資源簡介

2．簡諧運動的描述
[學習目標]　1．理解簡諧運動的振幅、周期、頻率、相位和初相位的概念。2．知道周期和頻率的關系。3．知道簡諧運動的表達式，掌握表達式中各物理量的意義，體會數形結合思想的應用。4．通過實例觀察探究測量物體振動周期的方法。
　簡諧運動的振幅、周期和頻率
【鏈接教材】　如人教版教材P36圖所示。
M點和M′點表示水平彈簧振子在平衡位置O點右端及左端的最遠位置。
問題1　小球離開平衡位置的最大距離是多少？小球的位移大小與A之間是什么關系？
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問題2　從M′點開始，經歷什么過程才算完成了一次周期性運動？小球從任意一點P0向左運動，再回到P0向右運動，算是一次全振動嗎？
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問題3　先后將振子拉到P0點和M點由靜止釋放，兩種情況下振子振動的周期相同嗎？振子完成一次全振動通過的位移相同嗎？路程相同嗎？
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【知識梳理】　
1．振幅
(1)定義：振動物體離開平衡位置的__________，叫作振動的振幅。用A表示，國際單位為米(m)。
(2)物理意義：振幅是描述振動______大小的物理量；振動物體的運動范圍是振幅的______。
2．周期和頻率
(1)全振動
類似于O→M→O→M′→O的一個________振動過程稱為一次全振動。
提醒：不管以哪個位置作為研究的起點，做簡諧運動的物體完成一次全振動的時間總是相同的。
(2)周期(T)和頻率( f )
①周期T：做簡諧運動的物體完成一次________所需要的時間，叫作振動的周期。單位：____。
②頻率f：物體完成________的次數與所用時間之比叫作振動的頻率。單位：______，簡稱赫，符號是______。
③周期T與頻率f的關系式：f＝。
提醒：簡諧運動的頻率不是用來描述振動物體某時刻運動快慢的物理量，而是用來描述一次全振動快慢的物理量。
④ω：一個與周期成反比、與頻率成正比的量，叫作簡諧運動的“圓頻率”，表示簡諧運動的快慢，ω＝＝________。
【思考討論】
問題1　做簡諧運動的物體，一個周期內，路程和振幅有什么定量關系？半個周期呢？
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問題2　同一個振動系統，振動周期與振幅有關嗎？
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【知識歸納】
1．全振動的“四個特征”
(1)物理量特征：位移x、加速度a、速度v三者第一次同時與初始狀態相同。
(2)時間特征：歷時一個周期。
(3)路程特征：振幅的4倍。
(4)相位特征：增加2π。
2．簡諧運動中振幅與位移、路程、周期的關系
振幅與位移 (1)振幅等于位移的最大值 (2)同一簡諧運動中振幅是確定的，而位移隨時間做周期性的變化
振幅與路程 振動中的路程是隨時間不斷增大的，不同時間內路程與振幅的對應關系： (1)t＝T時，s＝4A(t＝nT時，s＝n·4A) (2)t＝T時，s＝2A (3)t＝T時，可能有s＝A、s>A、s振幅與周期 在簡諧運動中，一個確定的振動系統的周期(或頻率)是固定的，與振幅無關
【典例1】　(簡諧運動的位移、振幅和路程的關系)一質點做簡諧運動，振幅為A、周期為T，O為平衡位置，B、C為兩側最大位移處。P為運動軌跡上的一點，P點與O、B、C三點均不重合，從質點經過P點時開始計時，下列說法正確的是(　　)
A．經過時，質點的速度與經過P點時的速度相同
B．經過，質點的路程等于2A
C．經過，質點的路程不可能大于A
D．經過，質點的瞬時速度不可能與經過P點時相等
思路點撥：求解本題的關鍵是明確簡諧運動的振幅、周期的含義，知道一個周期內質點的路程等于振幅的4倍、半個周期內質點的路程等于振幅的2倍。內質點的路程可能等于一個振幅，也可能大于或小于一個振幅。
[聽課記錄]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【典例2】　(人教版P42T1改編)(簡諧運動的周期性及多解性)(多選)一個小球在平衡位置O點附近做簡諧運動，若從O點開始計時，經過3 s小球第一次經過M點，再繼續運動，又經過2 s它第二次經過M點，則該小球做簡諧運動的周期可能為(　　)
A． s　　B． s　　C．16 s　　D．14 s
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　對簡諧運動的周期性和對稱性的理解
(1)簡諧運動是一種周而復始的周期性的運動，按其周期性可做如下判斷：
①若t2－t1＝nT(n＝0，1，2，…)，則t1、t2兩時刻振動物體在同一位置，運動情況相同。
②若t2－t1＝nT＋T(n＝0，1，2，…)，則t1、t2兩時刻，描述振動物體運動的物理量(x、F、a、v)均大小相等、方向相反。
(2)簡諧運動的對稱性可分為空間對稱性和時間對稱性。
①空間對稱性：經過平衡位置兩側的對稱點時，加速度的大小相等，方向相反；速度的大小相等，方向可能相同，可能相反；動能相同。
②時間對稱性：不論是從對稱點回到平衡位置，還是從平衡位置運動到對稱點，所用時間相等。
　相位
【鏈接教材】　如人教版教材P38圖為兩個完全相同的彈簧振子。
問題1　將兩個小球向下拉相同的距離后同時放開，可以看到什么現象？
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問題2　若當第一個小球到達平衡位置時再釋放第二個，可以看到什么現象？
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問題3　如何描述上述現象的不同？
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【知識梳理】　
1．相位
物理學中把__________叫作相位。φ是t＝0時的相位，稱作________，或初相。
2．相位差
(1)定義：兩個具有相同______的簡諧運動的相位之差。
(2)表示：兩個簡諧運動的頻率相同，其初相分別是φ1和φ2，當φ1>φ2時，它們的相位差是Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝____________。
(3)意義：表示1的相位比2______Δφ，或者說2的相位比1______Δφ。
提醒：比較相位或計算相位差時，要用同種函數來表示振動方程。
3．簡諧運動的位移表達式
簡諧運動的表達式可以寫成x＝__________________________或x＝______________。振幅、周期、初相位是描述簡諧運動特征的物理量。
【思考討論】　如圖所示，質點M沿半徑A＝10 cm的圓周逆時針勻速轉動，角速度ω＝2π，初始時刻(t＝0)M點在x軸上的投影P點坐標xP＝5 cm。
問題1　寫出該簡諧運動的位移表達式。
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問題2　物體的初相位是多少？0.5 s末的相位是多少？
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【知識歸納】
1．相位差的取值范圍、同相和反相、超前和滯后
(1)相位差的取值范圍：－π≤Δφ≤π。
(2)同相和反相：Δφ＝0，表明兩振動步調完全相同，稱為同相；Δφ＝π，表明兩振動步調完全相反，稱為反相。
(3)超前和滯后：Δφ＞0，表示振動1比振動2超前；Δφ<0，表示振動1比振動2滯后。
2．對簡諧運動的表達式x＝A sin 的理解
(1)表達式反映了做簡諧運動的物體的位移x隨時間t的變化規律。
(2)根據表達式結合ω＝＝2πf可確定ω、T、f。
(3)根據表達式可求解某時刻的位移。
(4)表達式反映了簡諧運動的周期性：
當Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝n·2π(n＝0，1，2，…)時，即Δt＝t2－t1＝＝nT(n＝0，1，2，…)時，振子位移相同，每經過一個周期T完成一次全振動。
【典例3】　[鏈接教材P39例題](簡諧運動的描述)如圖所示，彈簧振子以O點為平衡位置，在B、C兩點間做簡諧運動。在t＝0時刻，振動物體從O、B間的P點以速度v向B點運動；在t＝0.2 s時，振動物體的速度第一次變為－v；在t＝0.5 s時，振動物體的速度第二次變為－v。
(1)求彈簧振子的振動周期T；
(2)若B、C之間的距離為25 cm，求振動物體在4.0 s內通過的路程；
(3)若B、C之間的距離為25 cm，從振動物體經過平衡位置向B運動開始計時，寫出彈簧振子的位移表達式。
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【典例4】　(簡諧運動的函數表達式)如圖所示，半徑為R的圓盤邊緣有一釘子B，在水平光線下，圓盤的轉軸A和釘子B在右側墻壁上形成影子O和P，以O為原點在豎直方向上建立x坐標系。t＝0時從圖示位置沿逆時針方向勻速轉動圓盤，角速度為ω，則P做簡諧運動的表達式為(　　)
A．x＝R sin 　 B．x＝R sin
C．x＝2R sin D．x＝2R sin
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1．(多選)如圖所示，彈簧振子以O點為平衡位置，在B、C間振動，不考慮摩擦，則(　　)
A．從B→O→C→O→B為一次全振動
B．從O→B→O→C→B為一次全振動
C．從C→O→B→O→C為一次全振動
D．B、C兩點關于O點對稱
2．一個做簡諧運動的質點，它的振幅是4 cm，頻率是2.5 Hz，該質點從平衡位置開始經過2.5 s后，位移的大小和經過的路程為(　　)
A．4 cm　10 cm　 B．4 cm　100 cm
C．0　24 cm D．0　100 cm
3．如圖所示，滑塊在M、N之間做簡諧運動。以平衡位置O為原點，建立Ox軸，向右為x軸正方向。若滑塊位于N點時開始計時，則其振動圖像為(　　)
A　　　　 　　　　B
C　　　 　　　　　D
回歸本節知識，完成以下問題：
1．描述簡諧運動的物理量有哪些？
2．如何判斷一個振動過程是否為一個全振動？
3．簡諧運動的表達式中含有哪些物理信息？
9 / 92．簡諧運動的描述
[學習目標]　1．理解簡諧運動的振幅、周期、頻率、相位和初相位的概念。2．知道周期和頻率的關系。3．知道簡諧運動的表達式，掌握表達式中各物理量的意義，體會數形結合思想的應用。4．通過實例觀察探究測量物體振動周期的方法。
[教用·問題初探]——通過讓學生回答問題來了解預習教材的情況
問題1　彈簧振子位移與運動時間關系的函數表達式是怎樣的？表達式中的各個物理量與簡諧運動有什么關聯？
問題2　怎樣研究彈簧振子的周期與振幅的關系？
問題3　怎樣描述振動物體在各個時刻所處的振動狀態？
　簡諧運動的振幅、周期和頻率
【鏈接教材】　如人教版教材P36圖所示。
M點和M′點表示水平彈簧振子在平衡位置O點右端及左端的最遠位置。
問題1　小球離開平衡位置的最大距離是多少？小球的位移大小與A之間是什么關系？
提示：振幅A，|x|≤A。
問題2　從M′點開始，經歷什么過程才算完成了一次周期性運動？小球從任意一點P0向左運動，再回到P0向右運動，算是一次全振動嗎？
提示：M′→O →M→O→M′的一個全振動即完成了一次周期性運動；不是。
問題3　先后將振子拉到P0點和M點由靜止釋放，兩種情況下振子振動的周期相同嗎？振子完成一次全振動通過的位移相同嗎？路程相同嗎？
提示：周期相同，振動的周期取決于振動系統本身，與振幅無關。位移相同，均為零。路程不相同，一個周期內振子通過的路程與振幅有關。
【知識梳理】　
1．振幅
(1)定義：振動物體離開平衡位置的最大距離，叫作振動的振幅。用A表示，國際單位為米(m)。
(2)物理意義：振幅是描述振動幅度大小的物理量；振動物體的運動范圍是振幅的兩倍。
2．周期和頻率
(1)全振動
類似于O→M→O→M′→O的一個完整的振動過程稱為一次全振動。
提醒：不管以哪個位置作為研究的起點，做簡諧運動的物體完成一次全振動的時間總是相同的。
(2)周期(T)和頻率( f )
①周期T：做簡諧運動的物體完成一次全振動所需要的時間，叫作振動的周期。單位：秒。
②頻率f：物體完成全振動的次數與所用時間之比叫作振動的頻率。單位：赫茲，簡稱赫，符號是Hz。
③周期T與頻率f的關系式：f＝。
提醒：簡諧運動的頻率不是用來描述振動物體某時刻運動快慢的物理量，而是用來描述一次全振動快慢的物理量。
④ω：一個與周期成反比、與頻率成正比的量，叫作簡諧運動的“圓頻率”，表示簡諧運動的快慢，ω＝＝2πf。
【思考討論】
問題1　做簡諧運動的物體，一個周期內，路程和振幅有什么定量關系？半個周期呢？
提示：無論從什么位置開始計時，振動物體在一個周期內通過的路程均為4A。
無論從什么位置開始計時，振動物體在半個周期內通過的路程均為2A。
問題2　同一個振動系統，振動周期與振幅有關嗎？
提示：一個振動系統的周期有確定的值，由振動系統本身的性質決定，與振幅無關。
【知識歸納】
1．全振動的“四個特征”
(1)物理量特征：位移x、加速度a、速度v三者第一次同時與初始狀態相同。
(2)時間特征：歷時一個周期。
(3)路程特征：振幅的4倍。
(4)相位特征：增加2π。
2．簡諧運動中振幅與位移、路程、周期的關系
振幅與位移 (1)振幅等于位移的最大值 (2)同一簡諧運動中振幅是確定的，而位移隨時間做周期性的變化
振幅與路程 振動中的路程是隨時間不斷增大的，不同時間內路程與振幅的對應關系： (1)t＝T時，s＝4A(t＝nT時，s＝n·4A) (2)t＝T時，s＝2A (3)t＝T時，可能有s＝A、s>A、s振幅與周期 在簡諧運動中，一個確定的振動系統的周期(或頻率)是固定的，與振幅無關
【典例1】　(簡諧運動的位移、振幅和路程的關系)一質點做簡諧運動，振幅為A、周期為T，O為平衡位置，B、C為兩側最大位移處。P為運動軌跡上的一點，P點與O、B、C三點均不重合，從質點經過P點時開始計時，下列說法正確的是(　　)
A．經過時，質點的速度與經過P點時的速度相同
B．經過，質點的路程等于2A
C．經過，質點的路程不可能大于A
D．經過，質點的瞬時速度不可能與經過P點時相等
思路點撥：求解本題的關鍵是明確簡諧運動的振幅、周期的含義，知道一個周期內質點的路程等于振幅的4倍、半個周期內質點的路程等于振幅的2倍。內質點的路程可能等于一個振幅，也可能大于或小于一個振幅。
B　[根據振動的周期性可知，經過半個周期后，質點速度方向一定與開始時速度的方向相反，故A錯誤；根據振動的周期性可知，經過半個周期質點的路程等于2A，故B正確；質點在平衡位置附近的速度較大，而在最大位移附近的速度較小，所以若質點從P點開始運動時的方向指向平衡位置，則質點在內的路程要大于A；若質點從P點開始運動時的方向遠離平衡位置，則質點在內的路程要小于A，故C錯誤；若質點開始時向平衡位置運動，經過，若質點到達與P對稱的位置，則質點的瞬時速度與經過P時的瞬時速度是相等的，故D錯誤。故選B。]
【典例2】　(人教版P42T1改編)(簡諧運動的周期性及多解性)(多選)一個小球在平衡位置O點附近做簡諧運動，若從O點開始計時，經過3 s小球第一次經過M點，再繼續運動，又經過2 s它第二次經過M點，則該小球做簡諧運動的周期可能為(　　)
A． s　　B． s　　C．16 s　　D．14 s
AC　[設a、b為小球做簡諧運動的兩個端點，O為平衡位置。
①若小球開始運動的方向先向左，再向M點運動，運動圖線如圖甲所示。
甲
則運動過程中，O→a→M用時3 s，M→b→M用時2 s，故M→b用時1 s，O→a→M→b用時4 s，即＝4 s，所以T＝ s。
②若小球開始運動的方向向右，經過M點繼續向右運動，運動圖線如圖乙所示。
乙
則運動過程中，O→M用時3 s，M→b→M用時2 s，故M→b用時1 s，O→b用時4 s，即＝4 s，所以T＝16 s。
由①②分析可得，小球做簡諧運動的可能周期是 s或16 s。選項A、C正確。]
　對簡諧運動的周期性和對稱性的理解
(1)簡諧運動是一種周而復始的周期性的運動，按其周期性可做如下判斷：
①若t2－t1＝nT(n＝0，1，2，…)，則t1、t2兩時刻振動物體在同一位置，運動情況相同。
②若t2－t1＝nT＋T(n＝0，1，2，…)，則t1、t2兩時刻，描述振動物體運動的物理量(x、F、a、v)均大小相等、方向相反。
(2)簡諧運動的對稱性可分為空間對稱性和時間對稱性。
①空間對稱性：經過平衡位置兩側的對稱點時，加速度的大小相等，方向相反；速度的大小相等，方向可能相同，可能相反；動能相同。
②時間對稱性：不論是從對稱點回到平衡位置，還是從平衡位置運動到對稱點，所用時間相等。
【教用·備選例題】
1．(簡諧運動的周期性及多解性)(多選)彈簧振子以O點為平衡位置做簡諧運動，從經過O點開始計時，振子第一次到達P點時用了0.3 s，又經過0.2 s第二次經過P點，則振子第三次經過P點還要經過的時間可能是(　　)
A．1.6 s　　B．1.4 s　　C． s　　D．0.8 s
BC　[假設彈簧振子在B、C之間振動，如圖甲所示，若振子開始先向左振動，振子的振動周期T＝×4 s＝ s，則振子第三次通過P點還要經過時間t＝ s－0.2 s＝ s；如圖乙所示，若振子開始先向右振動，振子的振動周期T′＝4× s＝1.6 s，則振子第三次通過P點還要經過時間t′＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s, 故B、C正確，A、D錯誤。
]
2．(簡諧運動的周期性和對稱性)一彈簧振子做簡諧運動，周期為T，則(　　)
A．若t時刻和t＋Δt時刻振子運動位移的大小相等、方向相同，則Δt一定等于T的整數倍
B．若t時刻和t＋Δt時刻振子運動速度的大小相等、方向相反，則Δt一定等于的整數倍
C．若Δt＝T，則在t時刻和t＋Δt時刻振子運動的加速度一定相等
D．若Δt＝，則在t時刻和t＋Δt時刻彈簧的長度一定相等
C　[彈簧振子做簡諧運動的振動圖像如圖所示，圖中A點與B、E、F、I等點的振動位移大小相等，方向相同。由圖可知，A點與E、I等點對應的時間差為T或T的整數倍，A點與B、F等點對應的時間差不為T或T的整數倍，選項A錯誤；圖中A點跟B、C、F、G等點的振動速度大小相等，方向相反，由圖可知A點與C、G等點對應的時間差為或的整數倍，A點與B、F等點對應的時間差不為或的整數倍，選項B錯誤；如果t時刻和t＋Δt時刻相差一個周期T，則振子在這兩個時刻的振動情況完全相同，加速度一定相等，選項C正確；除在平衡位置時，如果t時刻和t＋Δt時刻相差半個周期，則這兩個時刻振子的位移大小相等，方向相反，彈簧的長度顯然是不相等的，選項D錯誤。
]
3．(簡諧運動的周期、振幅)(多選)如圖所示，沿水平方向做簡諧運動的質點，依次通過相距L的A、B兩點。已知質點在A點的位移大小為振幅的一半，B點位移大小是A點的倍，質點經過A點時開始計時，t時刻第二次經過B點，該振動的振幅和周期可能是(　　)
A．，3t　　 B．，4t
C．t D．t
BC　[作出質點的振動圖像，如圖所示，若平衡位置在A點的右側，則有＝L，解得振幅A＝，質點從A點到第二次經過B點的時間為t，則有＝t，解得周期T＝；若平衡位置在A點的左側，則有＝L，解得振幅A＝，質點從A點到第二次經過B點的時間為t，則有＝t，解得周期T＝4t，B、C正確，A、D錯誤。]
　相位
【鏈接教材】　如人教版教材P38圖為兩個完全相同的彈簧振子。
問題1　將兩個小球向下拉相同的距離后同時放開，可以看到什么現象？
提示：兩個小球在相同位置同時釋放，同時經過平衡位置、同時到達最高點、同時回到平衡位置、同時回到最低點……兩個小球的振動步調完全一致。
問題2　若當第一個小球到達平衡位置時再釋放第二個，可以看到什么現象？
提示：當第一個小球到達最高點時，第二個剛剛到達平衡位置，而當第二個小球到達最高點時，第一個已經返回平衡位置了。與第一個小球相比，第二個小球總是滯后個周期。
問題3　如何描述上述現象的不同？
提示：問題(1)中兩個彈簧振子的相位相同、相位差為零；問題(2)中兩個彈簧振子的相位不同、相位差為。
【知識梳理】　
1．相位
物理學中把ωt＋φ叫作相位。φ是t＝0時的相位，稱作初相位，或初相。
2．相位差
(1)定義：兩個具有相同頻率的簡諧運動的相位之差。
(2)表示：兩個簡諧運動的頻率相同，其初相分別是φ1和φ2，當φ1>φ2時，它們的相位差是Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝φ1－φ2。
(3)意義：表示1的相位比2超前Δφ，或者說2的相位比1落后Δφ。
提醒：比較相位或計算相位差時，要用同種函數來表示振動方程。
3．簡諧運動的位移表達式
簡諧運動的表達式可以寫成x＝A sin (ωt＋φ)或x＝A sin 。振幅、周期、初相位是描述簡諧運動特征的物理量。
【思考討論】　如圖所示，質點M沿半徑A＝10 cm的圓周逆時針勻速轉動，角速度ω＝2π，初始時刻(t＝0)M點在x軸上的投影P點坐標xP＝5 cm。
問題1　寫出該簡諧運動的位移表達式。
提示：x＝10sin 。
問題2　物體的初相位是多少？0.5 s末的相位是多少？
提示：φ0＝；0.5 s末的相位φ＝2π×0.5＋＝。
【知識歸納】
1．相位差的取值范圍、同相和反相、超前和滯后
(1)相位差的取值范圍：－π≤Δφ≤π。
(2)同相和反相：Δφ＝0，表明兩振動步調完全相同，稱為同相；Δφ＝π，表明兩振動步調完全相反，稱為反相。
(3)超前和滯后：Δφ＞0，表示振動1比振動2超前；Δφ<0，表示振動1比振動2滯后。
2．對簡諧運動的表達式x＝A sin 的理解
(1)表達式反映了做簡諧運動的物體的位移x隨時間t的變化規律。
(2)根據表達式結合ω＝＝2πf可確定ω、T、f。
(3)根據表達式可求解某時刻的位移。
(4)表達式反映了簡諧運動的周期性：
當Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝n·2π(n＝0，1，2，…)時，即Δt＝t2－t1＝＝nT(n＝0，1，2，…)時，振子位移相同，每經過一個周期T完成一次全振動。
【典例3】　[鏈接教材P39例題](簡諧運動的描述)如圖所示，彈簧振子以O點為平衡位置，在B、C兩點間做簡諧運動。在t＝0時刻，振動物體從O、B間的P點以速度v向B點運動；在t＝0.2 s時，振動物體的速度第一次變為－v；在t＝0.5 s時，振動物體的速度第二次變為－v。
(1)求彈簧振子的振動周期T；
(2)若B、C之間的距離為25 cm，求振動物體在4.0 s內通過的路程；
(3)若B、C之間的距離為25 cm，從振動物體經過平衡位置向B運動開始計時，寫出彈簧振子的位移表達式。
[解析]　(1)根據簡諧運動的對稱性和題意可知，振動物體完成半次全振動所用時間為0.5 s，則T＝0.5×2 s＝1.0 s。
(2)若B、C之間的距離為25 cm，則振幅A＝×25 cm＝12.5 cm，振動物體4.0 s內通過的路程s＝×4×12.5 cm＝200 cm。
(3)根據物體做簡諧運動的表達式x＝A sin ωt，A＝12.5 cm，ω＝＝2π rad/s，得x＝12.5sin 2πt(cm)。
[答案]　(1)1.0 s　(2)200 cm　(3)x＝12.5sin 2πt(cm)
【教材原題P39例題】　如圖2.2-5，彈簧振子的平衡位置為O點，在B、C兩點之間做簡諧運動。B、C相距20 cm。小球經過B點時開始計時，經過0.5 s首次到達C點。
(1)畫出小球在第一個周期內的x-t圖像。
(2)求5 s內小球通過的路程及5 s末小球的位移。
分析　根據簡諧運動的位移與時間的函數關系，可以畫出簡諧運動的x-t圖像。
要得到簡諧運動的位移與時間的函數關系，就需要首先確定計時的起點，進而確定初相位。根據振幅、周期及初相位寫出位移與時間的函數關系，畫出圖像。
我們也可以采用描點法來畫出位移—時間圖像。根據題意，可以確定計時起點的位移、通過平衡位置及最大位移處的時刻，在x-t圖上描出這些特殊坐標點，根據正弦圖像規律畫出圖像。
根據簡諧運動的周期性，經過一個周期，小球回到起始位置，通過的路程為振幅的4倍。據此，可以求出5 s內小球通過的路程及5 s末小球的位移。
[解析]　(1)以O點作為坐標原點，沿OB建立坐標軸，如圖2.2-5所示。以小球從B點開始運動的時刻作為計時起點，用正弦函數來表示小球的位移—時間關系，則函數的初相位為。
由于小球從最右端的B點運動到最左端的C點所用時間為0.5 s，所以振動的周期T＝1.0 s；由于B點和C點之間的距離為0.2 m，所以，振動的振幅A＝0.1 m。
根據x＝A sin ，可得小球的位移—時間關系為
x＝0.1sin m
據此，可以畫出小球在第一個周期內的位移—時間圖像，如圖2.2-6所示。
(2)由于振動的周期T＝1 s，所以在時間t＝5 s內，小球一共做了n＝＝5次全振動。小球在一次全振動中通過的路程為4 A＝0.4 m，所以小球運動的路程為s＝5×0.4 m＝2 m；經過5次全振動后，小球正好回到B點，所以小球的位移為0.1 m。
[答案]　見解析
【典例4】　(簡諧運動的函數表達式)如圖所示，半徑為R的圓盤邊緣有一釘子B，在水平光線下，圓盤的轉軸A和釘子B在右側墻壁上形成影子O和P，以O為原點在豎直方向上建立x坐標系。t＝0時從圖示位置沿逆時針方向勻速轉動圓盤，角速度為ω，則P做簡諧運動的表達式為(　　)
A．x＝R sin 　 B．x＝R sin
C．x＝2R sin D．x＝2R sin
B　[由題圖可知，影子P做簡諧運動的振幅為R，以向上為正方向，設P的振動方程為x＝R sin (ωt＋φ)。由題圖可知，當t＝0時，P的位移為R，代入振動方程解得φ＝，則P做簡諧運動的表達式為x＝R sin ，故B正確，A、C、D錯誤。]
1．(多選)如圖所示，彈簧振子以O點為平衡位置，在B、C間振動，不考慮摩擦，則(　　)
A．從B→O→C→O→B為一次全振動
B．從O→B→O→C→B為一次全振動
C．從C→O→B→O→C為一次全振動
D．B、C兩點關于O點對稱
ACD　[O點為平衡位置，B、C為兩側最遠點，則從B起經O、C、O、B的路程為振幅的4倍，為一次全振動，A正確；從O起經B、O、C、B的路程為振幅的5倍，超過一次全振動，B錯誤；從C起經O、B、O、C的路程為振幅的4倍，為一次全振動，C正確；因不考慮彈簧振子的系統的摩擦，所以它的振幅一定，故B、C兩點關于O點對稱，D正確。]
2．一個做簡諧運動的質點，它的振幅是4 cm，頻率是2.5 Hz，該質點從平衡位置開始經過2.5 s后，位移的大小和經過的路程為(　　)
A．4 cm　10 cm　 B．4 cm　100 cm
C．0　24 cm D．0　100 cm
B　[質點的振動周期T＝＝0.4 s，故時間t＝T＝6T，所以2.5 s末質點在最大位移處，位移大小為4 cm，質點通過的路程為4×4×6 cm＝100 cm，選項B正確。]
3．如圖所示，滑塊在M、N之間做簡諧運動。以平衡位置O為原點，建立Ox軸，向右為x軸正方向。若滑塊位于N點時開始計時，則其振動圖像為(　　)
A　　　　 　　　　B
C　　　 　　　　　D
A　[向右為x軸正方向，滑塊運動到N點時，具有正方向最大位移，所以滑塊位于N點時開始計時，振動圖像應是余弦曲線，如圖所示，故選A。
]
回歸本節知識，完成以下問題：
1．描述簡諧運動的物理量有哪些？
提示：振幅、周期、頻率、相位。
2．如何判斷一個振動過程是否為一個全振動？
提示：在判斷物體的振動過程是否為一次全振動時不僅要看物體是否回到原位置，而且要判斷物體到達該位置的振動狀態(速度、加速度、位移)是否與原位置相同。
3．簡諧運動的表達式中含有哪些物理信息？
提示：振幅、圓頻率、初相位。
課時分層作業(七)　簡諧運動的描述
?題組一　簡諧運動的振幅、周期和頻率
1．如圖所示，彈簧振子在B、C間做簡諧運動，O為平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子從B第一次運動到O的時間是0.5 s，則下列說法正確的是(　　)
A．振幅是10 cm
B．振動周期是1 s
C．經過一次全振動，振子通過的路程是10 cm
D．從B開始經過3 s，振子通過的路程是30 cm
D　[彈簧振子在B、C間做簡諧運動，O為平衡位置，則振幅為A＝OB＝OC＝5 cm，故A錯誤；振子從B第一次運動到O的時間是0.5 s，則＝0.5 s，解得T＝2 s，故B錯誤；經過一次全振動，振子通過的路程是s1＝4A＝20 cm，故C錯誤；從B開始經過3 s，即Δt＝3 s＝，振子通過的路程是s2＝×4A＝30 cm，故D正確。故選D。]
2．如圖所示，在光滑水平面上振動的彈簧振子的平衡位置為O，把振子拉到A點，OA＝1 cm，然后釋放振子，經過0.2 s振子第1次到達O點，如果把振子拉到A′點，OA′＝2 cm，則釋放振子后，振子第1次到達O點所需的時間為(　　)
A．0.2 s B．0.4 s
C．0.1 s D．0.3 s
A　[彈簧振子的周期與彈簧的勁度系數、振子的質量有關，與振幅無關，故A正確。]
3．彈簧振子做簡諧運動，O為平衡位置，當它經過點O時開始計時，經過0.4 s，第一次到達點M，再經過0.2 s，第二次到達點M，則彈簧振子的周期可能為(　　)
A． s B．1 s
C． s D．2.4 s
A　[如圖甲所示，從O點開始向右，振子按甲路線運動，則振子的振動周期為T1＝4×s＝2 s；如圖乙所示，從O點開始向左，振子按乙路線運動，則振子的振動周期為T2＝×4 s＝ s。 故選A。
]
?題組二　相位和簡諧運動的表達式
4．如圖所示是某質點沿x軸做簡諧運動的振動圖像，簡諧運動的頻率為0.5 Hz，在t＝0時，位移是4 cm，且向x軸負方向運動，則簡諧運動的振動方程為(　　)
A．x＝8sin cm
B．x＝8sin cm
C．x＝8cos cm
D．x＝8cos cm
A　[簡諧運動的表達式為x＝A sin (ωt＋φ)，根據題目所給條件得A＝8 cm，ω＝2πf＝π rad/s，則x＝8sin (πt＋φ) cm，在t＝0時，位移是4 cm，代入得4＝8sin φ，解得初相φ＝或φ＝，因為t＝0時，速度方向沿x軸負方向，即位移在減小，所以取φ＝，則所求的振動方程為x＝8sin cm。]
5．如圖(a)所示水平彈簧振子的平衡位置為O點，在B、C兩點之間做簡諧運動，規定水平向右為正方向。圖(b)是彈簧振子做簡諧運動的x-t圖像，下列說法正確的是(　　)
A．彈簧振子從B點經過O點再運動到C點為一次全振動
B．彈簧振子的振動方程為x＝0.1sin m
C．彈簧振子在2.5 s內的路程為1 m
D．圖(b)中的t1時刻振子的速度方向與加速度方向都為負方向
C　[彈簧振子從B點經過O點再運動到C點為次全振動，故A錯誤；根據題圖(b)可知，彈簧振子的振幅是A＝0.1 m，周期為T＝1 s，則圓頻率為ω＝＝2π rad/s，規定向右為正方向，t＝0時刻位移為0.1 m，表示振子從B點開始運動，初相為φ0＝，則振子的振動方程為x＝A sin (ωt＋φ0)＝0.1sin m，故B錯誤；因周期T＝1 s，則2.5 s＝2T＋，則振子在前2.5 s內的路程為s＝2×4A＋2A＝10×0.1 m＝1 m，故C正確；題圖(b)中的t1時刻振子的速度方向為負方向，此時刻振子正在沿負方向做減速運動，即從O向C運動，但加速度方向為正，故D錯誤。]
6．(人教版P42T3改編)如圖所示是甲、乙兩個簡諧運動的振動圖像，則下列說法正確的是(　　)
A．兩個簡諧運動的振動周期不相同
B．甲振動比乙振動相位超前
C．乙振動比甲振動相位超前
D．兩個簡諧運動的振動步調相同
B　[由x-t圖像知，甲、乙兩個簡諧運動的振動周期一樣，A項錯誤；t＝0時，對甲振動x甲＝0，對乙振動x乙＝－A，t＝時，對甲振動x甲′＝A，對乙振動x乙′＝0，據振動方程x＝A sin (ωt＋φ)知，φ甲＝0，φ乙＝－，所以兩簡諧運動的相位差Δφ＝φ甲－φ乙＝0－＝，即甲振動比乙振動相位超前，B項正確，C項錯誤；因Δφ≠0，故兩振動步調不一致，故D項錯誤。]
7．(多選)P、Q兩個質點做簡諧運動的振動圖像如圖所示，下列說法中正確的是(　　)
A．P、Q的振幅之比是2∶1
B．P、Q的振動周期之比是2∶1
C．P、Q在0～1.2 s內經過的路程之比是1∶1
D．t＝0.45 s時刻，P、Q的位移大小之比是1∶1
ABC　[由振動圖像可知P的振幅為10 cm，Q的振幅為5 cm，則P、Q的振幅之比是2∶1，故A正確；由振動圖像可知P的周期為1.2 s，Q的周期為0.6 s，則P、Q的周期之比是2∶1，故B正確；在0～1.2 s內P完成一個周期的振動，則路程為40 cm，Q完成兩個周期的振動，則路程也為40 cm，故路程之比是1∶1，故C正確；P和Q離開平衡位置的位移方程為xP＝0.1 sin m，xQ＝0.05sin m，則t＝0.45 s時刻，P、Q的位移分別為xP＝ m，xQ＝－0.05 m，則P、Q的位移大小之比是∶1，故D錯誤。故選ABC。]
8．一水平彈簧振子做簡諧運動，其位移與時間的關系如圖所示。
(1)由圖中信息寫出此簡諧運動的振幅、圓頻率及這個簡諧運動的位移隨時間變化的關系式(用正弦函數表示)。
(2)從t＝0到t＝6.5×10-2 s的時間內，振子通過的路程為多大？
[解析]　(1)由題圖可知T＝2×10-2 s，A＝2 cm，圓頻率為ω＝＝ rad/s＝100π rad/s，t＝0時，x＝－A，則位移隨時間變化的關系式為x＝2sin cm。
(2)從t＝0到t＝6.5×10-2 s，t＝6.5×10-2 s，即t＝T，一個周期內振子通過的路程為4A，從t＝0到t＝6.5×10-2 s的時間內，振子通過的路程s＝×4A＝26 cm。
[答案]　(1)2 cm　100π rad/s　x＝2sin cm　 (2) 26 cm
9．如圖甲是演示簡諧運動圖像的裝置。當盛沙漏斗下面的薄木板N被勻速地拉出時，擺動著的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲線顯示出擺的位移隨時間變化的關系，板上的直線OO′代表時間軸。圖乙是兩個擺中的沙在各自木板上形成的曲線，若板N1和板N2的速度v1和v2的關系為v2＝2v1，且OO′1＝OO′2，則板N1、N2上曲線所代表的振動周期T1和T2的關系正確的是(　　)
A．T2＝　　　　　　 B．T2＝
C．T2＝T1 D．T2＝2T1
A　[設OO′1＝OO′2＝L，則T1＝，2T2＝，根據題意有v2＝2v1，故T1＝4T2，即T2＝，故A正確，B、C、D錯誤。]
10．(多選)一個質點做簡諧運動的振動圖像如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．在任意1 s內質點經過的路程都是2 cm
B．在5 s末，質點的速度為零
C．t＝1.5 s和t＝2.5 s兩個時刻，質點的位移和速度方向都相反
D．從t＝1.5 s時刻到t＝4.5 s時刻，質點通過的路程為(4＋2)cm
BD　[由題圖可知質點做簡諧運動的周期T＝4 s，則1 s＝T，1 s內質點通過的路程不一定是一個振幅的大小，即不一定是2 cm，A錯誤；在5 s末，質點運動至最大位移處，速度為零，B正確；t＝1.5 s和t＝2.5 s兩個時刻，質點的位移方向相反，但速度方向相同，C錯誤；根據題圖可知質點做簡諧運動的位移表達式為x＝2sin t(cm)，從t＝1.5 s時刻到t＝4.5 s時刻，質點運動了3 s，從位移 cm處到達位移－2 cm處，后再次回到位移 cm處，通過的路程為(4＋2)cm，D正確。]
11．彈簧振子以O點為平衡位置，在B、C兩點間做簡諧運動，在t′＝0時刻，振子從O、B間的P點以速度v向B點運動；在t′＝0.2 s時，振子速度第一次變為－v；在t′＝0.6 s時，振子速度第二次變為v。B、C之間的距離為20 cm。
(1)求彈簧振子振動周期T；
(2)求振子在4.0 s內通過的路程；
(3)取從O向B為正方向，振子從平衡位置向C運動開始計時，寫出彈簧振子的位移表達式，并畫出彈簧振子的振動圖像。
[解析]　(1)根據已知條件分析得振子的運動情況如圖：
結合運動的對稱性可知周期T＝0.6 s＋(0.6 s－0.2 s×2)＝0.8 s。
(2)B、C之間的距離為20 cm，則A＝10 cm
在4.0 s＝5T的時間內，振子的路程s＝5×4A＝200 cm＝2.0 m。
(3)已知振幅為10 cm，規定從O到B為正方向，t＝0時刻振子從平衡位置向C運動，振子的位移為0，運動的方向為負，則彈簧振子位移表達式為
x＝－A sin t＝－10sin 2.5πt cm
振動圖像如圖所示。
[答案]　(1)0.8 s　(2)2.0 m　(3)見解析
12．如圖所示，傾角為θ、光滑的斜面體固定在水平面上，底端有垂直斜面的擋板，勁度系數為k的輕質彈簧，下端拴接著質量為M的物體B，上端放著質量為m的物體P(P與彈簧不拴接)。現沿斜面將P向下壓一段距離后釋放，物體P就沿斜面上下做簡諧運動，振動過程中，P始終沒有離開彈簧，已知重力加速度為g。試求：
(1)P振動的振幅的最大值；
(2)當P以最大振幅振動時，B對擋板的最大壓力的大小。
[解析]　(1)P若做簡諧運動，則P位于平衡位置時，沿斜面方向受到的合外力等于零，而P在沿斜面方向上的受力有重力的分力和彈簧的彈力，可知二者大小相等，方向相反，即kΔx＝mg sin θ，所以Δx＝，由題意知，P向上到達最高點的位置時，彈簧的長度恰好等于原長，即A＝Δx＝。
(2)P以最大振幅振動時，由簡諧運動的特點可知，P到達最低點時，彈簧的壓縮量Δx′＝2Δx，以B為研究對象，則B受到重力、斜面的支持力、擋板的支持力和彈簧沿斜面向下的壓力，沿斜面的方向有FNmax＝Mg sin θ＋k·Δx′，得FNmax＝Mg sin θ＋2mg sin θ。根據牛頓第三定律知，B對擋板的最大壓力F′Nmax＝FNmax＝Mg sin θ＋2mg sin θ。
[答案]　(1)　(2)Mg sin θ＋2mg sin θ
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