資源簡介

5．實驗：用單擺測量重力加速度
[實驗目標]　1．明確用單擺測量重力加速度的原理和方法。2．知道如何選擇實驗器材，能熟練地使用停表。3．學會用單擺測當地的重力加速度，掌握減小實驗誤差的方法。
一、實驗思路
在擺角較小(小于5°)時的運動可看成簡諧運動，根據其周期公式T＝2π，可得g＝______。據此，通過實驗測出擺長l和周期T，可計算得到當地的重力加速度值。
二、實驗裝置
1．實驗器材
鐵架臺及鐵夾、中心有小孔的金屬小球、約1 m長的細線、停表、刻度尺、游標卡尺。
2．制作單擺
(1)在細線的一端打一個比小球上的孔徑稍大些的結，將細線穿過球上的小孔，并把細線上端固定在鐵架臺上，就制成了一個單擺。
(2)將鐵夾固定在鐵架臺的上端，鐵架臺放在實驗桌邊，使鐵夾伸到桌面以外，方便使用不同長度的擺線。如圖所示。
三、物理量的測量
1．擺長的測量
用刻度尺直接測量小球球心與懸掛點之間的距離作為擺長的測量值，或者用刻度尺測出擺線長L，用游標卡尺測出小球直徑d，然后計算出懸點到球心的距離l＝______。
2．周期的測量
把小球從平衡位置拉開一個很小的角度(不超過5°)，然后放開小球讓它擺動，從__________開始計時，用停表測出單擺完成30～50次全振動的時間，再計算出完成一次全振動的時間，這個時間就是單擺的振動周期。
3．改變擺長，反復測量幾次，將數據填入表格。
四、數據分析
1．公式法：每改變一次擺長，將相應的l和T代入公式g＝______中求出g的值，最后求出g的平均值。設計如表所示實驗表格：
實驗 次數 擺長 l/m 周期 T/s 重力加速度 g/(m·s-2) 重力加速度g的平均值/(m·s-2)
1 g＝
2
3
2．圖像法：由T＝2π得T2＝______，以T2為縱軸、以l為橫軸作出T2-l圖像(如圖所示)。其斜率k＝，由圖像的斜率即可求出重力加速度g。
五、誤差分析
1．系統誤差
主要來源于單擺模型本身是否符合要求。即：懸點是否固定，擺球是否可看作質點，球、線是否符合要求，擺動是圓錐擺還是在同一豎直平面內擺動等。
2．偶然誤差
主要來自擺長的測量和時間(即單擺周期)的測量。多次測量后取平均值可以減小偶然誤差。
六、注意事項
1．選擇材料時應選擇細、輕又不易伸長的線，長度一般在1 m左右，小球應選用密度較大的金屬球，直徑應較小，最好不超過2 cm。
2．單擺懸線的上端不可隨意卷在鐵架臺的桿上，應夾緊在鐵夾中，以免擺動時發生擺線下滑、擺長改變的現象。
3．注意擺動時控制擺線偏離豎直方向的夾角不超過5°。
4．擺球振動時，要使之保持在同一個豎直平面內，不要形成圓錐擺。
5．計算單擺的振動次數時，應從擺球通過最低位置時開始計時，擺球每次從同一方向通過最低位置時進行計數，且在數“零”的同時按下停表，開始計時計數。要測n次全振動的時間t，然后通過計算求出它的周期的測量值。
類型一　實驗裝置及物理量的測量
【典例1】　(2024·廣西卷)單擺可作為研究簡諧運動的理想模型。
(1)制作單擺時，在圖甲、圖乙兩種單擺的懸掛方式中，選擇圖甲方式的目的是要保持擺動中________不變；
(2)用游標卡尺測量擺球直徑，測得讀數如圖丙，則擺球直徑為________cm；
(3)若將一個周期為T的單擺，從平衡位置拉開5°的角度釋放，忽略空氣阻力，擺球的振動可看為簡諧運動。當地重力加速度為g，以釋放時刻作為計時起點，則擺球偏離平衡位置的位移x與時間t的關系為______________(用題干中字母表示)。
[聽課記錄]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
類型二　數據處理和誤差分析
【典例2】　在“用單擺測量重力加速度”的實驗中，某實驗小組在測量單擺的周期時，測得擺球經過n次全振動的總時間為Δt，在測量單擺的擺長時，先用毫米刻度尺測得擺線長度為l，再用游標卡尺測量擺球的直徑為D。回答下列問題：
(1)為了減小測量周期的誤差，實驗時需要在適當的位置做一標記，當擺球通過該標記時開始計時，該標記應該放置在擺球擺動的________。
A．最高點　　B．最低點　　C．任意位置
(2)該單擺的周期為________，重力加速度g＝______________(用題干中字母表示)。
(3)如果測得的g值偏小，可能的原因是________。
A．實驗時誤將49次全振動記為50次
B．擺線上端懸點未固定，振動中出現松動，使擺線長度增加了
C．開始計時時，停表過遲按下
(4)為了提高實驗的準確度，在實驗中可改變幾次擺長L并測出相應的周期T，從而得出幾組對應的L和T的數值，以L為橫坐標、T2為縱坐標作出T2-L圖線，但同學們不小心每次都把小球直徑當作半徑來計算擺長，由此得到的T2-L圖像是圖乙中的________(選填“①”“②”或“③”)。
[聽課記錄]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
類型三　創新實驗設計
【典例3】　如圖(a)所示的是某物理興趣小組設計的實驗裝置，能夠測量當地的重力加速度并驗證機械能守恒定律。先將力傳感器固定在天花板上，再將一根細線一端系在傳感器上，另一端系住一個小球，傳感器可以顯示出拉力的大小。
(1)實驗開始前，用游標卡尺測出小球的直徑，示數如圖(b)所示，則小球的直徑D＝________ mm。讓小球處于自然懸掛狀態，此時傳感器顯示的拉力大小為F1，測出懸線的長為L0。
(2)將小球拉離平衡位置使細線與豎直方向成一定的張角θ(未知但很小)，由靜止釋放小球，使小球在豎直面內做往復運動，力傳感器測出懸線的拉力隨時間變化的關系如圖(c)所示，其中拉力的最小值與最大值分別為F2、F3，拉力變化周期為T0，則當地
的重力加速度g＝________(用已知和測量的物理量符號表示)。
[聽課記錄]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1 / 55．實驗：用單擺測量重力加速度
[實驗目標]　1．明確用單擺測量重力加速度的原理和方法。2．知道如何選擇實驗器材，能熟練地使用停表。3．學會用單擺測當地的重力加速度，掌握減小實驗誤差的方法。
一、實驗思路
在擺角較小(小于5°)時的運動可看成簡諧運動，根據其周期公式T＝2π，可得g＝。據此，通過實驗測出擺長l和周期T，可計算得到當地的重力加速度值。
二、實驗裝置
1．實驗器材
鐵架臺及鐵夾、中心有小孔的金屬小球、約1 m長的細線、停表、刻度尺、游標卡尺。
2．制作單擺
(1)在細線的一端打一個比小球上的孔徑稍大些的結，將細線穿過球上的小孔，并把細線上端固定在鐵架臺上，就制成了一個單擺。
(2)將鐵夾固定在鐵架臺的上端，鐵架臺放在實驗桌邊，使鐵夾伸到桌面以外，方便使用不同長度的擺線。如圖所示。
三、物理量的測量
1．擺長的測量
用刻度尺直接測量小球球心與懸掛點之間的距離作為擺長的測量值，或者用刻度尺測出擺線長L，用游標卡尺測出小球直徑d，然后計算出懸點到球心的距離l＝L＋。
2．周期的測量
把小球從平衡位置拉開一個很小的角度(不超過5°)，然后放開小球讓它擺動，從平衡位置開始計時，用停表測出單擺完成30～50次全振動的時間，再計算出完成一次全振動的時間，這個時間就是單擺的振動周期。
3．改變擺長，反復測量幾次，將數據填入表格。
四、數據分析
1．公式法：每改變一次擺長，將相應的l和T代入公式g＝中求出g的值，最后求出g的平均值。設計如表所示實驗表格：
實驗 次數 擺長 l/m 周期 T/s 重力加速度 g/(m·s-2) 重力加速度g的平均值/(m·s-2)
1 g＝
2
3
2．圖像法：由T＝2π得T2＝·l，以T2為縱軸、以l為橫軸作出T2-l圖像(如圖所示)。其斜率k＝，由圖像的斜率即可求出重力加速度g。
五、誤差分析
1．系統誤差
主要來源于單擺模型本身是否符合要求。即：懸點是否固定，擺球是否可看作質點，球、線是否符合要求，擺動是圓錐擺還是在同一豎直平面內擺動等。
2．偶然誤差
主要來自擺長的測量和時間(即單擺周期)的測量。多次測量后取平均值可以減小偶然誤差。
六、注意事項
1．選擇材料時應選擇細、輕又不易伸長的線，長度一般在1 m左右，小球應選用密度較大的金屬球，直徑應較小，最好不超過2 cm。
2．單擺懸線的上端不可隨意卷在鐵架臺的桿上，應夾緊在鐵夾中，以免擺動時發生擺線下滑、擺長改變的現象。
3．注意擺動時控制擺線偏離豎直方向的夾角不超過5°。
4．擺球振動時，要使之保持在同一個豎直平面內，不要形成圓錐擺。
5．計算單擺的振動次數時，應從擺球通過最低位置時開始計時，擺球每次從同一方向通過最低位置時進行計數，且在數“零”的同時按下停表，開始計時計數。要測n次全振動的時間t，然后通過計算求出它的周期的測量值。
類型一　實驗裝置及物理量的測量
【典例1】　(2024·廣西卷)單擺可作為研究簡諧運動的理想模型。
(1)制作單擺時，在圖甲、圖乙兩種單擺的懸掛方式中，選擇圖甲方式的目的是要保持擺動中________不變；
(2)用游標卡尺測量擺球直徑，測得讀數如圖丙，則擺球直徑為________cm；
(3)若將一個周期為T的單擺，從平衡位置拉開5°的角度釋放，忽略空氣阻力，擺球的振動可看為簡諧運動。當地重力加速度為g，以釋放時刻作為計時起點，則擺球偏離平衡位置的位移x與時間t的關系為______________(用題干中字母表示)。
[解析]　(1)選擇圖甲方式的目的是要保持擺動中擺長不變。
(2)擺球直徑為d＝1.0 cm＋6×0.1 mm＝1.06 cm。
(3)根據單擺的周期公式T＝2π可得單擺的擺長為L＝
從平衡位置拉開5°的角度處釋放，可得振幅為A＝L sin 5°
以該位置為計時起點，根據簡諧運動規律可得擺球偏離平衡位置的位移x與時間t的關系為
x＝A cos ωt＝cos 。
[答案]　(1)擺長　(2)1.06　(3)x＝cos
類型二　數據處理和誤差分析
【典例2】　在“用單擺測量重力加速度”的實驗中，某實驗小組在測量單擺的周期時，測得擺球經過n次全振動的總時間為Δt，在測量單擺的擺長時，先用毫米刻度尺測得擺線長度為l，再用游標卡尺測量擺球的直徑為D。回答下列問題：
(1)為了減小測量周期的誤差，實驗時需要在適當的位置做一標記，當擺球通過該標記時開始計時，該標記應該放置在擺球擺動的________。
A．最高點　　B．最低點　　C．任意位置
(2)該單擺的周期為________，重力加速度g＝______________(用題干中字母表示)。
(3)如果測得的g值偏小，可能的原因是________。
A．實驗時誤將49次全振動記為50次
B．擺線上端懸點未固定，振動中出現松動，使擺線長度增加了
C．開始計時時，停表過遲按下
(4)為了提高實驗的準確度，在實驗中可改變幾次擺長L并測出相應的周期T，從而得出幾組對應的L和T的數值，以L為橫坐標、T2為縱坐標作出T2-L圖線，但同學們不小心每次都把小球直徑當作半徑來計算擺長，由此得到的T2-L圖像是圖乙中的________(選填“①”“②”或“③”)。
[解析]　(1)為了減小測量周期的誤差，應該將小球經過最低點時作為計時開始和終止的位置更好些，實際擺動中最高點的位置會發生變化，且靠近最高點時速度較小，計時誤差較大。故選B。
(2)因為擺球經過n次全振動的總時間為Δt，則該單擺的周期為T＝
由單擺周期公式T＝2π，其中L＝l＋，可得重力加速度的表達式為g＝。
(3)根據g＝可知，實驗中誤將49次全振動記為50次，所測周期偏小，則所測重力加速度偏大，故A錯誤；擺線上端懸點未固定，振動中出現松動，使擺線長度增加了，故所測重力加速度偏小，故B正確；開始計時時，停表過遲按下，所測周期偏小，則所測重力加速度偏大，故C錯誤。故選B。
(4)由題意可得，單擺的實際擺長為l″＝L－
由單擺周期表達式得T＝2π，化簡可得T2＝L－
由此得到的T2-L圖像是圖乙中的①。
[答案]　(1)B　(2)　(3)B　(4)①
類型三　創新實驗設計
【典例3】　如圖(a)所示的是某物理興趣小組設計的實驗裝置，能夠測量當地的重力加速度并驗證機械能守恒定律。先將力傳感器固定在天花板上，再將一根細線一端系在傳感器上，另一端系住一個小球，傳感器可以顯示出拉力的大小。
(1)實驗開始前，用游標卡尺測出小球的直徑，示數如圖(b)所示，則小球的直徑D＝________ mm。讓小球處于自然懸掛狀態，此時傳感器顯示的拉力大小為F1，測出懸線的長為L0。
(2)將小球拉離平衡位置使細線與豎直方向成一定的張角θ(未知但很小)，由靜止釋放小球，使小球在豎直面內做往復運動，力傳感器測出懸線的拉力隨時間變化的關系如圖(c)所示，其中拉力的最小值與最大值分別為F2、F3，拉力變化周期為T0，則當地
的重力加速度g＝________(用已知和測量的物理量符號表示)。
[解析]　(1)游標卡尺的讀數為9 mm＋0.1 mm×7＝9.7 mm。
(2)單擺周期為2T0，擺長L＝L0＋，根據單擺周期公式2T0＝2π，可得g＝。
[答案]　(1)9.7　
實驗針對訓練(二)　實驗：用單擺測量重力加速度
1．在“用單擺測量重力加速度”的實驗中：
(1)除長約1 m的細線、帶鐵夾的鐵架臺、有小孔的小球、游標卡尺外，下列器材中，還需要________(填正確答案的標號)。
A．停表 B．刻度尺
C．天平 D．彈簧測力計
(2)用停表記錄了單擺全振動50次所用的時間(如圖所示)，停表的讀數為________ s。
(3)如果他測得的g值偏小，可能的原因是_________。
A．計算時將擺線長加小球的直徑當作擺長
B．擺線上端未牢固地系于懸點，振動中出現松動使擺線長度增加了
C．開始計時時，停表過早按下
D．實驗中誤將49次全振動數記為50次
[解析]　(1)除長約1 m的細線、帶鐵夾的鐵架臺、有小孔的小球、游標卡尺外，還需要停表測量周期，用刻度尺測量擺長。
(2)用停表記錄了單擺全振動50次所用的時間，停表的讀數為90 s＋9.8 s＝99.8 s。
(3)如果他測得的g值偏小，根據T＝2π可知g＝，計算時將擺線長加小球的直徑當作擺長，則擺長的測量值偏大，測得的g偏大，A錯誤；擺線上端未牢固地系于懸點，振動中出現松動使擺線長度增加了，則計算時使用的擺長偏小，則測得的g偏小，B正確；開始計時時，停表過早按下，則測得的周期T偏大，則測得的g偏小，C正確；實驗中誤將49次全振動數記為50次，則測得的周期T偏小，則測得的g偏大，D錯誤。
[答案]　(1)AB　(2)99.8　(3)BC
2．在如圖甲“用單擺測量重力加速度”的實驗中：
(1) 如圖乙，用螺旋測微器測出擺球的直徑為________ mm。
(2) 某同學通過多次實驗得出數據作出圖像，如圖丙，請根據圖像求出重力加速度的值為________ m/s2(已知π2≈9.86，結果保留三位有效數字)。
(3) 若該同學測得的重力加速度值偏大，則其原因可能是________。
A．單擺的懸點未固定緊，擺動中出現松動，使擺線增長了
B．把50次擺動的時間誤記為49次擺動的時間
C．開始計時時，停表過早按下
D．測擺線長時擺線拉得過緊
[解析]　(1)由題圖乙可得，擺球直徑為d＝10.5 mm＋18.2×0.01 mm＝10.682 mm。
(2)由單擺周期公式T＝2π得L＝T2，所以L-T2圖線的斜率為k＝＝ m/s2＝0.25 m/s2，解得g≈0.25×4×9.86 m/s2≈9.86 m/s2。
(3)當單擺的懸點未固定緊，擺動中出現松動，會使擺線增長，則擺長測量值偏小，由單擺周期公式T＝2π得g＝，可見會使測得的重力加速度值偏小，故A錯誤；把50次擺動的時間誤記為49次擺動的時間，測的周期偏大，則會使測得的重力加速度值偏小，故B錯誤；開始計時時，停表過早按下，則測的周期偏大，則會使測得的重力加速度值偏小，故C錯誤；測擺線長時擺線拉得過緊，會使擺長測量值偏大，則會使測得的重力加速度值偏大，故D正確。
[答案]　(1)10.682　(2)9.86　(3)D
3．在“探究單擺周期與擺長的關系”實驗中，若擺球在垂直于紙面的平面內擺動，為了將人工記錄振動次數改為自動記錄振動次數，在擺球運動最低點的左、右兩側分別放置一激光光源與光敏電阻，如圖甲所示。光敏電阻與某一自動記錄儀相連，該儀器顯示的光敏電阻阻值R隨時間t的變化圖線如圖乙所示，則該單擺的振動周期為________。若保持懸點到小球頂點的繩長不變，改用直徑是原小球直徑2倍的另一小球進行實驗，則該單擺的周期將_________(選填“變大”“不變”或“變小”)，圖乙中的Δt將________(選填“變大”“不變”或“變小”)。
[解析]　從平衡位置開始計時，到第二次回到平衡位置是一次全振動，所以由題圖乙可知單擺周期是2t0；單擺擺長為懸點到擺球球心的距離，即L＝l＋r，周期T＝2π，增大r，則周期變大；Δt對應的是小球的擋光時間，小球越大，擋光時間Δt越長。
[答案]　2t0　變大　變大
4．在“用單擺測重力加速度”的實驗中
(1)下列器材和操作最合理的是________；(圖中的球均較小)
　
A　　　　　B　　　　C　　　　　D
(2)實驗過程中，下列做法正確的是_________；
A．用刻度尺量出從懸點到擺球間細線長的距離，作為單擺擺長
B．用停表測量單擺完成一次全振動所用時間并作為單擺的周期
C．單擺偏離平衡位置的角度越大越好
D．為了減小誤差，應該在擺球經過最低點時開始計時
(3)實驗測得的重力加速度數值小于當地的重力加速度的實際值，造成這一情況的原因可能是________。(選填字母序號)。
A．開始擺動時振幅較小，其他操作與計算均正確
B．小球的質量m較大，其他操作與計算均正確
C．開始計時時，過早按下停表，其他操作與計算均正確
D．測量周期時，誤將擺球n次全振動的時間記為(n＋1)次全振動的時間，其他操作與計算均正確
(4)某同學為了提高實驗精度，多次改變擺線長(記為l)并測出相應的周期T，他根據實驗數據在坐標紙上繪制出的l-T2圖線如圖所示，則當地的重力加速度g＝_________。(用a和b及π表示)
[解析]　(1)為了保證小球擺動過程擺線長度保持不變，擺線應選用細絲線，擺線上端用鐵夾固定；為了減小空氣阻力的影響，擺球應選擇密度較大的鐵球。故選D。
(2)用刻度尺量出從懸點到擺球間細線長的距離，再加上小球半徑作為單擺擺長，故A錯誤；為了減小誤差，應用停表測量單擺完成n次全振動所用時間t，然后求出單擺的周期T＝，故B錯誤；為了保證小球擺動做簡諧運動，單擺偏離平衡位置的角度應小于5°，故C錯誤；為了減小誤差，應該在擺球經過最低點時開始計時，故D正確。故選D。
(3)實驗測得的重力加速度數值小于當地的重力加速度的實際值，根據單擺周期公式T＝2π可得g＝，開始擺動時振幅較小，其他操作與計算均正確，不影響重力加速度的測量，故A錯誤；小球的質量m較大，其他操作與計算均正確，不影響重力加速度的測量，故B錯誤；開始計時時，過早按下停表，其他操作與計算均正確，則周期測量值偏大，使得重力加速度測量值偏小，故C正確；測量周期時，誤將擺球n次全振動的時間記為(n＋1)次全振動的時間，其他操作與計算均正確，則周期測量值偏小，使得重力加速度測量值偏大，故D錯誤。故選C。
(4)設小球半徑為r，根據單擺周期公式T＝2π可得l＝T2－r
可知l-T2圖像的斜率為k＝＝，解得重力加速度為g＝。
[答案]　(1)D　(2)D　(3)C　(4)
5．(1)滑板運動場地有一種常見的圓弧形軌道，其截面如圖，某同學用一輛滑板車和手機估測軌道半徑R(滑板車的長度遠小于軌道半徑)。
主要實驗過程如下：
①用手機查得當地的重力加速度g；
②找出軌道的最低點O，把滑板車從O點移開一小段距離至P點，由靜止釋放，用手機測出它完成n次全振動的時間t，算出滑板車做往復運動的周期T＝________；
③將滑板車的運動視為簡諧運動，則可將以上測量結果代入公式R＝________，計算出軌道半徑。(用t、n、g表示)
(2)某同學用如圖(a)所示的裝置測量重力加速度。
實驗器材：有機玻璃條(白色是透光部分，黑色是寬度均為d＝1.00 cm的擋光片)，鐵架臺，數字計時器(含光電門)，刻度尺。
主要實驗過程如下：
①將光電門安裝在鐵架臺上，下方放置承接玻璃條下落的緩沖物；
②用刻度尺測量兩擋光片間的距離，刻度尺的示數如圖(b)所示，讀出兩擋光片間的距離L＝___________________cm；
③手提玻璃條上端使它靜止在________方向上，讓光電門的光束從玻璃條下端的透光部分通過；
④讓玻璃條自由下落，測得兩次擋光的時間分別為t1＝10.003 ms和t2＝5.000 ms；
⑤根據以上測量的數據計算出重力加速度g＝________m/s2(結果保留三位有效數字)。
[解析]　(1)②滑板車做往復運動的周期為T＝。
③根據單擺的周期公式T＝2π，得R＝＝。
(2)②兩擋光片間的距離L＝15.40 cm－0 cm＝15.40 cm。
③手提玻璃條上端使它靜止在豎直方向上，讓光電門的光束從玻璃條下端的透光部分通過。
⑤玻璃條下部擋光條通過光電門時玻璃條的速度為v1＝＝ m/s≈1 m/s
玻璃條上部擋光條通過光電門時玻璃條的速度為v2＝＝ m/s＝2 m/s
根據速度—位移公式有＝2gL
代入數據解得加速度g＝≈9.74 m/s2。
[答案]　(1)②　③　(2)②15.40　③豎直　⑤9.74
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