水平桿之間的摩擦可以忽略不計，小球的運動視為質點的運動，這樣的系統稱為彈簧振子．
3．回復力
(1)定義：使振子回到平衡位置的力．
(2)方向：總是指向平衡位置．
(3)作用效果：使振子能返回平衡位置．
(4)公式：F＝－kx，負號表示回復力的方向跟振子偏離平衡位置的位移方向相反．
4．簡諧運動
物體在跟平衡位置的位移大小成正比并且總指向平衡位置的回復力的作用下的振動．
5．振幅
物體振動時離開平衡位置的最大距離．
6．周期
物體完成一次全振動所需要的時間，用T表示．
7．頻率
物體在一段時間內全振動的次數與所用時間之比，用f表示．周期和頻率的關系為f＝．
知識點二　簡諧運動的能量特征
對于水平彈簧振子，當振子在最大位移處時，彈簧彈性勢能最大，振子動能為零；當振子在平衡位置時，彈簧彈性勢能為零，振子動能最大．彈簧振子在振動過程中，機械能守恒．
1．思考判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．
(1)機械振動是物體在平衡位置附近所做的往復運動． (√)
(2)彈簧振子是一種理想化的模型． (√)
(3)簡諧運動的振幅隨時間做周期性變化． (×)
(4)物體兩次通過平衡位置的時間叫作周期． (×)
2．(多選)下列關于振動的回復力的說法正確的是(　　)
A．回復力方向總是指向平衡位置
B．回復力是按效果命名的
C．回復力一定是物體受到的合力
D．回復力由彈簧的彈力提供
AB　[回復力是按效果命名的，是指向平衡位置的使振動物體回到平衡位置的力，可以由某個力或某幾個力的合力提供，也可以由某個力的分力提供，故A、B正確，C錯誤；在水平彈簧振子中，彈簧的彈力提供回復力，但在其他振動中，回復力不一定由彈簧彈力提供，D錯誤.]
3．(多選)對彈簧振子，其振動周期指振動物體(　　)
A．從任何一個位置出發又回到這個位置所用的時間
B．從一側最大位移處，運動到另一側最大位移處所用時間
C．從某一位置出發又沿同一運動方向回到這個位置所用時間
D．經歷了四個振幅的路程所用的時間
CD　[振動周期是振子完成一次全振動所用的時間，C、D正確.]
豎直方向的彈簧振子模型如圖所示，請思考以下問題：
(1)在平衡位置處，彈簧的彈力等于零嗎？
(2)該彈簧振子的回復力是由什么力提供的？
提示：(1)不等于零.
(2)由小球重力和彈簧彈力的合力提供.
　平衡位置與回復力
1．機械振動的特點
(1)物體在平衡位置附近做往復運動．
(2)機械振動是一種周期性運動．
2．對簡諧運動的平衡位置的認識
(1)從物體受力特點看：物體在平衡位置所受合力不一定為零，而是沿振動方向的合力為零．
(2)從速度角度看：平衡位置是振動中速度最大的位置．
(3)彈簧振子有多種表現形式，對于不同的彈簧振子，在平衡位置處，彈簧不一定處于原長(如豎直放置的彈簧振子)．
3．回復力的理解
(1)簡諧運動的回復力的方向總是指向平衡位置．總與位移的方向相反，效果是使偏離平衡位置的物體返回到平衡位置，是產生振動的條件．
(2)簡諧運動的回復力公式：F＝－kx．
①k是比例系數，不一定是彈簧的勁度系數．其值由振動系統決定，與振幅無關．
②“－”號表示回復力的方向與偏離平衡位置的位移的方向相反．
③“x”：偏離平衡位置的位移．以平衡位置為坐標原點，以振動所在直線為坐標軸，規定正方向，則偏離平衡位置的位移可用該時刻振子所在位置的坐標表示．
(3)回復力是根據力的效果命名的，可能由合力、某個力或某個力的分力提供，它一定等于振動物體在振動方向上所受的合力．
例如：如圖甲所示，水平方向的彈簧振子，彈簧彈力充當回復力；如圖乙所示，豎直方向的彈簧振子，彈簧彈力和重力的合力充當回復力；如圖丙所示，m隨M一起振動，m的回復力由靜摩擦力提供．
【典例1】　如圖所示，對做簡諧運動的彈簧振子M的受力情況分析正確的是(　　)
A．重力、支持力、彈簧的彈力
B．重力、支持力、彈簧的彈力、回復力
C．重力、支持力、回復力、摩擦力
D．重力、支持力、摩擦力、彈簧的彈力
A　[彈簧振子的簡諧運動中忽略了摩擦力，故C、D錯誤；回復力為效果力，受力分析時不分析此力，故B錯誤；彈簧振子只受重力、支持力及彈簧給它的彈力，故A正確.]
[跟進訓練]
1．(多選)關于振動物體的平衡位置，下列說法正確的是(　　)
A．加速度改變方向的位置
B．回復力為零的位置
C．速度最大的位置
D．合外力為零的位置
ABC　[振動物體在平衡位置回復力為零，而合外力不一定為零，在該位置加速度改變方向，速度達到最大值，故A、B、C正確，D錯誤.]
　簡諧運動的物理量的變化規律
1．簡諧運動中相關量的變化規律
(1)變化規律：當物體做簡諧運動時，它偏離平衡位置的位移x、回復力F、加速度a、速度v、動能Ek、勢能Ep及振動能量E，遵循一定的變化規律，可列表如下：
物理量 x F a v Ek Ep E
遠離平衡 位置運動 增大 增大 增大 減小 減小 增大 不變
最大位移處 最大 最大 最大 零 零 最大 不變
衡 位置運動 減小 減小 減小 增大 增大 減小 不變
平衡位置 零 零 零 最大 最大 最小 不變
(2)兩個轉折點：
①平衡位置是速度大小、位移方向、回復力方向、加速度方向、動量大小、動能大小和勢能大小變化的轉折點．
②最大位移處是速度方向變化的轉折點．
(3)一個守恒：簡諧運動過程中動能和勢能之間相互轉化，但總機械能守恒．
2．簡諧運動的對稱性
如圖所示，物體在A與B間運動，O點為平衡位置，任取關于O點對稱的C、D兩點，則有：
(1)時間的對稱：
①物體來回通過相同兩點間的時間相等，即tDB＝tBD．
②物體經過關于平衡位置O對稱的等長的兩線段間的時間相等，即tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO．
(2)位移、回復力、加速度的對稱：
①物體每次經過同一點(如C點)時，位移、回復力、加速度相同．
②物體經過關于平衡位置O點對稱的兩點(如C與D)時，位移、回復力、加速度大小相等、方向相反．
(3)速度的對稱：
①物體每次經過同一點(如C點)時，速度大小相同，動能相同．
②物體經過關于平衡位置O點對稱的兩點(如C與D)時，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反，但動能一定相同．
【典例2】　如圖所示，一彈簧振子做簡諧運動，下列說法正確的是(　　)
A．若位移為負值，則加速度一定為負值
B．小球通過平衡位置時，速度為零，位移最大
C．小球每次經過平衡位置時，位移相同，速度也一定相同
D．小球每次通過同一位置時，其速度不一定相同，但位移一定相同
D　[小球受的力指向平衡位置，小球的位移為負值時，受到的力為正值，小球的加速度為正值，A錯誤；當小球通過平衡位置時，位移為零，速度最大，B錯誤；小球每次通過平衡位置時，速度大小相等，方向不一定相同，但位移相同，C錯誤；小球每次通過同一位置時，位移相同，速度大小相等，但速度方向可能相同，也可能不同，D正確.]
　分析簡諧運動應注意的問題
(1)位移、速度、加速度和回復力都是矢量，它們要相同，必須大小相等、方向相同．
(2)回復力是變力，大小、方向發生變化，加速度也隨之發生變化．
(3)要注意簡諧運動的周期性和對稱性，由此判定振子可能的路徑，從而確定各物理量及其變化情況．
[跟進訓練]
2．(多選)如圖所示，一彈簧振子在一條直線上做簡諧運動，第一次先后經過M、N兩點時速度v(v≠0)相同，那么，下列說法正確的是(　　)
A．振子在M、N兩點所受彈簧彈力相同
B．振子在M、N兩點相對平衡位置的位移大小相等
C．振子在M、N兩點加速度大小相等
D．從M點到N點，振子先做勻加速運動，后做勻減速運動
BC　[因位移、速度、加速度和彈力都是矢量，它們要相同必須大小相等、方向相同.M、N兩點關于O點對稱，振子所受彈力應大小相等、方向相反，振子位移也是大小相等，方向相反，由此可知，A錯誤，B正確；振子在M、N兩點的加速度雖然方向相反，但大小相等，C正確；振子由M→O速度越來越大，但加速度越來越小，振子做加速運動，但不是勻加速運動，振子由O―→N速度越來越小，但加速度越來越大，振子做減速運動，但不是勻減速運動，D錯誤.]
　振幅、周期和頻率
1．對全振動的理解
(1)振動特征：一個完整的振動過程．
(2)物理量特征：位移、加速度、速度等各物理量第一次同時與初始狀態相同．
(3)時間特征：經一次全振動，振動歷時一個周期．
(4)路程特征：經一次全振動，振子的路程為振幅的4倍．
2．振幅和振動系統的能量關系
對一個確定的振動系統來說，系統能量僅由振幅決定，振幅越大，振動系統能量越大．
3．振幅與路程的關系
振動中的路程是標量，是隨時間不斷增大的，在簡諧運動中常用的定量關系是：
(1)一個周期內的路程為4倍的振幅．
(2)半個周期內的路程為2倍的振幅．
(3)個周期內的路程不一定等于一個振幅．
4．振幅與周期的關系
在簡諧運動中，一個確定的振動系統的周期(或頻率)是固定的，與振幅無關．
【典例3】　如圖所示，彈簧振子在B、C間振動，O為平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子從B到C的運動時間是1 s，則下列說法正確的是(　　)
A．振子從B經O到C完成一次全振動
B．振動周期是1 s，振幅是10 cm
C．經過兩次全振動，振子通過的路程是20 cm
D．從B開始經過3 s，振子通過的路程是30 cm
[思路點撥]　(1)振子從B經O到C的時間為T．
(2)振子的振幅是5 cm，完成一次全振動的路程為振幅的4倍．
D　[振子從B→O→C僅完成了半次全振動，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm.彈簧振子在一次全振動過程中通過的路程為4A＝20 cm，所以兩次全振動中通過的路程為40 cm，3 s＝1.5T，所以振子3 s內通過的路程為30 cm.故D正確，A、B、C錯誤.]
　振幅與路程的關系
振動中的路程是標量，是隨時間不斷增大的．一個周期內的路程為振幅的4倍，半個周期內的路程為振幅的2倍．
(1)若從特殊位置開始計時，如平衡位置、最大位移處，周期內的路程等于振幅．
(2)若從一般位置開始計時，周期內的路程與振幅之間沒有確定關系．
[跟進訓練]
訓練角度1　振幅、周期的理解
3．有一個在光滑水平面內的彈簧振子，第一次用力把彈簧壓縮x后釋放讓它振動，第二次把彈簧壓縮2x后釋放讓它振動，則先后兩次振動的周期之比和振幅之比分別為(　　)
A．1∶1，1∶1 B．1∶1，1∶2
C．1∶4，1∶4 D．1∶2，1∶2
B　[彈簧的壓縮量即為振子振動過程中偏離平衡位置的最大距離，即振幅，故振幅之比為1∶2.而對同一振動系統，其周期由振動系統自身的性質決定，與振幅無關，故周期之比為1∶1.]
訓練角度2　振動物體的路程
4．一個物體做簡諧運動時，周期是T，振幅是A，那么物體(　　)
A．在任意內通過的路程一定等于A
B．在任意內通過的路程一定等于2A
C．在任意內通過的路程一定等于3A
D．在任意T內通過的路程一定等于2A
B　[物體做簡諧運動，是變加速運動，在任意內通過的路程不一定等于A，故A錯誤；物體做簡諧運動，在任意內通過的路程一定等于2A，故B正確；物體做簡諧運動，在任意內通過的路程不一定等于3A，故C錯誤；物體做簡諧運動，在一個周期內完成一次全振動，位移為零，路程為4A，故D錯誤.]
1．關于振幅的各種說法中，正確的是(　　)
A．振幅是振子離開平衡位置的最大距離
B．位移是矢量，振幅是標量，位移的大小等于振幅
C．振幅等于振子運動軌跡的長度
D．振幅越大，表示振動越強，周期越長
A　[振幅是振子離開平衡位置的最大距離，是標量，在簡諧運動中大小不變，而位移是變化的，故A正確，B、C錯誤；振幅越大，振動越強，但與周期無關，故D錯誤.]
2．關于簡諧運動，下列說法正確的是(　　)
A．位移的方向總指向平衡位置
B．加速度方向總和位移方向相反
C．位移方向總和速度方向相反
D．速度方向總和位移方向相同
B　[簡諧運動過程中任一時刻的位移都是背離平衡位置的，故A錯誤；振子的加速度總是指向平衡位置的，而位移總是背離平衡位置的，故B正確；振子在平衡位置兩側往復運動，速度方向與位移方向有時相同，有時相反，故C、D錯誤.]
3．如圖所示，彈簧振子在光滑水平桿上A、B之間做簡諧運動，O為平衡位置，A、B為位移最大的兩個位置，下列說法正確的是(　　)
A．小球從A點到O點過程中加速度逐漸增大
B．小球從O點到B點過程中回復力逐漸減小
C．小球在O點的速度最大
D．小球在A點的加速度最小
C　[小球從A點到O點過程中，逐漸衡位置，回復力越來越小，加速度逐漸減小，故A錯誤；小球從O點到B點過程中，逐漸遠離平衡位置，回復力越來越大，故B錯誤；O為平衡位置，可知小球在O點的速度最大，故C正確；小球在最大位移處時的回復力最大，加速度最大，故小球在A點的加速度最大，故D錯誤.]
4．(多選)如圖所示，彈簧振子在光滑水平桿上的MN之間做往復振動，振幅為A，周期為T，O為平衡位置，下列說法正確的是(　　)
A．經過的時間，振子由N可運動至O
B．彈簧振子每經過時間，通過的路程均為A
C．振子由N向O運動過程中，回復力和位移逐漸減小
D．彈簧振子受重力、支持力、彈簧彈力和回復力的作用
AC　[由簡諧運動的規律可知，經過的時間，振子由N可運動至O，A正確；彈簧振子若從M、O、N特殊位置算起，每經過時間，通過的路程均為A，若從其他位置算起，每經過時間，通過的路程可能大于A，也可能小于A，B錯誤；振子由N向O運動過程中，位移逐漸減小，回復力也逐漸減小，C正確；彈簧振子受重力、支持力、彈簧彈力作用，其中彈簧的彈力作為回復力，D錯誤.]
5．如圖所示，豎直懸掛的輕彈簧下端系著A、B兩物體，mA＝0.1 kg，mB＝0.5 kg，彈簧的勁度系數k＝40 N/m，剪斷A、B間的細繩后，A做簡諧運動，不計空氣等阻力，彈簧始終沒有超過彈性限度，g取10 m/s2，求：
(1)剪斷細繩瞬間的回復力大小；
(2)振幅．
[解析]　(1)剪斷細繩的瞬間，A做簡諧運動的回復力為
F回＝F彈－GA＝GA＋GB－GA＝GB＝mBg＝5 N.
(2)由題意可得剪斷細繩瞬間彈簧的形變量為
L1＝＝＝＝0.15 m
A處于平衡位置時，彈簧的形變量為
L2＝＝＝0.025 m
根據簡諧運動的特點，則A做簡諧運動的振幅為
A＝L1－L2＝0.125 m.
[答案]　(1)5 N　(2)0.125 m
回顧本節內容，自主完成以下問題：
1．回復力與合力是一個意思嗎？
提示：回復力是按效果命名的，可以是合力也可以是某個分力，跟合力是兩回事.
2．1/4個周期通過的路程一定是一個振幅嗎？
提示：不一定，只有從特殊位置開始計時，1/4個周期通過的路程才等于一個振幅.
3．平衡位置是哪些物理量的轉折點？
提示：速度大小、位移方向、加速度方向、回復力方向、動量大小、動能大小和勢能大小.
課時分層作業(四)　簡諧運動
?考點一　平衡位置與回復力
1．(多選)關于機械振動的位移和平衡位置，以下說法正確的是(　　)
A．平衡位置就是物體所受回復力為零的位置
B．機械振動的位移是以平衡位置為起點的位移
C．做機械振動的物體運動的路程越大，發生的位移也越大
D．機械振動的位移是指振動物體偏離平衡位置最遠時的位移
AB　[平衡位置是振動物體所受回復力為零的位置，A正確；為了描述機械振動的質點的位置隨時間的變化規律，人們總是把機械振動位移的起點定在平衡位置上，B正確；物體無論運動了多少路程，只要它回到了平衡位置，則其總位移為零，可見位移的大小和路程之間不一定有對應關系，C、D錯誤.]
2．如圖所示，彈簧下端懸掛一鋼球，上端固定組成一個振動系統，用手把鋼球向上托起一段距離，然后釋放，下列說法正確的是(　　)
A．鋼球運動的最高處為平衡位置
B．鋼球運動的最低處為平衡位置
C．鋼球速度為零處為平衡位置
D．鋼球原來靜止時的位置為平衡位置
D　[鋼球振動的平衡位置應在鋼球重力與彈簧彈力相等的位置，即鋼球原來靜止時的位置，故D正確.]
3．(多選)如圖所示，物體A與滑塊B一起在光滑水平面上做簡諧運動，A、B之間無相對滑動，已知水平輕質彈簧的勁度系數為k，A、B的質量分別為m和M，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g，則下列說法正確的是(　　)
A．物體A的回復力是由滑塊B對物體A的摩擦力提供的
B．滑塊B的回復力是由彈簧的彈力提供的
C．物體A與滑塊B(整體看成一個振子)的回復力大小跟位移大小之比為k
D．若A、B之間的動摩擦因數為μ，則A、B間無相對滑動的最大振幅為
ACD　[物體A做簡諧運動時，回復力是由滑塊B對物體A的摩擦力提供的，故A正確；滑塊B做簡諧運動的回復力是由彈簧的彈力和A對B的靜摩擦力的合力提供的，故B錯誤；物體A與滑塊B(整體看成一個振子)的回復力滿足F＝－kx，則回復力大小跟位移大小之比為k，故C正確；當A、B之間的摩擦力達到最大靜摩擦力時，其振幅最大，設為A′，以整體為研究對象有，kA′＝(M＋m)a，以物體A為研究對象，由牛頓第二定律得μmg＝ma，聯立解得A′＝，故D正確.]
?考點二　彈簧振子的振動
4．如圖所示為一彈簧振子，O為平衡位置，以向右為正方向，則振子在B、C之間振動時(　　)
A．B→O位移為負、速度為正
B．O→C位移為正、速度為負
C．C→O位移為負、速度為正
D．O→B位移為正、速度為負
A　[速度方向即振子運動方向，則B→O位移向左為負，速度向右為正，A正確；O→C位移向右為正，速度向右為正，B錯誤；C→O位移向右為正，速度向左為負，C錯誤；O→B位移向左為負，速度向左為負，D錯誤.]
5．一個彈簧振子在M、N之間做簡諧運動．O為平衡位置，P、Q是振動過程中關于O點對稱的兩個位置，下列說法正確的是(　　)
A．振子在從M點向N點運動過程中，動能先減小后增大
B．振子在OP間與OQ間的運動時間相等
C．振子運動到P、Q兩點時，位移相同
D．振子在從M點向N點運動過程中，加速度先增大后減小
B　[振子在從M點向N點運動過程中，動能先增大后減小，A錯誤；由對稱性可知，振子在OP間與OQ間的運動時間相等，B正確；由對稱性可知，振子運動到P、Q兩點時，位移等大反向，C錯誤；振子在從M點向N點運動過程中，加速度先減小后增大，D錯誤.]
6．如圖所示，輕質彈簧一端固定在地面上，另一端與一薄板連接，薄板的質量不計，板上放一重物．用手將重物往下壓，然后突然將手撤去，則重物被彈離之前的運動情況是(　　)
A．加速度一直增大　　　 B．加速度一直減小
C．加速度先減小后增大 D．加速度先增大后減小
C　[豎直方向的彈簧振子的振動也是簡諧運動，但它的平衡位置在重力與彈力相等的位置，此位置加速度為零.因此放手后，它的加速度是先減小，到達平衡位置以后再增大，故選C.]
?考點三　振幅、周期和頻率
7．如圖所示，O點為彈簧振子的平衡位置，小球在B、C間做無摩擦的往復運動．若小球從C點第一次運動到O點歷時0.1 s，則小球振動的周期為(　　)
A．0.1 s　　B．0.2 s　　C．0.3 s　　D．0.4 s
D　[振子從C點第一次運動到O點的時間為0.1 s，對應的時間為一個周期的，故該彈簧振子的周期為0.4 s，D正確.]
8．如圖所示，水平彈簧振子在A、B兩點之間做簡諧運動，平衡位置為O點，C、D兩點分別為OA、OB的中點．下列說法正確的是(　　)
A．振子從A點運動到C點的時間等于周期的
B．從O點到B點的過程中，振子的動能轉化為彈簧的彈性勢能
C．在C點和D點，振子的速度相同
D．從C點開始計時，振子再次回到C點完成一次全振動
B　[振子從A點運動到O點的時間等于周期的，因振子從A到C的時間大于從C到O的時間，可知振子從A點運動到C點的時間大于周期的，選項A錯誤；從O點到B點的過程中，振子速度減小，動能減小，彈性勢能增加，即振子的動能轉化為彈簧的彈性勢能，選項B正確；在C點和D點，振子的速度大小相等，方向不一定相同，選項C錯誤；從C點開始計時，振子回到C點兩次才是完成一次全振動，選項D錯誤.]
9．(多選)彈簧振子在AOB之間做簡諧運動，如圖所示，O為平衡位置，測得AB間距為8 cm，完成30次全振動所用時間為60 s．則(　　)
A．振動周期是2 s，振幅是8 cm
B．振動頻率是2 Hz
C．振子完成一次全振動通過的路程是16 cm
D．振子過O點時計時，3 s內通過的路程為24 cm
CD　[A、B之間的距離為8 cm，則振幅是4 cm，A錯誤；T＝2 s，f＝0.5 Hz，B錯誤；振子完成一次全振動通過的路程是4A，即16 cm，3 s內運動了1.5個周期，故總路程為24 cm，C、D正確.]
10．(多選)彈簧振子在做簡諧運動的過程中，下列說法正確的是(　　)
A．在平衡位置時它的機械能最大
B．在最大位移處時它的彈性勢能最大
C．從平衡位置向最大位移處運動時，它的動能減小
D．在振動過程中，系統的機械能守恒
BCD　[彈簧振子在振動的過程中機械能守恒，彈性勢能和動能相互轉化，由最大位移處向平衡位置運動時，彈性勢能轉化成動能，在最大位移處，彈簧的彈性勢能最大，在平衡位置時動能最大，在振動過程中系統的機械能守恒，故A錯誤，B、C、D正確.]
11．如圖所示為一款玩具“彈簧小人”，由頭部、彈簧及底部組成，彈簧質量不計．開始彈簧小人靜止于桌面上，現輕壓頭部后由靜止釋放，小人開始上下振動，頭部上升至最高點時，底部不離開桌面，不計阻力，該過程可近似為簡諧運動，下列判斷正確的是(　　)
A．頭部上升的時間比下降的時間短
B．頭部上升過程速度先變大再變小
C．頭部上升過程中所受合力越來越小
D．頭部處于平衡位置時彈簧彈性勢能最小
B　[因頭部上下振動可近似為簡諧運動，可知頭部上升的時間等于下降的時間，選項A錯誤；根據簡諧運動的規律可知，頭部上升過程速度先變大再變小，選項B正確；頭部上升過程中加速度先減小后增大，則所受合力先減小后增大，選項C錯誤；頭部處于平衡位置時，彈簧形變量不為零，且該位置彈簧形變量不是最小的，則此時彈簧彈性勢能不是最小，選項D錯誤.]
12．如圖所示，一個傾斜的彈簧振子從A點釋放，O點為振動的平衡位置，振子在A、B兩點之間做簡諧運動．不計一切摩擦，下列說法正確的是(　　)
A．整個過程中振子的機械能守恒
B．在振子運動的過程中，由彈簧彈力充當回復力
C．彈簧振子在B點的彈性勢能一定比在A點的彈性勢能大
D．從A向B運動的過程中，振子的速度和加速度方向始終相同
C　[整個過程中振子以及彈簧組成的系統只有重力和彈力做功，則系統的機械能守恒，選項A錯誤；在振子運動的過程中，由彈簧彈力與重力的分力mg sin θ的合力充當回復力，選項B錯誤；彈簧振子在振動過程中，系統的機械能的總量不變，在A、B兩點的動能均為零，且在B點時重力勢能比A點小，則在B點的彈性勢能一定比在A點的彈性勢能大，選項C正確；從A到O做加速運動，速度和加速度方向相同，從O向B運動的過程中，振子的速度減小，則速度和加速度方向相反，選項D錯誤.故選C.]
13．如圖所示，勁度系數為k的彈簧上端固定在天花板上，下端掛一質量為m的小球，小球靜止后，再向下將彈簧拉長x，然后放手，小球開始振動．
(1)請證明小球的振動為簡諧運動．
(2)求小球運動到最高點的加速度．
[解析]　(1)取豎直向下為正方向，當小球到達平衡位置時，彈簧伸長了x0，
則有mg＝kx0
當小球向下偏離平衡位置x時有
F回＝mg－k(x0＋x)
解得F回＝－kx
故小球的振動為簡諧運動.
(2)由簡諧運動的對稱性得，小球在最高點和最低點的加速度大小相等，方向相反.在最低點時，對小球受力分析，由牛頓第二定律得mg－k(x0＋x)＝ma
解得小球運動到最低點時的加速度大小為，故小球運動到最高點時的加速度大小也為，方向豎直向下.
[答案]　(1)見解析　(2)，方向豎直向下
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