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第4節　彈性碰撞與非彈性碰撞
[學習目標]　
1．知道非彈性碰撞、完全非彈性碰撞和彈性碰撞的概念和特點。
2．掌握彈性碰撞的規律，能根據彈性碰撞的規律解釋判斷有關現象和解決有關的問題。
3．探究一維彈性碰撞的規律。
4．科學知識來源于生活實際，能將所學的知識應用于生活實際中。
知識點一　不同類型的碰撞
1．彈性碰撞
碰撞前后系統的總動能________的碰撞稱為彈性碰撞。
2．非彈性碰撞
碰撞過程中機械能有________的碰撞稱為非彈性碰撞。
3．完全非彈性碰撞
碰撞后物體________，系統的動能損失________的碰撞稱為完全非彈性碰撞。
　這三種碰撞，動量都是守恒的。
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)完全非彈性碰撞，動量守恒，動能也守恒。 (　　)
(2)速度不同的兩個小球碰撞后粘在一起，碰撞過程中沒有能量損失。 (　　)
(3)碰撞現象中內力遠大于外力，所以可認為碰撞時系統的總動量守恒。 (　　)
知識點二　彈性碰撞
1．實驗與探究
(1)質量相等的兩個鋼球碰撞時，碰撞后兩球交換了________，可得碰撞前后兩球的總動能相等。
(2)質量較大的鋼球與靜止的質量較小的鋼球發生彈性碰撞，碰后兩球運動方向________。
(3)質量較小的鋼球與靜止的質量較大的鋼球發生彈性碰撞，碰后質量較小的鋼球速度方向與原來________。
2．彈性碰撞的規律
設質量為m1的小球以速度v1與質量為m2的靜止的小球發生彈性碰撞，碰后m1、m2的速度分別為v1′和v2′，由動量守恒和動能守恒有
m1v1＝m1v1′＋m2v2′
＝
以上兩式聯立可解得v1′＝v1，v2′＝v1，
由以上兩式對彈性碰撞中運動鋼球碰撞靜止鋼球實驗研究結論的解釋：
(1)當m1＝m2時，v1′＝0，v2′＝v1，表示碰撞后兩球________。
(2)當m1＞m2時，v1′＞0，v2′＞0，表示碰撞后________向前運動。
(3)當m1＜m2時，v1′＜0，v2′＞0，表示碰撞后質量小的球________。
　彈性碰撞是一種理想情況，實際的碰撞都有能量損失。
2．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)彈性碰撞過程中動量守恒、動能不守恒。 (　　)
(2)兩個質量相同的小球發生正碰時一定交換速度。 (　　)
(3)質量較大的物體與質量較小且靜止的物體發生碰撞時不可能被反彈。 (　　)
3．填空
大小、形狀完全相同、質量分別為3 kg和2 kg 的兩個物體在無摩擦的水平面上相向運動，速度分別為5 m/s和1 m/s，如果兩物體碰撞后并粘在一起，則它們共同的速度大小為________，方向與________________方向相同。
碰撞是生活中非常常見的現象，如圖所示，會發現碰撞的結果多種多樣，有的物體碰后分開了，但都朝一個方向運動，有的物體碰后朝兩個不同的方向運動。
(1)兩個物體碰撞時間極短，碰撞物體組成的系統動量是否守恒？
(2)打臺球時，質量相等的母球與目標球發生碰撞，兩個球一定交換速度嗎？
考點1　碰撞過程的特點
1．時間特點：在碰撞、爆炸現象中，相互作用的時間很短。
2．相互作用力的特點：在相互作用過程中，相互作用力先是急劇增大，然后急劇減小，平均作用力很大。
3．動量守恒條件的特點：系統的內力遠遠大于外力，所以系統即使所受合力不為零，外力也可以忽略，系統的總動量守恒。
4．位移特點：碰撞過程是在一瞬間發生的，時間極短，在物體發生碰撞的瞬間，可忽略物體的位移，認為物體在碰撞前后仍在原位置。
5．能量特點：碰撞前總動能Ek與碰撞后總動能Ek′滿足Ek≥Ek′。
【典例1】　(雙選)如圖所示，在質量為M的小車中掛著一單擺，擺球質量為m0，小車和單擺以恒定的速度v沿光滑水平地面運動，與位于正前方的質量為m的靜止的木塊發生碰撞，碰撞的時間極短。在此碰撞過程中，下列情況可能發生的是(　　)
A．小車、木塊、擺球的速度都發生變化，分別變為v1、v2、v3，滿足(M＋m0)v＝Mv1＋mv1＋m0v3
B．擺球的速度不變，小車和木塊的速度分別變為v1和v2，滿足Mv＝Mv1＋mv2
C．擺球的速度不變，小車和木塊的速度都變為u，滿足Mv＝(M＋m)u
D．在此碰撞過程中，擺球的速度最先發生變化
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟進訓練]
1．(雙選)在兩個物體碰撞前后，下列說法可以成立的是(　　)
A．作用后的總機械能比作用前小，但總動量守恒
B．作用前后總動量均為零，但總動能守恒
C．作用前后總動能為零，而總動量不為零
D．作用前后總動量守恒，而系統內各物體的動量增量的總和不為零
考點2　碰撞的判斷和碰撞模型
1．碰撞的判斷
在所給條件不足的情況下，碰撞結果有各種可能，但不管哪種結果必須同時滿足以下三條：
(1)系統動量守恒，即p1＋p2＝p′1＋p′2。
(2)系統動能不增加，即
Ekl＋Ek2≥E′kl＋E′k2或。
(3)符合實際情況，如果碰前兩物體同向運動，則后面的物體速度必大于前面物體的速度，即v后＞v前，否則無法實現碰撞。碰撞后，原來在前的物體的速度一定增大，且原來在前的物體速度大于或等于原來在后的物體的速度，即v′前≥v′后，否則碰撞沒有結束。如果碰前兩物體相向運動，則碰后兩物體的運動方向不可能都不改變，除非兩物體碰撞后速度均為零。
2．常見類碰撞模型
模型分類 特點及滿足的規律
彈簧模型 (水平面光滑) 彈簧處于最長(最短)狀態時兩物體速度相等，彈性勢能最大，系統滿足動量守恒、機械能守恒： m1v0＝(m1＋m2)v共 ＝＋Epm 彈簧再次處于原長時彈性勢能為零，系統滿足動量守恒、機械能守恒： m1v0＝m1v1＋m2v2 ＝ v1＝v0 v2＝v0
子彈打木塊模型 (水平面光滑) 系統動量守恒、能量守恒： mv0＝(m＋M)v fL相對＝－(M＋m)v2 無論木塊固定或者放于光滑水平面上，一般認為子彈受阻力恒定且相等，子彈完全從木塊中穿出時系統產生的熱量相等
(水平面光滑) 最高點：m與M具有共同水平速度，且m不可能從此處離開軌道，系統水平方向動量守恒、系統機械能守恒： mv0＝(M＋m)v共 ＝＋mgh 最低點：m與M分離點。水平方向動量守恒、系統機械能守恒： mv0＝mv1＋Mv2 ＝
角度1　碰撞的可能分析
【典例2】　如圖所示，兩個小球A、B在光滑水平地面上相向運動，它們的質量分別為mA＝4 kg，mB＝2 kg，速度分別是vA＝3 m/s(設為正方向)，vB＝－3 m/s。則它們發生正碰后，速度的可能值分別為(　　)
A．vA′＝1 m/s，vB′＝1 m/s
B．vA′＝－3 m/s，vB′＝9 m/s
C．vA′＝2 m/s，vB′＝－1 m/s
D．vA′＝－1 m/s，vB′＝－5 m/s
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角度2　碰撞類型
【典例3】　[鏈接教材P25例題]如圖所示，一輕質彈簧兩端連著物體A和B，放在光滑的水平面上，物體A被水平速度為v0的子彈擊中，子彈嵌在其中，已知A的質量是B的質量的，子彈的質量是B的質量的。求：
(1)A物體獲得的最大速度；
(2)彈簧壓縮量最大時B物體的速度。
[思路點撥]　(1)子彈打擊物體A瞬間，子彈與物體A組成的系統動量守恒。(2)彈簧壓縮量最大時，子彈、物體A和B及彈簧組成的系統有相同速度。
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　處理碰撞問題的幾個關鍵點
(1)選取動量守恒的系統：若有三個或更多個物體參與碰撞時，要合理選取所研究的系統。
(2)弄清碰撞的類型：彈性碰撞、完全非彈性碰撞還是其他非彈性碰撞。
(3)弄清碰撞過程中存在的關系：能量轉化關系、幾何關系、速度關系等。
[跟進訓練]
2．(角度1)(雙選)質量為m的小球A，沿光滑水平面以v0的速度與質量為2m的靜止小球B發生正碰，碰撞后，小球A的速度可能是(　　)
A．－v0　　　 B．0
C．v0　　　 D．v0
3．(角度2)如圖所示，光滑水平面上有一質量為M的滑塊，滑塊的左側是一光滑的圓弧，圓弧半徑為R＝1 m，質量為m的小球以速度v0向右運動沖上滑塊。已知M＝4m，g取10 m/s2，若小球恰好到達圓弧的上端，求：
(1)小球的初速度v0；
(2)滑塊獲得的最大速度。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(雙選)質量為1 kg的小球以4 m/s的速度與質量為2 kg的靜止小球正碰，關于碰后的速度v1′和v2′，下面可能正確的是(　　)
A．v1′＝v2′＝ m/s
B．v1′＝3 m/s，v2′＝0.5 m/s
C．v1′＝1 m/s，v2′＝3 m/s
D．v1′＝－1 m/s，v2′＝2.5 m/s
2．(雙選)在光滑水平面上，兩球沿球心連線以相等速率相向而行，并發生碰撞，下列現象可能的是(　　)
A．若兩球質量相等，碰后以某一相等速率互相分開
B．若兩球質量相等，碰后以某一相等速率同向而行
C．若兩球質量不等，碰后以某一相等速率互相分開
D．若兩球質量不等，碰后以某一相等速率同向而行
3．(雙選)小車AB靜置于光滑的水平面上，A端固定一個輕質彈簧，B端粘有橡皮泥，AB車質量為M，長為L。質量為m的木塊C放在小車上，用細繩連接于小車的A端并使彈簧壓縮，開始時AB與C都處于靜止狀態，如圖所示。當突然燒斷細繩，彈簧被釋放，使木塊C向B端沖去，并跟B端橡皮泥粘在一起，以下說法中正確的是(　　)
A．如果AB車內表面光滑，整個系統任何時刻機械能都守恒
B．當木塊對地運動速度為v時，小車對地運動速度為v
C．整個系統最后靜止
D．木塊的位移一定大于小車的位移
4．(新情境，以“反導攔截”為背景，考查碰撞問題)2024年11月12日至17日，第十五屆中國國際航空航天博覽會在珠海國際航展中心舉行。一款用于對彈道導彈類目標實施區域攔截的武器系統——紅旗19第一次亮相。
問題：碰撞和爆炸過程中機械能變化有什么區別？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
回歸本節知識，自我完成以下問題：
1．彈性碰撞有什么特點？
2．完全非彈性碰撞有什么特點？
3．碰撞中為什么動量守恒？
9 / 9第4節　彈性碰撞與非彈性碰撞
[學習目標]　1．知道非彈性碰撞、完全非彈性碰撞和彈性碰撞的概念和特點。2．掌握彈性碰撞的規律，能根據彈性碰撞的規律解釋判斷有關現象和解決有關的問題。3．探究一維彈性碰撞的規律。4．科學知識來源于生活實際，能將所學的知識應用于生活實際中。
知識點一　不同類型的碰撞
1．彈性碰撞
碰撞前后系統的總動能相等的碰撞稱為彈性碰撞。
2．非彈性碰撞
碰撞過程中機械能有損失的碰撞稱為非彈性碰撞。
3．完全非彈性碰撞
碰撞后物體結合在一起，系統的動能損失最大的碰撞稱為完全非彈性碰撞。
　這三種碰撞，動量都是守恒的。
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)完全非彈性碰撞，動量守恒，動能也守恒。 (×)
(2)速度不同的兩個小球碰撞后粘在一起，碰撞過程中沒有能量損失。 (×)
(3)碰撞現象中內力遠大于外力，所以可認為碰撞時系統的總動量守恒。 (√)
知識點二　彈性碰撞
1．實驗與探究
(1)質量相等的兩個鋼球碰撞時，碰撞后兩球交換了速度，可得碰撞前后兩球的總動能相等。
(2)質量較大的鋼球與靜止的質量較小的鋼球發生彈性碰撞，碰后兩球運動方向相同。
(3)質量較小的鋼球與靜止的質量較大的鋼球發生彈性碰撞，碰后質量較小的鋼球速度方向與原來相反。
2．彈性碰撞的規律
設質量為m1的小球以速度v1與質量為m2的靜止的小球發生彈性碰撞，碰后m1、m2的速度分別為v1′和v2′，由動量守恒和動能守恒有
m1v1＝m1v1′＋m2v2′
＝
以上兩式聯立可解得v1′＝v1，v2′＝v1，
由以上兩式對彈性碰撞中運動鋼球碰撞靜止鋼球實驗研究結論的解釋：
(1)當m1＝m2時，v1′＝0，v2′＝v1，表示碰撞后兩球交換速度。
(2)當m1＞m2時，v1′＞0，v2′＞0，表示碰撞后兩球向前運動。
(3)當m1＜m2時，v1′＜0，v2′＞0，表示碰撞后質量小的球被反彈回來。
　彈性碰撞是一種理想情況，實際的碰撞都有能量損失。
2．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)彈性碰撞過程中動量守恒、動能不守恒。 (×)
(2)兩個質量相同的小球發生正碰時一定交換速度。 (×)
(3)質量較大的物體與質量較小且靜止的物體發生碰撞時不可能被反彈。 (√)
3．填空
大小、形狀完全相同、質量分別為3 kg和2 kg的兩個物體在無摩擦的水平面上相向運動，速度分別為5 m/s和 1 m/s，如果兩物體碰撞后并粘在一起，則它們共同的速度大小為2.6 m/s，方向與質量較大物體的速度方向相同。
碰撞是生活中非常常見的現象，如圖所示，會發現碰撞的結果多種多樣，有的物體碰后分開了，但都朝一個方向運動，有的物體碰后朝兩個不同的方向運動。
(1)兩個物體碰撞時間極短，碰撞物體組成的系統動量是否守恒？
(2)打臺球時，質量相等的母球與目標球發生碰撞，兩個球一定交換速度嗎？
提示：(1)兩個物體碰撞時，由于碰撞時間極短，要么系統所受外力為零，要么外力遠小于內力，外力的沖量很小，可以忽略不計。所以系統在碰撞過程中動量要么守恒，要么近似守恒。
(2)不一定。只有質量相等的母球和目標球發生一維彈性碰撞時，系統的總動量守恒，總機械能守恒，兩個球才會交換速度，否則不會交換速度。
考點1　碰撞過程的特點
1．時間特點：在碰撞、爆炸現象中，相互作用的時間很短。
2．相互作用力的特點：在相互作用過程中，相互作用力先是急劇增大，然后急劇減小，平均作用力很大。
3．動量守恒條件的特點：系統的內力遠遠大于外力，所以系統即使所受合力不為零，外力也可以忽略，系統的總動量守恒。
4．位移特點：碰撞過程是在一瞬間發生的，時間極短，在物體發生碰撞的瞬間，可忽略物體的位移，認為物體在碰撞前后仍在原位置。
5．能量特點：碰撞前總動能Ek與碰撞后總動能Ek′滿足Ek≥Ek′。
【典例1】　(雙選)如圖所示，在質量為M的小車中掛著一單擺，擺球質量為m0，小車和單擺以恒定的速度v沿光滑水平地面運動，與位于正前方的質量為m的靜止的木塊發生碰撞，碰撞的時間極短。在此碰撞過程中，下列情況可能發生的是(　　)
A．小車、木塊、擺球的速度都發生變化，分別變為v1、v2、v3，滿足(M＋m0)v＝Mv1＋mv1＋m0v3
B．擺球的速度不變，小車和木塊的速度分別變為v1和v2，滿足Mv＝Mv1＋mv2
C．擺球的速度不變，小車和木塊的速度都變為u，滿足Mv＝(M＋m)u
D．在此碰撞過程中，擺球的速度最先發生變化
BC　[小車與木塊碰撞，且碰撞時間極短，因此相互作用只發生在木塊和小車之間，懸掛的擺球在水平方向未受到力的作用，故擺球在水平方向的動量未發生變化，即擺球的速度在小車與木塊碰撞過程中始終不變，由此可知A、D情況不可能發生；選項B的說法對應于小車和木塊碰撞后又分開的情況，選項C的說法對應于小車和木塊碰撞后粘在一起的情況，兩種情況都有可能發生。故B、C正確，A、D錯誤。]
[跟進訓練]
1．(雙選)在兩個物體碰撞前后，下列說法可以成立的是(　　)
A．作用后的總機械能比作用前小，但總動量守恒
B．作用前后總動量均為零，但總動能守恒
C．作用前后總動能為零，而總動量不為零
D．作用前后總動量守恒，而系統內各物體的動量增量的總和不為零
AB　[選項A是非彈性碰撞，成立；選項B是彈性碰撞，成立；選項C不成立，因為總動能為零其總動量一定為零；選項D不成立，因為總動量守恒則系統所受合外力一定為零，若系統內各物體的動量增量總和不為零的話，則系統一定受到外力的作用。]
考點2　碰撞的判斷和碰撞模型
1．碰撞的判斷
在所給條件不足的情況下，碰撞結果有各種可能，但不管哪種結果必須同時滿足以下三條：
(1)系統動量守恒，即p1＋p2＝p′1＋p′2。
(2)系統動能不增加，即
Ekl＋Ek2≥E′kl＋E′k2或。
(3)符合實際情況，如果碰前兩物體同向運動，則后面的物體速度必大于前面物體的速度，即v后＞v前，否則無法實現碰撞。碰撞后，原來在前的物體的速度一定增大，且原來在前的物體速度大于或等于原來在后的物體的速度，即v′前≥v′后，否則碰撞沒有結束。如果碰前兩物體相向運動，則碰后兩物體的運動方向不可能都不改變，除非兩物體碰撞后速度均為零。
2．常見類碰撞模型
模型分類 特點及滿足的規律
彈簧模型 (水平面光滑) 彈簧處于最長(最短)狀態時兩物體速度相等，彈性勢能最大，系統滿足動量守恒、機械能守恒： m1v0＝(m1＋m2)v共 ＝＋Epm 彈簧再次處于原長時彈性勢能為零，系統滿足動量守恒、機械能守恒： m1v0＝m1v1＋m2v2 ＝ v1＝v0 v2＝v0
子彈打木塊模型 (水平面光滑) 系統動量守恒、能量守恒： mv0＝(m＋M)v fL相對＝－(M＋m)v2 無論木塊固定或者放于光滑水平面上，一般認為子彈受阻力恒定且相等，子彈完全從木塊中穿出時系統產生的熱量相等
(水平面光滑) 最高點：m與M具有共同水平速度，且m不可能從此處離開軌道，系統水平方向動量守恒、系統機械能守恒： mv0＝(M＋m)v共 ＝＋mgh 最低點：m與M分離點。水平方向動量守恒、系統機械能守恒： mv0＝mv1＋Mv2 ＝
角度1　碰撞的可能分析
【典例2】　如圖所示，兩個小球A、B在光滑水平地面上相向運動，它們的質量分別為mA＝4 kg，mB＝2 kg，速度分別是vA＝3 m/s(設為正方向)，vB＝－3 m/s。則它們發生正碰后，速度的可能值分別為(　　)
A．vA′＝1 m/s，vB′＝1 m/s
B．vA′＝－3 m/s，vB′＝9 m/s
C．vA′＝2 m/s，vB′＝－1 m/s
D．vA′＝－1 m/s，vB′＝－5 m/s
A　[以小球A的初速度方向為正方向，碰前系統總動量為p＝＝4×3 kg·m/s＋2×(－3)kg·m/s＝6 kg·m/s，碰前總動能為Ek＝＝×4×32 J＋×2×32 J＝27 J。如果vA′＝1 m/s、vB′＝1 m/s，碰后系統總動量為6 kg·m/s，總動能為3 J，系統動量守恒、動能不增加，符合實際，故A正確；如果vA′＝－3 m/s、vB′＝9 m/s，碰后系統總動量為6 kg·m/s，總動能為 99 J，系統動量守恒，動能增加，故B錯誤；如果vA′＝2 m/s、vB′＝－1 m/s，碰后系統總動量為6 kg·m/s，總動能為9 J，系統動量守恒，動能不增加，碰后兩球速度方向都不發生改變，會再次發生碰撞，與實際不符，故C錯誤；如果vA′＝－1 m/s、vB′＝－5 m/s，碰后總動量為－14 kg·m/s，系統動量不守恒，故D錯誤。]
角度2　碰撞類型
【典例3】　[鏈接教材P25例題]如圖所示，一輕質彈簧兩端連著物體A和B，放在光滑的水平面上，物體A被水平速度為v0的子彈擊中，子彈嵌在其中，已知A的質量是B的質量的，子彈的質量是B的質量的。求：
(1)A物體獲得的最大速度；
(2)彈簧壓縮量最大時B物體的速度。
[思路點撥]　(1)子彈打擊物體A瞬間，子彈與物體A組成的系統動量守恒。(2)彈簧壓縮量最大時，子彈、物體A和B及彈簧組成的系統有相同速度。
[解析]　設子彈的質量為m，則mB＝4m，mA＝3m。
(1)對子彈進入物體A的過程，由動量守恒得
mv0＝(m＋mA)v1
解得它們的共同速度，也是A的最大速度
v1＝＝。
(2)以子彈、物體A、物體B及彈簧組成的系統為研究對象，整個過程總動量守恒，當彈簧具有最大壓縮量時，它們的速度相等，由動量守恒定律得
mv0＝(m＋mA＋mB)v2
解得v2＝＝。
[答案]　(1)　(2)
　處理碰撞問題的幾個關鍵點
(1)選取動量守恒的系統：若有三個或更多個物體參與碰撞時，要合理選取所研究的系統。
(2)弄清碰撞的類型：彈性碰撞、完全非彈性碰撞還是其他非彈性碰撞。
(3)弄清碰撞過程中存在的關系：能量轉化關系、幾何關系、速度關系等。
【教材原題P25例題】　如圖1-33所示，打樁機重錘的質量為m1，從樁帽上方某高處由靜止開始沿豎直方向自由落下，打在質量為m2的鋼筋混凝土樁子上(包括樁帽)。錘與樁發生碰撞的時間極短，碰撞后二者以相同速度一起向下運動將樁打入地下。若碰撞前錘的速度為v0，求錘與樁所組成的系統碰撞后的動能及碰撞過程中損失的動能。
分析　錘與樁碰撞過程中，雖然錘與樁組成的系統受到重力和地對樁的阻力，合外力不為0，但因碰撞時間極短，二者相互作用的內力遠大于外力，系統的動量可視為守恒。碰撞后二者速度相同，屬于完全非彈性碰撞。可用動量守恒定律結合能量關系求解。
解　設錘與樁碰撞后的速度為v，選定豎直向下為正方向。由動量守恒定律得
m1v0＝(m1＋m2)v
所以
v＝v0
碰撞后該系統的動能
Ek＝(m1＋m2)v2＝
系統損失的動能
E損＝－(m1＋m2)v2＝
[跟進訓練]
2．(角度1)(雙選)質量為m的小球A，沿光滑水平面以v0的速度與質量為2m的靜止小球B發生正碰，碰撞后，小球A的速度可能是(　　)
A．－v0　　　B．0　　　C．v0　　　D．v0
BC　[若兩球發生完全非彈性碰撞，則由動量守恒有mv0＝(m＋2m)v，解得v＝v0。若兩球發生彈性碰撞，則由動量守恒有mv0＝mv1＋2mv2，由能量關系有＝，聯立解得v1＝－v0，v2＝v0，則小球A的速度范圍為－v0≤v1≤v0，故選B、C。]
3．(角度2)如圖所示，光滑水平面上有一質量為M的滑塊，滑塊的左側是一光滑的圓弧，圓弧半徑為R＝1 m，質量為m的小球以速度v0向右運動沖上滑塊。已知M＝4m，g取10 m/s2，若小球恰好到達圓弧的上端，求：
(1)小球的初速度v0；
(2)滑塊獲得的最大速度。
[解析]　(1)當小球上升到滑塊上端時，小球與滑塊水平方向速度相同，設為v1，根據水平方向動量守恒有mv0＝(m＋M)v1。
因系統機械能守恒，所以根據機械能守恒定律有＝＋mgR，
聯立解得v0＝5 m/s。
(2)小球到達最高點以后返回的過程中，滑塊又做加速運動，當小球離開滑塊時滑塊的速度最大，設此時小球的速度為v2，滑塊的速度為v3，研究小球開始沖上滑塊一直到離開滑塊的過程，根據水平方向動量守恒定律和機械能守恒定律有
mv0＝＝
解得v3＝2 m/s。
[答案]　(1)5 m/s　(2)2 m/s
1．(雙選)質量為1 kg的小球以4 m/s的速度與質量為2 kg的靜止小球正碰，關于碰后的速度v1′和v2′，下面可能正確的是(　　)
A．v1′＝v2′＝ m/s
B．v1′＝3 m/s，v2′＝0.5 m/s
C．v1′＝1 m/s，v2′＝3 m/s
D．v1′＝－1 m/s，v2′＝2.5 m/s
AD　[由碰撞前、后總動量守恒m1v1＝m1v1′＋m2v2′和能量不增加Ek≥Ek1＋Ek2驗證A、B、D三項皆有可能；但B項碰后后面小球的速度大于前面小球的速度，會發生第二次碰撞，不符合實際，所以A、D兩項有可能。]
2．(雙選)在光滑水平面上，兩球沿球心連線以相等速率相向而行，并發生碰撞，下列現象可能的是(　　)
A．若兩球質量相等，碰后以某一相等速率互相分開
B．若兩球質量相等，碰后以某一相等速率同向而行
C．若兩球質量不等，碰后以某一相等速率互相分開
D．若兩球質量不等，碰后以某一相等速率同向而行
AD　[由題意知，碰撞前、后兩球組成的系統總動量守恒。對選項A，碰撞前兩球總動量為零，碰撞后總動量也為零，動量守恒，所以選項A是可能的；對選項B，若碰撞后兩球以某一相等速率同向而行，則兩球的總動量不為零，而碰撞前總動量為零，所以選項B不可能；對選項C，碰撞前系統總動量與質量較大的球方向相同，若碰后以某一相等速度反向而行，總動量也與質量較大的球方向相同，而此方向與碰撞前相反，違反了動量守恒定律，選項C不可能；對選項D，碰撞前總動量不為零，碰撞后總動量也不為零，方向可能相同，所以選項D是可能的。故正確選項為A、D。]
3．(雙選)小車AB靜置于光滑的水平面上，A端固定一個輕質彈簧，B端粘有橡皮泥，AB車質量為M，長為L。質量為m的木塊C放在小車上，用細繩連接于小車的A端并使彈簧壓縮，開始時AB與C都處于靜止狀態，如圖所示。當突然燒斷細繩，彈簧被釋放，使木塊C向B端沖去，并跟B端橡皮泥粘在一起，以下說法中正確的是(　　)
A．如果AB車內表面光滑，整個系統任何時刻機械能都守恒
B．當木塊對地運動速度為v時，小車對地運動速度為v
C．整個系統最后靜止
D．木塊的位移一定大于小車的位移
BC　[因水平地面光滑，小車、木塊、彈簧組成的系統動量守恒，有mv＝Mv′，ms1＝Ms2，因不知m、M的大小關系，故無法比較s1、s2的大小關系，但當木塊C與小車B端碰撞后，系統總動量為零，整個系統又處于靜止狀態，故B、C正確，D錯誤；因木塊C與小車B端的碰撞為完全非彈性碰撞，機械能損失最大，故A錯誤。]
4．(新情境，以“反導攔截”為背景，考查碰撞問題)2024年11月12日至17日，第十五屆中國國際航空航天博覽會在珠海國際航展中心舉行。一款用于對彈道導彈類目標實施區域攔截的武器系統——紅旗19第一次亮相。
問題：碰撞和爆炸過程中機械能變化有什么區別？
提示：碰撞過程中機械能不增加，爆炸過程中機械能一定增加，有其他形式的能轉化為機械能。
回歸本節知識，自我完成以下問題：
1．彈性碰撞有什么特點？
提示：機械能守恒，動量守恒。
2．完全非彈性碰撞有什么特點？
提示：動量守恒，機械能損失最大。
3．碰撞中為什么動量守恒？
提示：碰撞過程中，內力遠大于外力，系統動量守恒。
課時分層作業(三)　彈性碰撞與非彈性碰撞
?題組一　碰撞過程的特點
1．汽車A和汽車B靜止在水平地面上，某時刻汽車A開始倒車，結果汽車A撞到了停在它正后方的汽車B，汽車B上裝有智能記錄儀，能夠測量并記錄汽車B前面的物體相對于汽車B自身的速度。在本次碰撞中，如果汽車B的智能記錄儀測得碰撞前瞬間汽車A的速度大小為v0，已知汽車A的質量是汽車B質量的2倍，碰撞過程可視為彈性碰撞，則碰后瞬間汽車A相對于地面的速度大小為(　　)
A．v0　　　　　 B．v0　　　
C．v0　　　 D．v0
C　[兩汽車發生彈性碰撞，碰撞過程系統動量守恒、機械能守恒，設碰撞后汽車A、B的速度分別為v1、v2，以碰撞前汽車A的速度方向為正方向，設汽車B的質量為m，則A的質量為2m，由動量守恒定律得2mv0＝2mv1＋mv2，由機械能守恒定律得＝，解得v1＝v0，選項C正確。]
2．A、B兩物體發生正碰，碰撞前后物體A、B都在同一直線上運動，其位移－時間圖像如圖所示。由圖可知，物體A、B的質量之比為(　　)
A．1∶1　　 B．1∶2
C．1∶3 D．3∶1
C　[由題圖知：碰前vA＝4 m/s，vB＝0。碰后vA′＝vB′＝1 m/s，由動量守恒定律可知mAvA＋0＝mAvA′＋mBvB′，解得mB＝3mA，故選項C正確。]
3．如圖所示，質量相等的木塊A、B之間用輕質彈簧相連，置于光滑水平面上，A靠在固定的擋板C旁。今用水平力F壓B，使彈簧被壓縮到一定程度后保持靜止。突然撤去壓力F，彈簧第一次恢復原長時，B的速度為v。那么當彈簧第二次恢復原長時，A、B的速度依次是(　　)
A．v和0　　　 B．0和v
C．和 D．－v和0
A　[當從彈簧第一次恢復原長時，B的速度為v，方向向右，之后A離開擋板C，設當彈簧第二次恢復原長時，A、B的速度分別為vA、vB，根據系統動量守恒和機械能守恒可得mBv＝mAvA＋mBvB，mBv2＝，解得vA＝v＝v，vB＝v＝0，故選項A正確。]
?題組二　碰撞的判斷和常見碰撞模型
4．(雙選)質量為m的小球A，沿光滑水平面以速度v0與質量為2m的靜止小球B發生正碰，碰撞后，小球A的動能變為原來的，那么小球B的速度可能是(　　)
A．v0　　 B．v0 C．v0 D．v0
AB　[要注意的是，兩球的碰撞不一定是彈性碰撞，A球碰后動能變為原來的，則其速度大小僅為原來的。兩球在光滑水平面上正碰，碰后A球的運動有兩種可能，繼續沿原方向運動或被反彈。當以A球原來的速度方向為正方向時，則v′A＝±v0，根據兩球碰撞前、后的總動量守恒，有mv0＋0＝m×＋2mv′B，mv0＋0＝m×＋2mv″B，解得v′B＝v0，v″B＝v0。由于碰撞過程中動能不能增加，即，將v0和v0代入上式均成立，故A、B正確。]
5．冰壺運動深受觀眾喜愛。運動員在某次冰壺比賽中進行了一次投擲，冰壺甲運動一段時間后與對方靜止的冰壺乙發生正碰，如圖所示。若兩冰壺質量相等，則碰后兩冰壺最終停止的位置，可能是圖中的(　　)
A　　　　　 　　　　　 B
C　　　　　　 　　　 　D
B　[兩冰壺碰撞過程動量守恒，兩冰壺發生正碰，由動量守恒定律可知，碰撞前后系統動量不變，兩冰壺的動量方向即速度方向不會偏離甲原來的方向，由圖示可知，選項A錯誤；如果兩冰壺發生彈性碰撞，碰撞過程動量守恒、機械能守恒，兩冰壺質量相等，碰撞后兩冰壺交換速度，甲靜止，乙的速度等于甲的速度，碰后乙做減速運動，最后停止，最終兩冰壺的位置如圖B所示，故選項B正確；兩冰壺碰撞后，甲的速度不可能大于乙的速度，所以碰后乙在前，甲在后，選項C錯誤；碰撞過程機械能不可能增大，兩冰壺質量相等，碰撞后甲的速度不可能大于乙的速度，碰撞后甲的位移不可能大于乙的位移，故選項D錯誤。]
6．(雙選)如圖所示，光滑水平面上有大小相同的A、B兩球在同一直線上相向運動，A、B兩球的質量分別為m和3m，A、B兩球發生正碰，碰撞后A球的速率是原來的兩倍，B球恰好靜止。則(　　)
A．碰撞前A、B兩球的速度大小之比為1∶1
B．碰撞前A、B兩球的速度大小之比為3∶2
C．A、B兩球發生的碰撞是彈性碰撞
D．A、B兩球發生的碰撞是非彈性碰撞
AC　[設向右為正方向，根據動量守恒定律有mv1－3mv2＝m(－2v1)，得v1∶v2＝1∶1，A正確，B錯誤；碰撞前系統動能為Ek＝＝，碰撞后系統動能為E′k＝m(2v1)2＝，可知，碰撞前后系統動能相等，A、B兩球發生的碰撞是彈性碰撞，C正確，D錯誤。]
7．三個質量分別為m1、m2、m3的小球，半徑相同，并排懸掛在長度相同的三根豎直繩上，彼此恰好相互接觸。現把質量為m1的小球拉開一些，如圖中虛線所示，然后釋放，經球1與球2、球2與球3相碰之后，三個球的動量相等。若各球間碰撞時均為彈性碰撞，且碰撞時間極短，不計空氣阻力，則m1∶m2∶m3為(　　)
A．6∶3∶1　　 B．2∶3∶1
C．2∶1∶1 D．3∶2∶1
A　[因為各球間發生的碰撞是彈性碰撞，則碰撞過程機械能守恒、動量守恒。因碰撞后三個小球的動量相等，設其為p，則總動量為3p。由機械能守恒得＝，即＝，滿足該條件的只有選項A。]
?題組三　碰撞綜合應用
8．質量為M的小車靜止于光滑的水平面上，小車的上表面和圓弧的軌道均光滑，如圖所示，一個質量為m的小球以速度v0水平沖上小車，當小球返回左端脫離小車時，下列說法錯誤的是(　　)
A．小球一定沿水平方向向左做平拋運動
B．小球可能沿水平方向向左做平拋運動
C．小球可能沿水平方向向右做平拋運動
D．小球可能做自由落體運動
A　[小球水平沖上小車又返回左端，到離開小車的整個過程中，系統機械能守恒，水平方向動量守恒，相當于小球與小車發生彈性碰撞的過程，如果mM，小球離開小車向右做平拋運動，所以A錯誤，B、C、D正確，故選A。]
9．(雙選)一次臺球練習中，某運動員用白球擊中了彩球，白球與靜止的彩球發生正碰，碰撞時間極短，碰后兩球在同一直線上運動，且臺球運動時所受桌面阻力保持不變，兩球質量均為m＝0.2 kg，碰撞后兩球的位移x與速度的平方v2的關系如圖所示，重力加速度g取。則下列說法正確的是(　　)
A．碰撞前白球的速度為1.64 m/s
B．碰撞過程中，白球對彩球的沖量大小為0.2 kg·m/s
C．碰撞過程中，系統有機械能轉化為內能
D．臺球所受桌面阻力為0.5 N
BC　[碰后白球速度v1＝0.8 m/s，彩球速度v2＝1.0 m/s，設碰撞前白球速度為v0，由動量守恒定律得mv0＝mv1＋mv2，解得v0＝1.8 m/s，故A錯誤；碰撞過程中，白球對彩球的沖量大小為I＝mv2＝0.2×1.0 kg·m/s＝0.2 kg·m/s，B正確；由于，故碰撞過程中，系統有機械能轉化為內能，C正確；由運動學知識可知a＝＝ m/s2＝0.25 m/s2，故阻力為f＝ma＝0.05 N，故D錯誤。]
10．如圖所示，質量為m的A球在水平面上靜止放置，質量為2m的B球向左運動速度大小為v0，B球與A球碰撞且無機械能損失，碰后A球速度大小為v1，B球的速度大小為v2，碰后相對速度與碰前相對速度的比值定義為恢復系數e＝，下列選項正確的是(　　)
A．e＝1　　 B．e＝
C．e＝ D．e＝
A　[兩球碰撞過程中，組成的系統動量守恒，碰撞為彈性碰撞。以B球的初速度方向為正方向，根據動量守恒定律可知，2mv0＝mv1＋2mv2，根據機械能守恒定律可知＝，解得v1＝v0，v2＝v0，恢復系數e＝＝1，選項A正確，B、C、D錯誤。]
11．用一個半球形容器和三個小球可以進行碰撞實驗。已知容器內側面光滑，半徑為R。三個質量分別為m1、m2、m3的小球1、2、3，半徑相同且可視為質點，自左向右依次靜置于容器底部的同一直線上且彼此相互接觸。若將小球1移至左側離容器底高h處由靜止釋放，如圖所示。各小球間的碰撞時間極短且碰撞時無機械能損失。小球1與2、2與3碰后，球1停在O點正下方，球2上升的最大高度為R，球3恰能滑出容器，則三個小球的質量之比為(　　)
A．2∶2∶1　　 B．3∶3∶1
C．4∶4∶1 D．3∶2∶1
B　[碰撞前對球1的下滑過程，由機械能守恒定律得m1gh＝，對于碰撞過程，取向右為正方向，水平方向動量守恒得m1v1＝m2v2＋m3v3，由機械能守恒定律得＝，碰撞后，對球2，根據機械能守恒定律有m2g·R＝，對球3，根據機械能守恒定律有m3gR＝，聯立解得m1∶m2∶m3＝3∶3∶1，選項B正確。]
12．如圖所示，三個質量相同的滑塊A、B、C，間隔相等地靜置于同一水平直軌道上。現給滑塊A向右的初速度v0，一段時間后A與B發生碰撞，碰后A、B分別以v0、v0的速度向右運動，B再與C發生碰撞，碰后B、C粘在一起向右運動。滑塊A、B與軌道間的動摩擦因數為同一恒定值，兩次碰撞時間均極短。求B、C碰后瞬間共同速度的大小。
[解析]　設滑塊的質量為m，A與B碰撞前A的速度為vA，由題意知，碰后A的速度vA′＝v0，B的速度vB＝，由動量守恒定律得
mvA＝mvA′＋mvB
設碰撞前A克服軌道摩擦力所做的功為WA，由功能關系得WA＝
設B與C碰撞前B的速度為vB′，B克服軌道摩擦力所做的功為WB，由功能關系得
WB＝－mvB′2
根據題意可知WA＝WB
設B、C碰后瞬間共同速度的大小為v，由動量守恒定律得
mvB′＝2mv
聯立并代入數據解得v＝v0。
[答案]　v0
13．如圖所示，質量為3m的木板靜止在光滑的水平面上，一個質量為2m的物塊(可視為質點)，靜止在木板上的A端，已知物塊與木板間的動摩擦因數為μ。現有一質量為m的子彈(可視為質點)以初速度v0水平向右射入物塊并穿出，已知子彈穿出物塊時的速度為，子彈穿過物塊的時間極短，不計空氣阻力，重力加速度為g。
(1)求子彈穿出物塊時，物塊的速度大小；
(2)子彈穿出物塊后，為了保證物塊不從木板的B端滑出，木板的長度至少多大？
[解析]　(1)設子彈穿過物塊時物塊的速度為v1，對子彈和物塊組成的系統，由動量守恒定律得
mv0＝m＋2mv1
解得v1＝。
(2)設物塊和木板達到的共同速度為v2時，物塊剛好到達木板B端，這樣板的長度最小為L，對物塊和木板組成的系統，由動量守恒得2mv1＝5mv2
此過程系統摩擦生熱Q＝2μmgL
由能量守恒定律得2μmgL＝
代入數據解得L＝。
[答案]　(1)
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