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素養(yǎng)提升課(二)　動(dòng)量和能量的綜合問題
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．會(huì)利用動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律分析常見典型問題。2．培養(yǎng)應(yīng)用動(dòng)量觀點(diǎn)和能量觀點(diǎn)分析綜合問題的能力。
考點(diǎn)1　“滑塊—木板”模型
1．把滑塊、木板看成一個(gè)整體，摩擦力為內(nèi)力，在光滑水平面上滑塊和木板組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒。
2．由于摩擦生熱，機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，根據(jù)能量守恒定律，機(jī)械能的減少量等于因摩擦而產(chǎn)生的熱量，ΔE＝Ff·s相對(duì)，其中s相對(duì)為滑塊和木板相對(duì)滑動(dòng)的路程。
3．注意：若滑塊不滑離木板，就意味著二者最終具有共同速度，機(jī)械能損失最多。
【典例1】　如圖所示，AB是半徑R＝0.80 m的光滑圓弧軌道，半徑OB豎直，光滑水平地面上緊靠B點(diǎn)靜置一質(zhì)量M＝3.0 kg的小車，其上表面與B點(diǎn)等高。現(xiàn)將一質(zhì)量m＝1.0 kg的小滑塊從A點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)B點(diǎn)滑上小車，最后與小車達(dá)到共同速度。已知滑塊與小車之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.40。重力加速度g取10 m/s2。
(1)求滑塊剛滑至B點(diǎn)時(shí)，圓弧軌道對(duì)滑塊的支持力大小；
(2)求滑塊與小車最后的共同速度大小；
(3)為使滑塊不從小車上滑下，小車至少為多長(zhǎng)？
[解析]　(1)滑塊由A至B，由機(jī)械能守恒定律得
mgR＝。
在B點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得
FN－mg＝。
解得支持力FN＝30 N，vB＝4 m/s。
(2)滑塊滑上小車后，對(duì)滑塊與小車組成的系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律得
mvB＝(m＋M)v′，
解得共同速度大小v′＝1 m/s。
(3)滑塊滑上小車后，對(duì)滑塊與小車組成的系統(tǒng)，由能量守恒定律得
μmgl＝－(m＋M)v′2，
解得l＝1.5 m，即小車的長(zhǎng)度至少為1.5 m。
[答案]　(1)30 N　(2)1 m/s　(3)1.5 m
　求解此類問題的四點(diǎn)技巧
(1)正確分析作用過程中各物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化情況，建立運(yùn)動(dòng)模型。
(2)明確作用過程中的不同階段，并找出聯(lián)系各階段的狀態(tài)量。
(3)合理選取研究對(duì)象，既要符合動(dòng)量守恒的條件，又要方便解題。
(4)動(dòng)量守恒方程和能量守恒方程中各物體的速度是相對(duì)同一參考系的。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．如圖甲所示，光滑平臺(tái)上，物體A以初速度v0滑到上表面粗糙的水平小車上，車與水平面間的摩擦不計(jì)；圖乙為物體A與小車B的v-t圖像，由此可計(jì)算出(　　)
甲　　　　　　　　　　　乙
A．小車上表面長(zhǎng)度
B．物體A與小車B的質(zhì)量
C．物體A與小車B上表面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)
D．小車B獲得的動(dòng)能
C　[由題圖乙可知，物體A與小車B最終以共同速度v1勻速運(yùn)動(dòng)，但由于題給條件不足，不能確定小車上表面的長(zhǎng)度，故A錯(cuò)誤；由題圖乙可知，物體A相對(duì)于小車B的位移Δx＝v0t1，根據(jù)能量守恒定律得μmAgΔx＝，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得mAv0＝(mA＋mB)v1，聯(lián)立可以解出物體A與小車B上表面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)，但不能求出物體A與小車B的質(zhì)量，故B錯(cuò)誤，C正確；由于小車B的質(zhì)量未知，故不能確定小車B獲得的動(dòng)能，故D錯(cuò)誤。]
考點(diǎn)2　“滑塊—光滑斜(曲)面”模型
在“滑塊—光滑斜(曲)面”模型中，假設(shè)斜(曲)面的質(zhì)量為M，滑塊的質(zhì)量為m，若滑塊始終未脫離斜(曲)面
1．當(dāng)滑塊上升到最大高度時(shí)，滑塊與斜(曲)面具有共同水平速度v共，此時(shí)滑塊的豎直速度vy＝0。系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，有mv0＝(M＋m)v共；系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有＝＋mgh，其中h為滑塊上升的最大高度(相當(dāng)于完全非彈性碰撞，系統(tǒng)減少的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為滑塊的重力勢(shì)能)。
2．當(dāng)滑塊返回最低點(diǎn)時(shí)，滑塊與斜(曲)面分離。水平方向動(dòng)量守恒，有mv0＝mv1＋Mv2；系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有＝(相當(dāng)于完成了彈性碰撞)。
【典例2】　如圖所示，在光滑的水平地面上停放著質(zhì)量為m的裝有弧形槽的小車。現(xiàn)有一質(zhì)量也為m的小球以v0的水平速度沿與切線水平的槽口向小車滑去，不計(jì)一切摩擦，則(　　)
A．在相互作用的過程中，小車和小球組成的系統(tǒng)總動(dòng)量守恒
B．小球從右側(cè)離開車后，對(duì)地將向右做平拋運(yùn)動(dòng)
C．小球從右側(cè)離開車后，對(duì)地將做自由落體運(yùn)動(dòng)
D．小球從右側(cè)離開車后，小車的速度有可能大于v0
C　[整個(gè)過程中系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，豎直方向動(dòng)量不守恒，故A錯(cuò)誤；設(shè)小球離開小車時(shí)，小球的速度為v1，小車的速度為v2，整個(gè)過程中水平方向動(dòng)量守恒，則有mv0＝mv1＋mv2，由機(jī)械能守恒定律得＝，聯(lián)立解得v1＝0，v2＝v0，即小球與小車分離時(shí)二者交換速度，所以小球從小車右側(cè)離開后將做自由落體運(yùn)動(dòng)，故B、D錯(cuò)誤，C正確。 ]
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．如圖所示，光滑冰面上靜止放置一表面光滑的斜面體，斜面體右側(cè)一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰塊均靜止于冰面上。某時(shí)刻小孩將冰塊以相對(duì)冰面3 m/s的速度向斜面體推出，冰塊平滑地滑上斜面體，在斜面體上上升的最大高度為h＝0.3 m(h小于斜面體的高度)。已知小孩與滑板的總質(zhì)量為m1＝30 kg，冰塊的質(zhì)量為m2＝10 kg，小孩與滑板始終無相對(duì)運(yùn)動(dòng)。g取10 m/s2。
(1)求斜面體的質(zhì)量；
(2)通過計(jì)算判斷，冰塊與斜面體分離后能否追上小孩？
[解析]　(1)選向左為正方向，冰塊在斜面體上運(yùn)動(dòng)到最大高度時(shí)兩者達(dá)到共同速度，設(shè)此共同速度為v，斜面體的質(zhì)量為m3。在水平方向上由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得
m2v0＝(m2＋m3)v，
＝(m2＋m3)v2＋m2gh，
式中v0＝3 m/s為冰塊被推出時(shí)的速度，聯(lián)立兩式并代入數(shù)據(jù)得m3＝20 kg。
(2)選向右為正方向，設(shè)小孩推出冰塊后小孩的速度為v1，由動(dòng)量守恒定律有m1v1－m2v0＝0，
代入數(shù)據(jù)得v1＝1 m/s。
設(shè)冰塊與斜面體分離后的速度分別為v2和v3，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律有
－m2v0＝m2v2＋m3v3，
＝，
聯(lián)立兩式并代入數(shù)據(jù)得v2＝1 m/s。
由于冰塊與斜面體分離后的速度與小孩推出冰塊后的速度相同且冰塊處在后方，故冰塊不能追上小孩。
[答案]　(1)20 kg　(2)見解析
考點(diǎn)3　“子彈打木塊”模型
1．子彈打木塊的過程很短暫，認(rèn)為該過程內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，系統(tǒng)動(dòng)量守恒。
2．在子彈打木塊過程中摩擦生熱，系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，機(jī)械能向內(nèi)能轉(zhuǎn)化。
3．若子彈不穿出木塊，二者最后有共同速度，機(jī)械能損失最多。
【典例3】　如圖所示，質(zhì)量為M的木塊靜止于光滑的水平面上，一質(zhì)量為m、速度為v0的子彈水平射入木塊且未穿出，設(shè)木塊對(duì)子彈的阻力恒為F。
(1)子彈與木塊相對(duì)靜止時(shí)二者共同速度為多大？
(2)射入過程中產(chǎn)生的內(nèi)能和子彈對(duì)木塊所做的功分別為多少？
(3)木塊至少為多長(zhǎng)時(shí)子彈不會(huì)穿出？
[解析]　(1)子彈與木塊組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以子彈的初速度方向?yàn)檎较颍蓜?dòng)量守恒定律得
mv0＝(m＋M)v，
解得v＝。
(2)由能量守恒定律可知
＝Q＋(m＋M)v2，
得產(chǎn)生的熱量Q＝。
由動(dòng)能定理，子彈對(duì)木塊所做的功為
W＝Mv2＝。
(3)設(shè)木塊最小長(zhǎng)度為L(zhǎng)，由能量守恒定律得
FL＝Q，
得木塊的最小長(zhǎng)度為L(zhǎng)＝。
[答案]　(1)
　處理此類模型的兩點(diǎn)技巧
(1)“子彈打木塊”模型是通過系統(tǒng)內(nèi)的滑動(dòng)摩擦力相互作用，系統(tǒng)所受的外力為零(或內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力)，動(dòng)量守恒。
(2)當(dāng)子彈不穿出木塊時(shí)，兩物體最后有共同速度，相當(dāng)于完全非彈性碰撞，機(jī)械能損失最多。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．矩形滑塊由不同材料的上、下兩層粘合在一起組成，將其放在光滑的水平面上，質(zhì)量為m的子彈以速度v水平射向滑塊，若射擊下層，子彈剛好不射出，若射擊上層，則子彈剛好能射進(jìn)一半厚度，如圖所示，上述兩種情況相比較，下列說法不正確的是(　　)
甲　　　　　乙
A．子彈的末速度大小相等
B．系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量一樣多
C．子彈對(duì)滑塊做的功相同
D．子彈和滑塊間的水平作用力一樣大
D　[根據(jù)動(dòng)量守恒定律知，最后滑塊獲得的速度(最后滑塊和子彈的共同速度)是相同的，故A正確；子彈嵌入下層或上層過程中，系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量都等于系統(tǒng)減少的動(dòng)能，而子彈減少的動(dòng)能一樣多(子彈初末速度分別相等)，滑塊增加的動(dòng)能也一樣多，則系統(tǒng)減少的動(dòng)能一樣，故系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量一樣多，故B正確；滑塊獲得的動(dòng)能是相同的，根據(jù)動(dòng)能定理，滑塊動(dòng)能的增量等于子彈對(duì)其做的功，所以兩次子彈對(duì)滑塊做的功一樣多，故C正確；系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量一樣多，產(chǎn)生的熱量Q＝F·L相對(duì)，由于子彈相對(duì)滑塊的兩次位移是不相同的，所以子彈和滑塊間的水平作用力不一樣大，故D錯(cuò)誤。]
考點(diǎn)4　“含彈簧類”模型
1．對(duì)于彈簧類問題，在作用過程中，若系統(tǒng)合外力為零，則滿足動(dòng)量守恒。
2．整個(gè)過程中往往涉及多種形式的能的轉(zhuǎn)化，如：彈性勢(shì)能、動(dòng)能、內(nèi)能、重力勢(shì)能的轉(zhuǎn)化，應(yīng)用能量守恒定律解決此類問題。
3．注意：彈簧壓縮最短或彈簧拉伸最長(zhǎng)時(shí)，彈簧連接的兩物體速度相同，此時(shí)彈簧彈性勢(shì)能最大。
【典例4】　如圖所示，光滑水平直軌道上有三個(gè)質(zhì)量均為m的物塊A、B、C。B的左側(cè)固定一輕彈簧(彈簧左側(cè)的擋板質(zhì)量不計(jì))。設(shè)A以速度v0朝B運(yùn)動(dòng)，壓縮彈簧；當(dāng)A、B速度相同時(shí)，B與C恰好相碰并粘接在一起，然后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)。假設(shè)B和C碰撞過程時(shí)間極短。求從A開始?jí)嚎s彈簧直至與彈簧分離的過程中：
(1)整個(gè)系統(tǒng)損失的機(jī)械能；
(2)彈簧被壓縮到最短時(shí)的彈性勢(shì)能。
[解析]　(1)從A壓縮彈簧到A與B具有相同速度v1時(shí)，對(duì)A、B與彈簧組成的系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律得
mv0＝2mv1。 ①
此時(shí)B與C發(fā)生完全非彈性碰撞，設(shè)碰撞后的瞬時(shí)速度為v2，損失的機(jī)械能為ΔE，對(duì)B、C組成的系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律得
mv1＝2mv2， ②
＝。 ③
聯(lián)立①②③式得
ΔE＝。 ④
(2)由②式可知v2＜v1，A將繼續(xù)壓縮彈簧，直至A、B、C三者速度相同，設(shè)此速度為v3，此時(shí)彈簧被壓縮至最短，其彈性勢(shì)能為Ep。
由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律得
mv0＝3mv3， ⑤
－ΔE＝＋Ep。 ⑥
聯(lián)立④⑤⑥式得
Ep＝。 ⑦
[答案]　
　彈簧壓縮最短或拉伸最長(zhǎng)時(shí)，彈簧連接的兩物體速度相同，此時(shí)彈簧蓄積彈性勢(shì)能最大。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
4．兩物塊A、B用輕彈簧相連，質(zhì)量均為2 kg，初始時(shí)彈簧處于原長(zhǎng)，A、B兩物塊都以v＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量為4 kg的物塊C靜止在前方，如圖所示。B與C碰撞后二者會(huì)粘在一起運(yùn)動(dòng)。則在以后的運(yùn)動(dòng)中：
(1)當(dāng)彈簧的彈性勢(shì)能最大時(shí)，物塊A的速度為多大？
(2)系統(tǒng)中彈性勢(shì)能的最大值是多少？
[解析]　(1)當(dāng)A、B、C三者的速度相同時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大，設(shè)共同速度為vABC，取向右為正方向。由A、B、C三者組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，則
(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC)vABC，
解得vABC＝ m/s＝3 m/s。
(2)B、C碰撞時(shí)B、C組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)碰后瞬間B、C兩者速度為vBC，則
mBv＝(mB＋mC)vBC，vBC＝ m/s＝2 m/s。
設(shè)物塊A、B、C速度相同時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大為Ep，根據(jù)能量守恒
Ep＝＝×(2＋4)×22J＋×2×62J－×(2＋2＋4)×32J＝12 J。
[答案]　(1)3 m/s　(2)12 J
素養(yǎng)提升練(二)　動(dòng)量和能量的綜合問題
一、選擇題
1．如圖所示，物體A靜止在光滑的水平面上，A的左邊固定有輕質(zhì)彈簧，與A質(zhì)量相同的物體B以速度v向A運(yùn)動(dòng)并與彈簧發(fā)生碰撞，A、B始終沿同一直線運(yùn)動(dòng)，則A、B組成的系統(tǒng)動(dòng)能損失最大的時(shí)刻是(　　)
A．A開始運(yùn)動(dòng)時(shí)
B．A的速度等于v時(shí)
C．B的速度等于零時(shí)
D．A和B的速度相同時(shí)
D　[對(duì)A、B組成的系統(tǒng)由于水平面光滑，所以動(dòng)量守恒。而對(duì)A、B、彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，即A、B動(dòng)能與彈簧彈性勢(shì)能之和為定值。當(dāng)A、B速度相同時(shí)，可類似于A、B的完全非彈性碰撞，此時(shí)彈簧形變量最大，彈性勢(shì)能最大，A、B總動(dòng)能損失最多。故選項(xiàng)D正確。]
2．如圖所示，A、B兩小球靜止在光滑水平面上，用輕彈簧相連接，A球的質(zhì)量小于B球的質(zhì)量。若用錘子敲擊A球使A得到大小為v的速度，彈簧壓縮到最短時(shí)的長(zhǎng)度為L(zhǎng)1；若用錘子敲擊B球使B得到大小為v的速度，彈簧壓縮到最短時(shí)的長(zhǎng)度為L(zhǎng)2，則L1與L2的大小關(guān)系為(　　)
A．L1＞L2 B．L1＜L2
C．L1＝L2 D．不能確定
C　[用錘子敲擊A球，當(dāng)彈簧壓縮到最短時(shí)，兩球的速度相同，取A的初速度方向?yàn)檎较颍蓜?dòng)量守恒定律得mAv＝(mA＋mB)v′，由機(jī)械能守恒定律得Ep＝mAv2－(mA＋mB)v′2，解得彈簧壓縮到最短時(shí)的彈性勢(shì)能Ep＝。同理可得用錘子敲擊B球，當(dāng)彈簧壓縮到最短時(shí)的彈性勢(shì)能也為，所以L1＝L2，選項(xiàng)C正確。]
3．短道速滑接力比賽中，“接棒”的運(yùn)動(dòng)員甲提前站在“交棒”的運(yùn)動(dòng)員乙前面，并且開始向前滑行，待乙追上甲時(shí)，乙猛推甲一把，使甲獲得更大的速度向前沖出，在乙推甲的過程中，忽略運(yùn)動(dòng)員與冰面間在水平方向上的相互作用，則(　　)
A．甲對(duì)乙的沖量一定等于乙對(duì)甲的沖量
B．甲、乙的動(dòng)量變化一定大小相等、方向相反
C．甲的動(dòng)能增加量一定等于乙的動(dòng)能減少量
D．甲對(duì)乙做多少負(fù)功，乙對(duì)甲就一定做多少正功
B　[運(yùn)動(dòng)員乙推甲的過程中，甲和乙間的相互作用力等大反向，作用時(shí)間相等，故甲對(duì)乙的沖量和乙對(duì)甲的沖量大小相等，方向相反，A錯(cuò)，B對(duì)；“交棒”過程中甲和乙的速度不一定相等，在乙推甲的過程中位移不一定相等，因而甲對(duì)乙做的負(fù)功的絕對(duì)值和乙對(duì)甲做的正功不一定相等，由動(dòng)能定理，其動(dòng)能變化量的絕對(duì)值也不一定相等，C、D錯(cuò)。]
4．如圖所示，在固定的水平桿上，套有質(zhì)量為m的光滑圓環(huán)，輕繩一端拴在環(huán)上，另一端系著質(zhì)量為M的木塊，現(xiàn)有質(zhì)量為m0的子彈以大小為v0的水平速度射入木塊并留在木塊中，重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
A．子彈射入木塊后瞬間，速度大小為
B．子彈射入木塊后瞬間，輕繩拉力等于(M＋m0)g
C．子彈射入木塊后瞬間，環(huán)對(duì)輕桿的壓力大于(M＋m＋m0)g
D．子彈射入木塊后，圓環(huán)、木塊和子彈構(gòu)成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒
C　[子彈射入木塊過程中，子彈和木塊組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，則m0v0＝(M＋m0)v1，解得射入后瞬間子彈與木塊的共同速度大小為v1＝，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；子彈射入木塊后瞬間，根據(jù)牛頓第二定律得T－(M＋m0)g＝，可知輕繩拉力大于(M＋m0)g，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；子彈射入木塊后瞬間，對(duì)圓環(huán)有N＝T＋mg>(M＋m＋m0)g，選項(xiàng)C正確；子彈射入木塊后，圓環(huán)、木塊和子彈構(gòu)成的系統(tǒng)只在水平方向動(dòng)量守恒，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。]
5．如圖所示，一木塊靜止在長(zhǎng)木板的左端，長(zhǎng)木板靜止在水平地面上，木塊和長(zhǎng)木板的質(zhì)量相等，均為M，木塊和長(zhǎng)木板之間、長(zhǎng)木板和地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ。一顆質(zhì)量為m＝的子彈以一定速度水平向右射入木塊并留在其中，木塊在長(zhǎng)木板上運(yùn)動(dòng)的距離為L(zhǎng)；靜止后一顆相同的子彈以相同的速度射入長(zhǎng)木板，并留在長(zhǎng)木板中，重力加速度為g。則(　　)
A．第一顆子彈射入木塊前瞬間的速度為
B．木塊運(yùn)動(dòng)的加速度大小為μg
C．第二顆子彈射入長(zhǎng)木板后，長(zhǎng)木板運(yùn)動(dòng)的加速度大小為2μg
D．最終木塊靜止在距離長(zhǎng)木板左端L處
B　[子彈射入木塊過程中，由動(dòng)量守恒定律可得＝，解得v0＝6v1，分析可知木塊在長(zhǎng)木板上運(yùn)動(dòng)時(shí)，長(zhǎng)木板不動(dòng)，由動(dòng)能定理可得－μ·MgL＝，解得子彈射入木塊前、后瞬間的速度分別為v0＝6，v1＝，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由牛頓第二定律可得μ·Mg＝，解得a1＝μg，選項(xiàng)B正確；第二顆子彈射入長(zhǎng)木板后，由牛頓第二定律可知，長(zhǎng)木板受到木塊、地面的摩擦力均向左，故有μ·Mg＋μ·Mg＝，解得a2＝3μg，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；子彈射入木板過程中，子彈與木板組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，則v0＝Mv2，解得v2＝v1＝，子彈射入木板后，木板向右做減速運(yùn)動(dòng)，木塊向右做加速運(yùn)動(dòng)，兩者速度相等后一起做減速運(yùn)動(dòng)直到靜止，子彈射入木板到木塊與木板共速的過程有a1t＝v2－a2t，解得t＝，該過程木板的位移x2＝v2t－a2t2＝L，木塊的位移x1＝a1t2＝L，最終木塊靜止在距離長(zhǎng)木板左端d＝L＋x1－x2＝L處，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。]
6．如圖所示，光滑水平地面上有A、B兩物體，質(zhì)量都為m，B左端固定一個(gè)處于壓縮狀態(tài)的輕彈簧，輕彈簧被裝置鎖定，當(dāng)彈簧再受到壓縮時(shí)鎖定裝置會(huì)失效。A以速率v向右運(yùn)動(dòng)，A撞上彈簧后，設(shè)彈簧始終不超過彈性限度，下列關(guān)于A、B運(yùn)動(dòng)過程說法正確的是(　　)
A．A物體最終會(huì)靜止，B物體最終會(huì)以速率v向右運(yùn)動(dòng)
B．A、B系統(tǒng)的總動(dòng)量最終將大于mv
C．A、B系統(tǒng)的總動(dòng)能最終將大于mv2
D．當(dāng)彈簧的彈性勢(shì)能最大時(shí)，A、B的總動(dòng)能為mv2
C　[設(shè)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，A、B的速度分別為v1、v2，彈簧被鎖定時(shí)的彈性勢(shì)能為Ep，規(guī)定向右為正方向，A、B兩物體與彈簧組成的系統(tǒng)在整個(gè)過程中動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒，則有mv＝＝，因Ep＞0，可知v1≠0，v2≠v，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；A、B系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，系統(tǒng)的總動(dòng)量最終等于mv，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；彈簧解除鎖定后，存儲(chǔ)的彈性勢(shì)能會(huì)釋放，導(dǎo)致A、B系統(tǒng)總動(dòng)能增加，系統(tǒng)的總動(dòng)能最終將大于mv2，選項(xiàng)C正確；彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧彈性勢(shì)能最大，A、B兩物體具有相同的速度，設(shè)為v′，由動(dòng)量守恒定律知mv＝2mv′，解得v′＝v，則有總動(dòng)能Ek＝×2m·＝mv2，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。]
7．質(zhì)量為m0、內(nèi)壁間距為L(zhǎng)的箱子靜止于光滑的水平面上，箱子中間有一質(zhì)量為m的小物塊，小物塊與箱子底板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，初始時(shí)小物塊停在箱子正中間，如圖所示。現(xiàn)給小物塊一水平向右的初速度v，小物塊與箱壁碰撞N次后恰又回到箱子正中間，并與箱子保持相對(duì)靜止。設(shè)碰撞都是彈性的，則整個(gè)過程中，系統(tǒng)損失的動(dòng)能為(　　)
A．mv2 B．
C．NμmgL D．μmgL
B　[根據(jù)動(dòng)量守恒定律，小物塊和箱子的共同速度v′＝，損失的動(dòng)能ΔEk＝＝，所以B正確，A錯(cuò)誤；根據(jù)能量守恒定律，損失的動(dòng)能等于因摩擦產(chǎn)生的熱量，而熱量等于摩擦力乘相對(duì)滑動(dòng)距離，所以ΔEk＝FfNL＝NμmgL，所以C、D錯(cuò)誤。]
8．質(zhì)量為M的小車靜止在光滑水平面上，車上是一個(gè)四分之一的光滑圓弧軌道，軌道下端切線水平。質(zhì)量為m的小球沿水平方向從軌道下端以初速度v0滑上小車，重力加速度為g，如圖所示。已知小球不從小車上端離開小車，小球滑上小車又滑下來，與小車分離時(shí)，小球與小車速度方向相反，速度大小之比等于1∶3，則m∶M的值為(　　)
A．1∶3　　B．1∶4　　C．3∶5　　D．2∶3
C　[設(shè)小球的初速度方向?yàn)檎较颍蓜?dòng)量守恒定律可知mv0＝Mv1－mv2，又＝，對(duì)整體由機(jī)械能守恒定律可得＝，聯(lián)立解得＝，故C正確。]
9．如圖所示，光滑水平面上的木板靜止，在其右端有一根輕質(zhì)彈簧沿水平方向與木板相連，木板質(zhì)量M＝1 kg，質(zhì)量m＝2 kg的鐵塊以水平速度v0＝3 m/s從木板的左端沿板面向右滑行，壓縮彈簧后又被彈回，最后恰好停在木板的左端，則在上述過程中彈簧具有的最大彈性勢(shì)能為(　　)
A．1.5 J B．6 J
C．3 J D．4 J
A　[從鐵塊滑上木板開始到彈簧被壓縮到最短，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有mv0＝(M＋m)v，根據(jù)能量守恒定律得Q＋Ep＝－(M＋m)v2；從鐵塊滑上木板開始到最后恰好停在木板的左端，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有mv0＝(M＋m)v，根據(jù)能量守恒定律得2Q＝－(M＋m)v2，解得Ep＝1.5 J，所以最大彈性勢(shì)能為1.5 J，選A。]
二、非選擇題
10．如圖所示，有一質(zhì)量為m的小球，以速度v0滑上靜置于光滑水平面上的光滑圓弧軌道。已知圓弧軌道的質(zhì)量為2m，小球在上升過程中始終未能沖出圓弧，重力加速度為g，求：
(1)小球在圓弧軌道上能上升的最大高度(用v0、g表示)；
(2)小球離開圓弧軌道時(shí)的速度大小。
[解析]　(1)小球在圓弧軌道上上升到最高時(shí)兩物體速度相同，系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒，規(guī)定v0的方向?yàn)檎较颍?br/>mv0＝3mv，
得v＝。
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
＝×3mv2＋mgh，
解得h＝。
(2)小球離開圓弧軌道時(shí)，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，則有
mv0＝mv1＋2mv2。
根據(jù)機(jī)械能守恒定律，則有
＝。
聯(lián)立以上兩式可得v1＝－v0，負(fù)號(hào)表示與v0的方向相反，則小球離開圓弧軌道時(shí)的速度大小為。
[答案]　　(2)
11．如圖所示，質(zhì)量m＝245 g的物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))放在質(zhì)量M＝0.5 kg的木板左端，足夠長(zhǎng)的木板靜止在光滑水平面上，物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.4，質(zhì)量m0＝5 g的子彈以速度v0＝300 m/s沿水平方向射入物塊并留在其中(時(shí)間極短)，g取10 m/s2，求：
(1)子彈和物塊一起滑行的最大速度v1；
(2)木板向右滑行的最大速度v2；
(3)物塊在木板上滑行的時(shí)間t和產(chǎn)生的內(nèi)能E。
[解析]　(1)子彈進(jìn)入物塊后與物塊一起向右滑行，物塊的初速度即為物塊的最大速度。對(duì)子彈和物塊組成的系統(tǒng)，以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得m0v0＝(m0＋m)v1，
解得v1＝＝6 m/s。
(2)當(dāng)子彈、物塊和木板三者速度相同時(shí)，木板的速度達(dá)到最大，由動(dòng)量守恒定律得
(m0＋m)v1＝(m0＋m＋M)v2，
解得v2＝＝2 m/s。
(3)對(duì)物塊和子彈組成的系統(tǒng)，由動(dòng)量定理得
－μ(m0＋m)gt＝(m0＋m)v2－(m0＋m)v1，
解得t＝＝1 s。
對(duì)物塊和子彈以及木板組成的系統(tǒng)，由能量守恒定律得
＝＋E，
解得E＝3 J。
[答案]　(1)6 m/s　(2)2 m/s　(3)1 s　3 J
12．某科技小組設(shè)計(jì)了以下實(shí)驗(yàn)。如圖甲所示，小車上固定一個(gè)右端開口的小管，管口剛好與小車右端對(duì)齊。小管內(nèi)裝有一根質(zhì)量可忽略不計(jì)的硬彈簧，小車與管的總質(zhì)量為M＝0.2 kg。將一個(gè)大小合適、質(zhì)量為m＝0.05 kg的小球壓入管內(nèi)，管口的鎖定裝置既可控制小球不彈出，也可通過無線遙控解鎖。小球彈出時(shí)間極短，在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)的摩擦可忽略。該小組利用此裝置完成以下實(shí)驗(yàn)。
甲　　　　　　　　　乙
丙
實(shí)驗(yàn)一：測(cè)量彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能
如圖乙所示，將該裝置放在水平桌面上，小車右端與桌面右端對(duì)齊，并在小車右端懸掛重垂線到地面，標(biāo)記出O點(diǎn)。固定小車，解鎖后，小球水平飛出，落到地面上的A點(diǎn)。測(cè)得OA的距離為x＝2.4 m，小球拋出點(diǎn)的豎直高度為h＝0.8 m。 g取10 m/s2。
實(shí)驗(yàn)二：對(duì)小車移動(dòng)距離的理論預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)
如圖丙所示，將該裝置放在水平地面上靜止不動(dòng)，解除鎖定，小球彈出瞬間小車向相反方向運(yùn)動(dòng)。已知地面對(duì)小車的阻力恒為車對(duì)地面壓力的k倍(k＝0.3)。該小組在實(shí)驗(yàn)一的基礎(chǔ)上，先通過理論計(jì)算得出小車移動(dòng)距離的預(yù)測(cè)值為s，再通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得小車移動(dòng)距離的實(shí)際值為s′。
(1)求小球鎖定時(shí)彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能Ep；
(2)請(qǐng)你幫助該小組計(jì)算小車移動(dòng)距離的預(yù)測(cè)值s；
(3)請(qǐng)分析說明根據(jù)現(xiàn)有信息能否預(yù)測(cè)s′與s的大小關(guān)系。
[解析]　(1)設(shè)小球水平飛出的初速度為v0，小球彈出后做平拋運(yùn)動(dòng)，則
h＝gt2， ①
x＝v0t。 ②
小球彈出過程中，小球與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則
Ep＝。 ③
聯(lián)立①②③式可得Ep＝，
代入數(shù)據(jù)可得Ep＝0.9 J。
(2)設(shè)向右為正方向，在小球彈出過程中，小球與小車組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒，則
0＝mv1－Mv2, ④
Ep＝。 ⑤
小球彈出后，小車在地面阻力作用下逐漸減速為零的過程中，由動(dòng)能定理得
－kMgs＝。 ⑥
聯(lián)立④⑤⑥式可得
s＝Ep， ⑦
代入數(shù)據(jù)可得s＝0.3 m。
(3)僅根據(jù)現(xiàn)有信息，不能預(yù)測(cè)s′與s的大小關(guān)系。理由如下：
第一，在實(shí)驗(yàn)一中，上述計(jì)算彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能Ep時(shí)，由于沒有考慮小球運(yùn)動(dòng)過程中所受阻力的影響，使得Ep的預(yù)測(cè)值比實(shí)際值偏小，由⑦式可知預(yù)測(cè)值s將偏小。
第二，在實(shí)驗(yàn)二中，上述預(yù)測(cè)值計(jì)算時(shí)沒有考慮彈出小球過程中地面摩擦的影響，使得小車速度v2的預(yù)測(cè)值要比實(shí)際值偏大；同時(shí)，在上述預(yù)測(cè)值計(jì)算中，也沒有考慮小車移動(dòng)過程中所受空氣阻力的影響，由⑥式可知，均致使預(yù)測(cè)值s偏大。
綜上，僅根據(jù)現(xiàn)有信息，無法比較上述偏差的大小關(guān)系，所以不能預(yù)測(cè)s′與s的大小關(guān)系。
[答案]　(1)0.9 J　(2)0.3 m　(3)見解析
16 / 16素養(yǎng)提升課(二)　動(dòng)量和能量的綜合問題
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．會(huì)利用動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律分析常見典型問題。2．培養(yǎng)應(yīng)用動(dòng)量觀點(diǎn)和能量觀點(diǎn)分析綜合問題的能力。
考點(diǎn)1　“滑塊—木板”模型
1．把滑塊、木板看成一個(gè)整體，摩擦力為內(nèi)力，在光滑水平面上滑塊和木板組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒。
2．由于摩擦生熱，機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，根據(jù)能量守恒定律，機(jī)械能的減少量等于因摩擦而產(chǎn)生的熱量，ΔE＝Ff·s相對(duì)，其中s相對(duì)為滑塊和木板相對(duì)滑動(dòng)的路程。
3．注意：若滑塊不滑離木板，就意味著二者最終具有共同速度，機(jī)械能損失最多。
【典例1】　如圖所示，AB是半徑R＝0.80 m的光滑圓弧軌道，半徑OB豎直，光滑水平地面上緊靠B點(diǎn)靜置一質(zhì)量M＝3.0 kg的小車，其上表面與B點(diǎn)等高。現(xiàn)將一質(zhì)量m＝1.0 kg的小滑塊從A點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)B點(diǎn)滑上小車，最后與小車達(dá)到共同速度。已知滑塊與小車之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.40。重力加速度g取10 m/s2。
(1)求滑塊剛滑至B點(diǎn)時(shí)，圓弧軌道對(duì)滑塊的支持力大小；
(2)求滑塊與小車最后的共同速度大小；
(3)為使滑塊不從小車上滑下，小車至少為多長(zhǎng)？
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　求解此類問題的四點(diǎn)技巧
(1)正確分析作用過程中各物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化情況，建立運(yùn)動(dòng)模型。
(2)明確作用過程中的不同階段，并找出聯(lián)系各階段的狀態(tài)量。
(3)合理選取研究對(duì)象，既要符合動(dòng)量守恒的條件，又要方便解題。
(4)動(dòng)量守恒方程和能量守恒方程中各物體的速度是相對(duì)同一參考系的。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．如圖甲所示，光滑平臺(tái)上，物體A以初速度v0滑到上表面粗糙的水平小車上，車與水平面間的摩擦不計(jì)；圖乙為物體A與小車B的v-t圖像，由此可計(jì)算出(　　)
甲　　　　　　　　　　　乙
A．小車上表面長(zhǎng)度
B．物體A與小車B的質(zhì)量
C．物體A與小車B上表面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)
D．小車B獲得的動(dòng)能
考點(diǎn)2　“滑塊—光滑斜(曲)面”模型
在“滑塊—光滑斜(曲)面”模型中，假設(shè)斜(曲)面的質(zhì)量為M，滑塊的質(zhì)量為m，若滑塊始終未脫離斜(曲)面
1．當(dāng)滑塊上升到最大高度時(shí)，滑塊與斜(曲)面具有共同水平速度v共，此時(shí)滑塊的豎直速度vy＝0。系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，有mv0＝(M＋m)v共；系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有＝＋mgh，其中h為滑塊上升的最大高度(相當(dāng)于完全非彈性碰撞，系統(tǒng)減少的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為滑塊的重力勢(shì)能)。
2．當(dāng)滑塊返回最低點(diǎn)時(shí)，滑塊與斜(曲)面分離。水平方向動(dòng)量守恒，有mv0＝mv1＋Mv2；系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有＝(相當(dāng)于完成了彈性碰撞)。
【典例2】　如圖所示，在光滑的水平地面上停放著質(zhì)量為m的裝有弧形槽的小車。現(xiàn)有一質(zhì)量也為m的小球以v0的水平速度沿與切線水平的槽口向小車滑去，不計(jì)一切摩擦，則(　　)
A．在相互作用的過程中，小車和小球組成的系統(tǒng)總動(dòng)量守恒
B．小球從右側(cè)離開車后，對(duì)地將向右做平拋運(yùn)動(dòng)
C．小球從右側(cè)離開車后，對(duì)地將做自由落體運(yùn)動(dòng)
D．小球從右側(cè)離開車后，小車的速度有可能大于v0
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[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．如圖所示，光滑冰面上靜止放置一表面光滑的斜面體，斜面體右側(cè)一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰塊均靜止于冰面上。某時(shí)刻小孩將冰塊以相對(duì)冰面3 m/s的速度向斜面體推出，冰塊平滑地滑上斜面體，在斜面體上上升的最大高度為h＝0.3 m(h小于斜面體的高度)。已知小孩與滑板的總質(zhì)量為m1＝30 kg，冰塊的質(zhì)量為m2＝10 kg，小孩與滑板始終無相對(duì)運(yùn)動(dòng)。g取10 m/s2。
(1)求斜面體的質(zhì)量；
(2)通過計(jì)算判斷，冰塊與斜面體分離后能否追上小孩？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考點(diǎn)3　“子彈打木塊”模型
1．子彈打木塊的過程很短暫，認(rèn)為該過程內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，系統(tǒng)動(dòng)量守恒。
2．在子彈打木塊過程中摩擦生熱，系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，機(jī)械能向內(nèi)能轉(zhuǎn)化。
3．若子彈不穿出木塊，二者最后有共同速度，機(jī)械能損失最多。
【典例3】　如圖所示，質(zhì)量為M的木塊靜止于光滑的水平面上，一質(zhì)量為m、速度為v0的子彈水平射入木塊且未穿出，設(shè)木塊對(duì)子彈的阻力恒為F。
(1)子彈與木塊相對(duì)靜止時(shí)二者共同速度為多大？
(2)射入過程中產(chǎn)生的內(nèi)能和子彈對(duì)木塊所做的功分別為多少？
(3)木塊至少為多長(zhǎng)時(shí)子彈不會(huì)穿出？
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　處理此類模型的兩點(diǎn)技巧
(1)“子彈打木塊”模型是通過系統(tǒng)內(nèi)的滑動(dòng)摩擦力相互作用，系統(tǒng)所受的外力為零(或內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力)，動(dòng)量守恒。
(2)當(dāng)子彈不穿出木塊時(shí)，兩物體最后有共同速度，相當(dāng)于完全非彈性碰撞，機(jī)械能損失最多。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．矩形滑塊由不同材料的上、下兩層粘合在一起組成，將其放在光滑的水平面上，質(zhì)量為m的子彈以速度v水平射向滑塊，若射擊下層，子彈剛好不射出，若射擊上層，則子彈剛好能射進(jìn)一半厚度，如圖所示，上述兩種情況相比較，下列說法不正確的是(　　)
甲　　　　　乙
A．子彈的末速度大小相等
B．系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量一樣多
C．子彈對(duì)滑塊做的功相同
D．子彈和滑塊間的水平作用力一樣大
考點(diǎn)4　“含彈簧類”模型
1．對(duì)于彈簧類問題，在作用過程中，若系統(tǒng)合外力為零，則滿足動(dòng)量守恒。
2．整個(gè)過程中往往涉及多種形式的能的轉(zhuǎn)化，如：彈性勢(shì)能、動(dòng)能、內(nèi)能、重力勢(shì)能的轉(zhuǎn)化，應(yīng)用能量守恒定律解決此類問題。
3．注意：彈簧壓縮最短或彈簧拉伸最長(zhǎng)時(shí)，彈簧連接的兩物體速度相同，此時(shí)彈簧彈性勢(shì)能最大。
【典例4】　如圖所示，光滑水平直軌道上有三個(gè)質(zhì)量均為m的物塊A、B、C。B的左側(cè)固定一輕彈簧(彈簧左側(cè)的擋板質(zhì)量不計(jì))。設(shè)A以速度v0朝B運(yùn)動(dòng)，壓縮彈簧；當(dāng)A、B速度相同時(shí)，B與C恰好相碰并粘接在一起，然后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)。假設(shè)B和C碰撞過程時(shí)間極短。求從A開始?jí)嚎s彈簧直至與彈簧分離的過程中：
(1)整個(gè)系統(tǒng)損失的機(jī)械能；
(2)彈簧被壓縮到最短時(shí)的彈性勢(shì)能。
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　彈簧壓縮最短或拉伸最長(zhǎng)時(shí)，彈簧連接的兩物體速度相同，此時(shí)彈簧蓄積彈性勢(shì)能最大。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
4．兩物塊A、B用輕彈簧相連，質(zhì)量均為2 kg，初始時(shí)彈簧處于原長(zhǎng)，A、B兩物塊都以v＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量為4 kg的物塊C靜止在前方，如圖所示。B與C碰撞后二者會(huì)粘在一起運(yùn)動(dòng)。則在以后的運(yùn)動(dòng)中：
(1)當(dāng)彈簧的彈性勢(shì)能最大時(shí)，物塊A的速度為多大？
(2)系統(tǒng)中彈性勢(shì)能的最大值是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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