資源簡介

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現(xiàn)代文閱讀Ⅰ
把握共性之“新”　打通應考之“脈”
第二章　機械振動
2．簡諧運動的描述
[學習目標]　1．知道簡諧運動的振幅、周期、頻率和相位的概念，知道周期和頻率的關(guān)系。2．知道簡諧運動的表達式，掌握表達式中各物理量的意義，體會數(shù)形結(jié)合思想的應用。3．通過實例觀察探究測量物體振動周期的方法。4．通過對簡諧運動有關(guān)物理量的學習，培養(yǎng)學習物理的興趣。
必備知識·自主預習儲備
知識點一　描述簡諧運動的物理量
1．振幅
(1)定義：振動物體離開平衡位置的________。用A表示，國際單位為米(m)。
(2)物理含義：振幅是表示振動________的物理量。振動物體的運動范圍是振幅的____。
最大距離
幅度大小
兩倍
2．全振動
一個____的振動過程，稱為一次全振動。
3．周期(T )和頻率( f )
(1)周期T：做簡諧運動的物體完成一次______所需要的時間。單位：________。
(2)頻率f：物體完成全振動的次數(shù)與所用時間之比。單位：____，簡稱赫，符號是____。
完整
全振動
秒(s)
赫茲
Hz
(3)周期T與頻率f 的關(guān)系式：T＝__。
4．相位
用來描述做簡諧運動的物體在各個時刻所處的________。
不同狀態(tài)
體驗1．思考辨析(正確的打√，錯誤的打×)
(1)振幅就是指振子的位移。 (　　)
(2)振幅就是指振子的路程。 (　　)
(3)振子從離開某位置到重新回到該位置的過程不一定是一次全振動過程。 (　　)
(4)始末速度相同的一個過程一定是一次全振動。 (　　)
(5)振子個周期通過的路程一定等于1個振幅。 (　　)
×
×
√
×
×
知識點二　簡諧運動的表達式
1．表達式：簡諧運動的表達式可以寫成
x＝A sin 或x＝A sin 。
2．表達式中各量的意義
(1)“A”表示簡諧運動的____。
(2)“ω”是一個與____成正比的物理量，叫簡諧運動的______。
(3)“T”表示簡諧運動的____，“f ”表示簡諧運動的頻率，它們之間的關(guān)系為T＝__。
(4)“t＋φ”或“2πft＋φ”表示簡諧運動的____。
(5)“φ”表示簡諧運動的______，簡稱____。
振幅
頻率
圓頻率
周期
相位
初相位
初相
提醒　(1)相位ωt＋φ是隨時間變化的一個變量。
(2)相位每增加2π就意味著完成了一次全振動。
體驗2．思考辨析(正確的打√，錯誤的打×)
(1)簡諧運動的位移表達式與計時時刻物體所在位置無關(guān)。 (　　)
(2)按x＝5sin cm的規(guī)律振動的彈簧振子的振動周期為 s。 (　　)
(3)按x＝5sin cm的規(guī)律振動的彈簧振子的振幅為5 cm。 (　　)
×
√
√
關(guān)鍵能力·情境探究達成
揚聲器發(fā)聲時，手摸喇叭的發(fā)音紙盆會感覺到它在振動，把音響聲音調(diào)大，發(fā)覺紙盆的振動更加劇烈，想想這是為什么？
提示：揚聲器發(fā)出的聲音是由其喇叭的紙盆振動形成的，振動越劇烈，即振幅越大，紙盆振動的能量越大，喇叭越響，手感覺紙盆振動得越厲害，說明振幅是反映振動劇烈程度的物理量。
考點1　描述簡諧運動的物理量
1．對全振動的理解
正確理解全振動的概念，應把握振動的五個方面。
(1)全振動觀念：一個完整的振動過程。
(2)物理量：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同時與初始狀態(tài)相同。
(3)時間：歷時一個周期。
(4)路程：振幅的4倍。
(5)相位：增加2π。
2．簡諧運動中位移、路程、周期與振幅的關(guān)系
(1)位移和振幅
①最大位移的數(shù)值等于振幅。
②對于一個給定的振動，振子的位移是時刻變化的，但振幅是不變的。
③位移是矢量，振幅是標量。
(2)路程與振幅
①振動物體在一個周期內(nèi)的路程為四個振幅，即4A。
②振動物體在半個周期內(nèi)的路程為兩個振幅，即2A。
(3)周期與振幅
一個振動系統(tǒng)的周期和頻率有確定的值，由振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定，與振幅無關(guān)。
角度1　根據(jù)運動過程分析物理量
【典例1】　[鏈接教材P39例題]如圖所示，彈簧振子在A、B間做簡諧運動，O為平衡位置，A、B間距離是20 cm，小球經(jīng)過A點時開始計時，經(jīng)過2 s首次到達B點，則(　　)
A．從O→B→O小球做了一次全振動
B．振動周期為2 s，振幅是10 cm
C．從B開始經(jīng)過6 s，小球通過的路程是60 cm
D．從O開始經(jīng)過3 s，小球處在平衡位置
√
C　[小球從O→B→O只完成半個全振動，A錯誤；從A→B是半個全振動，用時2 s，所以振動周期是4 s，振幅A＝＝10 cm，B錯誤；因為t＝6 s＝1 T，所以小球經(jīng)過的路程為4A＋2A＝6A＝60 cm，C正確；從O開始經(jīng)過3 s，小球處在最大位移處(A或B)，D錯誤。]
【教材原題P39例題】　如圖2.2-5，彈簧振子的平衡位置為O點，在B、C兩點之間做簡諧運動。B、C相距20 cm。小球經(jīng)過B點時開始計時，經(jīng)過0.5 s首次到達C點。
(1)畫出小球在第一個周期內(nèi)的x-t圖像。
(2)求5 s內(nèi)小球通過的路程及5 s末小球
的位移。
分析　根據(jù)簡諧運動的位移與時間的函數(shù)關(guān)系，可以畫出簡諧運動的x-t圖像。
要得到簡諧運動的位移與時間的函數(shù)關(guān)系，就需要首先確定計時的起點，進而確定初相位。根據(jù)振幅、周期及初相位寫出位移與時間的函數(shù)關(guān)系，畫出圖像。
我們也可以采用描點法來畫出位移—時間圖像。根據(jù)題意，可以確定計時起點的位移、通過平衡位置及最大位移處的時刻，在x-t圖上描出這些特殊坐標點，根據(jù)正弦圖像規(guī)律畫出圖像。
根據(jù)簡諧運動的周期性，經(jīng)過一個周期，小球回到起始位置，通過的路程為振幅的4倍。據(jù)此，可以求出5 s內(nèi)小球通過的路程及5 s末小球的位移。
解　(1)以O(shè)點作為坐標原點，沿OB建立坐標軸，如圖2.2-5所示。以小球從B點開始運動的時刻作為計時起點，用正弦函數(shù)來表示小球的位移—時間關(guān)系，則函數(shù)的初相位為。
由于小球從最右端的B點運動到最左端的C點所用時間為0.5 s，所以振動的周期T＝1.0 s；由于B點和C點之間的距離為0.2 m，所以，振動的振幅A＝0.1 m。
根據(jù)x＝A sin ，可得小球的位移—時間關(guān)系為
x＝0.1sin m
據(jù)此，可以畫出小球在第一個周期內(nèi)的位移—時間圖像，如圖2.2-6所示。
(2)由于振動的周期T＝1 s，所以在時間t＝5 s內(nèi)，小球一共做了n＝＝5次全振動。小球在一次全振動中通過的路程為4 A＝0.4 m，所以小球運動的路程為s＝5×0.4 m＝2 m；經(jīng)過5次全振動后，小球正好回到B點，所以小球的位移為0.1 m。
角度2　根據(jù)圖像分析物理量
【典例2】　(源自粵教版教材改編)如圖所示是某彈簧振子的振動圖像。
(1)求振子振動的振幅、周期、頻率。
(2)如果從點O開始計時，到圖中的哪一點為止，振子完成了一次全振動？如果從點C開始計時呢？
(3)當t＝1.4 s時，振子對平衡位置的位移是多少？它在一次全振動中所通過的路程是多少？
思路點撥：可以通過振動圖像直接讀取振子的振幅、周期等信息，通過計算可以得到振子的頻率、位移和路程。
[解析]　(1)振幅是振子離開平衡位置的最大距離。從題圖中可以看出，最大距離為2 cm，即振幅A＝2 cm。
周期是完成一次全振動所需要的時間。題圖中OD之間表示一次全振動，所對應的時間是0.8 s。所以
T＝0.8 s，
f＝＝1.25 Hz。
(2)從題圖中可以看出，從點O開始計時，到點D為止，振子完成了一次全振動，并隨即開始重復前面所經(jīng)歷的過程。如果從點C開始計時，則到點G為止，振子同樣完成了一次全振動，所經(jīng)歷的時間都是0.8 s。
(3)從題圖中可以看出，當t＝1.4 s時，振子對平衡位置的位移是
－2 cm，它在一次全振動中所通過的路程就是振幅的4倍，即2×
4 cm＝8 cm。
[答案]　(1)2 cm　0.8 s　1.25 Hz　(2)見解析　(3)－2 cm　8 cm
規(guī)律方法　振幅與路程的關(guān)系
振動中的路程是標量，是隨時間不斷增大的。一個周期內(nèi)的路程為4倍的振幅。
(1)若從平衡位置或最大位移處開始計時，個周期內(nèi)的路程等于振幅。
(2)若從其他位置開始計時，個周期內(nèi)的路程與振幅之間沒有確定關(guān)系，路程可能大于或小于振幅。
[跟進訓練]
1．(角度1)如圖所示，小球在B、C之間做簡諧運動，O為BC的中點，B、C間的距離為10 cm，則下列說法正確的是(　　)
A．小球的最大位移是10 cm
B．只有在B、C兩點時，小球的振幅是5 cm，
在O點時，小球的振幅是0
C．無論小球在哪個位置，它的振幅都是5 cm
D．從任意時刻起，一個周期內(nèi)小球經(jīng)過的路程都是10 cm
√
C　[小球位移的起點是O點，小球經(jīng)過B點或C點時位移最大，最大位移的大小為5 cm，故A錯誤；小球做簡諧運動，振幅不變，由題意知，振幅A＝5 cm，故B錯誤，C正確；根據(jù)對稱性和周期性可知，從任意時刻起，一個周期內(nèi)小球經(jīng)過的路程都是4倍振幅，即4A＝4×5 cm＝20 cm，故D錯誤。]
2．(角度2)如圖所示為質(zhì)點的振動圖像，下列判斷正確的是(　　)
A．質(zhì)點的振動周期是 8 s
B．振幅是±2 cm
C．4 s末質(zhì)點的速度為正，加速度為零
D．10 s末質(zhì)點的加速度為正，速度為零
√
A　[由題圖可得，質(zhì)點的振動周期為8 s，A項正確；振幅為2 cm，B項錯誤；4 s末質(zhì)點經(jīng)平衡位置向負方向運動，速度為負向最大，加速度為零，C項錯誤；10 s末質(zhì)點在正的最大位移處，加速度為負值，速度為零，D項錯誤。]
考點2　簡諧運動表達式的理解和應用
1．對表達式x＝A sin (ωt＋φ)的理解
(1)式中x表示振動質(zhì)點相對于平衡位置的位移；t表示振動的時間。
(2)由于ω＝＝2πf，所以表達式也可寫成：
x＝A sin 或x＝A sin (2πft＋φ)。
2．簡諧運動兩種描述方法的比較
(1)簡諧運動圖像即x-t圖像是描述質(zhì)點振動情況的一種手段，直觀反映了質(zhì)點的位移x隨時間t變化的規(guī)律。
(2)x＝A sin (ωt＋φ)是用函數(shù)表達式的形式表示質(zhì)點的振動情況。
(3)兩者對同一個簡諧運動的描述是一致的。常解決的兩類問題：一是根據(jù)振動方程作出振動圖像；二是根據(jù)振動圖像讀出振幅、周期、初相，寫出位移隨時間變化的函數(shù)表達式。
3．對兩個相同頻率的簡諧運動的相位差Δφ＝φ2－φ1的理解
(1)取值范圍：－π≤Δφ≤π。
(2)Δφ＝0，表明兩振動步調(diào)完全相同，稱為同相。Δφ＝π，表明兩振動步調(diào)完全相反，稱為反相。
(3)Δφ>0，表示振動2比振動1超前。Δφ<0，表示振動2比振動1滯后。
【典例3】　A、B兩個簡諧運動的位移—時間圖像如圖所示。
請根據(jù)圖像寫出：
(1)A的振幅是_______cm，周期是_______s；
B的振幅是______ cm，周期是________ s。
(2)寫出這兩個簡諧運動的位移隨時間變化的
關(guān)系式。
0.5
0.4
0.2
0.8
xA＝0.5sin (5πt＋π) cm　xB＝0.2sin cm
[解析]　(1)由題圖知，A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s。
(2)由題圖知，t＝0時刻A中振動的質(zhì)點從平衡位置開始沿負方向振動，φA＝π，由TA＝0.4 s，得ωA＝＝5π rad/s，則簡諧運動的表達式為xA＝0.5sin (5πt＋π)cm。t＝0時刻B中振動的質(zhì)點從平衡位置沿正方向已振動了個周期，φB＝，由TB＝0.8 s，得ωB＝＝2.5π rad/s, 則簡諧運動的表達式為xB＝0.2sin cm。
[母題變式]
在[典例3]中，t＝0.05 s時A、B兩質(zhì)點的位移分別是多少？
[解析]　將t＝0.05 s分別代入兩個表達式中得xA＝0.5sin (5π×0.05＋π) cm＝－0.5× cm＝－ cm，
xB＝0.2sin cm＝0.2sin π cm。
[答案]　－ cm　0.2sin π cm
規(guī)律方法　應用簡諧運動的函數(shù)表達式的四點技巧
(1)明確振幅A、周期T、頻率f的對應數(shù)值，其中T＝，f＝。
(2)把明確的物理量與所要求解的問題相對應，找到對應關(guān)系。
(3)同頻率的兩個簡諧運動進行比較時，相位差的取值范圍一般為－π≤Δφ≤π。
(4)比較相位或計算相位差時，一定要用同種函數(shù)來表示振動方程。
[跟進訓練]
3．某質(zhì)點做簡諧運動，其位移隨時間變化的函數(shù)關(guān)系式為x＝5sin cm，則下列關(guān)于質(zhì)點運動的說法正確的是(　　)
A．質(zhì)點做簡諧運動的振幅為10 cm
B．質(zhì)點做簡諧運動的周期為4 s
C．在t＝4 s時質(zhì)點的速度最大
D．在t＝4 s時質(zhì)點的加速度最大
√
C　[由位移隨時間變化的函數(shù)關(guān)系式x＝5sin cm，可知質(zhì)點做簡諧運動的振幅為5 cm，圓頻率ω＝ rad/s，則周期為T＝＝8 s，故A、B錯誤；在t＝4 s時質(zhì)點的位移為零，說明質(zhì)點正通過平衡位置，速度最大，加速度最小，故C正確，D錯誤。]
考點3　簡諧運動的周期性和對稱性
如圖所示，物體在A點和B點之間運動，O點為平衡位置，C和D兩點關(guān)于O點對稱，則：
(1)時間的對稱
①振動質(zhì)點來回通過相同的兩點間所用的時間相等，如tDB＝tBD。
②質(zhì)點經(jīng)過關(guān)于平衡位置對稱的等長的兩線段所用的時間相等，圖中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
(2)速度的對稱
①物體連續(xù)兩次經(jīng)過同一點(如D點)的速度大小相等，方向相反。
②物體經(jīng)過關(guān)于O點對稱的兩點(如C點與D點)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移和加速度的對稱
①物體經(jīng)過同一點(如C點)時，位移、加速度相同。
②物體經(jīng)過關(guān)于O點對稱的兩點(如C點與D點)時，位移、加速度大小相等，方向相反。
【典例4】　如圖所示，水平方向的彈簧振子振動過程中，振子先后經(jīng)過a、b兩點時的速度相同，且從a到b歷時0.2 s，從b再回到a的最短時間為0.4 s，aO＝bO，c、d為振子最大位移處，則該振子的振動頻率為(　　)
A．1 Hz　 B．1.25 Hz　 C．2 Hz　 D．2.5 Hz
√
B　[由題可知，a、b兩點關(guān)于平衡位置對稱，從a到b歷時t1＝0.2 s，從b再回到a的最短時間為0.4 s，即從b到c所用時間為t2＝ s＝0.1 s，所以彈簧振子振動的周期為T＝4＝0.8 s，
則振動頻率為f＝＝1.25 Hz，故B正確，A、C、D錯誤。]
規(guī)律方法　由于簡諧運動是一種非勻變速運動，所以計算簡諧運動的周期，往往要利用簡諧運動的對稱性，先計算出從平衡位置到最大位移處(或從最大位移處到平衡位置)的時間，即，再計算一個周期T的大小。
[跟進訓練]
4．一振子沿x軸做簡諧運動，平衡位置在坐標原點。t＝0時振子的位移為－0.1 m，t＝1 s時位移為 0.1 m，則(　　)
A．若振幅為0.1 m，振子的周期可能為1 s
B．若振幅為0.1 m，振子的周期可能為 s
C．若振幅為0.2 m，振子的周期可能為4 s
D．若振幅為0.2 m，振子的周期可能為6 s
√
D　[若振幅為0.1 m，由題意知，Δt＝T(n＝0，1，2，…)，解得T＝ s(n＝0，1，2，…)，A、B項錯誤；若振幅為0.2 m，t＝0時，由振子做簡諧運動的表達式y(tǒng)＝0.2sin m可知，0.2sin φ0 m＝－0.1 m，解得φ0＝－或φ0＝－；t＝1 s時，有0.2sin m＝0.1 m，將T＝6 s代入0.2sin m＝0.1 m可知，D項正確；將T＝4 s代入0.2sin m≠0.1 m可知，C項錯誤。]
學習效果·隨堂評估自測
1．簡諧運動中反映物體振動強弱的物理量是(　　)
A．周期 B．頻率
C．位移 D．振幅
√
D　[簡諧運動中反映物體振動強弱的物理量是振幅。]
2．彈簧振子在A、B之間做簡諧運動，如圖所示，O為平衡位置，測得A、B間距為8 cm，完成30次全振動所用時間為60 s。則(　　)
A．振動周期是2 s，振幅是8 cm
B．振動頻率是2 Hz
C．振子完成一次全振動通過的路程是8 cm
D．振子過O點時開始計時，3 s內(nèi)通過的路程為24 cm
√
D　[由題意可知T＝ s＝2 s，A＝cm＝4 cm，故A錯誤；頻率f＝＝Hz＝0.5 Hz，B錯誤；振子完成一次全振動通過的路程為振幅的4倍，即4×4 cm＝16 cm，故C錯誤；振子在3 s內(nèi)通過的路程為·4A＝×4×4 cm＝24 cm，D正確。]
3．有一個在光滑水平面內(nèi)的彈簧振子，第一次用力把彈簧壓縮x后釋放讓它振動，第二次把彈簧壓縮2x后釋放讓它振動，兩次壓縮均在彈性限度內(nèi)，則先后兩次振動的周期之比和振幅之比分別為(　　)
A．1∶1，1∶1 B．1∶1，1∶2
C．1∶4，1∶4 D．1∶2，1∶2
√
B　[彈簧的壓縮量即為振子振動過程中偏離平衡位置的最大距離，即振幅，故振幅之比為1∶2，而對同一振動系統(tǒng)，振動周期由振動系統(tǒng)的性質(zhì)決定，與振幅無關(guān)，周期不變。故選B。]
4．(新情境題，借助傳感器分析簡諧運動表達式)某實驗小組利用數(shù)字實驗系統(tǒng)探究彈簧振子的運動規(guī)律，裝置如圖所示，水平光滑導軌上的滑塊與輕彈簧組成彈簧振子，滑塊上固定有傳感器的發(fā)射器。把彈簧拉長5 cm 后由靜止釋放，滑塊開始振動。他們分析位移—時間圖像后發(fā)現(xiàn)，滑塊的運動是簡諧運動，滑塊從最右端運動到最左端所用時間為1 s，則彈簧振子的振動頻率為多少？以釋放的瞬時為初始時刻，向右為正方向，求滑塊
運動的表達式。
[解析]　滑塊從最右端運動到最左端所用時間為1 s，知周期T＝2 s，則振動頻率f＝＝0.5 Hz，
ω＝2πf＝π rad/s，A＝5 cm，φ＝，
根據(jù)x＝A sin (ωt＋φ)知，
x＝5sin cm＝5cos πt(cm)。
[答案]　0.5 Hz　x＝5cos πt(cm)
回歸本節(jié)知識，自我完成以下問題：
1．描述簡諧運動的物理量有哪些？
提示：振幅、周期、頻率、相位。
2．如何判斷一個振動過程是不是為一個全振動？
提示：在判斷物體的運動過程是否為一次全振動時，不僅要看物體是否回到原位置，而且要判斷物體到達該位置的振動狀態(tài)(速度、加速度、位移)是否與原位置相同。
3．簡諧運動的表達式中含有哪些物理信息？
提示：振幅、圓頻率、初相位。
題號
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12
?題組一　描述簡諧運動的物理量
1．如圖所示，彈簧振子在B、C間振動，O為平衡位置，BO＝OC＝5 cm。若小球從B到C的運動時間為1 s，則下列說法正確的是(　　)
課時分層作業(yè)(七)　簡諧運動的描述
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題號
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A．小球從B經(jīng)O到C完成一次全振動
B．振動周期是2 s，振幅是5 cm
C．經(jīng)過兩次全振動，小球通過的路程是20 cm
D．從B開始經(jīng)過3 s，小球通過的路程是20 cm
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B　[小球在B、C間振動，小球從B經(jīng)O到C再經(jīng)O回到B，完成一次全振動，A錯誤；小球從B到C經(jīng)歷的時間為半個周期，所以振動周期為2 s，小球在B、C兩點間做機械振動，BO＝OC＝5 cm，O是平衡位置，則振幅為5 cm，B正確；經(jīng)過兩次全振動，小球通過的路程是2×4A＝40 cm，C錯誤；從B開始經(jīng)過3 s，小球運動的時間是1.5個周期，通過的路程是1.5×4A＝1.5×4×5 cm＝30 cm，D錯誤。]
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2．下列說法正確的是(　　)
A．物體完成一次全振動，通過的位移是4個振幅
B．物體在個周期內(nèi)，通過的路程是1個振幅
C．物體在1個周期內(nèi)，通過的路程是4個振幅
D．物體在個周期內(nèi)，通過的路程是3個振幅
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C　[在一次全振動中，物體回到了原來的位置，故通過的位移一定為零，A錯誤；物體在個周期內(nèi)，通過的路程不一定是1個振幅，與物體的初始位置有關(guān)，只有當物體的初始位置在平衡位置或最大位移處時，物體在個周期內(nèi)，通過的路程才等于1個振幅，B錯誤；根據(jù)對稱性可知，物體在1個周期內(nèi)，通過的路程是4個振幅，C正確；物體在個周期內(nèi)，通過的路程不一定是3個振幅，與物體的初始位置有關(guān)，只有當物體的初始位置在平衡位置或最大位移處時，物體在個周期內(nèi)，通過的路程才是3個振幅，D錯誤。]
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3．如圖所示，一個質(zhì)點在平衡位置O點附近a、b間做簡諧運動，若從質(zhì)點經(jīng)過O點時開始計時，經(jīng)過3 s質(zhì)點第一次過M點，再繼續(xù)運動，又經(jīng)過4 s它第二次經(jīng)過M點，則該質(zhì)點第三次經(jīng)過M點還需要的時間可能是(　　)
A．7 s B．14 s
C．16 s D． s
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C　[題圖中a、b兩點為質(zhì)點運動過程中的最大位移處，假設(shè)質(zhì)點開始時運動的方向向左，到達a點后再向M點運動，由于從O點到第一次經(jīng)過M點的時間是3 s，小于質(zhì)點第二次經(jīng)過M點又需要的時間4 s，由題圖分析可知這是不可能的，因此開始計時時質(zhì)點從O點向右運動，O→M過程歷時3 s，M→b→M過程歷時4 s，由運動時間的對稱性知＝5 s，解得T＝20 s，質(zhì)點第三次經(jīng)過M點還需要的時間Δt＝T－4 s＝20 s－4 s＝16 s，故選項C正確。]
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4．一質(zhì)點做簡諧運動，其位移x與時間t的關(guān)系圖像如圖所示。由圖可知(　　)
A．質(zhì)點振動的頻率是4 Hz，振幅是2 cm
B．0～3 s內(nèi)，質(zhì)點通過的路程為6 cm
C．1 s末質(zhì)點運動速度為0
D．t＝3 s時，質(zhì)點的振幅為零
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B　[由題圖可讀出周期T＝4 s，振幅為2 cm，則頻率f＝＝0.25 Hz，故A錯誤；0～3 s內(nèi)，質(zhì)點通過的路程為3A＝6 cm，故B正確；由題圖可知1 s末質(zhì)點位于平衡位置，速度最大，故C錯誤；在t＝3 s時，質(zhì)點的位移為零，不是振幅為零，質(zhì)點的振幅等于振子的最大位移的大小，保持不變，故D錯誤。]
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5．如圖所示，m為在光滑水平面上的彈簧振子，彈簧形變的最大限度為20 cm，圖中P位置是彈簧振子處于自然伸長狀態(tài)的位置，若將振子m向右拉動5 cm后由靜止釋放，經(jīng)過0.5 s后振子m第一次回到P位置。關(guān)于該彈簧振子，下列說法正確的是(　　)
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A．該彈簧振子的振動頻率為1 Hz
B．在P位置給振子m任意一個向左或向右的初速度，只要最大位移不超過20 cm，總是經(jīng)過0.5 s速度就降為0
C．若將振子m向左拉動2 cm后由靜止釋放，振子m連續(xù)兩次經(jīng)過P位置的時間間隔是2 s
D．若將振子m向右拉動10 cm后由靜止釋放，經(jīng)過1 s振子m第一次回到P位置
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B　[將振子m向右拉動5 cm后由靜止釋放，經(jīng)過0.5 s后振子m第一次回到P位置經(jīng)歷，所以T＝4×0.5 s＝2 s，振動的頻率f＝＝ Hz，A錯誤；振動的周期與振幅的大小無關(guān)，在P位置給振子m任意一個向左或向右的初速度，只要最大位移不超過20 cm，總是經(jīng)過T＝0.5 s到達最大位移處，速度降為0，B正確；振動的周期與振幅的大小無關(guān)，振子m連續(xù)兩次經(jīng)過P位置的時間間隔是半個周期，即1 s，C錯誤；振動的周期與振幅的大小無關(guān)，所以若將振子m向右拉動10 cm后由靜止釋放，經(jīng)過0.5 s振子m第一次回到P位置，D錯誤。]
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?題組二　簡諧運動的表達式
6．彈簧振子做簡諧運動，振子運動范圍為0.8 cm，周期為0.5 s，計時開始時具有正向最大加速度，則它的振動方程是(　　)
A．x＝8×10-3sin m
B．x＝4×10-3sin m
C．x＝8×10-3sin m
D．x＝4×10-3sin m
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B　[t＝0時刻振子具有正向最大加速度，說明此時振子的位移是負向最大，則位移與時間的函數(shù)關(guān)系式x＝A sin (ωt＋φ0)中，φ0＝－，圓頻率ω＝＝ rad/s＝4π rad/s，則位移與時間的函數(shù)關(guān)系式為x＝0.4sin cm＝4×10-3sin m。選項B正確。]
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7．某質(zhì)點做簡諧運動的振幅為A，周期為T，則質(zhì)點在時間內(nèi)的路程不可能是(　　)
A．0.5A B．0.8A
C．A D．1.2A
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A　[質(zhì)點在振動的過程中，經(jīng)過平衡位置處的速度最大，在平衡位置附近的時間內(nèi)的路程最大，即在前后各時間內(nèi)路程最大，若以平衡位置為起點，根據(jù)簡諧運動的方程y＝A sin ωt，質(zhì)點在時刻的位移y＝A sin ω＝A sin ＝A，則質(zhì)點在時間內(nèi)通過的最大路程為A；質(zhì)點在振動的過程中，經(jīng)過最大位移處的速度為零，在最
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大位移處附近的時間內(nèi)的路程最小，即在前后各時間內(nèi)路程最小，所以質(zhì)點在時間內(nèi)通過的最小路程為2＝(2－)A≈0.59A；因為質(zhì)點在時間內(nèi)從平衡位置或者最大位移處開始運動時，路程是一個振幅A。故選A。]
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8．物體A做簡諧運動的振動位移xA＝3sin m，物體B做簡諧運動的振動位移xB＝5sin m。比較A、B的運動(　　)
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是標量，A、B周期相等，為100 s
C．A振動的圓頻率ωA等于B振動的圓頻率ωB
D．A的相位始終超前B的相位
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C　[振幅是標量，A、B的振幅分別是3 m、5 m，A錯誤；A、B的圓頻率ω＝100 rad/s，周期T＝＝ s＝6.28×10-2 s，B錯誤，C正確；Δφ＝φA0－φB0＝為定值，D錯誤。]
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9．一彈簧振子在水平方向上的M、N之間做簡諧運動，已知M、N間的距離為10 cm，振子在2 s內(nèi)完成了5次全振動。若從某時刻振子經(jīng)過平衡位置時開始計時(t＝0)，經(jīng)過個周期振子有負向最大加速度。
(1)求振子的振幅和周期；
(2)寫出振子的振動方程。
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[解析]　(1)根據(jù)題意可知，振子的振幅為A＝ cm＝5 cm，周期為T＝ s＝0.4 s。
(2)設(shè)振動方程為x＝A sin (ωt＋φ0)，ω＝＝5π rad/s，因為經(jīng)過個周期振子有負向最大加速度，所以φ0＝0，則振子的振動方程為x＝5sin (5πt) cm。
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[答案]　(1)5 cm　0.4 s　(2)x＝5sin (5πt) cm
10．一根自由長度為10 cm的輕彈簧，下端固定，上端連一個質(zhì)量為m的物塊P，在P上再放一個質(zhì)量為m的物塊Q，系統(tǒng)靜止后，彈簧長度為6 cm，如圖所示。如果迅速向上移去Q，物塊P將在豎直方向做簡諧運動，此后彈簧的最大長度是(　　)
A．8 cm B．9 cm
C．10 cm D．11 cm
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C　[移去物塊Q后物塊P在豎直方向上做簡諧運動，平衡位置是物塊P的重力和彈簧彈力大小相等的位置，由題中條件可得此時彈簧長度為8 cm。物塊P剛開始運動時彈簧長度為6 cm，由簡諧運動的對稱性可知此后彈簧的最大長度是10 cm。選項C正確。]
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11．一彈簧振子沿x軸振動，平衡位置在坐標原點。t＝0時刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝ s時刻x＝0.1 m；t＝4 s時刻x＝0.1 m。該振子的振幅和周期不可能為(　　)
A．0.1 m， s B．0.1 m，8 s
C．0.2 m， s D．0.2 m，8 s
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B　[若振子的振幅為0.1 m， s＝T(n＝0，1，2，…)，則周期最大值為 s，且t＝4 s時刻x＝0.1 m，故A項可能，B項不可能；若振子的振幅為0.2 m，由簡諧運動的對稱性可知，當振子由x＝
－0.1 m處運動到負向最大位移處再反向運動到x＝0.1 m處，再經(jīng)n個周期時所用時間為 s，則T＝ s(n＝0，1，2，…)，所以周期的最大值為 s，且t＝4 s時刻x＝0.1 m，故C項可能；若振子的
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振幅為0.2 m，由簡諧運動的對稱性可知，當振子由x＝－0.1 m經(jīng)平衡位置運動到x＝0.1 m處，再經(jīng)n個周期時所用時間為 s，則T＝ s(n＝0，1，2，…)，所以此時周期的最大值為8 s，且t＝4 s時刻x＝0.1 m，故D項可能。]
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12．在心電圖儀、地震儀等儀器工作過程中，要進行振動記錄，如圖甲所示是一個常用的記錄方法，在彈簧振子的小球上安裝一支記錄用筆P，在下面放一條白紙帶，當小球振動時，勻速拉動紙帶(紙帶運動方向與振子振動方向垂直)，筆就在紙帶上畫出一條曲線，如圖乙所示。
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(1)若勻速拉動紙帶的速度為1 m/s，則由圖中數(shù)據(jù)算出振子的振動周期為多少？
(2)試著作出P的振動圖像；
(3)若拉動紙帶做勻加速直線運動，且振子振動周期與原來相同，由圖丙中數(shù)據(jù)求紙帶的加速度大小。
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[解析]　(1)由題圖乙可知，當紙帶勻速前進20 cm時，彈簧振子恰好完成一次全振動，由v＝，可得t＝＝ s＝0.2 s，所以周期T＝0.2 s。
(2)由題圖乙可以看出P的振幅為2 cm，振動圖像如圖所示。
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(3)當紙帶做勻加速直線運動時，振子振動周期仍為0.2 s，由題圖丙可知，兩個相鄰0.2 s時間內(nèi)，紙帶運動的距離分別為0.21 m、0.25 m，由Δx＝aT2，得加速度a＝ m/s2＝1.0 m/s2。
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[答案]　(1)0.2 s　(2)見解析圖　(3)1.0 m/s2
13．如圖所示，一個彈簧振子在光滑水平面內(nèi)做簡諧運動，O為平衡位置，A、B為最大位移處，在O點正上方C處有一個不計重力的小球。現(xiàn)使振動物體由A點靜止釋放，同時小球由C點沿逆時針方向開始在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運動。
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(1)當小球第一次到達最高點時，振動物體第一次速度達到最大，則小球與該彈簧振子的周期之比是多少？
(2)若振動物體第一次從A點運動到達B點時，小球和振動物體的加速度方向正好相同，則小球與彈簧振子的周期之比是多少？
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(3)已知振子的振幅和圓周的半徑相等且都為R，現(xiàn)將振動物體由A點靜止釋放，同時使小球由A點正上方圓周上的D點沿逆時針方向開始在豎直平面內(nèi)做速率為v的勻速圓周運動，為讓小球始終在振動物體的正上方，則振子的振動周期為多少？ 進一步研究發(fā)現(xiàn)，振動物體的速率就是小球的線速度在水平方向的投影，請嘗試畫出振動物體從A點到O點的速率v和時間t的關(guān)系的大致圖像，并說明理由。
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[解析]　(1)當小球第一次到達最高點時，經(jīng)過的時間為T球；振動物體第一次速度達到最大，則振動物體運動的時間為T振。
則T球＝T振，即＝。
(2)當振動物體第一次從A點運動到達B點時，小球和振動物體的加速度方向正好相同，此時振動物體的加速度方向水平向右，小球到達最左端時向心加速度向右指向圓心。
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則T球＝T振(n＝0，1，2，…)，
＝ (n＝0，1，2，…)。
(3)為讓小球始終在振動物體的正上方，應使振子的振動周期等于小球做圓周運動的周期，即T＝。
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振動物體從A點到O點過程中，小球線速度大小不變，間隔相等時間在水平方向的投影越來越大，小球到達O點上方時達到最大，故振動物體從A點到O點運動時，速率逐漸變大到v，加速度逐漸減小到0，則圖像大致如圖所示。
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[答案]　(1)1∶2　(2)(n＝0，1，2，…)　
(3)　圖像和理由見解析
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