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現代文閱讀Ⅰ
把握共性之“新”　打通應考之“脈”
第三章　機械波
素養提升課(二)　波的圖像與波的多解問題
[學習目標]　1．進一步理解波的形成、波的描述．2．能正確的分析波動，并能將波動和振動有效的聯系起來．3．會解決波的多解問題．
比較項目 振動圖像 波的圖像
圖像
關鍵能力·情境探究達成
考點1　振動圖像和波的圖像的比較
比較項目 振動圖像 波的圖像
坐 標 橫坐標 時間 各質點的平衡位置
縱坐標 某一質點在不同時刻的振動位移 各質點在同一時刻的振動位移
研究對象 一個質點 沿波傳播方向上的各質點
物理意義 一個質點在不同時刻的振動位移 介質中各質點在同一時刻的振動位移
【典例1】　一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，a、b、c、d為介質中沿波傳播方向上四個質點的平衡位置．某時刻的波形如圖甲所示，此后，若經過周期開始計時，則圖乙描述的是(　　)
A．a處質點的振動圖像
B．b處質點的振動圖像
C．c處質點的振動圖像
D．d處質點的振動圖像
√
B　[因橫波沿x軸正方向傳播，經周期振動到平衡位置的質點為平衡位置在b、d處的質點，該時刻平衡位置在b處的質點的振動方向沿y軸負方向，平衡位置在d處的質點的振動方向沿y軸正方向，故題圖乙為平衡位置在b處的質點的振動圖像，故選B．]
【典例2】　(多選)如圖所示為一列簡諧波在某一時刻的波形圖，下列說法正確的是(　　)
A．此列波的振幅是0.1 m
B．平衡位置在x＝15 cm處質點
的位移是0.1 m
C．若質點A的速度沿y軸正方向，則質點B的速度亦沿y軸正方向
D．質點A的加速度沿y軸負方向，而質點B、C的加速度沿y軸正方向
√
√
√
ACD　[從題圖波的圖像上可以直接讀出振幅是0.1 m，平衡位置在x＝15 cm處質點的位移是－0.1 m，A正確，B錯誤；各質點加速度的方向總是指向平衡位置，D正確；由于A、B兩質點此刻處在同一“坡”上，根據“上下坡法”可以判斷A、B速度方向一致，C正確．]
【典例3】　如圖所示，一列沿x軸傳播的簡諧橫波，t＝0時刻的波形圖如圖甲所示，圖乙表示平衡位置在x＝1.0 m 處質點P的振動圖像．求：
(1)波的波長λ和振幅A；
(2)請判斷這列波的傳播方向，并計算該簡諧橫波傳播速度v的大小；
(3)t＝0.7 s內質點Q運動的路程s．
[解析]　(1)由題圖甲知，此波的波長λ＝2.0 m，振幅A＝10 cm．
(2)由題圖乙知，質點P在t＝0時刻正向上運動，由“上下坡法”知波的傳播方向為沿x軸正方向
由v＝，又T＝0.4 s
所以v＝5 m/s．
(3)由于周期T＝0.4 s，0.7 s＝ T
t＝0時刻，質點Q處于平衡位置，運動的路程
s＝(1＋)×4A＝0.7 m．
[答案]　(1)2.0 m　10 cm　(2)沿x軸正方向　5 m/s　(3)0.7 m
考點2　波的多解問題
1．周期性
(1)時間周期性：相隔周期整數倍時間的兩個時刻的波形完全相同，時間間隔Δt與周期T的關系不明確造成多解．
(2)空間周期性：沿傳播方向上，相隔波長整數倍距離的兩質點的振動情況完全相同，質點間距離Δx與波長λ的關系不明確造成多解．
2．雙向性
(1)傳播方向雙向性：波的傳播方向不確定．
(2)振動方向雙向性：質點振動方向不確定．
【典例4】　圖中的實線是一列簡諧波在某一時刻的波形曲線．經0.5 s后，其波形如圖中虛線所示．設該波的周期T大于0.5 s．

(1)如果波是向左傳播的，波速是多大？波的周期是多大？
(2)如果波是向右傳播的，波速是多大？波的周期是多大？
[解析]　(1)如果波是向左傳播的，從題圖可以看出，虛線所示的波形相當于實線所示的波形向左移動了x＝6 cm ，由此可求出波速為v＝＝ m/s＝0.12 m/s，波的周期T＝＝ s＝2.0 s．
(2)如果波是向右傳播的，從題圖可以看出，虛線所示的波形相當于實線所示的波形向右移動了x′＝18 cm ，由此可求出波速為v′＝＝ m/s＝0.36 m/s，波的周期為T′＝＝ s≈0.67 s．
[答案]　(1)0.12 m/s　2.0 s　(2)0.36 m/s　0.67 s
【典例5】　(源自人教版教材改編)如圖所示，一列簡諧橫波在x軸上傳播，實線和虛線分別為t0＝0和t1＝2 s時的波形圖．
(1)求這列波的波速大小；
(2)若波速為5 m/s，平衡位置在x＝
7 m處的質點從t0＝0開始計時，求
其在3.4 s內通過的路程．
解析：(1)若該簡諧波沿x軸正方向傳播，2 s內傳播距離Δx＝nλ＋λ＝(8n＋2)m(n＝0，1，2，3，…)
波速大小為v＝＝(4n＋1)m/s(n＝0，1，2，3，…)
若該簡諧波沿x軸負方向傳播，2 s內傳播距離
Δx′＝nλ＋λ＝(8n＋6)m(n＝0，1，2，3，…)
波速大小為v′＝＝(4n＋3)m/s(n＝0，1，2，3，…)．
(2)若波速為5 m/s，可知該波沿x軸正方向傳播
周期T＝＝1.6 s，Δt′＝3.4 s＝T
由波形圖函數關系可知，x＝7 m處的質點t0＝0時刻的位移為y＝
－5 cm
該質點在3.4 s內通過的路程sy＝8A＋(A－|y|)＝(90－5)cm．
[答案]　(1)(4n＋1)m/s或(4n＋3)m/s(n＝0，1，2，3，…)
(2)(90－5)cm
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1．如圖所示，一列簡諧橫波在水平方向傳播，P、Q兩質點平衡位置相距3 m．當P運動到上方最大位移處時，Q剛好運動到平衡位置，則這列波的波長不可能是(　　)
A．12 m B．4 m
C．2 m D． m
素養提升練(二)　波的圖像與波的多解問題
√
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C　[根據題意，有兩種情況，分別為當nλ＋λ＝3 m(n＝0，1，2，…)時，可知，n＝0時，λ＝12 m；n＝1時，λ＝ m；n＝2時，λ＝ m；n＝3時，λ＝ m；n＝4時，λ＝ m…；當nλ＋λ＝3 m(n＝0，1，2，…)時，可知，n＝0時，λ＝4 m；n＝1時，λ＝ m；n＝2時，λ＝ m；n＝3時，λ＝ m；n＝4時，λ＝ m…，故選C．]
2．如圖所示，實線為一列簡諧橫波在某一時刻的波形曲線，經過 0.3 s 后，其波形曲線如圖中虛線所示．若波是沿x軸正方向傳播的(周期大于0.3 s)，則該波的速度大小及周期分別為(　　)
A．0.5 m/s　0.4 s
B． m/s　0.4 s
C．0.5 m/s　1.2 s
D． m/s　1.2 s
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√
A　[由題圖可得λ＝20 cm，因為波沿x軸正方向傳播，則 T＋nT＝0.3 s(n＝0，1，2…)，即T＝ s(n＝0，1，2…)，又因為周期大于0.3 s，所以取n＝0，解得T＝0.4 s，所以波速v＝＝ m/s＝
0.5 m/s, 故選A．]
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3．如圖所示，一列簡諧橫波沿x軸傳播，實線為t1＝0.5 s 時的波形圖，虛線為t2＝2 s時的波形圖．已知該簡諧波的傳播速度v滿足
2 m/s≤v≤4 m/s，下列關于平衡位置在x＝2 m 處質點的振動圖像，可能正確的是(　　)
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√
B　[由波形圖可知，波長λ＝8 m，根據速度范圍可以得到周期范圍2 s≤T≤4 s，若橫波沿x軸正方向傳播，x＝2 m處的質點在0.5 s時由平衡位置向y軸正方向運動，由T1＋n1T1＝1.5 s(n1＝0，1，2，3，…)，解得T1＝2.4 s，結合題干實線波形圖可得，0.5 s時，x＝
2 m處的質點向上振動，則A錯誤，B正確；若橫波沿x軸負方向傳播，x＝2 m處的質點在0.5 s時由平衡位置向y軸負方向運動，由T2＋n2T2＝1.5 s(n2＝0，1，2，3，…)，解得T2＝4 s，則C、D錯誤．]
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4．如圖所示是某機械波的波形圖，實線為t時刻的波形，虛線為t＋Δt時刻的波形，圖示中Δx1和Δx2分別是t時刻某波峰與t＋Δt時刻相鄰兩波峰之間的距離．下列說法正確的是(　　)
A．該機械波一定沿x軸正方向傳播
B．該機械波的波長可能為2(Δx1＋Δx2)
C．該機械波的傳播速度可能為
D．該機械波的周期可能為
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√
D　[根據題圖無法確定該機械波的傳播方向，A錯誤；根據題圖以及題意，可知機械波波長一定為λ＝Δx1＋Δx2，B錯誤；若該機械波沿x軸正方向傳播，則傳播速度v＝(k＝0，1，2，…)，周期T＝＝(k＝0，1，2，…)，若該機械波沿x軸負方向傳播，則傳播速度 v＝(k＝0，1，2，…)，周期T＝＝(k＝0，1，2，…)，C錯誤，D正確．]
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5．如圖所示為一列沿x軸正方向傳播的簡諧橫波．在t＝0時刻該波剛好傳播到x＝3 m 處的質點P，該波的傳播速度為10 m/s．則從圖示時刻起，質點Q第一次處于波峰，需再經過多少時間(　　)
A．1.2 s
B．1.6 s
C．2.0 s
D．2.4 s
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√
A　[質點Q離x＝0處波峰的距離為12 m，當圖示時刻x＝0處波峰傳到質點Q時，質點Q第一次處于波峰，經過的時間為t＝ s＝1.2 s，故選A．]
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6．平衡位置在坐標原點O處的一個質點沿y方向做簡諧運動，振動分別沿x軸負方向和x軸正方向傳播，形成甲、乙兩列簡諧橫波；t＝0 時刻的波形如圖所示，此時甲波剛好傳播到x＝－2 m處，乙波剛好傳播到x＝4 m處，P是甲波傳播路徑上的一個質點，Q是乙波傳播路徑上的一個質點．已知t＝0時刻，平衡
位置在x＝1 m處質點已振動0.3 s，則下列
說法正確的是(　　)
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A．t＝0時刻，質點P的振動方向沿y軸負方向
B．t＝0時刻，質點Q已運動了10 cm的路程
C．波源處的質點起振方向沿y軸正方向
D．乙波的傳播速度大小為 m/s
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√
B　[根據振動與波動的關系，t＝0時刻，質點P的振動方向沿y軸正方向，故A錯誤；t＝0時刻波傳播的距離為一個波長，因此質點Q振動了半個周期，通過的路程為10 cm，故B正確；由t＝0時刻，平衡位置在x＝－2 m處質點振動方向沿y軸負方向，可知波源處的質點起振方向沿y軸負方向，故C錯誤；t＝0時刻，平衡位置在x＝1 m處質點已振動0.3 s，則t＝0時刻，波已傳播了0.4 s，則乙波傳播的速度為v＝＝ m/s＝10 m/s, 故D錯誤．]
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7．B超檢查是醫學上常用的診斷方法，其基本原理是探頭向人體內發射超聲波，超聲波遇到人體不同的組織會產生不同程度的反射．如圖甲、乙所示是儀器檢測到的探頭發送和接收的超聲波圖像，其中圖甲為某時刻沿x軸正方向發送的超聲波，圖乙為一段時間后沿x軸負方向返回的超聲波．已知超聲波在人體內傳播速度約為
1 500 m/s，下列說法正確的是(　　)
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A．圖乙中質點b正沿y軸正方向運動
B．圖甲和圖乙中，質點a和質點b加速度相同
C．圖甲中質點a的振動周期為T＝8.0×10-5 s
D．圖甲中質點a在此后的0.1 s時間內運動的路程為400 m
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B　[題圖乙中波沿x軸負方向傳播，根據“同側法”可知，質點b正沿y軸負方向運動，故A錯誤；題圖甲和題圖乙中，質點a和質點b位移相同，則根據a＝－可知兩質點的加速度相同，故B正確；題圖甲中質點a的振動周期T＝＝ s＝8.0×10-6 s，故C錯誤；因為t＝T＝12 500T, 質點在一個周期內運動路為4A，所以題圖甲中質點a在此后的 0.1 s 時間內運動的路程為12 500×4A＝200 m，故D錯誤．]
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8．如圖所示，實線是一列簡諧橫波在t1時刻的波形圖，虛線是t2＝(t1＋1) s時刻的波形圖，已知質點M的平衡位置距O點距離為 5 m, 下列說法正確的是(　　)
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A．若波沿x軸負方向傳播，其周期可能為 s
B．無論波向哪個方向傳播，質點M在t1時刻一定沿y軸正方向運動
C．若該波沿x軸正方向傳播，其波速可能為7 m/s
D．若波沿x軸負方向傳播，當周期T＝ s時，質點M在t1到t2時間內運動的路程為3.2 m
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A　[若波沿x軸負方向傳播，則v＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)，從而得到周期T＝＝ s(n＝0，1，2，…)，當n＝2時，T＝ s，A正確；若波沿x軸負方向傳播，根據上下坡法可知質點M在t1時刻沿y軸負方向運動，若波沿x軸正方向傳播，根據上下坡法可知質點M在t1時刻沿y軸正方向運動，B錯誤；若該波沿x軸正方向傳播，則v＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)，其波速不可能為7 m/s，C錯誤；
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若波沿x軸負方向傳播，由T＝＝ s(n＝0，1，2…)，當n＝3時，T＝ s，則質點M在t1到t2時間內，質點M運動的路程為15A＝15×0.2 m＝3 m，D錯誤．]
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9．(多選)一列簡諧橫波沿x軸傳播，在x軸上平衡位置相距2 m的兩質點A、B的振動圖像分別如圖甲、乙所示，已知該波波長大于 1 m, 則該波的傳播速率可能為(　　)
A．1.8 m/s
B．2.0 m/s
C．4.0 m/s
D．6.7 m/s
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CD　[由兩質點的振動圖像可知，t＝0時刻，質點A處于正的最大位移處，質點B位于平衡位置沿y軸負方向運動，該波的傳播周期為T＝0.4 s，若該波從質點B向質點A傳播，則兩質點間的距離為λ＝2 m(n＝0，1，2，…)，則λ＝ m(n＝0，1，2，…)，由波速的公式得v＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)，波長大于1 m，則n＝0或1，n＝0時v＝20 m/s, n＝1時v＝4 m/s；若該波從質點A向
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質點B傳播，則兩質點間的距離為λ＝2 m(n＝0，1，2，…)，則λ＝ m(n＝0，1，2，…)，由波速的公式得v＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)，波長大于1 m，則n＝0或1，n＝0時v＝ m/s
≈6.7 m/s，n＝1時v＝ m/s≈2.9 m/s，故選CD．]
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10．戰繩作為一項超燃脂的運動，十分受人歡迎．一次戰繩練習中，某運動達人晃動繩的一端使其上下振動(可視為簡諧運動)形成橫波，圖甲、圖乙分別是同一繩上P、Q兩質點的振動圖像，傳播方向為P到Q，波長大于 1 m、 小于3 m，P、Q兩質點在波的傳播方向上相距3 m，下列說法正確的是(　　)
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A．該列波的波長可能為 m
B．P、Q兩質點的振動方向始終相反
C．該列波的波速可能為 m/s
D．從t＝0至t＝2.125 s，Q質點運動的路程為 3.4 m
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C　[由題意可知xPQ＝λ(n＝0，1，2，…)，由于波長大于1 m、小于3 m，則n只能取1、2，當n＝1時，有λ＝3 m，解得λ＝ m，當n＝2時，有λ＝3 m，解得λ＝ m, 且當波長為 m時，波速v＝＝ m/s，由于質點P、Q平衡位置間的距離并不是半個波長的奇數倍，故P、Q兩質點的振動方向并不是始終相反，故A、B錯誤，C正確；由于t＝2.125 s＝2T，且由于0時刻Q質點處于平衡位置，則此時間內質點Q運動的路程s>2×4A＋＝＝ m＝3.4 m，故D錯誤．]
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11．如圖所示，一列橫波沿x軸傳播，實線a為0時刻的波形曲線，虛線b為0.5 s時的波形曲線．
(1)寫出該波的波長和振幅；
(2)假設該波向左傳播且T＞0.5 s，
求波速為多大；
(3)假設波速為18 m/s，通過計算說明波的傳播方向；并求出在此波速下平衡位置在x＝3 m處的質點從t＝0時刻開始計時的振動方程(不寫推導過程，用正弦表達)．
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[解析]　(1)根據題圖可得波長和振幅分別為
λ＝4 m
A＝2 cm．
(2)若該列波向左傳播，則
T＝0.5 s(n＝0，1，2…)
又由題可知周期大于0.5 s，則
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n＝0
可得周期T＝s
由v＝得波速v＝6 m/s．
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(3)假設該列波向左傳播，則由v＝得
v＝(8n＋6) m/s(n＝0，1，2…)
令v＝18 m/s
則n＝1.5
可見n取不到整數，故舍去．
假設該列波向右傳播，則
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T＝0.5 s(n＝0，1，2…)
由v＝得
v＝(8n＋2) m/s(n＝0，1，2…)
令v＝18 m/s
則n＝2
所以該列波向右傳播，且在此波速下，波的周期為T＝s
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由波形圖可知，0時刻，平衡位置在x＝3 m處質點處于平衡位置且向y軸負方向振動，所以振動方程為y＝－A sin ωt(cm)
其中ω＝
聯立得y＝－2sin 9πt (cm)．
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[答案]　(1)4 m　2 cm　(2)6 m/s　(3)該列波向右傳播　
y＝－2sin 9πt (cm)
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12．一列沿x軸正方向傳播的簡諧橫波在t1＝0時刻的波形如圖中實線所示，在t2＝0.8 s時的波形如圖中的虛線所示．
(1)求這列波可能的傳播速度大小；
(2)若波的周期T>1 s，則從t1＝0時刻開始計時，求質點M在0～1.6 s內運動的路程．
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[解析]　(1)由題圖可知，波長λ＝4 m，Δt＝t2－t1＝0.8 s
因波沿x軸正方向傳播，則Δt＝T(n＝0，1，2，…)
解得T＝ s(n＝0，1，2，…)
波速v＝
解得v＝(5n＋1.25) m/s(n＝0，1，2，…)．
題號
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(2)由題意知，T>1 s
則n只能取0時滿足條件，對應T＝3.2 s
因1.6 s＝，A＝2 cm
則0～1.6 s內質點M運動的路程s＝2A＝4 cm．
[答案]　(1)v＝(5n＋1.25) m/s(n＝0，1，2，…)　(2)4 cm
13．(14分)我國科學家首創的超聲消融術是一種超聲波聚焦病灶部位進行照射治療的先進技術．如圖甲所示，一列超聲波從介質1進入介質2中繼續傳播，A、B、C為傳播方向上的三個點．圖乙為t＝0時刻A質點右側介質1中的部分波形圖，此時該波恰好傳播至介質2中的B點，圖丙為該時刻之后B點的振動圖像．已知B、C兩質點間的距離為 0.75 cm, 波在介質2中的傳播速度為 1.0×103 m/s，求：
題號
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(1)該波在介質1中傳播速度的大小；
(2)從質點B開始振動到質點C第一次到達波谷經歷的時間．
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[解析]　(1)超聲波在介質2中傳播時T＝1×10-5 s，在兩種介質中傳播時周期不變，則在介質1中傳播速度為
v1＝＝ m/s＝2×103 m/s．
(2)超聲波從B傳到C的時間為
t1＝＝ s＝7.5×10-6 s
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波傳到C點時開始起振的方向向下，則到達波谷時還需要t2＝＝2.5×10-6 s
則質點C第一次到達波谷的時間為t＝t1＋t2＝1.0×10-5 s．
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[答案]　(1)2×103 m/s　(2)1.0×10-5 s
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