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復(fù)習(xí)任務(wù)群一
現(xiàn)代文閱讀Ⅰ
把握共性之“新”　打通應(yīng)考之“脈”
第二章 機(jī)械振動(dòng)
4．單擺
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．知道什么是單擺，了解單擺的構(gòu)成及單擺的回復(fù)力。2．理解單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件，會(huì)利用圖像法分析單擺的運(yùn)動(dòng)。3．掌握單擺的周期公式，并能夠進(jìn)行計(jì)算。4．通過(guò)分析單擺周期的影響因素，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。
[教用·問(wèn)題初探]——通過(guò)讓學(xué)生回答問(wèn)題來(lái)了解預(yù)習(xí)教材的情況
問(wèn)題1　在什么情況下實(shí)際擺可看成單擺？
問(wèn)題2　單擺的周期與什么因素有關(guān)？
問(wèn)題3　單擺的周期公式是什么？
探究重構(gòu)·關(guān)鍵能力達(dá)成
【鏈接教材】　如人教版教材P46圖所示，一根細(xì)線上端固定，下端連接一個(gè)金屬小球，用手使擺球偏離豎直方向一個(gè)很小的夾角，然后靜止釋放，擺球沿圓弧做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣的阻力。
知識(shí)點(diǎn)一　單擺的回復(fù)力
問(wèn)題1　小球的平衡位置在哪里？
提示：小球靜止時(shí)的位置O點(diǎn)為平衡位置。
問(wèn)題2　小球擺動(dòng)過(guò)程中受到哪些力的作用？什么力提供向心力？什么力提供回復(fù)力？
提示：小球受重力和細(xì)線的拉力作用。細(xì)線的拉力和重力沿細(xì)線方向的分力的合力提供向心力。重力沿切線方向的分力提供小球振動(dòng)的回復(fù)力。
問(wèn)題3　小球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)回復(fù)力為零，合外力也為零嗎？
提示：小球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，做圓周運(yùn)動(dòng)，其合外力不為零。
【知識(shí)梳理】　
1．單擺
(1)實(shí)際擺看成單擺的條件
①細(xì)線的長(zhǎng)度不可改變。
②細(xì)線的______與小球相比可以忽略。
③小球的______與線的長(zhǎng)度相比可以忽略。
④__________與擺球的重力及細(xì)線的拉力相比可以忽略。
(2)單擺是實(shí)際擺的理想化模型。
質(zhì)量
直徑
空氣阻力
2．單擺的回復(fù)力
(1)回復(fù)力的來(lái)源：擺球的重力沿__________方向的分力，即F＝____________。
(2)回復(fù)力的特點(diǎn)：在擺角很____的條件下，sin θ≈θ≈(其中x為偏離平衡位置的位移)，單擺的回復(fù)力F＝_____________，令k＝，則F＝______。
3．單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：在擺角______時(shí)，單擺做______運(yùn)動(dòng)。
圓弧切線
mg sin θ
小
－x
－kx
很小
簡(jiǎn)諧
【思考討論】　判斷以下裝置能否看成單擺？若不能，請(qǐng)說(shuō)明原因。
提示：只有(f)可以看成單擺。
(a)(e)擺動(dòng)過(guò)程中擺長(zhǎng)會(huì)發(fā)生變化；(b)空氣阻力不能忽略；(c)球的直徑與繩的長(zhǎng)度相比不能忽略；(d)繩的質(zhì)量與小球相比不能忽略。
【知識(shí)歸納】
1．單擺的受力分析：如圖所示。
(1)單擺受力：受細(xì)線拉力和重力作用。
(2)向心力來(lái)源：細(xì)線拉力和重力沿徑向分力的合力。
(3)回復(fù)力來(lái)源：重力沿圓弧切線方向的分力F＝mg sin θ，提供了使擺球振動(dòng)的回復(fù)力。
2．單擺的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)
擺球?qū)嶋H上做兩個(gè)運(yùn)動(dòng)：一是在平衡位置兩側(cè)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，二是繞懸點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)。擺球所受的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向上的分力，而不是擺球所受到的合力。當(dāng)擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，所受回復(fù)力為零，而所受合力不為零，此時(shí)合力提供擺球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。實(shí)際上，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中沿?cái)[線方向上的合力一直提供擺球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。
3．單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律
(1)單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移—時(shí)間(x-t)圖像是一條正弦(或余弦)曲線。
(2)單擺振動(dòng)過(guò)程中各量的變化特點(diǎn)
位置或過(guò)程 位移、回復(fù)力、 加速度 速度、動(dòng)能 重力勢(shì)能
最高點(diǎn) 最大 零 最大
最低點(diǎn) 零 最大 最小
遠(yuǎn)離平衡位置運(yùn)動(dòng) 越來(lái)越大 越來(lái)越小 越來(lái)越大
衡位置運(yùn)動(dòng) 越來(lái)越小 越來(lái)越大 越來(lái)越小
【典例1】　(單擺的受力特征)(多選)如圖所示為均勻小球在做單擺運(yùn)動(dòng)，平衡位置為O點(diǎn)，A、B為最大位移處，M、N兩點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱。下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．小球受重力、繩子拉力和回復(fù)力
B．小球所受合外力就是單擺的回復(fù)力
C．小球在O點(diǎn)時(shí)合外力不為0，回復(fù)力為0
D．小球在M點(diǎn)的位移與小球在N點(diǎn)的位移大小相等
√
√
CD　[小球只受重力、繩子拉力兩個(gè)力，A錯(cuò)誤；單擺的回復(fù)力由重力沿運(yùn)動(dòng)方向的分力提供，B錯(cuò)誤；小球在O點(diǎn)時(shí)，回復(fù)力為0，但合外力不為0，合外力指向運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，C正確；根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，D正確。]
【典例2】　(單擺的圖像問(wèn)題)如圖所示，長(zhǎng)為l的細(xì)繩下方懸掛一小球a，繩的另一端固定在天花板上O′點(diǎn)處。將小球向右拉開，使細(xì)繩與豎直方向成一小角度(小于5°)后由靜止釋放，并從釋放時(shí)開始計(jì)時(shí)。小球相對(duì)于平衡位置O的水平位移為x，取向右為正方向，則小球在一個(gè)周期內(nèi)的振動(dòng)圖像為(　　)
A　　　　　　B
C　　　　　　D
√
A　[擺球一開始在正的最大位移處，所以A選項(xiàng)正確。]
1．探究單擺的振幅、質(zhì)量、擺長(zhǎng)對(duì)周期的影響
(1)探究方法：__________法。
(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)論
①單擺振動(dòng)的周期與擺球質(zhì)量______。
②周期與振幅______。
③擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，周期______；擺長(zhǎng)越短，周期______。
知識(shí)點(diǎn)二　單擺的周期
控制變量
無(wú)關(guān)
無(wú)關(guān)
越大
越小
2．周期公式
(1)提出：由荷蘭物理學(xué)家________首先提出。
(2)公式：T＝_________，即單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T與擺長(zhǎng)l的二次方根成______，與重力加速度g的二次方根成______，而與振幅、擺球質(zhì)量無(wú)關(guān)。
惠更斯
2π
正比
反比
提醒：(1)單擺的周期只與其擺長(zhǎng)和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣扔嘘P(guān)，而與振幅和擺球質(zhì)量無(wú)關(guān)，它又叫作單擺的固有周期。單擺周期公式的成立條件為擺角θ<5°。
(2)周期為2 s的單擺叫作秒擺。秒擺的擺長(zhǎng)約為1 m。
【思考討論】　惠更斯利用擺的等時(shí)性發(fā)明了帶擺的計(jì)時(shí)器，叫擺鐘。擺鐘運(yùn)行時(shí)克服摩擦所需的能量由重錘的勢(shì)能提供，運(yùn)行的速率由鐘擺控制。旋轉(zhuǎn)鐘擺下端的螺母可以使擺上的圓盤沿?cái)[桿上下移動(dòng)。
問(wèn)題1　擺針走時(shí)偏快時(shí)應(yīng)如何校準(zhǔn)？
提示：擺針走時(shí)偏快，說(shuō)明擺鐘的周期偏小，應(yīng)調(diào)節(jié)螺母使圓盤沿?cái)[桿下移增大擺長(zhǎng)，使周期變大一些。
問(wèn)題2　將一個(gè)走時(shí)準(zhǔn)確的擺鐘從廣州市移到北京市，擺鐘應(yīng)如何校準(zhǔn)？
提示：廣州市的重力加速度比北京市小，將一個(gè)走時(shí)準(zhǔn)確的擺鐘從廣州市移到北京市，周期變小，應(yīng)調(diào)節(jié)螺母使圓盤沿?cái)[桿下移增大擺長(zhǎng)，使周期變大。
【知識(shí)歸納】　
1．對(duì)單擺周期公式T＝2π的理解
(1)T與擺長(zhǎng)l和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭有關(guān)。
(2)T與振幅和擺球質(zhì)量無(wú)關(guān)，故T又叫作單擺的固有周期。
(3)適用條件：擺角很小(一般小于5°)。
2．對(duì)擺長(zhǎng)l和重力加速度g的理解
(1)擺長(zhǎng)l：指從懸點(diǎn)到擺球重心的長(zhǎng)度。
①對(duì)于實(shí)際的單擺，擺長(zhǎng)l＝l′＋，l′為擺線長(zhǎng)，D為擺球直徑。
②等效擺長(zhǎng)：
(a)圖中小球在O點(diǎn)右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)擺長(zhǎng)為L(zhǎng)，在O點(diǎn)左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)擺長(zhǎng)為L(zhǎng)。
(b)圖中，甲、乙在垂直紙面方向上擺動(dòng)起來(lái)效果是相同的，故甲擺的等效擺長(zhǎng)為l sin α，其周期T＝2π。
(c)圖中，乙在垂直紙面方向擺動(dòng)時(shí)，其等效擺長(zhǎng)等于甲擺的擺長(zhǎng)；乙在紙面內(nèi)小角度擺動(dòng)時(shí)，等效擺長(zhǎng)等于丙擺的擺長(zhǎng)。
(2)對(duì)重力加速度g的理解
①公式中的g由單擺所在地的空間位置決定
在地球表面不同位置、不同高度g是不同的，在不同星球上g也不相同，因此應(yīng)求出單擺所在處的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2。
②等效重力加速度
(a)若單擺系統(tǒng)處在多力存在的平衡態(tài)，則一般情況下，g值等于擺球相對(duì)靜止在自己的平衡位置時(shí)，擺線所受的張力與擺球質(zhì)量的比值。如圖甲所示的斜面擺，球靜止在O點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)T＝mg sin θ，等效加速度g′＝＝g sin θ；又如圖乙所示的電場(chǎng)中，帶電荷量為q(q>0)的小球靜止于圖示位置時(shí)，擺線拉力FT＝，等效加速度g′＝＝。
(b)單擺處于超重或失重狀態(tài)時(shí)等效重力加速度g0＝g±a。在近地軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星加速度a＝g，為完全失重，等效重力加速度g0＝0。
【典例3】　(單擺周期公式的應(yīng)用)用細(xì)線懸掛一小球，保持?jǐn)[線長(zhǎng)度一定，選項(xiàng)A、B兩種情況下小球做振幅不同的單擺運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)C、D兩種情況下小球做高度不同的圓錐擺運(yùn)動(dòng)，則四種情況中周期最短的是(　　)
√
A　　　　B　　　　　C　　　　　D
D　[設(shè)擺線長(zhǎng)度為l，選項(xiàng)A、B兩種情況下小球做振幅不同的單擺運(yùn)動(dòng)，由單擺周期公式可得TA＝TB＝2π，小球做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)擺線與豎直方向夾角為θ，高度為h，小球質(zhì)量為m，圓周半徑為R，則有tan θ＝，mg tan θ＝mR，解得T＝2π，由此綜合可得TA＝TB>TC>TD，故選D。]
【典例4】　(人教版P50T3改編)(單擺的振動(dòng)圖像)位于同一地點(diǎn)的甲、乙兩個(gè)單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像如圖所示，則下列說(shuō)法中不正確的是
(　　)
A．甲、乙兩擺的擺長(zhǎng)之比為1∶4
B．t＝4 s時(shí)，乙擺剛好擺到平衡位置
C．由于甲的振幅比乙大，所以甲擺的機(jī)械能大于乙擺
D．甲、乙兩擺的振幅之比為2∶1
√
C　[由題圖可知，甲、乙兩個(gè)單擺周期之比為1∶2，根據(jù)公式T＝2π可知，甲、乙兩擺的擺長(zhǎng)之比為1∶4，故A正確；由題圖可知，t＝4 s時(shí)，乙擺剛好擺到平衡位置，故B正確；因?yàn)閮蓴[擺球的質(zhì)量未知，所以無(wú)法比較兩擺機(jī)械能的大小，故C錯(cuò)誤；由題圖可知，甲、乙兩擺的振幅之比為2∶1，故D正確。本題選不正確的，故選C。]
【教用·備選例題】　(單擺的振動(dòng)圖像)在同一地方，甲、乙兩個(gè)單擺做振幅不同的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)圖像如圖所示，可知甲、乙兩個(gè)單擺的擺長(zhǎng)之比為(　　)
A．2∶3　　 B．3∶2　　
C．4∶9　　 D．9∶4
√
C　[由振動(dòng)圖像可知甲、乙兩個(gè)單擺周期之比為T甲∶T乙 ＝ 0.8∶1.2＝2∶3，根據(jù)單擺周期公式T＝2π可得l＝，則甲、乙兩個(gè)單擺的擺長(zhǎng)之比為l甲∶l乙 ＝＝4∶9，故選C。]
【典例5】　(等效擺長(zhǎng))(2024·浙江6月選考)如圖所示，不可伸長(zhǎng)的光滑細(xì)線穿過(guò)質(zhì)量為0.1 kg的小鐵球，兩端A、B懸掛在傾角為30°的固定斜桿上，間距為1.5 m。小球平衡時(shí)，A端細(xì)線與桿垂直；當(dāng)小球受到垂直紙面方向的擾動(dòng)做微小擺動(dòng)時(shí)，等效于懸掛點(diǎn)位于小球重垂線與AB交點(diǎn)的單擺，則(　　)
A．?dāng)[角變小，周期變大
B．小球擺動(dòng)周期約為2 s
C．小球平衡時(shí)，A端拉力為 N
D．小球平衡時(shí)，A端拉力小于B端拉力
√
B　[由單擺的周期公式T＝2π可知，單擺的周期與擺角無(wú)關(guān)，故擺角變小，周期不變，A錯(cuò)誤；由于同一光滑細(xì)線上的拉力大小處處相等，則由題意可知，小球平衡時(shí)，細(xì)線A端拉力等于B端拉力，D錯(cuò)誤；對(duì)平衡時(shí)的小球受力分析，如圖所示，則由力的平衡條件可知FA cos 30°＋FB cos 30°＝mg，又FA＝FB，代入數(shù)據(jù)解得FA＝ N，C錯(cuò)誤；由幾何關(guān)系可知單擺的擺長(zhǎng)l＝
＝1 m，則由T＝2π可知小球擺動(dòng)周
期T≈2 s，B正確。]
【典例6】　(類單擺模型)如圖所示，光滑圓槽的半徑R遠(yuǎn)大于小球運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)。甲、乙、丙三個(gè)小球(均可視為質(zhì)點(diǎn))同時(shí)由靜止釋放，開始時(shí)，甲球比乙球離槽最低點(diǎn)O遠(yuǎn)些，丙球在槽的圓心處。則以下關(guān)于它們第一次到達(dá)點(diǎn)O的先后順序的說(shuō)法正確的是(　　)
A．乙先到，然后甲到，丙最后到
B．丙先到，然后甲、乙同時(shí)到
C．丙先到，然后乙到，甲最后到
D．甲、乙、丙同時(shí)到
√
B　[對(duì)于丙球，根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律有R＝，解得t3＝；對(duì)于甲、乙兩球，由于光滑圓槽的半徑R遠(yuǎn)大于小球運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)，故可將它們的運(yùn)動(dòng)視為做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的單擺的運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期為T＝2π，甲、乙兩球第一次到達(dá)點(diǎn)O時(shí)均運(yùn)動(dòng)周期，則t1＝t2＝＝。所以丙先到，然后甲、乙同時(shí)到，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤。]
【典例7】　(等效重力加速度問(wèn)題)如圖所示，有幾個(gè)相同單擺在
不同條件下，關(guān)于它們的周期關(guān)系，下列判斷正確的是(　　)
A．T1＞T2＞T3＞T4　
B．T1＜T2＝T3＜T4
C．T1＞T2＝T3＞T4
D．T1＜T2＜T3＜T4
√
C　[題圖(1)中，當(dāng)擺球偏離平衡位置時(shí)，重力沿斜面的分力mg sin θ為等效重力，即單擺的等效重力加速度g1＝g sin θ；題圖(2)中兩個(gè)帶電小球的斥力總與運(yùn)動(dòng)方向垂直，不影響擺球的回復(fù)力；題圖(3)為標(biāo)準(zhǔn)單擺；題圖(4)中擺球處于超重狀態(tài)，等效重力加速度為g4＝g＋a。由單擺周期公式T＝2π，知T1＞T2＝T3＞T4，選項(xiàng)C正確。]
應(yīng)用遷移·隨堂評(píng)估自測(cè)
1．某單擺由1 m長(zhǎng)的擺線連接一個(gè)直徑為2 cm 的鐵球組成。關(guān)于單擺周期，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．用大球替代小球，單擺的周期不變
B．?dāng)[角從5°改為3°，單擺的周期會(huì)變小
C．用等大的銅球替代鐵球，單擺的周期不變
D．將單擺從赤道移到北極，單擺的周期會(huì)變大
√
C　[用大球替代小球，單擺擺長(zhǎng)變長(zhǎng)，由單擺周期公式T＝2π可知，單擺的周期變大，故A錯(cuò)誤；由單擺周期公式T＝2π可知，在小擺角情況下，單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期與擺角無(wú)關(guān)，擺角從5°改為3°時(shí)，單擺周期不變，故B錯(cuò)誤；用等大銅球替代鐵球，單擺擺長(zhǎng)不變，由單擺周期公式T＝2π可知，單擺的周期不變，故C正確；將單擺從赤道移到北極，重力加速度g變大，由單擺周期公式T＝2π 可知，單擺周期變小，故D錯(cuò)誤。]
2．(多選)將一單擺向左拉至圖示左側(cè)位置，從靜止釋放，當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，擺線碰到障礙物，擺球繼續(xù)向右擺動(dòng)。用頻閃照相機(jī)拍到如圖所示的單擺運(yùn)動(dòng)過(guò)程的頻閃照片，不計(jì)空氣阻力，以下說(shuō)法正確的是(　　)
A．這個(gè)實(shí)驗(yàn)動(dòng)能和勢(shì)能可以相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化過(guò)程中機(jī)械能守恒
B．?dāng)[線碰到障礙物前后的擺長(zhǎng)之比為9∶4
C．?dāng)[球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，線速度不變，做圓周運(yùn)動(dòng)的
半徑減小，擺線張力變大
D．?dāng)[球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，角速度變大，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑減小，擺線張力不變
√
√
AC　[擺線即使碰到障礙物，擺線的拉力不做功，只有重力做功，所以其仍能回到原來(lái)的高度，機(jī)械能守恒，A正確；頻閃照片拍攝的時(shí)間間隔一定，由題圖可知，擺線與障礙物碰撞前后的周期之比為4∶3，根據(jù)單擺的周期公式T＝2π得，擺長(zhǎng)之比為 16∶9，故B錯(cuò)誤；擺球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，線速度不變，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑變小，根據(jù)F－mg＝m知，張力變大，根據(jù)v＝ωr，知角速度增大，故C正確，D錯(cuò)誤。]
3．在“用單擺測(cè)重力加速度的大小”實(shí)驗(yàn)中，小明作出擺線長(zhǎng)L與周期T的L-T2圖像如圖所示，圖像的斜率為k，則當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮?　　)
A．4π2k　　B．　　C．4π2kb　　D．
√
A　[根據(jù)單擺的周期公式T＝2π，其中r為擺球半徑，變形可得L＝－r，根據(jù)圖像的斜率可知k＝，解得g＝4π2k。故選A。]
回歸本節(jié)知識(shí)，完成以下問(wèn)題：
1．單擺看成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件是什么？
提示：擺角θ較小(一般小于5°)，θ≈sin θ。
2．單擺的回復(fù)力是由哪個(gè)力提供？
提示：重力沿圓弧切線方向的分力。
3．單擺的周期由哪些因素決定？
提示：擺長(zhǎng)、重力加速度。
4．單擺周期的表達(dá)式是什么？
提示：T＝2π。
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
?題組一　單擺的回復(fù)力
1．(多選)單擺是為研究振動(dòng)而抽象出的理想化模型，其理想化條件是(　　)
A．?dāng)[線質(zhì)量不計(jì)
B．?dāng)[線不伸縮
C．?dāng)[球的直徑比擺線長(zhǎng)度小得多
D．?dāng)[角小于5°
√
課時(shí)分層作業(yè)(九)　單擺
√
√
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
ABC　[單擺由擺線和擺球組成，擺線只計(jì)長(zhǎng)度不計(jì)質(zhì)量，擺球只計(jì)質(zhì)量不計(jì)大小，且擺線不伸縮，A、B、C正確，D錯(cuò)誤。]
√
題號(hào)
1
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2
4
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8
7
9
10
2．對(duì)于單擺的振動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．單擺振動(dòng)時(shí)，擺球受到的向心力大小處處相等
B．單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力就是擺球受到的合力
C．?dāng)[球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)所受回復(fù)力為零
D．?dāng)[球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)所受合外力為零
題號(hào)
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C　[單擺振動(dòng)時(shí)，擺球受到的向心力大小與其圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小有關(guān)，即Fn＝m，因?yàn)樗俣却笮r(shí)刻在變化，所以向心力大小不是處處相等，A錯(cuò)誤；擺球受到的合力沿繩子方向的分力提供向心力，而沿切向的分力才為回復(fù)力，B錯(cuò)誤；擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，合力在切向的分力為0，所以此時(shí)回復(fù)力也為0，C正確；擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，速度不為0，向心力不為0，根據(jù)合外力等于向心力可知，合外力不為0，D錯(cuò)誤。故選C。]
題號(hào)
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?題組二　單擺的周期
3．要將秒擺的周期變?yōu)? s，下列措施可行的是(　　)
A．只將擺球質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的
B．只將振幅變?yōu)樵瓉?lái)的2倍
C．只將擺長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍
D．只將擺長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的16倍
√
題號(hào)
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C　[單擺的周期與擺球的質(zhì)量和振幅均無(wú)關(guān)，故A、B錯(cuò)誤；對(duì)秒擺，T0＝2π＝2 s，對(duì)周期為4 s的單擺，T＝2π＝4 s，聯(lián)立解得l＝4l0，故C正確，D錯(cuò)誤。]
題號(hào)
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4．如圖所示，三根細(xì)線在O點(diǎn)處打結(jié)，A、B端固定在同一水平面上相距為l的兩點(diǎn)上，使ΔAOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC線長(zhǎng)也是l，下端C點(diǎn)系著一個(gè)小球(半徑可忽略)，下列說(shuō)法正確的是(以下皆指擺動(dòng)角度小于5°，重力加速度為g)(　　)
題號(hào)
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A．讓小球在紙面內(nèi)振動(dòng)，周期T＝2π
B．讓小球在垂直紙面內(nèi)振動(dòng)，周期T＝2π
C．讓小球在紙面內(nèi)振動(dòng)，周期T＝2π
D．讓小球在垂直紙面內(nèi)振動(dòng)，周期T＝2π
√
題號(hào)
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A　[讓小球在紙面內(nèi)振動(dòng)，在偏角很小時(shí)，單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，擺長(zhǎng)為l，周期T＝2π，故A正確，C錯(cuò)誤；讓小球在垂直紙面內(nèi)振動(dòng)，在偏角很小時(shí)，單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系可得O點(diǎn)到等效懸點(diǎn)的距離為h＝l cos 30°·sin 30°＝l，則等效擺長(zhǎng)為L(zhǎng)＝h＋l＝l，周期T′＝2π，故B、D錯(cuò)誤。故選A。]
題號(hào)
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5．(人教版P59A組T5改編)如圖所示，兩個(gè)半徑大小相同、質(zhì)量不同的小球m1和m2(m1題號(hào)
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A．與第一次碰撞時(shí)間間隔為1 s
B．與第一次碰撞時(shí)間間隔為2 s
C．在O點(diǎn)左側(cè)碰
D．在O點(diǎn)右側(cè)碰
√
A　[碰撞后，兩個(gè)小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期為T＝2π＝2 s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間與質(zhì)量和速度無(wú)關(guān)，所以兩球總是回到最低點(diǎn)發(fā)生碰撞，時(shí)間間隔為t＝＝1 s。]
題號(hào)
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6．如圖所示的是同一地點(diǎn)的兩單擺甲、乙做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的振動(dòng)圖像，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．甲的擺長(zhǎng)大于乙的擺長(zhǎng)
B．甲擺的周期大于乙擺的周期
C．在t＝0.5 s時(shí)甲擺的回復(fù)力大于乙擺的
回復(fù)力
D．在t＝1.0 s時(shí)乙的速率大于甲的速率
√
題號(hào)
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D　[由振動(dòng)圖像知，甲和乙的周期相等均為2.0 s，根據(jù)單擺周期公式T＝2π，所以甲的擺長(zhǎng)等于乙的擺長(zhǎng)，故A、B錯(cuò)誤；由振動(dòng)圖像知，在t＝0.5 s時(shí)甲擺正經(jīng)過(guò)平衡位置向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，此時(shí)甲的回復(fù)力為零，該時(shí)刻乙離平衡位置最遠(yuǎn)，所以回復(fù)力最大，故C錯(cuò)誤；由振動(dòng)圖像知，在t＝1.0 s時(shí)甲離平衡位置最遠(yuǎn)，振動(dòng)速度為零，而乙在平衡位置，速度最大，所以乙的速率大于甲的速率，故D正確。]
√
題號(hào)
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7．在盛沙的漏斗下方放一木板，讓漏斗在紙面內(nèi)擺動(dòng)起來(lái)，假設(shè)漏斗中細(xì)沙勻速流出，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，觀察木板上沙子的堆積情況，不考慮空氣阻力，則沙堆的剖面(紙面內(nèi))應(yīng)是下列選項(xiàng)中的
(　　)
A　　 　 　B　 　　　　C　 　　 D
題號(hào)
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B　[不考慮空氣阻力，漏斗在從最左端向最右端運(yùn)動(dòng)和從最右端向最左端運(yùn)動(dòng)時(shí)，到達(dá)中間位置時(shí)運(yùn)動(dòng)速度最快，漏到木板上的細(xì)沙最少，從中間到兩端運(yùn)動(dòng)時(shí)漏斗運(yùn)動(dòng)的速度逐漸變慢，故漏到木板上的細(xì)沙越來(lái)越多，B正確。]
√
題號(hào)
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8．如圖所示，處于豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中帶正電荷的擺球，質(zhì)量為m，半徑為r，用長(zhǎng)為l的細(xì)線把擺球吊在懸點(diǎn)O處做成單擺，重力加速度為g，則這個(gè)單擺的周期為(　　)
A．T＝2π B．T＝2π
C．大于T＝2π D．小于T＝2π
題號(hào)
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D　[設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度為E，擺球所帶電荷量為q，當(dāng)單擺所處系統(tǒng)中無(wú)豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中時(shí)，單擺的周期為T＝2π；當(dāng)單擺處于豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中時(shí)，其等效重力加速度為g等效＝＝g＋>g，周期T′＝2π，所以單擺的周期減小，即T′題號(hào)
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9．(人教版P60B組T5改編)力傳感器連接到計(jì)算機(jī)上就可以測(cè)量快速變化的力。圖甲中O點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，現(xiàn)將擺球拉至A點(diǎn)，此時(shí)細(xì)線處于張緊狀態(tài)，釋放擺球，則擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的A、B、C之間來(lái)回?cái)[動(dòng)。B點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)中的最低位置，∠AOB＝∠COB＝θ，θ小于5°且是未知量。圖乙是由計(jì)算機(jī)得到的細(xì)線對(duì)擺球的拉力大小F隨時(shí)間t變化的曲線，且圖中t＝0時(shí)刻為擺球從A點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻，擺球可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度g＝10 m/s2。下列說(shuō)法正確的是
(　　)
題號(hào)
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題號(hào)
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A．此單擺的振動(dòng)周期為0.2π s
B．此單擺的擺長(zhǎng)為0.4 m
C．此單擺擺球的質(zhì)量為0.5 kg
D．此擺球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度為0.5 m/s
√
題號(hào)
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B　[小球在一個(gè)周期內(nèi)兩次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)，小球在最低點(diǎn)細(xì)線對(duì)擺球的拉力最大，則此單擺的振動(dòng)周期為T＝2×(0.3π－0.1π)s＝0.4π s，故A錯(cuò)誤；根據(jù)單擺周期公式T＝2π，解得此單擺的擺長(zhǎng)為l＝0.4 m，故B正確；小球在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律可得Fmax－mg＝m，小球在最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律可得Fmin＝mg cos θ，小球從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理可得mgl(1－cos θ)＝mv2，聯(lián)立解得m＝0.05 kg，v＝m/s，故C、D錯(cuò)誤。故選B。]
題號(hào)
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10．(2024·河北卷)如圖所示，一電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)輕桿在豎直框架平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，輕桿一端固定在電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)軸上，另一端懸掛一紫外光筆，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)紫外光始終豎直投射至水平鋪開的感光紙上，沿垂直于框架的方向勻速拖動(dòng)感光紙，感光紙上就畫出了描述光點(diǎn)振動(dòng)的x -t圖像。已知輕桿在豎直面內(nèi)長(zhǎng)0.1 m，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為12 r/min。該振動(dòng)的圓頻率和光點(diǎn)在12.5 s內(nèi)通過(guò)的路程分別為(　　)
題號(hào)
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A．0.2 rad/s，1.0 m　　
B．0.2 rad/s，1.25 m
C．1.26 rad/s，1.0 m
D．1.26 rad/s，1.25 m
√
題號(hào)
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C　[由于電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速為12 r/min，則光點(diǎn)1 min振動(dòng)12個(gè)周期，故光點(diǎn)振動(dòng)的周期T＝＝＝5 s，所以光點(diǎn)振動(dòng)的圓頻率ω＝＝0.4π rad/s≈1.26 rad/s，A、B錯(cuò)誤；由題意可知光點(diǎn)的振幅A＝0.1 m，又t＝12.5 s＝2.5T，則光點(diǎn)在12.5 s內(nèi)通過(guò)的路程s＝2.5×4A＝10A＝1.0 m，C正確，D錯(cuò)誤。]
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