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(共52張PPT)
復習任務群一
現代文閱讀Ⅰ
把握共性之“新”　打通應考之“脈”
第三章 機械波
素養提升課(二)　波的圖像與振動圖像的綜合問題　波的多解問題
[學習目標]　1．理解波的圖像與振動圖像的意義及它們之間的關系。2．理解波的多解性，會分析波的綜合問題。
探究重構·關鍵能力達成
探究1　波的圖像與振動圖像的綜合問題
1．振動圖像與波的圖像的比較
振動圖像(y-t圖像) 波的圖像(y-x圖像)
物理意義 某一質點的位移隨時間變化的規律 某時刻所有質點振動的位移
圖像
振動圖像(y-t圖像) 波的圖像(y-x圖像)
圖像信息 直讀 (1)周期T、振幅A (2)各時刻該質點的位移 (1)波長λ、振幅A
(2)任意一質點在該時刻的位移
判斷 各時刻速度、加速度方向 (1)任意一質點在該時刻加速度方向
(2)傳播方向、振動方向的互判
振動圖像(y-t圖像) 波的圖像(y-x圖像)
圖像變化 隨時間推移，圖像延續，但已有形狀不變 隨時間推移，圖像沿傳播方向平移
形象比喻 一個人在一段時間內活動的“錄像” 一群人在某時刻動作的“拍照”
2．三步求解波的圖像與振動圖像的綜合問題
【典例1】　(質點振動圖像分析波的圖像)(多選)一列簡諧橫波沿x軸傳播，平衡位置位于坐標原點O的質點的振動圖像如圖所示。當t＝7 s時，簡諧波的波形圖可能正確的是(　　)
√
√
AC　[由O點的振動圖像可知，周期為T＝12 s，設原點處的質點的振動方程為y＝A sin ，則10＝20sin φ，解得φ＝。當t＝7 s時，y7＝ cm≈－17.3 cm。因7 s＝T，則在t＝7 s時，質點在y軸負方向向下振動，根據“同側法”可判斷若波向右傳播，則波形如選項C所示；若波向左傳播，則波形如選項A所示。故選AC。]
規律方法　分析波的圖像與振動圖像的綜合問題，主要掌握兩點：
(1)由振動圖像確定波的周期(質點振動周期)，由波的圖像確定波長，進而計算波速。
(2)先在振動圖像中確定與波的圖像對應時刻質點的振動方向，然后根據波的圖像確定波的傳播方向。
注意：波的圖像對應的時刻不一定是振動圖像中t＝0時刻。
【教用·備選例題】　(源自魯科版教材)圖(a)是一列簡諧橫波在t＝2 s時的圖像，圖(b)是這列波中質點P的振動圖像，求該波的傳播速度和傳播方向。
[解析]　由題圖(a)可知，這列波的波長λ＝100 cm；由題圖(b)可知，這列波的周期T＝2 s
根據公式v＝
可得波速v＝50 cm/s
由題圖(b)可知，質點P在t＝2 s時向上運動，故這列波沿x軸負方向傳播。
[答案]　50 cm/s　x軸負方向
【典例2】　(波的圖像與振動圖像的綜合問題)“重”情七運會，“合”你共精彩，2024年9月20日，重慶市第七屆運動會開幕式在合川區體育中心如期舉行，眾多文體節目輪番呈現在觀眾面前；在現場的觀眾自發玩起了“人浪”游戲。人浪可簡化為沿x軸方向傳播的簡諧橫波，圖甲為t＝1 s時的波形圖，此時質點P在平衡位置，質點Q在波谷位置，圖乙為質點P的振動圖像，則(　　)
A．該波沿x軸負方向傳播
B．該波傳播速度為9 m/s
C．t＝0.7 s時，質點P的加速度正在增大
D．t＝2.4 s時，質點Q的振動方向沿y軸負方向
√
D　[由題圖乙可知t＝1 s時，質點P向y軸正方向運動，結合題圖甲可知該波沿x軸正方向傳播，故A錯誤；由題圖甲可知，波長為λ＝6 m，由題圖乙可知，周期為T＝2.0 s，則該波傳播速度v＝＝3 m/s，故B錯誤；由題圖乙可知t＝0.7 s時，質點P從負向位移向平衡位置靠近，加速度正在減小，故C錯誤；由Δt＝2.4 s－
1 s＝1.4 s，則T<Δt探究2　波的多解問題
1．造成波動問題多解的主要因素
(1)周期性
①時間周期性：相隔周期整數倍時間的兩個時刻的波形圖完全相同，時間間隔Δt與周期T的關系不明確造成多解。
②空間周期性：沿波的傳播方向，相隔波長整數倍距離的兩質點的振動情況完全相同，質點間距離Δx與波長λ的關系不明確造成多解。
(2)雙向性
對給定的波形圖，波的傳播方向不同，質點的振動方向也不同，反之亦然。
①傳播方向雙向性：波的傳播方向不確定。
②振動方向雙向性：質點振動方向不確定。
2．解決波動的多解問題的方法
(1)解決周期性多解問題時，往往采用從特殊到一般的思維方法，即找到一個周期內滿足條件的特例，在此基礎上再加上時間nT，或找到一個波長內滿足條件的特例，在此基礎上再加上距離nλ。
(2)解決雙向性多解問題時，養成全面思考的習慣。
【典例3】　(人教版P69例題改編)(波傳播的周期性帶來多解)下圖中的實線是一列正弦波在某一時刻的波形圖。經過0.5 s后，其波形如圖中虛線所示。
(1)如果波是向左傳播的，波的速度是多大？波的周期是多大？
(2)如果波是向右傳播的，波的速度是多大？波的周期是多大？
[解析]　(1)若波向左傳播，則
0.5 s＝T(n＝0，1，2，…)
即T＝ s(n＝0，1，2，…)
由v＝得v＝ m/s＝ m/s(n＝0，1，2，…)。
(2)若波向右傳播，則0.5 s＝T(n＝0，1，2，…)
即T＝ s(n＝0，1，2，…)
由v＝得v＝ m/s＝ m/s(n＝0，1，2，…)。
[答案]　見解析
【教用·備選例題】　(多選)一列簡諧橫波沿x軸傳播，如圖所示，實線為t1＝2 s時的波形圖，虛線為t2＝5 s時的波形圖。以下關于平衡位置在O處的質點的振動圖像，可能正確的是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
√
√
AC　[機械波的傳播方向不確定，所以需要考慮機械波傳播方向的不確定性。若機械波沿x軸正方向傳播，則在t1＝2 s時，O點振動方向豎直向上，則傳播時間Δt＝t2－t1＝3 s滿足Δt＝＋nT(n＝0，1，2，…)，解得T＝ s(n＝0，1，2，…)，當n＝0時，解得周期T＝4 s，A正確，B錯誤；若機械波沿x軸負方向傳播，在t2＝5 s時，O點處于波谷，則Δt＝
T＋nT(n＝0，1，2，…)，解得T＝ s(n＝0，1，2，…)，當n＝0時，解得周期T＝12 s，C正確，D錯誤。故選AC。]
【典例4】　(波傳播的雙向性帶來多解)一列簡諧橫波沿x軸傳播，如圖所示，實線為t1＝2 s 時的波形圖，虛線為t2＝5 s時的波形圖。則關于x＝0處的質點的振動圖像，下列說法中正確的是(　　)
A．若波沿x軸正方向傳播，圖像可能為
B．若波沿x軸正方向傳播，圖像可能為
√
C．若波沿x軸負方向傳播，圖像可能為
D．若波沿x軸負方向傳播，圖像可能為
A　[若波沿x軸正方向傳播，則T＋nT(n3 s，可得周期為T＝ s
(n＝0，1，2，3，…)，根據“同側法”可知，x＝0處的質點在t1＝2 s時從平衡位置向y軸正方向振動，故A正確，B錯誤；若波沿x軸負方向傳播，則T＋nT(n＝0，1，2，…)＝t2－t1＝3 s，可得周期為T＝ s(n＝0，1，2，…)，根據“同側法”可知，x＝0處的質點在t1
＝2 s時從平衡位置向y軸負方向振動，故C、D錯誤。故選A。]
規律方法　解決波的多解問題的一般思路
(1)首先考慮傳播方向的雙向性：如果題目未說明波的傳播方向或沒有其他條件暗示，應首先按波的傳播方向的可能性進行討論。
(2)對設定的傳播方向，首先確定Δt和T(或確定Δx和λ)的關系，一般先確定最簡單的情況，即一個周期內(或一個波長內)的情況，然后在此基礎上加nT(或nλ)。
(3)應注意題目是否有限制條件，如有的題目限制波的傳播方向，或限制時間Δt大于或小于一個周期等，所以解題時應綜合考慮。
【典例5】　(波形的隱含性造成的多解)如圖所示，一列振幅為10 cm的簡諧橫波，其傳播方向上有兩個質點P和Q，兩者的平衡位置相距
3 m。某時刻兩質點均在平衡位置且二者之間只有一個波谷，再經過0.3 s，Q第一次到達波峰。則下列說法不正確的是(　　)
A．波長可能為2 m
B．周期可能為0.24 s
C．波速可能為15 m/s
D．0.3 s內質點P的位移大小為10 cm
√
B　[根據題意，P、Q之間的波形圖可能有如圖所示的幾種情況。
當P、Q之間有一個波谷兩個波峰時，如圖3，則有＝3 m，解得λ＝2 m，故A正確，不符合題意；根據波形圖，由于波的傳播方向的不同，質點Q第一次到達波峰經歷的時間可能為T＝0.3 s或T＝0.3 s，解得T＝1.2 s或T＝0.4 s，故B錯誤，符合題意；圖1、2、3、4的波長分別為λ1＝λ2＝3 m、λ3＝2 m、λ4＝6 m，當周期為1.2 s時，根據周期與波速之間的關系v＝，可得v1＝v2＝2.5 m/s，v3＝ m/s，v4＝5 m/s，當周期為0.4 s時，可得波速為 v1′＝v2′＝7.5 m/s，v3′＝5 m/s，v4′＝15 m/s, 故C正確，不符合題意；經過0.3 s，當質點Q到達波峰時，圖1、2中質點P到達波峰，圖3中質點P到達波谷，圖4中質點P到達波谷，因此0.3 s內質點P的位移大小為10 cm，故D正確，不符合題意。故選B。]
題號
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素養提升練(二)　波的圖像與振動圖像的綜合問題　
波的多解問題
1．圖甲為一簡諧橫波在t＝2 s時的波形圖，P是平衡位置在x1＝0.5 m處的質點，Q是平衡位置在x2＝4 m處的質點，圖乙為質點Q的振動圖像。下列說法正確的是(　　)
A．這列波沿x軸負方向傳播
B．t＝2 s時，質點P的振動方向向上
C．質點Q做簡諧運動的表達式為y＝0.4sin πt(m)
D．從t＝2 s到t＝3.5 s，質點Q通過的路程為 m
√
D　[由題圖乙可知，在t＝2 s時，質點Q沿著y軸負方向運動，根據“同側法”可知，波沿x軸正方向傳播，A錯誤；根據“同側法”可知，t＝2 s時，質點P的振動方向向下，故B錯誤；由題圖乙可知，質點Q做簡諧運動的表達式為y＝A sin t＝0.4sin t(m)，C錯誤；t＝3.5 s時，質點Q的位移yQ＝0.4sin t(m)＝－ m，故從t＝2 s到t＝3.5 s，質點Q通過的路程為s＝2A－|yQ|＝D正確。故選D。]
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2．(多選)一質點沿y軸做簡諧運動，平衡位置在坐標原點，在x軸方向形成機械波，t＝0時該質點的位移為－0.1 m，t＝1 s時該質點的位移為0.1 m，則(　　)
A．若振幅為0.1 m，機械波的周期可能為 s
B．若振幅為0.1 m，機械波的周期可能為 s
C．若振幅為0.2 m，機械波的周期可能為2 s
D．若振幅為0.2 m，機械波的周期可能為1.2 s
√
√
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BCD　[若振幅為0.1 m，則有Δt＝T(n＝0，1，2，…)，解得T＝ s(n＝0，1，2，…)，當n＝2時，機械波的周期為 s，不可能為 s，故A錯誤，B正確；若振幅為0.2 m，則有Δt＝＋nT或Δt＝T＋nT或Δt＝＋nT(n＝0，1，2，…)，得T＝ s或 s或 s(n＝0，1，2，…)，當n＝0時，機械波的周期可能為1.2 s或2 s，故C、D正確。故選BCD。]
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3．一列機械波在某一時刻的波形如實線所示，經過Δt時間的波形如虛線所示，已知波的傳播速率為1 m/s，則下列四個數據中Δt的值不可能為(　　)

A．1 s　　B．8 s　　C．11 s　　D．15 s
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B　[波的周期T＝ s＝4 s，若波向右傳播，則Δt＝nT＋＝(4n＋1) s(n＝0，1，2，…)，當n＝0時，Δt＝1 s；若波向左傳播，則Δt＝nT＋＝(4n＋3) s，當n＝2時，Δt＝11 s，當n＝3時，Δt＝15 s，則Δt的值不可能為8 s。故選B。]
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4．(多選)一列簡諧橫波沿x軸傳播，在t＝0.125 s時的波形如圖甲所示，M、N、P、Q是介質中的四個質點，已知N、Q兩質點平衡位置之間的距離為16 m，圖乙為質點P的振動圖像。下列說法正確的是(　　)
A．該波的波速為120 m/s
B．該波沿x軸負方向傳播
C．質點P的平衡位置位于x＝3 m處
D．從t＝0.125 s開始，質點P比質點N早 s回到平衡位置
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ABD　[設該波的波長為λ，根據三角函數知識可知，N、Q兩質點平衡位置間的距離為x＝·λ＝16 m，解得λ＝24 m，由題圖乙可知該波的周期為T＝0.2 s，所以該波的波速為v＝＝120 m/s，故A正確；由題圖乙可知，t＝0.125 s時刻，質點P沿y軸負方向運動，此時P應位于波傳播方向波形的上坡，所以該波沿x軸負方向傳播，故B正確；由題圖乙可知，在t＝0.125 s之后，質點P第一次位于波
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峰的時刻為t＝0.25 s，易知此波峰是t＝0.125 s時刻質點Q所在處的波峰傳播過來的，所以有＝0.25 s－0.125 s，解得xP＝1 m，故C錯誤；根據以上分析可知，N、P兩質點間距為x′＝1 m，又因為波向左傳播，所以質點P比質點N早回到平衡位置，時間間隔為Δt＝ s，故D正確。故選ABD。]
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5．(多選)一列簡諧橫波沿x軸傳播，已知x軸上x1＝1 m和x2＝7 m處質點的振動圖像分別如圖1、圖2所示，則此列波的傳播速率可能是(　　)
A．7 m/s 　 B．2 m/s
C．1.2 m/s 　 D．1 m/s
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BC　[由題圖可知該波的傳播周期T＝4 s，當該列波向右傳播時，根據題干可知兩質點之間的距離滿足的關系為6 m＝nλ＋λ(n＝0，1，2，…)，則由v＝可得波速為v＝ m/s(n＝0，1，2，…)，當n＝1時，可得v＝1.2 m/s；當波向左傳播時，兩質點之間的距離關系滿足6 m＝nλ＋λ(n＝0，1，2，…)，則v＝ m/s(n＝0，1，2，…)，當n＝0時，可得v＝2 m/s；將A和D選項代入兩個波速表達式，n均不是整數，因此A、D錯誤，B、C正確。]
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6．(多選)如圖所示，a、b是一列橫波上的兩個質點，它們在x軸上的距離s＝30 m，波沿x軸正方向傳播。當a振動到最高點時，b恰好經過平衡位置向下振動，經過5 s波傳播了30 m。下列判斷正確的是(　　)
A．該波的波速一定是6 m/s
B．該波的周期一定是12 s
C．該波的波長可能是40 m
D．該波的波長可能為24 m
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AC　[該波經過5 s，傳播了30 m，則波速v＝＝6 m/s，選項A正確；由題意可知nλ＋λ＝30 m(n＝0，1，2，…)，可得波長λ＝ m(n＝0，1，2，…)，當n＝0時，λ＝40 m，當λ＝24 m時，n不是整數，選項C正確，D錯誤；周期T＝ m/s(n＝0，1，2，…)，則該波的周期不可能是12 s，選項B錯誤。]
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7．(多選)一列簡諧橫波在某介質中傳播時經過a、b兩點，a、b兩點的平衡位置相距3 m。如圖所示，實線表示a點的振動圖像，虛線表示b點的振動圖像。則(　　)
A．質點a的振動方程為y＝
B．質點b的振動方程為y＝2sin (5πt)cm
C．該波的傳播速度可能為90 m/s
D．該波的傳播速度可能為 m/s
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BCD　[由題圖知該波的周期為T＝0.4 s，振幅A＝2 cm，則圓頻率ω＝＝5π rad/s，可得質點b的振動方程為y＝2sin (5πt)cm，質點a的振動方程為y＝選項A錯誤，B正確；分析質點a的振動方程，當t＝ s＝時，y＝2 cm，而對質點b，當t＝0.1 s＝時，y＝2 cm，結合波的周期性可知，若波由質點a向質點b傳播，則xab＝＋nλ(n＝0，1，2，…)，可得波速為v＝ m/s(n＝0，1，2，…)，當n＝0時，v＝90 m/s；若波由質點b向質點a傳播，則xab＝＋nλ(n＝0，1，2，…)，可得波速為v＝ m/s(n＝0，1，2，…)，當n＝1時，v＝ m/s，選項C、D正確。]
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8．一列沿x軸負方向傳播的簡諧橫波在t＝0時刻的波形如圖所示，質點振動的振幅為10 cm，P、Q兩點的坐標分別為(－1 m，0)和(－9 m，0)，已知t＝0.7 s時，P點第二次出現波峰。
(1)這列波的傳播速度為多大？
(2)從t＝0時刻起，經過多長時間Q點第一次出現波峰？
(3)當Q點第一次出現波峰時，P點通過的路程為多少？
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[解析]　(1)由題意可知該波的波長為λ＝4 m
P點與最近波峰的水平距離為3 m，距離下一個波峰的水平距離為s＝7 m，所以v＝＝10 m/s。
(2)Q點與最近波峰的水平距離為s1＝11 m
故Q點第一次出現波峰的時間為t1＝＝1.1 s。
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(3)該波中各質點振動的周期為T＝＝0.4 s
Q點第一次出現波峰時P點振動了
t2＝0.9 s＝2T＋
質點P從平衡位置開始每振動經過的路程為
10 cm, 當Q點第一次出現波峰時，P點通過的路程s′＝9A＝90 cm＝0.9 m。
[答案]　(1)10 m/s　(2)1.1 s　(3)0.9 m
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9．如圖所示為一列沿x軸傳播的簡諧橫波，實線為t1＝0.5 s 時刻的波形圖，虛線為t2＝1.5 s時刻的波形圖，已知波的周期大于2 s。
(1)求簡諧橫波的波長和振動質點的振幅；
(2)判斷波的傳播方向，并求波的傳播速度大小；
(3)寫出x＝3 m處質點的振動方程。
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[解析]　(1)根據題圖可知簡諧橫波的波長為12 m，振幅為2 cm。
(2)若波向左傳播，則傳播的距離為x＝(12n＋8)m(n＝0，1，2，…)
又因為nT＋T＝t2－t1(n＝0，1，2，…)
即T＝ s(n＝0，1，2，…)
因周期T >2 s，可知周期無解，故波向右傳播，且傳播的距離為
x＝(12n＋4) m(n＝0，1，2，…)
又因為nT＋T＝t2－t1(n＝0，1，2，…)
即T＝ s(n＝0，1，2，…)
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因周期T >2 s，可知T＝3 s
則波速v＝＝4 m/s。
(3)設x＝3 m處質點的振動方程為y＝A sin ，其中
當t＝0.5 s時，y＝0且向上振動，代入數據可知φ＝－
故該質點的振動方程為y＝2sin cm。
[答案]　(1)12 m　2 cm　(2)波向右傳播　4 m/s
(3)y＝2sin cm
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