資源簡介

(共74張PPT)
現代文閱讀Ⅰ
把握共性之“新”　打通應考之“脈”
第二章　機械振動
4．單擺
[學習目標]　1．知道什么是單擺，了解單擺的構成及單擺的回復力。2．理解單擺做簡諧運動的條件，掌握單擺的周期公式，會利用圖像法分析單擺的運動，并能夠進行計算。3．探究單擺周期與擺長之間的關系，體會實驗設計的思路。4．借助單擺周期影響因素的分析，培養嚴謹的科學態度。
必備知識·自主預習儲備
知識點一　單擺及單擺的回復力
1．單擺模型
(1)由細線和____組成。
(2)細線的質量和小球相比可以____。
(3)小球的直徑與線的長度相比可以____。
注意：單擺是理想化模型，實際并不存在。
小球
忽略
忽略
2．單擺的回復力
(1)回復力的提供：擺球的重力沿圓弧____方向的分力，即F＝__________。
(2)回復力的特點：在擺角很小時，單擺的回復力與它偏離平衡位置位移的大小成____，方向總指向________。
(3)運動規律：單擺在擺角很小時做____運動。
切線
mg sin θ
正比
平衡位置
簡諧
思考　在單擺做簡諧運動的平衡位置時，擺球所受合外力為零嗎？
提示：不為零。
體驗1．思考辨析(正確的打√，錯誤的打×)
(1)單擺運動的回復力是擺球重力和擺線拉力的合力。 (　　)
(2)單擺運動的回復力是擺球重力沿圓弧切線方向的一個分力。 (　　)
(3)單擺是一個理想化的模型。 (　　)
×
√
√
知識點二　單擺的周期
1．影響單擺周期的因素
(1)單擺的周期與____有關，擺長越長，周期____。
(2)單擺的周期與________、____無關。
2．周期公式
(1)提出：周期公式由______首先提出。
(2)公式：T＝________。
擺長
越大
擺球質量
振幅
惠更斯
2π
體驗2．思考辨析(正確的打√，錯誤的打×)
(1)擺球的質量越大，周期越大。 (　　)
(2)單擺的振幅越小，周期越小。 (　　)
(3)單擺的擺長越長，周期越大。 (　　)
×
×
√
3．填空
一個理想的單擺，已知其周期為T。如果由于某種原因重力加速度變為原來的2倍，振幅變為原來的3倍，擺長變為原來的8倍，擺球質量變為原來的2倍，它的周期變為___。
2T
關鍵能力·情境探究達成
(1)判斷以下擺動模型是不是單擺，為什么？
(2)試分析單擺的回復力由什么力提供。
提示：(1)模型①不是單擺，因為橡皮筋伸長不可忽略。
模型②不是單擺，因為繩子質量不可忽略。
模型③不是單擺，因為繩長不是遠大于球的直徑。
模型④不是單擺，因為懸點不固定，因而擺長會發生變化。
模型⑤是單擺。
(2)單擺的回復力是由擺球重力的切向分力提供，即F＝mg sin θ，即F≈－mg。
考點1　對單擺的回復力及運動特征的理解
1．單擺的回復力
(1)擺球受力：如圖所示，擺球受細線拉力和
重力作用。
(2)向心力來源：細線對擺球的拉力和擺球重
力沿徑向的分力的合力。
(3)回復力來源：擺球重力沿圓弧切線方向的分力F＝mg sin θ。
2．單擺做簡諧運動的推證
在擺角很小時，sin θ≈，又回復力F＝mg sin θ，所以單擺振動的回復力為F＝－x(式中x表示擺球偏離平衡位置的位移，l表示單擺的擺長，負號表示回復力F與位移x的方向相反)，由此知回復力符合F＝－kx，單擺做簡諧運動。
3．單擺的振動圖像
簡諧運動的圖像是正弦曲線(或余弦曲線)，而在擺角很小的情況下，單擺做簡諧運動，故它的振動圖像也是正弦曲線(或余弦曲線)。
角度1　對單擺回復力的理解
【典例1】　關于做簡諧運動的單擺，下列說法正確的是(　　)
A．擺球經過平衡位置時所受合力為零
B．擺球所受合力的大小跟擺球相對平衡位置的位移大小成正比
C．只有在最高點時，回復力才等于重力和擺線拉力的合力
D．擺球在任意位置處，回復力都不等于重力和擺線拉力的合力
√
C　[擺球經過平衡位置時，回復力為零，但由于擺球做圓周運動，經過平衡位置，合力不為零，合力提供向心力，方向指向懸點，A錯誤；擺球的回復力由重力沿圓弧切線方向的分力提供，重力沿擺線方向的分力與擺線對擺球的拉力的合力提供向心力，所以擺球所受合力的大小跟擺球相對平衡位置的位移大小不成正比，B錯誤；根據牛頓第二定律可知，擺球在最大位移處時，速度為零，向心加速度為零，重力沿擺線方向的分力等于擺線對擺球的拉力，回復力才等于重力和擺線拉力的合力，在其他位置時，速度不為零，向心加速度不為零，重力沿擺線方向的分力小于擺線對擺球的拉力，回復力不等于重力和擺線拉力的合力，故C正確，D錯誤。]
角度2　單擺的運動過程分析
【典例2】　關于單擺，下列說法正確的是(　　)
A．擺球運動的回復力是擺線的拉力與重力的合力
B．擺球運動過程中經過軌跡上同一點，加速度是不相等的
C．擺球運動過程中，加速度的方向始終指向平衡位置
D．擺球經過平衡位置時，加速度不為零
√
D　[擺球在運動過程中的回復力是重力沿圓弧切線方向上的分力，而不是擺線的拉力和重力的合力，故A錯誤；擺球經過軌跡上的同一點受力情況相同，故加速度相同，故B錯誤；擺球在運動過程中加速度的方向不始終指向平衡位置，因為垂直速度方向也有向心加速度，故C錯誤；擺球擺動過程中，經過平衡位置時，合力提供向心力，合力不為零，加速度不為零，故D正確。]
易錯警示　對于單擺的兩點說明
(1)所謂平衡位置，是指擺球靜止時，擺線拉力與小球所受重力平衡的位置，并不是指擺動過程中的受力平衡位置。實際上，在擺動過程中，擺球受力不可能平衡。
(2)回復力是由擺球受到的重力沿圓弧切線方向的分力F＝mg sin θ提供的，不可誤認為回復力是重力G與擺線拉力T的合力。
[跟進訓練]
1．(角度1)如圖所示，O點為單擺的固定懸點，現將擺球(可視為質點)拉至A點，此時細線處于張緊狀態，釋放擺球，擺球將在豎直平面內的A、C之間來回擺動，B點為運動中的最低位置，則在擺動過程中(　　)
A．擺球在A點和C點處，合力為零
B．擺球在A點和C點處，回復力為零
C．擺球在B點處，回復力最大
D．擺球在B點處，細線拉力最大
√
D　[擺球在重力和細線拉力作用下沿圓弧AC做圓周運動，在最高點A、C處合力不為零，A錯誤；在最低點B處，細線上的拉力最大，D正確；擺球的回復力F＝mg sin θ，其中θ為擺線偏離豎直方向的角度，所以擺球在擺動過程中，在最高點A、C處回復力最大，在最低點B處回復力為零，故B、C錯誤。]
2．(角度2)關于單擺做簡諧運動的過程，下列說法中不正確的是
(　　)
A．在平衡位置擺球的速度和位移均達到最大值
B．在最大位移處速度最小
C．在平衡位置擺球速度最大
D．擺球由最大位移處向平衡位置運動時，速度變大
√
A　[在平衡位置處，擺球的勢能最小，動能最大，速度最大，而位移最小，A錯誤，C正確；在最大位移處，擺球的勢能最大，動能最小，速度最小，B正確；擺球由最大位移處向平衡位置運動時，勢能變小，動能變大，速度變大，D正確。]
考點2　單擺周期公式的理解及應用
1．成立條件：單擺擺角很小(擺角小于5°)。
2．影響因素：周期T只與l和g有關，與擺球質量m及振幅無關，所以單擺的周期也叫固有周期。
3．對l、g的理解
(1)公式中l是擺長，即懸點到擺球球心的距離。
①普通單擺：擺長l＝l′＋，l′為擺線長，D為擺球直徑。
②等效擺長：圖(a)中，甲、乙在垂直紙面方向上擺動起來效果是相同的，甲擺的等效擺長為l sin α，其周期T＝2π。圖(b)中，乙在垂直紙面方向擺動時，其等效擺長等于甲擺的擺長；乙在紙面內小角度擺動時，其等效擺長等于丙擺的擺長。
(2)①公式中g是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。
②等效重力加速度：一般情況下，公式中g的值等于擺球靜止在平衡位置時，擺線的拉力與擺球質量的比值。
【典例3】　擺長是 1 m 的單擺在某地區的周期是2 s，則在同一地區(　　)
A．擺長是0.5 m的單擺的周期是0.707 s
B．擺長是0.5 m的單擺的周期是1 s
C．周期是1 s的單擺的擺長為2 m
D．周期是4 s的單擺的擺長為4 m
√
D　[擺長是1 m的單擺的周期是2 s，根據單擺的周期公式T＝2π可知，當地的重力加速度g＝＝ m/s2，擺長是0.5 m的單擺的周期T1＝2π＝2π× s≈1.414 s，故A、B錯誤；周期是1 s的單擺的擺長l2＝＝ m＝0.25 m，周期是4 s的單擺的擺長l3＝＝ m＝4 m，故C錯誤，D正確。]
規律方法　利用單擺周期公式計算的三個核心
利用單擺的周期公式T＝2π進行有關計算，要把握三個核心。
(1)單擺的周期公式在擺角很小時成立(θ≤5°)。
(2)單擺周期公式中的g是單擺所在地的重力加速度，能求出擺球在不同的空間位置、物理環境(如帶電小球在勻強電場)中的等效重力加速度。
(3)單擺的擺長
①因為實際的擺球不可能是質點，所以擺長是指從懸點到擺球重心的長度，注意擺線長是從懸點到擺線與擺球連接點的長度，不要把擺長與擺線長弄混淆。
②等效擺長是擺球重心到擺動圓弧圓心的距離。
[跟進訓練]
3．如圖所示，幾個擺長相同的單擺，它們在不同條件下的周期分別為T1、T2、T3、T4，關于周期大小關系的判斷，正確的是(　　)
A．T1>T2>T3>T4　
B．T1C．T1D．T1>T2＝T3>T4
√
D　[根據單擺周期公式T＝2π可知單擺的周期與振幅和擺球質量無關，與擺長和重力加速度有關。題圖甲中沿斜面的加速度為a1＝g sin θ，所以周期T1＝2π，題圖乙中擺球所受的庫侖力始終沿擺線方向，回復力由重力沿圓弧切線方向的分力提供，故擺球的等效重力加速度為a2＝g，所以周期T2＝2π，題圖丙中的周期T3＝
2π，題圖丁中的等效重力加速度為a4＝g＋a，所以周期T4＝2π，故T1>T2＝T3>T4，故A、B、C錯誤，D正確。]
學習效果·隨堂評估自測
1．單擺是為研究振動而抽象出的理想化模型，下列選項中不屬于理想化條件的是(　　)
A．擺線質量不計
B．擺線不伸縮
C．擺球的直徑比擺線長度小得多
D．只要是單擺的運動就是簡諧運動
√
D　[單擺由擺線和擺球組成，擺線只計長度不計質量且擺線不伸縮，擺球直徑遠小于擺線長度，A、B、C項正確；把單擺的運動作為簡諧運動來處理是有條件的，只有在擺角很小(θ≤5°)的情況下才能視單擺的運動為簡諧運動，D項錯誤。]
2．(人教版P50T3設問變式)如圖所示為同一地點的兩單擺甲、乙的振動圖像，下列說法正確的是(　　)
A．甲擺的擺長大于乙擺的擺長
B．甲擺的頻率大于乙擺的頻率
C．在t＝0.5 s時，甲擺正經過平衡位置
向x軸正方向運動
D．在t＝1.0 s時，乙擺的速率大于甲擺的速率
√
D　[由題圖可知，甲擺的周期等于乙擺的周期，則甲擺的頻率等于乙擺的頻率，B錯誤；根據單擺周期公式T＝2π，可得擺長l＝，由于兩擺的周期相同，則甲擺的擺長等于乙擺的擺長，A錯誤；在t＝0.5 s時，甲擺正經過平衡位置向x軸負方向運動，C錯誤；在t＝1.0 s時，乙擺在平衡位置，此時乙擺速率最大，甲擺在離平衡位置最遠處，則此時甲擺的速率為零，易知此時乙擺的速率大于甲擺的速率，D正確。]
3．(新情境題，以擺鐘為背景，考查單擺)把在北京調準的擺鐘由北京移到赤道，則擺鐘(　　)
A．變慢了，要使它恢復準確，應該增加擺長
B．變慢了，要使它恢復準確，應該減短擺長
C．變快了，要使它恢復準確，應該增加擺長
D．變快了，要使它恢復準確，應該減短擺長
√
B　[把調準的擺鐘由北京移至赤道，重力加速度變小，根據周期公式T＝2π，則周期變長，擺鐘變慢了，要使它恢復準確，應該使T減小，即減短擺長l。故A、C、D錯誤，B正確。]
回歸本節知識，自我完成以下問題：
1．單擺看成簡諧運動的條件是什么？
提示：擺角θ較小，θ≈sin θ。
2．單擺的回復力是由哪個力提供？
提示：重力沿垂直于擺線的分力。
3．單擺的周期由哪些因素決定？
提示：擺長、重力加速度。
4．單擺周期的表達式是什么？
提示：T＝2π。
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?題組一　單擺及單擺的回復力
1．關于單擺，下列說法正確的是(　　)
A．擺球做勻速圓周運動
B．擺球擺動到最低點時加速度為零
C．擺球速度變化的周期等于振動周期
D．擺球振動的頻率與振幅有關
課時分層作業(九)　單擺
√
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C　[擺球在擺動中速度大小是變化的，不是勻速圓周運動，A錯誤；擺球擺動到最低點時加速度不為零，受向上的合外力，故加速度豎直向上，B錯誤；擺球速度變化的周期以及位移變化的周期均等于振動周期，C正確；擺球振動的頻率與振幅無關，只取決于擺長和當地的重力加速度，D錯誤。]
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2．下列有關單擺的說法，正確的是(　　)
A．一根橡皮筋一端系在懸點，另一端連接一個小球，可以構成一個單擺
B．單擺的擺動一定是簡諧運動
C．若單擺在同一平面內擺動，且擺角小于5°，可以認為該單擺的運動是簡諧運動
D．單擺做簡諧運動時，擺長越長，其運動周期越小
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C　[一根不可伸長的細繩一端系在懸點，另一端連接一個質量較大且可以看成質點的小球，可以構成一個單擺，橡皮筋受到拉力時形變量較大，連接小球構成的裝置不可看成單擺，A錯誤；若單擺在同一平面內擺動，且擺角小于5°，可以認為該單擺的運動是簡諧運動，B錯誤，C正確；根據單擺的周期公式T＝2π可知，單擺做簡諧運動時，擺長越長，其運動周期越大，D錯誤。]
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3．振動著的單擺擺球通過平衡位置時，它受到的回復力(　　)
A．指向地面 　　　　 B．指向懸點
C．數值為零 　　　　 D．垂直擺線，指向運動方向
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C　[單擺的擺球受到的回復力由重力沿圓弧切線方向的分力提供，擺球經過平衡位置時，回復力為零，選C。]
4．一個單擺做小角度擺動，其振動圖像如圖所示。以下說法不正確的是(　　)
A．t1時刻擺球速度為零，懸線對它的拉力最小
B．t2時刻擺球速度最大，但加速度不為零
C．t3時刻擺球速度為零，懸線對它的拉力最大
D．t4時刻擺球速度最大，懸線對它的拉力最大
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C　[由振動圖像可知：t1和t3時刻擺球偏離平衡位置的位移最大，此時擺球速度為零，懸線對擺球的拉力最小；t2和t4時刻擺球位移為零，正在通過平衡位置，速度最大，懸線對擺球的拉力最大，加速度向上。故C選項符合題意。]
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?題組二　單擺的周期
5．發生下述哪一種情況時，單擺周期會增大(　　)
A．增大擺球質量 B．增加擺長
C．減小單擺振幅 D．將單擺由山頂移到山下
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B　[由單擺的周期公式T＝2π可知，g減小或l增大時周期會變大。]
6．要將秒擺的周期由2 s變為4 s，下列措施可行的是(　　)
A．只將擺球質量變為原來的
B．只將振幅變為原來的2倍
C．只將擺長變為原來的4倍
D．只將擺長變為原來的16倍
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C　[單擺的周期與擺球的質量和振幅均無關，故A、B錯誤；對秒擺，T0＝2π＝2 s，對周期為4 s的單擺，T＝2π＝4 s，聯立解得l＝4l0，故C正確，D錯誤。]
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7．在盛沙的漏斗下面放一木板，讓漏斗左右擺動起來，同時細沙緩慢流出，經歷一段時間后，觀察木板上沙子的堆積情況。沙堆的剖面圖應是下圖中的(　　)
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B　[不考慮空氣阻力，漏斗在從最左端向最右端運動和從最右端向最左端運動時，到達最低點時的運動速度最大，漏到木板上的細沙最少，兩端漏斗運動得最慢，漏到木板上的細沙最多，B正確，A、C、D錯誤。]
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8．地球表面的重力加速度約為9.8 m/s2，月球表面的重力加速度是地球表面的，將走時準確的擺鐘從地球放到月球上去，在地球上經過24 h，該鐘在月球上顯示經過了(　　)
A．4 h B．9.8 h
C．12 h D．58.8 h
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B　[由單擺的周期公式T＝2π，得＝＝，即T月＝T地，則擺鐘在月球上單位時間內完成的全振動的次數為在地球上的，所以在地球上經過24 h，該鐘在月球上顯示經過的時間為24× h＝4 h≈9.8 h，選項B正確。]
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9．圖甲是一個單擺振動的情形，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達的最遠位置。設擺球向右運動為正方向。圖乙是這個單擺的振動圖像。根據圖像回答：
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(1)單擺振動的頻率是多大？
(2)開始時刻擺球在何位置？
(3)若當地的重力加速度為10 m/s2，則這個擺的擺長是多少？
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[解析]　(1)由題圖乙知周期T＝0.8 s，
則頻率f＝＝1.25 Hz。
(2)由題圖乙知，0時刻擺球在負向最大位移處，因向右為正方向，所以擺球在B點。
(3)由T＝2π得L＝≈0.16 m。
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[答案]　(1)1.25 Hz　(2)B點　(3)0.16 m
10．下列關于單擺周期的說法正確的是(　　)
A．用一個裝滿沙的漏斗和長細線做成一個單擺，在擺動時沙從漏斗中緩慢漏出，周期不變
B．只將擺球的質量增大，單擺振動周期增大
C．將單擺由赤道移到北極，單擺振動周期減小
D．將單擺的擺角由3°增加到5°(不計空氣阻力)，單擺的周期減小
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C　[沙從漏斗中緩慢漏出時，等效擺長變化，周期變化，選項A錯誤；單擺的振動周期與擺球的質量無關，選項B錯誤；將單擺由赤道移到北極，重力加速度增大，則周期減小，選項C正確；在擺角很小時，單擺的周期與擺角大小無關，選項D錯誤。]
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11．某同學在家偶然發現一根不可伸長的細線垂到窗沿，他想利用單擺原理粗測細線的總長度。先在線的下端系上一個小球，當小球靜止時，細線恰好與窗子上沿接觸且保持豎直，球在最低點B時，球心到窗上沿的距離為1 m。他打開窗戶，讓小球在垂直于墻的豎直平面內做小角度擺動，如圖所示。從小球第1次通過圖中的B點開
始計時，到第31次通過B點共用時60 s，取g＝10 m/s2。根
據以上數據可知細線的長度約為(　　)
A．8 m　　B．9 m　　C．10 m　　D．20 m
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B　[設細線的長度為L，球心到窗上沿的距離為d，由題意可知，該單擺振動周期為T＝＝4 s。由單擺的周期公式可得T＝π＋π，代入數據解得L≈9 m，故細線的長度約為9 m，故選B。]
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12．人在秋千上小幅度擺動時可以簡化為單擺模型，等效“擺球”的質量為m，擺繩長為l，忽略空氣阻力。已知重力加速度大小為g，下列說法正確的是(　　)
A．經過最低點時人與踏板均處于平衡狀態
B．“擺球”偏離最低點位移為x時，回復力F＝－x
C．偏離最低點運動的過程中，人受到踏板的摩擦力逐漸增大
D．經過最低點時，人順勢輕輕跳下，踏板的周期將增大
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B　[經過最低點時人與踏板有向心加速度，并未處于平衡狀態，故A錯誤；當擺角θ很小時，“擺球”運動的圓弧可以看成直線，根據回復力F＝－kx可知，“擺球”偏離最低點位移為x時，回復力F＝－x，B正確；偏離最低點運動的過程中，人的速度減小，與豎直方向夾角變大，重力沿切線方向的分力提供回復力，摩擦力為零，故C錯誤；單擺的周期T＝2π，只與擺長有關，故經過最低點時，人順勢輕輕跳下，單擺的周期不變，故D錯誤。]
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13．如圖所示，ACB為光滑弧形槽，弧形槽半徑為R，R 。甲球從弧形槽的球心處自由落下，乙球從A點由靜止釋放。
(1)求兩球第1次到達C點的時間之比。
(2)若在圓弧的最低點C的正上方h處由靜止釋放
小球甲，讓其自由下落，同時乙球從圓弧左側
由靜止釋放，欲使甲、乙兩球在圓弧最低點C
處相遇，則甲球下落的高度h是多少？
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[解析]　(1)甲球做自由落體運動，
R＝，所以t1＝。
乙球沿圓弧做簡諧運動(由于 R，可認為擺角θ＜5°)。此振動與一個擺長為R的單擺振動模型相同，故此等效擺長為R，因此乙球第1次到達C處的時間t2＝T＝×2π＝。
所以t1∶t2＝。
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(2)甲球從離弧形槽最低點h高處開始自由下落，到達C點的時間t甲＝。
由于乙球運動的周期性，所以乙球到達C點的時間t乙＝＋n＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)
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由于甲、乙在C處相遇，故t甲＝t乙，
解得h＝(n＝0，1，2，…)。
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[答案]　(1)　(2)(n＝0，1，2，…)
14．如圖甲所示，O點為單擺的固定懸點，將力傳感器接在擺球與O點之間?，F將擺球拉到A點，釋放擺球，擺球將在豎直面內的A、C之間來回擺動，其中B點為運動中的最低位置。圖乙表示細線對擺球的拉力大小F隨時間t變化的曲線，圖中t＝0為擺球從A點開始運動的時刻，g取10 m/s2。求：
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(1)單擺的擺長；
(2)擺球的質量。
[解析]　(1)由題圖乙可知，單擺的振動周期
T＝0.4π s。
根據單擺周期公式T＝2π。
可得單擺的擺長l＝0.4 m。
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(2)設最大偏角為θ，由題圖乙可知，在最高點A時，有Fmin＝mg
cos θ＝0.495 N。
在最低點B時，有Fmax－mg＝，
而Fmax＝0.510 N。
從最高點到最低點的過程中，由機械能守恒定律得
mgl(1－cos θ)＝mv2。
聯立解得m＝0.05 kg。
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[答案]　(1)0.4 m　(2)0.05 kg
謝 謝！

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