資源簡介

主題1　簡諧運動的五大特征
受力特征 回復(fù)力F＝－kx，F(xiàn)(或a)的大小與x的大小成正比，方向相反
運動特征 衡位置時，a、F、x都減小，v增大；遠(yuǎn)離平衡位置時，a、F、x都增大，v減小
能量特征 振幅越大，能量越大，在運動過程中，系統(tǒng)的動能和勢能相互轉(zhuǎn)化，機械能守恒
周期性特征 質(zhì)點的位移、回復(fù)力、加速度和速度隨時間做周期性變化，變化周期就是簡諧運動的周期T；動能和勢能也隨時間做周期性變化，其變化周期為
對稱性特征 關(guān)于平衡位置O對稱的兩點，速度的大小、動能、勢能相等，相對平衡位置的位移大小相等；由對稱點到平衡位置O用時相等
【典例1】　如圖甲所示，一單擺做小角度擺動，從某次擺球由左向右通過平衡位置開始計時，相對平衡位置的位移x隨時間t變化的圖像如圖乙所示。不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2。對于這個單擺的振動過程，下列說法正確的是(　　)
甲　　　　　　　　　　　乙
A．單擺的擺長約為1.0 m
B．單擺的位移x隨時間t變化的關(guān)系式為x＝
8sin 2πt cm
C．從t＝0.5 s到t＝1.0 s的過程中，擺球的重力勢能逐漸增大
D．從t＝1.0 s到t＝1.5 s的過程中，擺球的回復(fù)力逐漸減小
A　[由題圖乙可知單擺的周期T＝2 s，振幅A＝8 cm，由單擺的周期公式T＝2π，代入數(shù)據(jù)可得l≈1 m，A正確；由ω＝可得ω＝π rad/s，則單擺的位移x隨時間t變化的關(guān)系式為x＝A sin ωt＝8sin πt cm，B錯誤；從t＝0.5 s到t＝1.0 s的過程中，擺球從最高點運動到最低點，重力勢能減小，C錯誤；從t＝1.0 s到t＝1.5 s的過程中，擺球的位移增大，回復(fù)力增大，D錯誤。]
　(1)做簡諧運動的物體經(jīng)過平衡位置時，回復(fù)力一定為零，但所受合外力不一定為零。
(2)由于簡諧運動具有周期性和對稱性， 因此涉及簡諧運動時往往會出現(xiàn)多解的情況，分析時應(yīng)特別注意。
(3)位移相同時，回復(fù)力、加速度、速率、動能和勢能等可以確定，但速度可能有兩個方向，由于周期性，運動時間也不能確定。
主題2　簡諧運動的圖像及應(yīng)用
簡諧運動的圖像描述了振動質(zhì)點的位移隨時間變化的規(guī)律。從圖像中可以確定位移、速度、加速度、動能和勢能等物理量以及它們的變化規(guī)律，具體分析如表：
項目 內(nèi)容 說明
橫、縱軸表示的物理量 橫軸表示時間，縱軸表示質(zhì)點的位移 ①振動圖像不是振動質(zhì)點的運動軌跡 ②計時起點一旦確定，已經(jīng)形成的圖像形狀不變，以后的圖像隨時間向后延伸 ③簡諧運動圖像的具體形狀跟正方向的規(guī)定有關(guān)
意義 表示振動質(zhì)點的位移隨時間變化的規(guī)律
形狀
應(yīng)用 ①直接從圖像上讀出周期和振幅 ②確定任一時刻質(zhì)點相對平衡位置的位移 ③判斷任意時刻振動質(zhì)點的速度方向和加速度方向 ④判斷某段時間內(nèi)振動質(zhì)點的位移、速度、加速度、動能及勢能大小的變化情況
【典例2】　如圖所示是一個質(zhì)點做簡諧運動的圖像，根據(jù)圖像回答下面的問題：
(1)振動質(zhì)點離開平衡位置的最大距離；
(2)寫出此振動質(zhì)點位移隨時間變化的關(guān)系式；
(3)振動質(zhì)點在0～0.6 s的時間內(nèi)通過的路程；
(4)振動質(zhì)點在t＝0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s時的振動方向；
(5)振動質(zhì)點在0.6～0.8 s這段時間內(nèi)速度和加速度是怎樣變化的？
(6)振動質(zhì)點在0.4～0.8 s這段時間內(nèi)的動能變化是多少？
[解析]　(1)由題圖可以看出，質(zhì)點振動的振幅為5 cm，即為質(zhì)點離開平衡位置的最大距離。
(2)由題圖可知A＝5 cm，T＝0.8 s，φ＝0，所以x＝A sin (ωt＋φ)＝A sin ＝5sin cm＝5sin (2.5πt)cm。
(3)由題圖可以看出，質(zhì)點振動的周期為T＝0.8 s，0.6 s＝3×，振動質(zhì)點是從平衡位置開始振動的，故在0～0.6 s的時間內(nèi)質(zhì)點通過的路程為s＝3A＝3×5 cm＝15 cm。
(4)在t＝0.1 s時，振動質(zhì)點處在位移為正值的某一位置上，若從t＝0.1 s起取一段極短的時間間隔Δt(Δt→0)的話，從題圖中可以看出振動質(zhì)點的正方向的位移將會越來越大，由此可以判斷得出質(zhì)點在t＝0.1 s時的振動方向是沿題中所設(shè)的正方向。同理可以判斷得出質(zhì)點在t＝0.3 s、0.5 s、0.7 s時的振動方向分別是沿題中所設(shè)的負(fù)方向、負(fù)方向和正方向。
(5)由題圖可以看出，在0.6～0.8 s這段時間內(nèi)，振動質(zhì)點從最大位移處向平衡位置運動，故其速度越來越大；而質(zhì)點所受的回復(fù)力指向平衡位置，并且逐漸減小，故其加速度的方向指向平衡位置且越來越小。
(6)由題圖可以看出，在0.4～0.8 s這段時間內(nèi)，質(zhì)點從平衡位置經(jīng)過半個周期的運動又回到了平衡位置，盡管初、末兩個時刻的速度方向相反，但大小是相等的，故這段時間內(nèi)質(zhì)點的動能變化為零。
[答案]　(1)5 cm　(2)x＝5sin (2.5πt) cm　
(3)15 cm　(4)正方向　負(fù)方向　負(fù)方向　正方向
(5)速度增大，加速度減小　(6)零
主題3　單擺周期公式的應(yīng)用
1．對單擺周期公式的理解
(1)單擺的周期公式在單擺擺角很小時成立。
(2)公式中l(wèi)是擺長，即懸點到擺球球心的距離，l＝l線＋r球。
(3)公式中g(shù)是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。
(4)周期T只與l和g有關(guān)，與擺球質(zhì)量m及振幅無關(guān)。
2．有關(guān)周期T的常見情況
(1)同一單擺，在地球的不同位置上，由于重力加速度不同，其周期也不同。
(2)同一單擺，在不同的星球上，其周期也不相同。例如單擺放在月球上時，由于g月(3)當(dāng)單擺處在繞地球運行的衛(wèi)星中時，由于衛(wèi)星處于完全失重狀態(tài)，等效重力加速度g＝0，則周期T為無窮大，即單擺不會振動。
(4)當(dāng)單擺放在豎直方向的電場中，若單擺帶電，則類似于超(失)重，等效加速度g′＝g＋a(或g′＝g－a)，其中a＝(g>a)，故周期T變化。
【典例3】　如圖所示，單擺甲放在空氣中，周期為T甲；單擺乙放在以加速度a(g>a)向下加速的電梯中，周期為T乙；單擺丙帶正電荷，放在勻強電場E中，周期為T丙，單擺甲、乙、丙的擺長l相同。則下列說法正確的是(　　)
甲　 　乙　　　　　丙
A．T甲＞T乙＞T丙 B．T乙＞T甲＞T丙
C．T甲＞T丙＞T乙 D．T丙＞T甲＞T乙
B　[對甲擺：T甲＝2π。對乙擺：T乙＝2π。對丙擺：由于擺球受豎直向下的重力的同時，還受豎直向下的靜電力，靜電力在圓弧切向產(chǎn)生分力，與重力沿切向的分力一起提供回復(fù)力，相當(dāng)于重力增大了，等效重力F＝mg＋qE，故等效重力加速度g′＝g＋，故周期T丙＝2π，所以T乙＞T甲＞T丙。]
　同一單擺放到不同環(huán)境中，等效重力加速度不同，導(dǎo)致周期不同。
章末綜合測評(二)　機械振動
(總分：100分)
一、單項選擇題：共11題，每題4分，共44分。每題只有一個選項最符合題意。
1．在飛機的發(fā)展史中有一個階段，飛機升空后不久，飛機的機翼很快就抖動起來，而且越抖越厲害。后來經(jīng)過人們的探索，利用在飛機機翼前緣處裝置一個配重桿的方法，解決了這一問題。在飛機機翼前緣處裝置配重桿的目的主要是(　　)
A．加大飛機的慣性
B．使機體更加平衡
C．使機翼更加牢固
D．改變機翼的固有頻率
D　[飛機機翼振動的原因是氣流使機翼振動的周期接近機翼的固有周期，機翼發(fā)生了共振現(xiàn)象，通過裝置一個配重桿的方法改變機翼的固有周期，從而避免共振的發(fā)生，選項D正確。]
2．做簡諧運動的物體，當(dāng)它每次經(jīng)過同一位置時，可能不同的物理量是(　　)
A．位移 B．速度
C．加速度 D．回復(fù)力
B　[做簡諧運動的物體，當(dāng)它每次經(jīng)過同一位置時，位移x相同，回復(fù)力相同，加速度相同，可能不同的物理量是速度，故B正確。]
3．單擺在擺動過程中，下列說法正確的是(　　)
A．回復(fù)力由重力和細(xì)線拉力的合力提供
B．?dāng)[動到最低點時回復(fù)力為零
C．動能變化的周期等于振動周期
D．小球質(zhì)量越大，周期越長
B　[重力沿圓弧切線方向的分力提供單擺做簡諧運動的回復(fù)力，故A錯誤；擺動到最低點時回復(fù)力為零，故B正確；小球從最高點開始擺動過程中，小球的動能先增大后減小，到達(dá)另一側(cè)最高點時動能為零，然后再重復(fù)，故其動能的變化周期為單擺振動周期的一半，C錯誤；單擺的周期T＝2π，與小球的質(zhì)量無關(guān)，故D錯誤。]
4．一根彈簧原長為l0，掛一質(zhì)量為m的物體時伸長x。當(dāng)把這根彈簧與該物體套在一光滑水平的桿上組成彈簧振子，且其振幅為A時，物體振動的最大加速度為(　　)
A．
C．
B　[振子的最大加速度a＝，而mg＝kx，解得a＝，B項正確。]
5．如圖甲所示，輕彈簧上端固定，下端懸吊一鋼球，把鋼球從平衡位置向下拉下一段距離A，由靜止釋放。以鋼球平衡位置為坐標(biāo)原點、豎直向上為正方向建立x軸，當(dāng)鋼球在振動過程中某一次經(jīng)過平衡位置時開始計時，鋼球運動的位移—時間圖像如圖乙所示。已知鋼球振動過程中彈簧始終處于拉伸狀態(tài)，則(　　)
甲　　　　乙
A．t1時刻鋼球處于超重狀態(tài)
B．t2時刻鋼球的速度方向向上
C．t1～t2時間內(nèi)鋼球的動能逐漸增大
D．t1～t2時間內(nèi)鋼球的機械能逐漸減小
D　[t1時刻，鋼球位于平衡位置上方，位移為正，所以加速度為負(fù)，有向下的加速度，處于失重狀態(tài)，故A錯誤；t2時刻，鋼球位于平衡位置下方，正在遠(yuǎn)離平衡位置，速度方向向下，故B錯誤；t1～t2時間內(nèi)，鋼球的速度先增大后減小，動能先增大后減小，故C錯誤；t1～t2時間內(nèi)，鋼球一直向下運動，彈簧彈力一直向上，鋼球需克服彈力做功，根據(jù)能量守恒定律可知，鋼球的機械能逐漸減小，故D正確。]
6．將秒擺的周期由2 s變?yōu)? s，下列措施可行的是(　　)
A．將擺球的質(zhì)量減半 　 B．將振幅減半
C．將擺長減半 　 D．將擺長減為原來的
D　[秒擺的周期由2 s變?yōu)? s，周期變?yōu)樵瓉淼模蓡螖[周期公式T＝2π可知，應(yīng)將擺長減為原來的，秒擺的周期與擺球的質(zhì)量、振幅無關(guān)，故選項D正確。]
7．蜘蛛會根據(jù)絲網(wǎng)的振動情況感知是否有昆蟲“落網(wǎng)”，若絲網(wǎng)的固有頻率為200 Hz，下列說法正確的是(　　)
A．“落網(wǎng)”昆蟲翅膀振動的頻率越大，絲網(wǎng)的振幅越大
B．當(dāng)“落網(wǎng)”昆蟲翅膀振動的頻率低于200 Hz 時，絲網(wǎng)不振動
C．當(dāng)“落網(wǎng)”昆蟲翅膀振動的周期為0.005 s時，絲網(wǎng)的振幅最大
D．昆蟲“落網(wǎng)”時，絲網(wǎng)振動的頻率由絲網(wǎng)自身的結(jié)構(gòu)所決定，與昆蟲翅膀振動頻率無關(guān)
C　[根據(jù)共振的條件可知，驅(qū)動力的頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時，系統(tǒng)發(fā)生共振，振幅達(dá)最大，故A、B錯誤；當(dāng)“落網(wǎng)”昆蟲翅膀振動的周期為0.005 s時，其頻率f＝＝ Hz＝200 Hz，與絲網(wǎng)的固有頻率相等，所以絲網(wǎng)的振幅最大，故C正確；受迫振動的頻率等于驅(qū)動力的頻率，所以昆蟲“落網(wǎng)”時，絲網(wǎng)振動的頻率由“落網(wǎng)”昆蟲翅膀振動的頻率決定，故D錯誤。]
8．如圖所示為兩個單擺做受迫振動的共振曲線，則下列說法正確的是(　　)
A．兩個單擺的固有周期之比為TⅠ∶TⅡ＝2∶5
B．兩個單擺的擺長之比lⅠ∶lⅡ＝4∶25
C．圖線Ⅱ?qū)?yīng)單擺擺長約為1 m
D．若兩條圖線分別對應(yīng)同一單擺在月球上和地球上的受迫振動，則圖線Ⅱ是月球上的單擺的共振曲線
C　[由共振曲線及共振的條件可知，圖線Ⅰ和Ⅱ的兩個單擺的固有頻率分別為0.2 Hz和0.5 Hz，周期之比TⅠ∶TⅡ＝5∶2，A錯誤；由單擺的周期公式T＝2π可知，lⅠ∶lⅡ＝＝25∶4，B錯誤；同時可知lⅡ＝≈1 m，C正確；當(dāng)擺長不變時，重力加速度越大，固有頻率越大，月球表面重力加速度小于地球表面重力加速度，故D錯誤。]
9．一個質(zhì)點以O(shè)為中心做簡諧運動，位移隨時間變化的圖像如圖所示。a、b、c、d表示質(zhì)點在不同時刻的相應(yīng)位置，且b、d關(guān)于平衡位置對稱，則下列說法正確的是(　　)
A．質(zhì)點做簡諧運動的方程為x＝A sin t
B．質(zhì)點在位置b與位置d時速度大小相同，方向不同
C．質(zhì)點從位置a到c和從位置b到d所用時間相等
D．質(zhì)點從位置a到b和從b到c的平均速度相等
C　[由題給的質(zhì)點位移隨時間變化的圖像可知，振幅為A，周期T＝8 s，質(zhì)點做簡諧運動的方程為x＝A sin t＝A sin t，A錯誤；根據(jù)簡諧運動的對稱性可知質(zhì)點在位置b與位置d時速度相同，B錯誤；質(zhì)點從位置a到c與從位置b到d所用時間均為2 s，C正確；質(zhì)點從位置a到b和從位置b到c所用的時間都是1 s，但位移大小不同，所以平均速度不相等，D錯誤。]
10．如圖所示，長度為l的輕繩上端固定在O點，下端系一小球(小球可以看成質(zhì)點)。在O點正下方，距O點處的P點固定一個小釘子。現(xiàn)將小球拉到點A處，輕繩被拉直，然后由靜止釋放小球。點B是小球運動的最低位置，點C(圖中未標(biāo)出)是小球能夠到達(dá)的左側(cè)最高位置。已知點A與點B之間的高度差為h，h l。A、B、P、O在同一豎直平面內(nèi)，當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹間，不計空氣阻力。下列說法正確的是(　　)
A．點C與點B高度差小于h
B．點C與點B高度差大于h
C．小球擺動的周期等于
D．小球擺動的周期等于
C　[不計空氣阻力，小球在整個運動過程中機械能守恒，故運動到左側(cè)時，最高點C與點A等高，與點B高度差為h，A、B錯誤；當(dāng)小球從A點開始運動，再回到A點時為一個周期，是兩個半周期之和，即T＝π＋π＝，C正確，D錯誤。]
11．下端附著重物的粗細(xì)均勻的木棒豎直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿豎直方向做頻率為1 Hz的簡諧運動。與此同時，木棒在水平方向上隨河水做勻速直線運動，如圖(a)所示。以木棒所受浮力F為縱軸，木棒水平位移x為橫軸建立直角坐標(biāo)系，浮力F隨水平位移x的變化如圖(b)所示。已知河水密度為ρ，木棒橫截面積為S，重力加速度大小為g。下列說法正確的是(　　)
(a)　　　　　　　　　　(b)
A．x從0.2 m到0.3 m的過程中，木棒的加速度豎直向下，逐漸變大
B．x＝0.35 m和x＝0.45 m時，木棒的速度大小相等，方向相同
C．河水流動的速度為0.4 m/s
D．木棒在豎直方向做簡諧運動的振幅為
C　[由簡諧運動的對稱性可知，在x＝0.1 m、0.3 m、0.5 m時木棒處于平衡位置，木棒受到的浮力等于重力，由題圖(b)知x＝0.2 m時木棒受到的浮力最小，此時木棒在上方最大位移處，則x從0.2 m到0.3 m的過程中，木棒從最大位移處到達(dá)平衡位置，由于木棒受到的浮力逐漸增大，且小于重力，所以木棒的加速度方向豎直向下，逐漸減小，故A錯誤；在x＝0.35 m和x＝0.45 m時，由題圖(b)知浮力大小相等，說明木棒在同一位置，根據(jù)簡諧運動的對稱性，可知兩時刻木棒在豎直方向的速度大小相等，但速度方向相反，而木棒在水平方向速度相同，根據(jù)速度的合成可知合速度大小相等，但方向不同，故B錯誤；木棒沿豎直方向做頻率為1 Hz的簡諧運動，則其振動的周期為1 s，由題圖(b)可知在一個周期內(nèi)，木棒沿水平方向移動的距離為0.4 m，則河水流動的速度為v水＝＝ m/s＝0.4 m/s，故C正確；設(shè)木棒在平衡位置處浸沒的深度為h，木棒做簡諧運動的振幅為A，則浮力最大時，有F1＝ρgS(h＋A)，浮力最小時，有F2＝ρgS(h－A)，聯(lián)立求得A＝，故D錯誤。]
二、非選擇題：共4題，共56分。
12．(15分)小明用如圖甲所示裝置測量重力加速度g。
(1)用游標(biāo)卡尺測量小球的直徑，某次測量的結(jié)果如圖乙所示，則小球的直徑為________ cm。
(2)為使測量結(jié)果更加準(zhǔn)確，以下操作中正確的有________。
A．?dāng)[線要選擇細(xì)些的、伸縮性小些的，并且適當(dāng)長一些
B．開始時拉開擺球，使擺線相距平衡位置有較大的角度
C．測量周期時應(yīng)該從擺球運動到最高點時開始計時
(3)測出懸點O至小球球心的距離(擺長)L及單擺完成n次全振動所用的時間t，則重力加速度表達(dá)式g＝________(用L、n、t表示)。
(4)某同學(xué)在實驗中改變擺長重復(fù)實驗，他只測出了懸線的長度l′及對應(yīng)的周期T，得到幾組數(shù)據(jù)，再以l′為橫坐標(biāo)、T2為縱坐標(biāo)作出T2-l′圖線如圖丙所示。已知圖線與縱軸的截距為b1，圖線上P點坐標(biāo)為(a，b2)，則由此根據(jù)圖線斜率計算重力加速度g＝______(用題給字母表示)。
(5)某同學(xué)測得的g值偏小，可能的一種原因是________。
A．測擺線長時擺線拉得過緊
B．開始計時時，停表過遲按下
C．實驗時擺球擺動時間過長引起擺角變小
D．?dāng)[線上端未牢固地系于懸點，振動中出現(xiàn)松動，使擺線長度增加了
[解析]　(1)用游標(biāo)卡尺測量小球的直徑，小球的直徑為d＝19 mm＋6×0.1 mm＝19.6 mm＝1.96 cm。
(2)為了減小擺長的測量誤差，擺線要選擇細(xì)些的、伸縮性小些的，并且適當(dāng)長一些，故A正確；擺球的周期與擺線的長短有關(guān)，但與擺角無關(guān)，且角度大于5°時，小球不能看作是做簡諧運動，故B錯誤；為了減小測量擺球運動時間的誤差，應(yīng)該從擺球運動到最低點時開始計時，故C錯誤。
(3)單擺的周期為T＝，結(jié)合T＝2π，可得重力加速度表達(dá)式g＝。
(4)由單擺周期公式得T＝2π＝2π，解得T2＝l′＋r，結(jié)合圖像斜率有k＝＝，解得重力加速度g＝。
(5)根據(jù)單擺周期公式T＝2π，解得g＝。測擺線長時擺線拉得過緊，會使擺長測量值偏大，根據(jù)g＝，可知測得的g值偏大，故A錯誤；開始計時時，停表過遲按下，測量的時間t偏小，則周期T偏小，根據(jù)g＝，可知測得的g值偏大，故B錯誤；擺角變小，周期不變，根據(jù)g＝，可知測得的g值不會受影響，故C錯誤；單擺的懸點未固定緊，振動中出現(xiàn)松動，使擺線增長了，則擺長的測量值偏小，根據(jù)g＝，可知測得的g值偏小，故D正確。
[答案]　(1)1.96　(2)A　(3)　
(4)　(5)D
13．(13分)如圖所示，輕彈簧的下端系著A、B兩球，mA＝100 g，mB＝500 g，系統(tǒng)靜止時彈簧伸長x＝15 cm，未超出彈性限度。若剪斷A、B間繩，則A在豎直方向做簡諧運動，問：
(1)A的振幅為多大？
(2)A的最大加速度為多大？(g取10 m/s2)
[解析]　(1)設(shè)只掛A時彈簧伸長量x1＝。由(mA＋mB)g＝kx，得k＝，即x1＝x＝2.5 cm。
振幅A＝x－x1＝12.5 cm。
(2)剪斷細(xì)繩瞬間，A受彈力最大，合力最大，加速度最大。
F＝(mA＋mB)g－mAg＝mBg＝mAam，
解得am＝＝5g＝50 m/s2。
[答案]　(1)12.5 cm　(2)50 m/s2
14．(13分)如圖甲所示，一個豎直圓盤轉(zhuǎn)動時，固定在圓盤上的小圓柱帶動一個T形支架在豎直方向振動，T形支架的下面系著一個彈簧和小球組成的振動系統(tǒng)，小球浸沒在水中。當(dāng)圓盤靜止時，讓小球在水中振動，小球?qū)⒆鲎枘嵴駝印，F(xiàn)使圓盤以不同的頻率振動，測得共振曲線如圖乙所示。(取g＝9.86 m/s2，π＝3.14)
(1)當(dāng)圓盤以0.4 s的周期勻速轉(zhuǎn)動，經(jīng)過一段時間后，小球振動達(dá)到穩(wěn)定，它振動的頻率是多少？
(2)若一個單擺的擺動周期與小球做阻尼振動的周期相同，該單擺的擺長約為多少？(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)
甲　　　　　　　　　乙
[解析]　(1)小球做受迫振動的頻率等于驅(qū)動力的頻率，所以小球振動達(dá)到穩(wěn)定時周期為0.4 s，頻率為f＝＝2.5 Hz。
(2)由題圖乙可以看出，小球振動的固有頻率為0.3 Hz，則單擺的固有頻率為0.3 Hz，周期為 s，由單擺的周期公式T＝2π，解得l＝＝× m≈2.78 m。
[答案]　(1)2.5 Hz　(2)2.78 m
15．(15分)如圖所示，一質(zhì)量為m的小鋼球，用長為l的細(xì)絲線掛在水平天花板上(l遠(yuǎn)大于小鋼球的半徑)，初始時，擺線和豎直方向的夾角為θ(θ<5°)，重力加速度為g。釋放小球后，求：(不計空氣阻力)
(1)小球擺到最低點所用的時間；
(2)小球在最低點受到的拉力。
[解析]　(1)小球做簡諧運動，則小球從釋放到最低點所用的時間為t＝T＝。
(2)小球從釋放到最低點，由動能定理有
mg(l－l cos θ)＝mv2。
根據(jù)牛頓第二定律，有FT－mg＝m。
聯(lián)立解得FT＝3mg－2mg cos θ。
[答案]　(1)　(2)3mg－2mg cos θ
14 / 14主題1　簡諧運動的五大特征
受力特征 回復(fù)力F＝－kx，F(xiàn)(或a)的大小與x的大小成正比，方向相反
運動特征 衡位置時，a、F、x都減小，v增大；遠(yuǎn)離平衡位置時，a、F、x都增大，v減小
能量特征 振幅越大，能量越大，在運動過程中，系統(tǒng)的動能和勢能相互轉(zhuǎn)化，機械能守恒
周期性特征 質(zhì)點的位移、回復(fù)力、加速度和速度隨時間做周期性變化，變化周期就是簡諧運動的周期T；動能和勢能也隨時間做周期性變化，其變化周期為
對稱性特征 關(guān)于平衡位置O對稱的兩點，速度的大小、動能、勢能相等，相對平衡位置的位移大小相等；由對稱點到平衡位置O用時相等
【典例1】　如圖甲所示，一單擺做小角度擺動，從某次擺球由左向右通過平衡位置開始計時，相對平衡位置的位移x隨時間t變化的圖像如圖乙所示。不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2。對于這個單擺的振動過程，下列說法正確的是(　　)
甲　　　　　　　　　　　乙
A．單擺的擺長約為1.0 m
B．單擺的位移x隨時間t變化的關(guān)系式為x＝
8sin 2πt cm
C．從t＝0.5 s到t＝1.0 s的過程中，擺球的重力勢能逐漸增大
D．從t＝1.0 s到t＝1.5 s的過程中，擺球的回復(fù)力逐漸減小
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　(1)做簡諧運動的物體經(jīng)過平衡位置時，回復(fù)力一定為零，但所受合外力不一定為零。
(2)由于簡諧運動具有周期性和對稱性， 因此涉及簡諧運動時往往會出現(xiàn)多解的情況，分析時應(yīng)特別注意。
(3)位移相同時，回復(fù)力、加速度、速率、動能和勢能等可以確定，但速度可能有兩個方向，由于周期性，運動時間也不能確定。
主題2　簡諧運動的圖像及應(yīng)用
簡諧運動的圖像描述了振動質(zhì)點的位移隨時間變化的規(guī)律。從圖像中可以確定位移、速度、加速度、動能和勢能等物理量以及它們的變化規(guī)律，具體分析如表：
項目 內(nèi)容 說明
橫、縱軸表示的物理量 橫軸表示時間，縱軸表示質(zhì)點的位移 ①振動圖像不是振動質(zhì)點的運動軌跡 ②計時起點一旦確定，已經(jīng)形成的圖像形狀不變，以后的圖像隨時間向后延伸 ③簡諧運動圖像的具體形狀跟正方向的規(guī)定有關(guān)
意義 表示振動質(zhì)點的位移隨時間變化的規(guī)律
形狀
應(yīng)用 ①直接從圖像上讀出周期和振幅 ②確定任一時刻質(zhì)點相對平衡位置的位移 ③判斷任意時刻振動質(zhì)點的速度方向和加速度方向 ④判斷某段時間內(nèi)振動質(zhì)點的位移、速度、加速度、動能及勢能大小的變化情況
【典例2】　如圖所示是一個質(zhì)點做簡諧運動的圖像，根據(jù)圖像回答下面的問題：
(1)振動質(zhì)點離開平衡位置的最大距離；
(2)寫出此振動質(zhì)點位移隨時間變化的關(guān)系式；
(3)振動質(zhì)點在0～0.6 s的時間內(nèi)通過的路程；
(4)振動質(zhì)點在t＝0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s時的振動方向；
(5)振動質(zhì)點在0.6～0.8 s這段時間內(nèi)速度和加速度是怎樣變化的？
(6)振動質(zhì)點在0.4～0.8 s這段時間內(nèi)的動能變化是多少？
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主題3　單擺周期公式的應(yīng)用
1．對單擺周期公式的理解
(1)單擺的周期公式在單擺擺角很小時成立。
(2)公式中l(wèi)是擺長，即懸點到擺球球心的距離，l＝l線＋r球。
(3)公式中g(shù)是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。
(4)周期T只與l和g有關(guān)，與擺球質(zhì)量m及振幅無關(guān)。
2．有關(guān)周期T的常見情況
(1)同一單擺，在地球的不同位置上，由于重力加速度不同，其周期也不同。
(2)同一單擺，在不同的星球上，其周期也不相同。例如單擺放在月球上時，由于g月(3)當(dāng)單擺處在繞地球運行的衛(wèi)星中時，由于衛(wèi)星處于完全失重狀態(tài)，等效重力加速度g＝0，則周期T為無窮大，即單擺不會振動。
(4)當(dāng)單擺放在豎直方向的電場中，若單擺帶電，則類似于超(失)重，等效加速度g′＝g＋a(或g′＝g－a)，其中a＝(g>a)，故周期T變化。
【典例3】　如圖所示，單擺甲放在空氣中，周期為T甲；單擺乙放在以加速度a(g>a)向下加速的電梯中，周期為T乙；單擺丙帶正電荷，放在勻強電場E中，周期為T丙，單擺甲、乙、丙的擺長l相同。則下列說法正確的是(　　)
甲　 　乙　　　　　丙
A．T甲＞T乙＞T丙 B．T乙＞T甲＞T丙
C．T甲＞T丙＞T乙 D．T丙＞T甲＞T乙
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　同一單擺放到不同環(huán)境中，等效重力加速度不同，導(dǎo)致周期不同。
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