資源簡介

4．單擺
[學習目標]　1．知道什么是單擺，了解單擺的構成及單擺的回復力。2．理解單擺做簡諧運動的條件，會利用圖像法分析單擺的運動。3．掌握單擺的周期公式，并能夠進行計算。4．通過分析單擺周期的影響因素，培養嚴謹的科學態度。
[教用·問題初探]——通過讓學生回答問題來了解預習教材的情況
問題1　在什么情況下實際擺可看成單擺？
問題2　單擺的周期與什么因素有關？
問題3　單擺的周期公式是什么？
　單擺的回復力
【鏈接教材】　如人教版教材P46圖所示，一根細線上端固定，下端連接一個金屬小球，用手使擺球偏離豎直方向一個很小的夾角，然后靜止釋放，擺球沿圓弧做往復運動，不計空氣的阻力。
問題1　小球的平衡位置在哪里？
提示：小球靜止時的位置O點為平衡位置。
問題2　小球擺動過程中受到哪些力的作用？什么力提供向心力？什么力提供回復力？
提示：小球受重力和細線的拉力作用。細線的拉力和重力沿細線方向的分力的合力提供向心力。重力沿切線方向的分力提供小球振動的回復力。
問題3　小球經過平衡位置時回復力為零，合外力也為零嗎？
提示：小球經過平衡位置時，做圓周運動，其合外力不為零。
【知識梳理】　
1．單擺
(1)實際擺看成單擺的條件
①細線的長度不可改變。
②細線的質量與小球相比可以忽略。
③小球的直徑與線的長度相比可以忽略。
④空氣阻力與擺球的重力及細線的拉力相比可以忽略。
(2)單擺是實際擺的理想化模型。
2．單擺的回復力
(1)回復力的來源：擺球的重力沿圓弧切線方向的分力，即F＝mg sin θ。
(2)回復力的特點：在擺角很小的條件下，sin θ≈θ≈(其中x為偏離平衡位置的位移)，單擺的回復力F＝－x，令k＝，則F＝－kx。
3．單擺的運動規律：在擺角很小時，單擺做簡諧運動。
【思考討論】　判斷以下裝置能否看成單擺？若不能，請說明原因。
提示：只有(f)可以看成單擺。
(a)(e)擺動過程中擺長會發生變化；(b)空氣阻力不能忽略；(c)球的直徑與繩的長度相比不能忽略；(d)繩的質量與小球相比不能忽略。
【知識歸納】
1．單擺的受力分析：如圖所示。
(1)單擺受力：受細線拉力和重力作用。
(2)向心力來源：細線拉力和重力沿徑向分力的合力。
(3)回復力來源：重力沿圓弧切線方向的分力F＝mg sin θ，提供了使擺球振動的回復力。
2．單擺的運動特點
擺球實際上做兩個運動：一是在平衡位置兩側做往復運動，二是繞懸點做圓周運動。擺球所受的回復力是重力沿圓弧切線方向上的分力，而不是擺球所受到的合力。當擺球經過平衡位置時，所受回復力為零，而所受合力不為零，此時合力提供擺球做圓周運動的向心力。實際上，運動過程中沿擺線方向上的合力一直提供擺球做圓周運動的向心力。
3．單擺做簡諧運動的規律
(1)單擺做簡諧運動的位移—時間(x-t)圖像是一條正弦(或余弦)曲線。
(2)單擺振動過程中各量的變化特點
位置或過程 位移、回復力、 加速度 速度、動能 重力勢能
最高點 最大 零 最大
最低點 零 最大 最小
遠離平衡 位置運動 越來越大 越來越小 越來越大
衡 位置運動 越來越小 越來越大 越來越小
【典例1】　(單擺的受力特征)(多選)如圖所示為均勻小球在做單擺運動，平衡位置為O點，A、B為最大位移處，M、N兩點關于O點對稱。下列說法正確的是(　　)
A．小球受重力、繩子拉力和回復力
B．小球所受合外力就是單擺的回復力
C．小球在O點時合外力不為0，回復力為0
D．小球在M點的位移與小球在N點的位移大小相等
CD　[小球只受重力、繩子拉力兩個力，A錯誤；單擺的回復力由重力沿運動方向的分力提供，B錯誤；小球在O點時，回復力為0，但合外力不為0，合外力指向運動軌跡的圓心，C正確；根據運動的對稱性可知，D正確。]
【典例2】　(單擺的圖像問題)如圖所示，長為l的細繩下方懸掛一小球a，繩的另一端固定在天花板上O′點處。將小球向右拉開，使細繩與豎直方向成一小角度(小于5°)后由靜止釋放，并從釋放時開始計時。小球相對于平衡位置O的水平位移為x，取向右為正方向，則小球在一個周期內的振動圖像為(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
A　[擺球一開始在正的最大位移處，所以A選項正確。]
　單擺的周期
1．探究單擺的振幅、質量、擺長對周期的影響
(1)探究方法：控制變量法。
(2)實驗結論
①單擺振動的周期與擺球質量無關。
②周期與振幅無關。
③擺長越長，周期越大；擺長越短，周期越小。
2．周期公式
(1)提出：由荷蘭物理學家惠更斯首先提出。
(2)公式：T＝2π，即單擺做簡諧運動的周期T與擺長l的二次方根成正比，與重力加速度g的二次方根成反比，而與振幅、擺球質量無關。
提醒：(1)單擺的周期只與其擺長和當地的重力加速度有關，而與振幅和擺球質量無關，它又叫作單擺的固有周期。單擺周期公式的成立條件為擺角θ<5°。
(2)周期為2 s的單擺叫作秒擺。秒擺的擺長約為1 m。
【思考討論】　惠更斯利用擺的等時性發明了帶擺的計時器，叫擺鐘。擺鐘運行時克服摩擦所需的能量由重錘的勢能提供，運行的速率由鐘擺控制。旋轉鐘擺下端的螺母可以使擺上的圓盤沿擺桿上下移動。
問題1　擺針走時偏快時應如何校準？
提示：擺針走時偏快，說明擺鐘的周期偏小，應調節螺母使圓盤沿擺桿下移增大擺長，使周期變大一些。
問題2　將一個走時準確的擺鐘從廣州市移到北京市，擺鐘應如何校準？
提示：廣州市的重力加速度比北京市小，將一個走時準確的擺鐘從廣州市移到北京市，周期變小，應調節螺母使圓盤沿擺桿下移增大擺長，使周期變大。
【知識歸納】　
1．對單擺周期公式T＝2π的理解
(1)T與擺長l和當地的重力加速度g有關。
(2)T與振幅和擺球質量無關，故T又叫作單擺的固有周期。
(3)適用條件：擺角很小(一般小于5°)。
2．對擺長l和重力加速度g的理解
(1)擺長l：指從懸點到擺球重心的長度。
①對于實際的單擺，擺長l＝l′＋，l′為擺線長，D為擺球直徑。
②等效擺長：
(a)圖中小球在O點右側運動時擺長為L，在O點左側運動時擺長為L。
(b)圖中，甲、乙在垂直紙面方向上擺動起來效果是相同的，故甲擺的等效擺長為l sin α，其周期T＝2π。
(c)圖中，乙在垂直紙面方向擺動時，其等效擺長等于甲擺的擺長；乙在紙面內小角度擺動時，等效擺長等于丙擺的擺長。
(2)對重力加速度g的理解
①公式中的g由單擺所在地的空間位置決定
在地球表面不同位置、不同高度g是不同的，在不同星球上g也不相同，因此應求出單擺所在處的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2。
②等效重力加速度
(a)若單擺系統處在多力存在的平衡態，則一般情況下，g值等于擺球相對靜止在自己的平衡位置時，擺線所受的張力與擺球質量的比值。如圖甲所示的斜面擺，球靜止在O點時，FT＝mg sin θ，等效加速度g′＝＝g sin θ；又如圖乙所示的電場中，帶電荷量為q(q>0)的小球靜止于圖示位置時，擺線拉力FT＝，等效加速度g′＝＝。
(b)單擺處于超重或失重狀態時等效重力加速度g0＝g±a。在近地軌道上運動的衛星加速度a＝g，為完全失重，等效重力加速度g0＝0。
【典例3】　(單擺周期公式的應用)用細線懸掛一小球，保持擺線長度一定，選項A、B兩種情況下小球做振幅不同的單擺運動，選項C、D兩種情況下小球做高度不同的圓錐擺運動，則四種情況中周期最短的是(　　)
　　
A　　　　B　　　　　C　　　　　D
D　[設擺線長度為l，選項A、B兩種情況下小球做振幅不同的單擺運動，由單擺周期公式可得TA＝TB＝2π，小球做圓錐擺運動時，設擺線與豎直方向夾角為θ，高度為h，小球質量為m，圓周半徑為R，則有tan θ＝，mg tan θ＝mR，解得T＝2π，由此綜合可得TA＝TB>TC>TD，故選D。]
【典例4】　(人教版P50T3改編)(單擺的振動圖像)位于同一地點的甲、乙兩個單擺做簡諧運動的圖像如圖所示，則下列說法中不正確的是(　　)
A．甲、乙兩擺的擺長之比為1∶4
B．t＝4 s時，乙擺剛好擺到平衡位置
C．由于甲的振幅比乙大，所以甲擺的機械能大于乙擺
D．甲、乙兩擺的振幅之比為2∶1
C　[由題圖可知，甲、乙兩個單擺周期之比為1∶2，根據公式T＝2π可知，甲、乙兩擺的擺長之比為1∶4，故A正確；由題圖可知，t＝4 s時，乙擺剛好擺到平衡位置，故B正確；因為兩擺擺球的質量未知，所以無法比較兩擺機械能的大小，故C錯誤；由題圖可知，甲、乙兩擺的振幅之比為2∶1，故D正確。本題選不正確的，故選C。]
【教用·備選例題】　(單擺的振動圖像)在同一地方，甲、乙兩個單擺做振幅不同的簡諧運動，其振動圖像如圖所示，可知甲、乙兩個單擺的擺長之比為(　　)
A．2∶3　　B．3∶2　　C．4∶9　　D．9∶4
C　[由振動圖像可知甲、乙兩個單擺周期之比為T甲∶T乙 ＝ 0.8∶1.2＝2∶3，根據單擺周期公式T＝2π可得l＝，則甲、乙兩個單擺的擺長之比為l甲∶l乙 ＝＝4∶9，故選C。]
【典例5】　(等效擺長)(2024·浙江6月選考)如圖所示，不可伸長的光滑細線穿過質量為0.1 kg的小鐵球，兩端A、B懸掛在傾角為30°的固定斜桿上，間距為1.5 m。小球平衡時，A端細線與桿垂直；當小球受到垂直紙面方向的擾動做微小擺動時，等效于懸掛點位于小球重垂線與AB交點的單擺，則(　　)
A．擺角變小，周期變大
B．小球擺動周期約為2 s
C．小球平衡時，A端拉力為 N
D．小球平衡時，A端拉力小于B端拉力
B　[由單擺的周期公式T＝2π可知，單擺的周期與擺角無關，故擺角變小，周期不變，A錯誤；由于同一光滑細線上的拉力大小處處相等，則由題意可知，小球平衡時，細線A端拉力等于B端拉力，D錯誤；對平衡時的小球受力分析，如圖所示，則由力的平衡條件可知FA cos 30°＋FB cos 30°＝mg，又FA＝FB，代入數據解得FA＝ N，C錯誤；由幾何關系可知單擺的擺長l＝＝1 m，則由T＝2π可知小球擺動周期T≈2 s，B正確。
]
【典例6】　(類單擺模型)如圖所示，光滑圓槽的半徑R遠大于小球運動的弧長。甲、乙、丙三個小球(均可視為質點)同時由靜止釋放，開始時，甲球比乙球離槽最低點O遠些，丙球在槽的圓心處。則以下關于它們第一次到達點O的先后順序的說法正確的是(　　)
A．乙先到，然后甲到，丙最后到
B．丙先到，然后甲、乙同時到
C．丙先到，然后乙到，甲最后到
D．甲、乙、丙同時到
B　[對于丙球，根據自由落體運動規律有R＝，解得t3＝；對于甲、乙兩球，由于光滑圓槽的半徑R遠大于小球運動的弧長，故可將它們的運動視為做簡諧運動的單擺的運動，其運動周期為T＝2π，甲、乙兩球第一次到達點O時均運動周期，則t1＝t2＝＝。所以丙先到，然后甲、乙同時到，故B正確，A、C、D錯誤。]
【典例7】　(等效重力加速度問題)如圖所示，有幾個相同單擺在不同條件下，關于它們的周期關系，下列判斷正確的是(　　)
A．T1＞T2＞T3＞T4　
B．T1＜T2＝T3＜T4
C．T1＞T2＝T3＞T4
D．T1＜T2＜T3＜T4
C　[題圖(1)中，當擺球偏離平衡位置時，重力沿斜面的分力mg sin θ為等效重力，即單擺的等效重力加速度g1＝g sin θ；題圖(2)中兩個帶電小球的斥力總與運動方向垂直，不影響擺球的回復力；題圖(3)為標準單擺；題圖(4)中擺球處于超重狀態，等效重力加速度為g4＝g＋a。由單擺周期公式T＝2π，知T1＞T2＝T3＞T4，選項C正確。]
1．某單擺由1 m長的擺線連接一個直徑為2 cm 的鐵球組成。關于單擺周期，下列說法正確的是(　　)
A．用大球替代小球，單擺的周期不變
B．擺角從5°改為3°，單擺的周期會變小
C．用等大的銅球替代鐵球，單擺的周期不變
D．將單擺從赤道移到北極，單擺的周期會變大
C　[用大球替代小球，單擺擺長變長，由單擺周期公式T＝2π可知，單擺的周期變大，故A錯誤；由單擺周期公式T＝2π可知，在小擺角情況下，單擺做簡諧運動的周期與擺角無關，擺角從5°改為3°時，單擺周期不變，故B錯誤；用等大銅球替代鐵球，單擺擺長不變，由單擺周期公式T＝2π可知，單擺的周期不變，故C正確；將單擺從赤道移到北極，重力加速度g變大，由單擺周期公式T＝2π 可知，單擺周期變小，故D錯誤。]
2．(多選)將一單擺向左拉至圖示左側位置，從靜止釋放，當擺球運動到最低點時，擺線碰到障礙物，擺球繼續向右擺動。用頻閃照相機拍到如圖所示的單擺運動過程的頻閃照片，不計空氣阻力，以下說法正確的是(　　)
A．這個實驗動能和勢能可以相互轉化，轉化過程中機械能守恒
B．擺線碰到障礙物前后的擺長之比為9∶4
C．擺球經過最低點時，線速度不變，做圓周運動的半徑減小，擺線張力變大
D．擺球經過最低點時，角速度變大，做圓周運動的半徑減小，擺線張力不變
AC　[擺線即使碰到障礙物，擺線的拉力不做功，只有重力做功，所以其仍能回到原來的高度，機械能守恒，A正確；頻閃照片拍攝的時間間隔一定，由題圖可知，擺線與障礙物碰撞前后的周期之比為4∶3，根據單擺的周期公式T＝2π得，擺長之比為 16∶9, 故B錯誤；擺球經過最低點時，線速度不變，做圓周運動的半徑變小，根據F－mg＝m知，張力變大，根據v＝ωr，知角速度增大，故C正確，D錯誤。]
3．在“用單擺測重力加速度的大小”實驗中，小明作出擺線長L與周期T的L-T2圖像如圖所示，圖像的斜率為k，則當地的重力加速度大小為(　　)
A．4π2k　　B．　　C．4π2kb　　D．
A　[根據單擺的周期公式T＝2π，其中r為擺球半徑，變形可得L＝－r，根據圖像的斜率可知k＝，解得g＝4π2k。故選A。]
回歸本節知識，完成以下問題：
1．單擺看成簡諧運動的條件是什么？
提示：擺角θ較小(一般小于5°)，θ≈sin θ。
2．單擺的回復力是由哪個力提供？
提示：重力沿圓弧切線方向的分力。
3．單擺的周期由哪些因素決定？
提示：擺長、重力加速度。
4．單擺周期的表達式是什么？
提示：T＝2π。
課時分層作業(九)　單擺
?題組一　單擺的回復力
1．(多選)單擺是為研究振動而抽象出的理想化模型，其理想化條件是(　　)
A．擺線質量不計
B．擺線不伸縮
C．擺球的直徑比擺線長度小得多
D．擺角小于5°
ABC　[單擺由擺線和擺球組成，擺線只計長度不計質量，擺球只計質量不計大小，且擺線不伸縮，A、B、C正確，D錯誤。]
2．對于單擺的振動，下列說法正確的是(　　)
A．單擺振動時，擺球受到的向心力大小處處相等
B．單擺運動的回復力就是擺球受到的合力
C．擺球經過平衡位置時所受回復力為零
D．擺球經過平衡位置時所受合外力為零
C　[單擺振動時，擺球受到的向心力大小與其圓周運動的速度大小有關，即Fn＝m，因為速度大小時刻在變化，所以向心力大小不是處處相等，A錯誤；擺球受到的合力沿繩子方向的分力提供向心力，而沿切向的分力才為回復力，B錯誤；擺球運動到平衡位置時，合力在切向的分力為0，所以此時回復力也為0，C正確；擺球運動到平衡位置時，速度不為0，向心力不為0，根據合外力等于向心力可知，合外力不為0，D錯誤。故選C。]
?題組二　單擺的周期
3．要將秒擺的周期變為4 s，下列措施可行的是(　　)
A．只將擺球質量變為原來的
B．只將振幅變為原來的2倍
C．只將擺長變為原來的4倍
D．只將擺長變為原來的16倍
C　[單擺的周期與擺球的質量和振幅均無關，故A、B錯誤；對秒擺，T0＝2π＝2 s，對周期為4 s的單擺，T＝2π＝4 s，聯立解得l＝4l0，故C正確，D錯誤。]
4．如圖所示，三根細線在O點處打結，A、B端固定在同一水平面上相距為l的兩點上，使ΔAOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC線長也是l，下端C點系著一個小球(半徑可忽略)，下列說法正確的是(以下皆指擺動角度小于5°，重力加速度為g)(　　)
A．讓小球在紙面內振動，周期T＝2π
B．讓小球在垂直紙面內振動，周期T＝2π
C．讓小球在紙面內振動，周期T＝2π
D．讓小球在垂直紙面內振動，周期T＝2π
A　[讓小球在紙面內振動，在偏角很小時，單擺做簡諧運動，擺長為l，周期T＝2π，故A正確，C錯誤；讓小球在垂直紙面內振動，在偏角很小時，單擺做簡諧運動，由幾何關系可得O點到等效懸點的距離為h＝l cos 30°·sin 30°＝l，則等效擺長為L＝h＋l＝l，周期T′＝2π，故B、D錯誤。故選A。]
5．(人教版P59A組T5改編)如圖所示，兩個半徑大小相同、質量不同的小球m1和m2(m1A．與第一次碰撞時間間隔為1 s
B．與第一次碰撞時間間隔為2 s
C．在O點左側碰
D．在O點右側碰
A　[碰撞后，兩個小球做簡諧運動，周期為T＝2π＝2 s，運動時間與質量和速度無關，所以兩球總是回到最低點發生碰撞，時間間隔為t＝＝1 s。]
6．如圖所示的是同一地點的兩單擺甲、乙做簡諧運動時的振動圖像，下列說法正確的是(　　)
A．甲的擺長大于乙的擺長
B．甲擺的周期大于乙擺的周期
C．在t＝0.5 s時甲擺的回復力大于乙擺的回復力
D．在t＝1.0 s時乙的速率大于甲的速率
D　[由振動圖像知，甲和乙的周期相等均為2.0 s，根據單擺周期公式T＝2π，所以甲的擺長等于乙的擺長，故A、B錯誤；由振動圖像知，在t＝0.5 s時甲擺正經過平衡位置向x軸負方向運動，此時甲的回復力為零，該時刻乙離平衡位置最遠，所以回復力最大，故C錯誤；由振動圖像知，在t＝1.0 s時甲離平衡位置最遠，振動速度為零，而乙在平衡位置，速度最大，所以乙的速率大于甲的速率，故D正確。]
7．在盛沙的漏斗下方放一木板，讓漏斗在紙面內擺動起來，假設漏斗中細沙勻速流出，經過一段時間后，觀察木板上沙子的堆積情況，不考慮空氣阻力，則沙堆的剖面(紙面內)應是下列選項中的(　　)
A　　 　　B　 　　　　C　　　 D
B　[不考慮空氣阻力，漏斗在從最左端向最右端運動和從最右端向最左端運動時，到達中間位置時運動速度最快，漏到木板上的細沙最少，從中間到兩端運動時漏斗運動的速度逐漸變慢，故漏到木板上的細沙越來越多，B正確。]
8．如圖所示，處于豎直向下的勻強電場中帶正電荷的擺球，質量為m，半徑為r，用長為l的細線把擺球吊在懸點O處做成單擺，重力加速度為g，則這個單擺的周期為(　　)
A．T＝2π
B．T＝2π
C．大于T＝2π
D．小于T＝2π
D　[設電場強度為E，擺球所帶電荷量為q，當單擺所處系統中無豎直向下的勻強電場中時，單擺的周期為T＝2π；當單擺處于豎直向下的勻強電場中時，其等效重力加速度為g等效＝＝g＋>g，周期T′＝2π，所以單擺的周期減小，即T′9．(人教版P60B組T5改編)力傳感器連接到計算機上就可以測量快速變化的力。圖甲中O點為單擺的固定懸點，現將擺球拉至A點，此時細線處于張緊狀態，釋放擺球，則擺球將在豎直平面內的A、B、C之間來回擺動。B點為運動中的最低位置，∠AOB＝∠COB＝θ，θ小于5°且是未知量。圖乙是由計算機得到的細線對擺球的拉力大小F隨時間t變化的曲線，且圖中t＝0時刻為擺球從A點開始運動的時刻，擺球可視為質點，重力加速度g＝10 m/s2。下列說法正確的是(　　)
A．此單擺的振動周期為0.2π s
B．此單擺的擺長為0.4 m
C．此單擺擺球的質量為0.5 kg
D．此擺球運動過程中的最大速度為0.5 m/s
B　[小球在一個周期內兩次經過最低點，小球在最低點細線對擺球的拉力最大，則此單擺的振動周期為T＝2×(0.3π－0.1π)s＝0.4π s，故A錯誤；根據單擺周期公式T＝2π，解得此單擺的擺長為l＝0.4 m，故B正確；小球在最低點，根據牛頓第二定律可得Fmax－mg＝m，小球在最高點，根據牛頓第二定律可得Fmin＝mg cos θ，小球從最高點到最低點，根據動能定理可得mgl(1－cos θ)＝mv2，聯立解得m＝0.05 kg，v＝m/s，故C、D錯誤。故選B。]
10．(2024·河北卷)如圖所示，一電動機帶動輕桿在豎直框架平面內勻速轉動，輕桿一端固定在電動機的轉軸上，另一端懸掛一紫外光筆，轉動時紫外光始終豎直投射至水平鋪開的感光紙上，沿垂直于框架的方向勻速拖動感光紙，感光紙上就畫出了描述光點振動的x -t圖像。已知輕桿在豎直面內長0.1 m，電動機轉速為12 r/min。該振動的圓頻率和光點在12.5 s內通過的路程分別為(　　)
A．0.2 rad/s，1.0 m　　 B．0.2 rad/s，1.25 m
C．1.26 rad/s，1.0 m D．1.26 rad/s，1.25 m
C　[由于電動機的轉速為12 r/min，則光點1 min振動12個周期，故光點振動的周期T＝＝＝5 s，所以光點振動的圓頻率ω＝＝0.4π rad/s≈1.26 rad/s，A、B錯誤；由題意可知光點的振幅A＝0.1 m，又t＝12.5 s＝2.5T，則光點在12.5 s內通過的路程s＝2.5×4A＝10A＝1.0 m，C正確，D錯誤。]
11 / 174．單擺
[學習目標]　1．知道什么是單擺，了解單擺的構成及單擺的回復力。2．理解單擺做簡諧運動的條件，會利用圖像法分析單擺的運動。3．掌握單擺的周期公式，并能夠進行計算。4．通過分析單擺周期的影響因素，培養嚴謹的科學態度。
　單擺的回復力
【鏈接教材】　如人教版教材P46圖所示，一根細線上端固定，下端連接一個金屬小球，用手使擺球偏離豎直方向一個很小的夾角，然后靜止釋放，擺球沿圓弧做往復運動，不計空氣的阻力。
問題1　小球的平衡位置在哪里？
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問題2　小球擺動過程中受到哪些力的作用？什么力提供向心力？什么力提供回復力？
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問題3　小球經過平衡位置時回復力為零，合外力也為零嗎？
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【知識梳理】　
1．單擺
(1)實際擺看成單擺的條件
①細線的長度不可改變。
②細線的______與小球相比可以忽略。
③小球的______與線的長度相比可以忽略。
④__________與擺球的重力及細線的拉力相比可以忽略。
(2)單擺是實際擺的理想化模型。
2．單擺的回復力
(1)回復力的來源：擺球的重力沿__________方向的分力，即F＝__________________。
(2)回復力的特點：在擺角很____的條件下，sin θ≈θ≈(其中x為偏離平衡位置的位移)，單擺的回復力F＝______，令k＝，則F＝________。
3．單擺的運動規律：在擺角______時，單擺做______運動。
【思考討論】　判斷以下裝置能否看成單擺？若不能，請說明原因。
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【知識歸納】
1．單擺的受力分析：如圖所示。
(1)單擺受力：受細線拉力和重力作用。
(2)向心力來源：細線拉力和重力沿徑向分力的合力。
(3)回復力來源：重力沿圓弧切線方向的分力F＝mg sin θ，提供了使擺球振動的回復力。
2．單擺的運動特點
擺球實際上做兩個運動：一是在平衡位置兩側做往復運動，二是繞懸點做圓周運動。擺球所受的回復力是重力沿圓弧切線方向上的分力，而不是擺球所受到的合力。當擺球經過平衡位置時，所受回復力為零，而所受合力不為零，此時合力提供擺球做圓周運動的向心力。實際上，運動過程中沿擺線方向上的合力一直提供擺球做圓周運動的向心力。
3．單擺做簡諧運動的規律
(1)單擺做簡諧運動的位移—時間(x-t)圖像是一條正弦(或余弦)曲線。
(2)單擺振動過程中各量的變化特點
位置或過程 位移、回復力、 加速度 速度、動能 重力勢能
最高點 最大 零 最大
最低點 零 最大 最小
遠離平衡 位置運動 越來越大 越來越小 越來越大
衡 位置運動 越來越小 越來越大 越來越小
【典例1】　(單擺的受力特征)(多選)如圖所示為均勻小球在做單擺運動，平衡位置為O點，A、B為最大位移處，M、N兩點關于O點對稱。下列說法正確的是(　　)
A．小球受重力、繩子拉力和回復力
B．小球所受合外力就是單擺的回復力
C．小球在O點時合外力不為0，回復力為0
D．小球在M點的位移與小球在N點的位移大小相等
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【典例2】　(單擺的圖像問題)如圖所示，長為l的細繩下方懸掛一小球a，繩的另一端固定在天花板上O′點處。將小球向右拉開，使細繩與豎直方向成一小角度(小于5°)后由靜止釋放，并從釋放時開始計時。小球相對于平衡位置O的水平位移為x，取向右為正方向，則小球在一個周期內的振動圖像為(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
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　單擺的周期
1．探究單擺的振幅、質量、擺長對周期的影響
(1)探究方法：__________法。
(2)實驗結論
①單擺振動的周期與擺球質量______。
②周期與振幅______。
③擺長越長，周期______；擺長越短，周期______。
2．周期公式
(1)提出：由荷蘭物理學家________首先提出。
(2)公式：T＝______，即單擺做簡諧運動的周期T與擺長l的二次方根成______，與重力加速度g的二次方根成______，而與振幅、擺球質量無關。
提醒：(1)單擺的周期只與其擺長和當地的重力加速度有關，而與振幅和擺球質量無關，它又叫作單擺的固有周期。單擺周期公式的成立條件為擺角θ<5°。
(2)周期為2 s的單擺叫作秒擺。秒擺的擺長約為1 m。
【思考討論】　惠更斯利用擺的等時性發明了帶擺的計時器，叫擺鐘。擺鐘運行時克服摩擦所需的能量由重錘的勢能提供，運行的速率由鐘擺控制。旋轉鐘擺下端的螺母可以使擺上的圓盤沿擺桿上下移動。
問題1　擺針走時偏快時應如何校準？
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問題2　將一個走時準確的擺鐘從廣州市移到北京市，擺鐘應如何校準？
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【知識歸納】　
1．對單擺周期公式T＝2π的理解
(1)T與擺長l和當地的重力加速度g有關。
(2)T與振幅和擺球質量無關，故T又叫作單擺的固有周期。
(3)適用條件：擺角很小(一般小于5°)。
2．對擺長l和重力加速度g的理解
(1)擺長l：指從懸點到擺球重心的長度。
①對于實際的單擺，擺長l＝l′＋，l′為擺線長，D為擺球直徑。
②等效擺長：
(a)圖中小球在O點右側運動時擺長為L，在O點左側運動時擺長為L。
(b)圖中，甲、乙在垂直紙面方向上擺動起來效果是相同的，故甲擺的等效擺長為l sin α，其周期T＝2π。
(c)圖中，乙在垂直紙面方向擺動時，其等效擺長等于甲擺的擺長；乙在紙面內小角度擺動時，等效擺長等于丙擺的擺長。
(2)對重力加速度g的理解
①公式中的g由單擺所在地的空間位置決定
在地球表面不同位置、不同高度g是不同的，在不同星球上g也不相同，因此應求出單擺所在處的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2。
②等效重力加速度
(a)若單擺系統處在多力存在的平衡態，則一般情況下，g值等于擺球相對靜止在自己的平衡位置時，擺線所受的張力與擺球質量的比值。如圖甲所示的斜面擺，球靜止在O點時，FT＝mg sin θ，等效加速度g′＝＝g sin θ；又如圖乙所示的電場中，帶電荷量為q(q>0)的小球靜止于圖示位置時，擺線拉力FT＝，等效加速度g′＝＝。
(b)單擺處于超重或失重狀態時等效重力加速度g0＝g±a。在近地軌道上運動的衛星加速度a＝g，為完全失重，等效重力加速度g0＝0。
【典例3】　(單擺周期公式的應用)用細線懸掛一小球，保持擺線長度一定，選項A、B兩種情況下小球做振幅不同的單擺運動，選項C、D兩種情況下小球做高度不同的圓錐擺運動，則四種情況中周期最短的是(　　)
　　
A　　　　B　　　　　C　　　　　D
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【典例4】　(人教版P50T3改編)(單擺的振動圖像)位于同一地點的甲、乙兩個單擺做簡諧運動的圖像如圖所示，則下列說法中不正確的是(　　)
A．甲、乙兩擺的擺長之比為1∶4
B．t＝4 s時，乙擺剛好擺到平衡位置
C．由于甲的振幅比乙大，所以甲擺的機械能大于乙擺
D．甲、乙兩擺的振幅之比為2∶1
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【典例5】　(等效擺長)(2024·浙江6月選考)如圖所示，不可伸長的光滑細線穿過質量為0.1 kg的小鐵球，兩端A、B懸掛在傾角為30°的固定斜桿上，間距為1.5 m。小球平衡時，A端細線與桿垂直；當小球受到垂直紙面方向的擾動做微小擺動時，等效于懸掛點位于小球重垂線與AB交點的單擺，則(　　)
A．擺角變小，周期變大
B．小球擺動周期約為2 s
C．小球平衡時，A端拉力為 N
D．小球平衡時，A端拉力小于B端拉力
【典例6】　(類單擺模型)如圖所示，光滑圓槽的半徑R遠大于小球運動的弧長。甲、乙、丙三個小球(均可視為質點)同時由靜止釋放，開始時，甲球比乙球離槽最低點O遠些，丙球在槽的圓心處。則以下關于它們第一次到達點O的先后順序的說法正確的是(　　)
A．乙先到，然后甲到，丙最后到
B．丙先到，然后甲、乙同時到
C．丙先到，然后乙到，甲最后到
D．甲、乙、丙同時到
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【典例7】　(等效重力加速度問題)如圖所示，有幾個相同單擺在不同條件下，關于它們的周期關系，下列判斷正確的是(　　)
A．T1＞T2＞T3＞T4　
B．T1＜T2＝T3＜T4
C．T1＞T2＝T3＞T4
D．T1＜T2＜T3＜T4
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1．某單擺由1 m長的擺線連接一個直徑為2 cm 的鐵球組成。關于單擺周期，下列說法正確的是(　　)
A．用大球替代小球，單擺的周期不變
B．擺角從5°改為3°，單擺的周期會變小
C．用等大的銅球替代鐵球，單擺的周期不變
D．將單擺從赤道移到北極，單擺的周期會變大
2．(多選)將一單擺向左拉至圖示左側位置，從靜止釋放，當擺球運動到最低點時，擺線碰到障礙物，擺球繼續向右擺動。用頻閃照相機拍到如圖所示的單擺運動過程的頻閃照片，不計空氣阻力，以下說法正確的是(　　)
A．這個實驗動能和勢能可以相互轉化，轉化過程中機械能守恒
B．擺線碰到障礙物前后的擺長之比為9∶4
C．擺球經過最低點時，線速度不變，做圓周運動的半徑減小，擺線張力變大
D．擺球經過最低點時，角速度變大，做圓周運動的半徑減小，擺線張力不變
3．在“用單擺測重力加速度的大小”實驗中，小明作出擺線長L與周期T的L-T2圖像如圖所示，圖像的斜率為k，則當地的重力加速度大小為(　　)
A．4π2k　　B．　　C．4π2kb　　D．
回歸本節知識，完成以下問題：
1．單擺看成簡諧運動的條件是什么？
2．單擺的回復力是由哪個力提供？
3．單擺的周期由哪些因素決定？
4．單擺周期的表達式是什么？
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