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現代文閱讀Ⅰ
把握共性之“新”　打通應考之“脈”
第二章　機械振動
第四節　用單擺測量重力加速度
[實驗目標]　1．會根據單擺周期公式確定實驗思路．2．會使用刻度尺測量擺長，會使用秒表測量單擺的周期．3．能設計實驗方案，會正確安裝實驗裝置并進行實驗操作．4．能正確處理數據并能從多個角度進行實驗誤差分析．
必備知識·自主預習儲備
一、實驗器材
長約1 m的細線、球心開有小孔的金屬小球、帶有鐵夾的鐵架臺、長約1 m的毫米刻度尺、秒表、游標卡尺．
二、實驗原理與設計
單擺做簡諧運動時，由周期公式T＝2π，可得g＝．因此，測出單擺擺長和振動周期，便可計算出當地的重力加速度．
用秒表測量30～50次全振動的時間，計算平均做一次全振動的時間，得到的便是振動周期．
三、實驗步驟
1．讓細線穿過小球上的小孔，在細線的一端打一個稍大一些的結，制成一個單擺．
2．將鐵夾固定在鐵架臺上端，鐵架臺放在實
驗桌邊，把單擺上端固定在鐵夾上，使擺球
自由下垂，并在單擺平衡位置處做上標記，如
圖所示．
3．用刻度尺測擺線長度L0(精確到1 mm)，用游標卡尺測小球的直徑d．測量多次，取平均值，計算擺長L＝L0＋．
4．將小球從平衡位置拉至一個偏角小于5°的位置并由靜止釋放，使其在豎直面內振動．待振動穩定后，從小球經過平衡位置時開始用秒表計時，測量N次全振動的時間t(注意N以30～50次最佳)，則周期T＝．如此重復多次，取平均值．
5．改變擺長，重復實驗多次，將數據填入表格．
6．將每次實驗得到的L、T代入g＝計算重力加速度，取平均值，即為測得的當地重力加速度．
四、數據處理
1．平均值法：每改變一次擺長，將相應的L和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值．設計如表所示實驗表格．
實驗次數 擺長L/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s-2) g的平均值
1 g＝
2
3
2．圖像法：由T＝2π得T2＝L，作出T2-L圖像，即以T2為縱軸，以L為橫軸，其斜率k＝．由圖像的斜率即可求出重力加速度g．
五、注意事項
1．選擇材料時應選擇細而不易伸長的線，比如用單根尼龍絲、絲線等，長度一般不應短于1 m，小球應選用密度較大的金屬球，直徑最好不超過2 cm．
2．單擺懸線的上端不可隨意卷在鐵夾的桿上，應夾緊在鐵夾中，以免擺動時擺線下滑、擺長改變．
3．注意擺動時控制擺線偏離豎直方向不超過5°．
4．擺球擺動時，要使之保持在同一個豎直平面內，不要形成圓錐擺．
5．計算單擺的振動次數時，應以擺球通過最低點時開始計時，以后擺球應從同一方向通過最低點時計數，要多測幾次全振動的時間，用取平均值的辦法求周期．
六、誤差分析
1．本實驗的系統誤差主要來源于單擺模型本身是否符合要求，即：懸點是否固定，是單擺還是復擺，球、線是否符合要求，振動是圓錐擺還是同一豎直平面內的振動，以及測量哪段長度作為擺長等．
2．本實驗的偶然誤差主要來自時間(單擺周期)的測量．因此，要注意測準時間(周期)，要從擺球通過平衡位置開始計時，最好采用倒數計時計數的方法，不能多記或漏記振動次數．為了減小偶然誤差，應進行多次測量后取平均值．時間的測量中，秒表讀數的有效數字的末位在“秒”的十分位即可．
關鍵能力·情境探究達成
【典例1】　物理實驗社團的某小組同學在實驗室用單擺測量重力加速度．
(1)圖中有關器材的選擇和安裝最合理的是______．
A　　　　　　 B
C　　　　 　　 D
√
(2)該同學在實驗過程中有如下操作，請判斷是否恰當(選填“是”或“否”)．
①把單擺從平衡位置拉開約5°釋放． (　　)
②在擺球經過最低點時啟動秒表計時． (　　)
③把秒表記錄擺球一次全振動的時間作為周期 (　　)
是
是
否
(3)該同學改進測量方法后，得到的部分測量數據見表．用螺旋測微器測量其中一個擺球直徑的示數如圖，該球的直徑為___________________________ mm．根據表中數據可以初步判斷單擺周期隨________的增大而增大．
20.685(20.683～20.687均可)
擺長
數據組編號 擺長/mm 擺球質量/g 周期/s
1 999.3 32.2 2.0
2 999.3 16.5 2.0
3 799.2 32.2 1.8
4 799.2 16.5 1.8
5 501.1 32.2 1.4
6 501.1 16.5 1.4
[解析]　 為了減小空氣阻力對小球的影響，小球應選擇小鐵球；小球擺動過程中，應保證擺長保持不變，故懸點處應固定不動，所以應用鐵夾固定細線的懸點，且細線選擇彈性小的細絲線.單擺做簡諧運動要求擺角小，單擺從平衡位置拉開約5°釋放滿足此條件；因為最低點位置固定、容易觀察，所以在擺球經過最低點時啟動秒表計時；擺球一次全振動的時間太短，不易讀準，誤差大，應測多個周期的時間求平均值.螺旋測微器的讀數為20.5 mm＋18.5×0.01 mm＝20.685 mm.由表中數據可以初步判斷單擺周期隨擺長的增大而增大．
【典例2】　在做“用單擺測量重力加速度”的實驗時，用擺長L和周期T計算重力加速度的公式是g＝________．若已知擺球直徑為2.00 cm，讓刻度尺的零點對準擺線的懸點，擺線豎直下垂，如圖甲所示，則單擺擺長是________m．若測定了40次全振動的時間為75.2 s，則單擺擺動周期是________．
為了提高測量精度，需多次改變L值，并測得相應的T值．現將測得的六組數據標示在以L為橫坐標、以T2為縱坐標的坐標系上，即圖乙中用“·”表示的點，則：
0.875 0
1.88 s
(1)單擺做簡諧運動應滿足的條件是________________．
(2)試根據圖乙中給出的數據點作出T2和L的關系圖線，根據圖線可求出g＝________________________m/s2(結果保留兩位有效數字)．
擺角小于5°
見解析圖
9.8 m/s2(9.7～9.9 m/s2均可)
[解析]　由T＝2π，可知g＝
由題圖甲可知
擺長L＝(88.50－1.00)cm＝87.50 cm＝0.875 0 m．
T＝＝1.88 s．
(1)單擺做簡諧運動的條件是擺角小于5°．
(2)把在一條直線上的點連在一起，誤差較大的點平均分布在直線的兩側，如圖所示，則直線斜率k＝由g＝＝，可得g≈
9.8 m/s2(9.7～9.9 m/s2均可)．
【典例3】　甲、乙兩個學習小組分別利用單擺測量重力加速度．
(1)甲組同學采用如圖甲所示的實驗裝置．
①為比較準確地測量出當地重力加速度的數值，除秒表外，在下列器材中，還應該選用________．(用器材前的字母表示)
a．長度接近1 m的細繩
b．長度為30 cm左右的細繩
c．直徑為1.8 cm的塑料球
d．直徑為1.8 cm的鐵球
e．最小刻度為1 cm的米尺
f．最小刻度為1 mm的米尺
adf
②該組同學先測出懸點到小球球心的距離L，然后用秒表測出單擺完成n次全振動所用的時間t．請寫出重力加速度的表達式g＝____________．(用所測物理量表示)
③在測量擺長后，測量周期時，擺球振動過程中懸點O處擺線的固定出現松動，擺長略微變長，這將會導致所測重力加速度的數值________(選填“偏大”“偏小”或“不變”)．
偏小
(2)乙組同學在圖甲所示裝置的基礎上再增加一個速度傳感器，如圖乙所示．將擺球拉開一小角度使其做簡諧運動，速度傳感器記錄了擺球振動過程中速度隨時間變化的關系，v-t 圖線如圖丙所示．
①由圖丙可知，該單擺的周期T＝______s．
②更換擺線長度后，多次測量，根據實驗數據，利用計算機作出T2-L圖線，并根據圖線擬合得到方程T2＝4.04L(s2)．由此可以得出當地的重力加速度g＝__________m/s2 (取π2＝9.86，結果保留三位有效數字)．
2.0
9.76
[解析]　(1)①根據T＝2π得g＝，知需要測量擺長，即擺線長和小球的直徑，擺線應選1 m左右的不可伸長的線，小球應選用質量大、體積小的金屬球，測量擺線長的米尺的最小刻度應為1 mm，故選a、d、f．
②因為T＝，則g＝＝
③擺長略微變長，則擺長的測量值偏小，則導致測得的重力加速度偏小．
(2)①由v-t圖線可知，單擺的周期T＝2.0 s．
②由T＝2π，得T2＝L
即T2-L圖線的斜率k＝＝4.04 s2/m
解得g≈9.76 m/s2．
學習效果·隨堂評估自測
1．某同學在做“利用單擺測重力加速度”的實驗．某次用刻度尺測得擺線長為 67.80 cm．用游標卡尺測得小球直徑的讀數如圖甲所示，則小球直徑為________cm；重復實驗幾次，改變擺線的長度L，用秒表測出相應的周期T，再以L為橫坐標、T2為縱坐標作圖，對應的圖像應為圖乙中的直線________(選填“1”“2”或“3”)．若已知直線的斜率為k，請寫出重力加速度g的表達式___________．
1.640
1
g＝
[解析]　根據游標卡尺的讀數規律，直徑為1.6 cm＋0.05×8 mm＝1.640 cm；
根據單擺周期公式T＝2π
解得T2＝L＋
可知，圖像應為題圖乙中的直線“1”；
可知斜率k＝
解得g＝
2．小明利用如圖甲所示的單擺測量當地的重力加速度．
(1)下列說法正確的是________．
A．擺線要選擇適當細些、長些、彈性小些的細線
B．質量大、體積小的擺球可以減小空氣阻力帶來的影響
C．單擺偏離平衡位置的角度越大越好
D．為了減小誤差，擺球應從最高點開始計時
AB
(2)為了更精確測量擺長，小明用10分度的游標卡尺測量擺球直徑，如圖乙所示，擺球直徑為______ mm．利用刻度尺測得擺線長為97.10 cm，則該單擺的擺長l＝______ cm．若他用秒表記錄下單擺50次全振動所用的時間，由圖丙可知該次實驗中50次全振動所用時間為________ s．
20.6
98.13
99.7
[解析]　(1)為了減小實驗誤差，擺線選擇細些的、彈性小的、并且適當長一些，擺球選擇質量大、體積小的，可以減小空氣阻力帶來的影響，故A、B正確；為了減小實驗誤差，保證擺球盡量做簡諧運動，擺角小于5度，故C錯誤；為了減小測量誤差，測量周期時應從擺球經過最低位置時開始計時，故D錯誤.故選AB．
(2)擺球直徑d＝20 mm＋6×0.1 mm＝20.6 mm
該單擺的擺長l＝97.10 cm＋ mm＝98.13 cm
該次實驗中50次全振動所用時間為t＝1 min＋39.7 s＝99.7 s．
3．一學生小組做“用單擺測量重力加速度的大小”的實驗．
(1)用實驗室提供的螺旋測微器測量擺球直徑．首先，調節螺旋測微器，擰動微調旋鈕使測微螺桿和測砧相觸時，發現固定刻度的橫線與可動刻度上的零刻度線未對齊，如圖甲所示，該示數為______________________ mm；螺旋測微器在夾有擺球時示數如圖乙所示，該示數為___________________________ mm，則擺球的直徑為___________________________ mm．
0.007(0.006～0.008均可)
20.034(20.032～20.035均可)
20.027(20.024～20.029均可)
(2)單擺實驗的裝置示意圖如圖丙所示，其中角度盤需要固定在桿上的確定點O處，擺線在角度盤上所指的示數為擺角的大小．若將角度盤固定在O點上方，則擺線在角度盤上所指的示數為5°時，實際擺角________(選填“大于”或“小于”)5°．
大于
(3)某次實驗所用單擺的擺線長度為81.50 cm，則擺長為_____ cm．
實驗中觀測到從擺球第1次經過最低點到第61次經過最低點的時間間隔為 54.60 s, 則此單擺周期為________ s, 該小組測得的重力加速度大小為________ m/s2(結果均保留三位有效數字，π2取9.870)．
82.5
1.82
9.83
[解析]　(1)測量前測微螺桿和測砧相觸時，題圖甲的示數d0＝0＋0.7×0.01 mm＝0.007 mm
螺旋測微器讀數是固定刻度讀數(0.5 mm的整數倍)加可動刻度
(0.5 mm以下的小數)讀數，題圖乙中讀數d1＝20 mm＋3.4×0.01 mm＝20.034 mm
則擺球的直徑d＝d1－d0＝20.027 mm．
(2)角度盤的大小一定，即在規定的位置安裝角度盤，測量的擺角準確，但將角度盤固定在規定位置上方，即角度盤到懸掛點的距離變短，同樣的角度，擺線在刻度盤上掃過的弧長變短，故擺線在角度盤上所指的示數為5°時，實際擺角大于5°．
(3)單擺的擺線長度為81.50 cm，則擺長為l＝l0＋＝81.50 cm＋ cm≈82.5 cm
一次全振動單擺經過最低點兩次，故此單擺的周期為T＝＝ s＝1.82 s
由單擺的周期表達式T＝2π得，重力加速度g＝≈9.83 m/s2．
4．“用單擺測量重力加速度”的實驗裝置如圖所示，回答下列小題．
(1)組裝單擺時，應在下列器材中選用___________．
A．長度為1 m左右的細線
B．長度為30 cm左右的細線
C．直徑為1.8 cm的塑料球
D．直徑為1.8 cm的鐵球
(2)測出懸點O到小球球心的距離(擺長)L及單擺完成n次全振動所用
的時間t，則重力加速度g＝____________(用L、n、t表示)．
AD
(3)下表是某同學記錄的3組實驗數據，并做了部分計算處理．
組次 1 2 3
擺長L/cm 80.00 90.00 100.00
50次全振動時間t/s 90.0 95.5 100.5
振動周期T/s 1.80 1.91
重力加速度g/m·s-2 9.74 9.73
請計算出第3組實驗中的T＝________ s，g＝________ m/s2．
2.01
9.77
(4)用多組實驗數據作出T2-L圖像，也可以求出重力加速度g．已知三位同學作出的T2-L圖線的示意圖如圖中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都過原點，圖線b對應的g值最接近當地重力加速度的值．則相對于圖線b，下列分析正確的是________．
A．出現圖線a的原因可能是測量相同的周期時，誤將懸點到小球下端的距離記為擺長L
B．圖線a對應的g值等于圖線b對應的g值
C．出現圖線c的原因可能是誤將49次全振動記為50次
D．圖線c對應的g值小于圖線b對應的g值
√
√
[解析]　(1)組裝單擺時，應選用1 m左右的細線，擺球應選擇體積小、密度大的球，故A、D正確.故選AD．
(2)單擺的振動周期T＝
根據單擺的周期公式T＝2π
解得g＝＝
(3)根據公式T＝，解得T＝2.01 s
g＝≈9.77 m/s2．
(4)由題圖可知，圖線a中當L為零時，T不為零，原因是測量擺長偏小，可能是將懸點到小球上端的距離記為擺長，故A錯誤；圖線a的實際擺長為L′＝L＋Δx，根據單擺的周期公式T＝2π，可得T2＝L＋，所以圖線a的斜率等于圖線b的斜率，圖線a對應的g值等于圖線b對應的g值，故B正確；由k＝得g＝，可知當k變
小，重力加速度g變大，因此圖線c對應的g值大于圖線b對應的g值，故D錯誤；若實驗中誤將49次全振動記為50次，則周期的測量值偏小，導致重力加速度的測量值偏大，圖線的斜率k偏小，故C正確.故選BC．
5．在“用單擺測量重力加速度”的實驗中：
(1)若完成n次全振動的時間為t，用毫米刻度尺測得的擺線長(懸點到擺球上端的距離)為L0，用刻度尺測得擺球的直徑為d，用上述物理
量的符號寫出測重力加速度的一般表達式g＝________________．
(2)實驗中某同學發現測得的重力加速度的值總是偏大，下列原因中可能的是________．
A．實驗室處在高山上，距離海面太高
B．單擺所用的擺球質量太大了
C．實際測出n次全振動的時間t，誤作為(n＋1)次全振動的時間
D．以線長作為擺長來計算
C
(3)甲同學測量出幾組不同的擺長L和周期T的數值，畫出如圖甲所示T 2-L圖像中的實線OM；乙同學也進行了與甲同學同樣的實驗，但實驗后他發現測量擺長時忘了加上擺球的半徑，則該同學作出的T2-L圖線為________(選填“①”“②”“③”或“④”)．
(4)丙同學將單擺固定在力傳感器上，得到了拉力隨時間的變化曲線，已知擺長L1＝0.99 m，根據圖丙中的信息可得，重力加速度g＝________ m/s2(取π2＝9.87，結果保留三位有效數字)．
②
9.77
[解析]　(1)根據T＝2π
可得g＝＝＝
(2)測得的重力加速度偏大，根據g＝，實驗室處在高山上，距離海面太高，則重力加速度會偏小，A錯誤；單擺所用的擺球質量大小與周期無關，B錯誤；實際測出n次全振動的時間t，誤作為(n＋1)次全振動的時間，則周期測量值偏小，計算出的重力加速度偏大，C正確；以擺線長作為擺長來計算，則擺長計算偏小，測得的重力加速度偏小，D錯誤.故選C．
(3)根據單擺的周期公式T＝2π
可得T2＝L
T2-L圖線斜率k＝
解得g＝
實驗后乙同學發現測量擺長時忘了加上擺球的半徑，擺長L＝0時，縱軸截距不為零，加上擺球半徑后圖線應該到正確位置，由于重力加速度不變，則圖線的斜率不變，故圖線應該為②．
(4)由題圖丙可知，單擺的周期為T＝2 s，
則根據T＝2π
可得g＝＝ m/s2≈9.77 m/s2．
謝 謝！

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