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第3節(jié)　單擺
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　
1．知道單擺的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
2．通過實(shí)驗(yàn)，探究單擺的周期與擺長(zhǎng)的定量關(guān)系，掌握單擺的周期公式。
3．會(huì)用單擺周期公式測(cè)定重力加速度。
4．能夠利用單擺周期公式解釋與單擺有關(guān)的現(xiàn)象。
知識(shí)點(diǎn)一　單擺的振動(dòng)
1．單擺模型
把一根不能伸長(zhǎng)的細(xì)線上端固定，下端拴一個(gè)小球，線的________和球的________可以忽略不計(jì)，這種裝置叫作單擺。
2．單擺的回復(fù)力
(1)回復(fù)力的來源：擺球的重力沿圓弧切線方向的________。
(2)回復(fù)力的特點(diǎn)：在擺角很小時(shí)(通常θ<________)，單擺所受的回復(fù)力大小與擺球位移大小成正比，方向與擺球位移方向相反，即F＝________。
(3)運(yùn)動(dòng)規(guī)律
單擺在擺角很小的情況下可近似看作________運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)圖像遵循正弦函數(shù)規(guī)律。
　單擺的回復(fù)力不是擺球所受到的合力。
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)單擺模型中對(duì)細(xì)線的要求是細(xì)線的伸縮可忽略，質(zhì)量可忽略。 (　　)
(2)單擺模型中對(duì)小球的要求是密度較大，其直徑與線的長(zhǎng)度相比可忽略。 (　　)
(3)單擺在任何情況下的運(yùn)動(dòng)都是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 (　　)
知識(shí)點(diǎn)二　單擺的周期
1．實(shí)驗(yàn)探究
(1)探究方法：________法。
(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)論
①單擺振動(dòng)的周期與擺球質(zhì)量________。
②擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，周期________；擺長(zhǎng)越短，周期________。
2．周期公式
(1)公式：T＝________。
(2)單擺的等時(shí)性：?jiǎn)螖[的周期與振幅________。
　單擺的擺長(zhǎng)是懸點(diǎn)到小球球心的距離。
2．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)擺球質(zhì)量越大，單擺的周期越長(zhǎng)。 (　　)
(2)擺動(dòng)幅度越大，單擺的周期越長(zhǎng)。 (　　)
(3)擺線越長(zhǎng)，單擺的周期越長(zhǎng)。 (　　)
3．填空
如果擺鐘走慢了，你應(yīng)該把擺長(zhǎng)調(diào)________(選填“長(zhǎng)些”或“短些”)。
如圖所示，一根細(xì)線上端固定，下端連接一個(gè)金屬小球，用手使小球偏離豎直方向一個(gè)夾角，然后釋放。
討論：
(1)小球受到哪些力的作用？
(2)向心力和回復(fù)力分別是由什么力提供的？
(3)若增大小球質(zhì)量，小球完成一次全振動(dòng)的時(shí)間怎么變？
考點(diǎn)1　單擺模型的回復(fù)力及運(yùn)動(dòng)情況
1．單擺的回復(fù)力
(1)單擺受力：如圖所示，受細(xì)線拉力和重力作用。
(2)向心力來源：細(xì)線拉力和重力沿徑向的分力的合力。
(3)回復(fù)力來源：重力沿圓弧切線方向的分力F提供了使擺球振動(dòng)的回復(fù)力。
2．單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的推證
在偏角很小時(shí)，sin θ≈，又回復(fù)力F＝－mg sin θ，所以單擺的回復(fù)力為F＝－x(式中x表示擺球偏離平衡位置的位移，l表示單擺的擺長(zhǎng)，負(fù)號(hào)表示回復(fù)力F與位移x的方向相反)，由此知回復(fù)力符合F＝－kx，單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
【典例1】　關(guān)于單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是(　　)
A．經(jīng)過平衡位置時(shí)所受的合力為零
B．經(jīng)過平衡位置時(shí)所受的回復(fù)力為零
C．回復(fù)力是重力和擺線拉力的合力
D．回復(fù)力是重力沿圓弧半徑方向的分力
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　單擺中的回復(fù)力
(1)單擺振動(dòng)中的回復(fù)力不是它受到的合外力，而是重力沿圓弧切線方向的一個(gè)分力。單擺振動(dòng)過程中有向心力，這是與彈簧振子的不同之處。
(2)在最大位移處時(shí)，因速度為零，所以向心力為零，故此時(shí)合外力也就是回復(fù)力。
(3)在平衡位置處時(shí)，由于速度不為零，故向心力也不為零，即此時(shí)回復(fù)力為零，但合外力不為零。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．關(guān)于單擺的描述，正確的是(　　)
A．單擺的運(yùn)動(dòng)一定是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
B．單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力與繩子拉力的合力
C．單擺運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過平衡位置時(shí)達(dá)到平衡狀態(tài)
D．單擺經(jīng)過平衡位置時(shí)回復(fù)力為零
考點(diǎn)2　單擺的周期
1．單擺的周期公式：T＝2π。
2．對(duì)周期公式的理解
(1)單擺的周期公式在單擺偏角很小時(shí)成立(偏角為5°時(shí)，由周期公式算出的周期和精確值相差0.01%)。
(2)公式中l(wèi)是擺長(zhǎng)，即懸點(diǎn)到擺球球心的距離，即l＝l線＋r球。
(3)公式中g(shù)是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。
(4)周期T只與l和g有關(guān)，與擺球質(zhì)量m及振幅無關(guān)。所以單擺的周期也叫固有周期。
3．?dāng)[長(zhǎng)的確定
(1)圖(a)中，甲、乙在垂直紙面方向擺起來效果是相同的，所以甲擺的擺長(zhǎng)為l sin α，這就是等效擺長(zhǎng)，其周期T＝2π。圖(b)中，乙在垂直紙面方向擺動(dòng)時(shí)，與甲擺等效；乙在紙面內(nèi)小角度擺動(dòng)時(shí)，與丙擺等效。
(a)　　　　　　　　(b)　　　 　　　(c)
(2)如圖(c)所示，小球在光滑的半徑較大的圓周上做小幅度(θ很小)的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，可等效為單擺，小球在A、B間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期T＝2π。
4．公式中重力加速度g的變化與等效
(1)若單擺系統(tǒng)只處在重力場(chǎng)中且處于靜止?fàn)顟B(tài)，g由單擺所處的空間位置決定，即g＝，式中R為物體到地心的距離，M為地球的質(zhì)量，g隨所在位置的高度的變化而變化。另外，在不同星球上M和R也是變化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只是在地球表面附近時(shí)的取值。
(2)等效重力加速度：若單擺系統(tǒng)處在非平衡狀態(tài)(如加速、減速、完全失重狀態(tài))，則一般情況下，g值等于擺球相對(duì)靜止在自己的平衡位置時(shí)，擺線所受的張力與擺球質(zhì)量的比值。如圖所示，球靜止在平衡位置O時(shí)，F(xiàn)T＝mg sin θ，等效重力加速度g′＝＝g sin θ。
角度1　單擺的周期公式
【典例2】　一個(gè)單擺的長(zhǎng)為l，在其懸點(diǎn)O的正下方0.19l處有一釘子P(如圖所示)，現(xiàn)將擺球向左拉開到A，使擺線偏角θ＜5°，放手后使其擺動(dòng)，重力加速度為g，求出單擺的振動(dòng)周期。
[思路點(diǎn)撥]　(1)左邊和右邊擺長(zhǎng)不同。
(2)單擺的周期等于兩個(gè)擺周期之和的一半。
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角度2　單擺振動(dòng)的圖像
【典例3】　(雙選)如圖甲所示是單擺振動(dòng)的情形，O是它的平衡位置，M、N是擺球所能到達(dá)的最遠(yuǎn)位置。設(shè)擺球向右運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较颍鐖D乙所示是這個(gè)單擺的振動(dòng)圖像。已知當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮＝10 m/s2，取π2＝10，下列說法正確的是(　　)
A．單擺的振幅是0.14 m，振動(dòng)的頻率是0.5 Hz
B．振動(dòng)的表達(dá)式為x＝0.14 sin πt(m)
C．t＝1.5 s時(shí)擺球在M點(diǎn)
D．單擺的擺長(zhǎng)為1 m
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　求單擺周期的方法
(1)明確單擺的運(yùn)動(dòng)過程，看是否符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件。
(2)在運(yùn)用T＝2π時(shí)，要注意l和g是否發(fā)生變化，如果發(fā)生變化，則分別求出不同l和g時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。
(3)改變單擺振動(dòng)周期的途徑
①改變單擺的擺長(zhǎng)。
②改變單擺的重力加速度(如改變單擺的位置或讓單擺失重或超重)。
(4)明確單擺振動(dòng)周期與單擺的質(zhì)量和振幅沒有任何關(guān)系。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(角度1)若單擺的擺長(zhǎng)不變，擺球的質(zhì)量由20 g增加為40 g，擺球離開平衡位置的最大角度由4°減為2°，則單擺振動(dòng)的(　　)
A．頻率不變，振幅不變
B．頻率不變，振幅改變
C．頻率改變，振幅不變
D．頻率改變，振幅改變
3．(角度2)圖1、2分別是甲、乙兩個(gè)單擺在同一位置處做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像，則下列說法中正確的是(　　)
A．甲、乙兩單擺的振幅之比為4∶1
B．t＝2 s時(shí)，甲單擺的重力勢(shì)能最大，乙單擺的動(dòng)能最小
C．甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比為4∶1
D．甲、乙兩單擺的擺球在最低點(diǎn)時(shí)，向心加速度大小一定不相等
1．(雙選)下列有關(guān)單擺運(yùn)動(dòng)過程中的受力，說法正確的是(　　)
A．單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力
B．單擺經(jīng)過平衡位置時(shí)合力提供向心力
C．單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是擺線拉力的一個(gè)分力
D．在擺角很小的情況下，單擺回復(fù)力符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)
2．(雙選)一單擺做小角度擺動(dòng)，其振動(dòng)圖像如圖所示，以下說法正確的是(　　)
A．t1時(shí)刻擺球速度為零，擺球的回復(fù)力最大
B．t2時(shí)刻擺球速度為零，懸線對(duì)它的拉力最小
C．t3時(shí)刻擺球速度為零，擺球的回復(fù)力最小
D．t4時(shí)刻擺球速度最大，懸線對(duì)它的拉力最大
3．(源自人教版教材改編)如圖所示為同一地點(diǎn)的兩單擺甲、乙的振動(dòng)圖像，下列說法正確的是 (　　)
A．甲擺的擺長(zhǎng)大于乙擺的擺長(zhǎng)
B．甲擺的頻率大于乙擺的頻率
C．在t＝0.5 s時(shí)，甲擺正經(jīng)過平衡位置向x軸正方向運(yùn)動(dòng)
D．在t＝1.0 s時(shí)，乙擺的速率大于甲擺的速率
4．(新情境題，以雙線擺為背景，考查單擺的周期公式)如圖所示的雙線擺，如果擺球大小不計(jì)，其擺線長(zhǎng)均為L(zhǎng)，線與天花板間的夾角為α，重力加速度為g，求：
(1)此雙線擺等效為單擺時(shí)的擺長(zhǎng)；
(2)當(dāng)小球垂直于紙面做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
回歸本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問題：
1．單擺的回復(fù)力由什么來提供？
2．單擺在偏角多大的條件下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)？
3．單擺的周期公式是什么？與什么因素有關(guān)？
9 / 9第3節(jié)　單擺
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．知道單擺的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。2．通過實(shí)驗(yàn)，探究單擺的周期與擺長(zhǎng)的定量關(guān)系，掌握單擺的周期公式。3．會(huì)用單擺周期公式測(cè)定重力加速度。4．能夠利用單擺周期公式解釋與單擺有關(guān)的現(xiàn)象。
知識(shí)點(diǎn)一　單擺的振動(dòng)
1．單擺模型
把一根不能伸長(zhǎng)的細(xì)線上端固定，下端拴一個(gè)小球，線的質(zhì)量和球的大小可以忽略不計(jì)，這種裝置叫作單擺。
2．單擺的回復(fù)力
(1)回復(fù)力的來源：擺球的重力沿圓弧切線方向的分力。
(2)回復(fù)力的特點(diǎn)：在擺角很小時(shí)(通常θ<5°)，單擺所受的回復(fù)力大小與擺球位移大小成正比，方向與擺球位移方向相反，即F＝－x。
(3)運(yùn)動(dòng)規(guī)律
單擺在擺角很小的情況下可近似看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)圖像遵循正弦函數(shù)規(guī)律。
　單擺的回復(fù)力不是擺球所受到的合力。
1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)單擺模型中對(duì)細(xì)線的要求是細(xì)線的伸縮可忽略，質(zhì)量可忽略。 (√)
(2)單擺模型中對(duì)小球的要求是密度較大，其直徑與線的長(zhǎng)度相比可忽略。 (√)
(3)單擺在任何情況下的運(yùn)動(dòng)都是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 (×)
知識(shí)點(diǎn)二　單擺的周期
1．實(shí)驗(yàn)探究
(1)探究方法：控制變量法。
(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)論
①單擺振動(dòng)的周期與擺球質(zhì)量無關(guān)。
②擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，周期越大；擺長(zhǎng)越短，周期越小。
2．周期公式
(1)公式：T＝2π。
(2)單擺的等時(shí)性：?jiǎn)螖[的周期與振幅無關(guān)。
　單擺的擺長(zhǎng)是懸點(diǎn)到小球球心的距離。
2．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)擺球質(zhì)量越大，單擺的周期越長(zhǎng)。 (×)
(2)擺動(dòng)幅度越大，單擺的周期越長(zhǎng)。 (×)
(3)擺線越長(zhǎng)，單擺的周期越長(zhǎng)。 (√)
3．填空
如果擺鐘走慢了，你應(yīng)該把擺長(zhǎng)調(diào)短些(選填“長(zhǎng)些”或“短些”)。
如圖所示，一根細(xì)線上端固定，下端連接一個(gè)金屬小球，用手使小球偏離豎直方向一個(gè)夾角，然后釋放。
討論：
(1)小球受到哪些力的作用？
(2)向心力和回復(fù)力分別是由什么力提供的？
(3)若增大小球質(zhì)量，小球完成一次全振動(dòng)的時(shí)間怎么變？
提示：(1)小球受重力和細(xì)線的拉力。
(2)細(xì)線的拉力和重力沿細(xì)線方向的分力的合力提供向心力。小球重力沿圓弧切線方向的分力提供回復(fù)力。
(3)不變。
考點(diǎn)1　單擺模型的回復(fù)力及運(yùn)動(dòng)情況
1．單擺的回復(fù)力
(1)單擺受力：如圖所示，受細(xì)線拉力和重力作用。
(2)向心力來源：細(xì)線拉力和重力沿徑向的分力的合力。
(3)回復(fù)力來源：重力沿圓弧切線方向的分力F提供了使擺球振動(dòng)的回復(fù)力。
2．單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的推證
在偏角很小時(shí)，sin θ≈，又回復(fù)力F＝－mg sin θ，所以單擺的回復(fù)力為F＝－x(式中x表示擺球偏離平衡位置的位移，l表示單擺的擺長(zhǎng)，負(fù)號(hào)表示回復(fù)力F與位移x的方向相反)，由此知回復(fù)力符合F＝－kx，單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
【典例1】　關(guān)于單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是(　　)
A．經(jīng)過平衡位置時(shí)所受的合力為零
B．經(jīng)過平衡位置時(shí)所受的回復(fù)力為零
C．回復(fù)力是重力和擺線拉力的合力
D．回復(fù)力是重力沿圓弧半徑方向的分力
B　[單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過平衡位置時(shí)，回復(fù)力為零，但所受的合力提供向心力，不為零，故A錯(cuò)誤，B正確；回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向的分力，故C、D錯(cuò)誤。故選B。]
　單擺中的回復(fù)力
(1)單擺振動(dòng)中的回復(fù)力不是它受到的合外力，而是重力沿圓弧切線方向的一個(gè)分力。單擺振動(dòng)過程中有向心力，這是與彈簧振子的不同之處。
(2)在最大位移處時(shí)，因速度為零，所以向心力為零，故此時(shí)合外力也就是回復(fù)力。
(3)在平衡位置處時(shí)，由于速度不為零，故向心力也不為零，即此時(shí)回復(fù)力為零，但合外力不為零。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．關(guān)于單擺的描述，正確的是(　　)
A．單擺的運(yùn)動(dòng)一定是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
B．單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力與繩子拉力的合力
C．單擺運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過平衡位置時(shí)達(dá)到平衡狀態(tài)
D．單擺經(jīng)過平衡位置時(shí)回復(fù)力為零
D　[當(dāng)單擺的偏角較小時(shí)單擺的運(yùn)動(dòng)才是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤；單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力在圓弧切線方向的分力提供的，故B錯(cuò)誤；單擺運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過平衡位置時(shí)有向心加速度，所以沒有達(dá)到平衡狀態(tài)，故C錯(cuò)誤；根據(jù)F＝－kx可知單擺經(jīng)過平衡位置時(shí)回復(fù)力為零，故D正確。]
考點(diǎn)2　單擺的周期
1．單擺的周期公式：T＝2π。
2．對(duì)周期公式的理解
(1)單擺的周期公式在單擺偏角很小時(shí)成立(偏角為5°時(shí)，由周期公式算出的周期和精確值相差0.01%)。
(2)公式中l(wèi)是擺長(zhǎng)，即懸點(diǎn)到擺球球心的距離，即l＝l線＋r球。
(3)公式中g(shù)是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。
(4)周期T只與l和g有關(guān)，與擺球質(zhì)量m及振幅無關(guān)。所以單擺的周期也叫固有周期。
3．?dāng)[長(zhǎng)的確定
(1)圖(a)中，甲、乙在垂直紙面方向擺起來效果是相同的，所以甲擺的擺長(zhǎng)為l sin α，這就是等效擺長(zhǎng)，其周期T＝2π。圖(b)中，乙在垂直紙面方向擺動(dòng)時(shí)，與甲擺等效；乙在紙面內(nèi)小角度擺動(dòng)時(shí)，與丙擺等效。
(a)　　　　　　　　(b)　　　 　　　(c)
(2)如圖(c)所示，小球在光滑的半徑較大的圓周上做小幅度(θ很小)的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，可等效為單擺，小球在A、B間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期T＝2π。
4．公式中重力加速度g的變化與等效
(1)若單擺系統(tǒng)只處在重力場(chǎng)中且處于靜止?fàn)顟B(tài)，g由單擺所處的空間位置決定，即g＝，式中R為物體到地心的距離，M為地球的質(zhì)量，g隨所在位置的高度的變化而變化。另外，在不同星球上M和R也是變化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只是在地球表面附近時(shí)的取值。
(2)等效重力加速度：若單擺系統(tǒng)處在非平衡狀態(tài)(如加速、減速、完全失重狀態(tài))，則一般情況下，g值等于擺球相對(duì)靜止在自己的平衡位置時(shí)，擺線所受的張力與擺球質(zhì)量的比值。如圖所示，球靜止在平衡位置O時(shí)，F(xiàn)T＝mg sin θ，等效重力加速度g′＝＝g sin θ。
角度1　單擺的周期公式
【典例2】　一個(gè)單擺的長(zhǎng)為l，在其懸點(diǎn)O的正下方0.19l處有一釘子P(如圖所示)，現(xiàn)將擺球向左拉開到A，使擺線偏角θ＜5°，放手后使其擺動(dòng)，重力加速度為g，求出單擺的振動(dòng)周期。
[思路點(diǎn)撥]　(1)左邊和右邊擺長(zhǎng)不同。
(2)單擺的周期等于兩個(gè)擺周期之和的一半。
[解析]　擺球釋放后到達(dá)右邊最高點(diǎn)B處，由機(jī)械能守恒可知B和A等高，則擺球始終做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。擺球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的擺長(zhǎng)有所變化，它的周期為兩個(gè)不同單擺的半周期的和
小球在左邊的周期為T1＝2π
小球在右邊的周期為T2＝2π
則整個(gè)單擺的周期為
T＝＝π＋π＝1.9π。
[答案]　1.9π
角度2　單擺振動(dòng)的圖像
【典例3】　(雙選)如圖甲所示是單擺振動(dòng)的情形，O是它的平衡位置，M、N是擺球所能到達(dá)的最遠(yuǎn)位置。設(shè)擺球向右運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较颍鐖D乙所示是這個(gè)單擺的振動(dòng)圖像。已知當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮＝10 m/s2，取π2＝10，下列說法正確的是(　　)
A．單擺的振幅是0.14 m，振動(dòng)的頻率是0.5 Hz
B．振動(dòng)的表達(dá)式為x＝0.14 sin πt(m)
C．t＝1.5 s時(shí)擺球在M點(diǎn)
D．單擺的擺長(zhǎng)為1 m
CD　[根據(jù)題圖乙所示單擺的振動(dòng)圖像可知，該單擺的振幅、頻率分別為A＝0.07 m，f＝＝ Hz＝0.5 Hz，故A錯(cuò)誤；根據(jù)單擺的振動(dòng)表達(dá)式x＝A sin ωt，其中ω＝＝ rad/s＝π rad/s，代入可得x＝0.07sin πt(m)，故B錯(cuò)誤；根據(jù)題意，擺球向右運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较颍鴗＝1.5 s時(shí)擺球在負(fù)向最大位移處，因此可知，t＝1.5 s時(shí)擺球在M點(diǎn)，故C正確；設(shè)該單擺的擺長(zhǎng)為L(zhǎng)，根據(jù)單擺的周期公式T＝2π，代入數(shù)據(jù)可得L＝＝ m＝1 m，故D正確。故選CD。]
　求單擺周期的方法
(1)明確單擺的運(yùn)動(dòng)過程，看是否符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件。
(2)在運(yùn)用T＝2π時(shí)，要注意l和g是否發(fā)生變化，如果發(fā)生變化，則分別求出不同l和g時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。
(3)改變單擺振動(dòng)周期的途徑
①改變單擺的擺長(zhǎng)。
②改變單擺的重力加速度(如改變單擺的位置或讓單擺失重或超重)。
(4)明確單擺振動(dòng)周期與單擺的質(zhì)量和振幅沒有任何關(guān)系。
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(角度1)若單擺的擺長(zhǎng)不變，擺球的質(zhì)量由20 g增加為40 g，擺球離開平衡位置的最大角度由4°減為2°，則單擺振動(dòng)的(　　)
A．頻率不變，振幅不變　 B．頻率不變，振幅改變
C．頻率改變，振幅不變 D．頻率改變，振幅改變
B　[單擺的周期公式為T＝2π，與擺球的質(zhì)量和擺角的大小無關(guān)，所以周期不變，頻率也不變，擺角減小，則振幅減小，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤。]
3．(角度2)圖1、2分別是甲、乙兩個(gè)單擺在同一位置處做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像，則下列說法中正確的是(　　)
A．甲、乙兩單擺的振幅之比為4∶1
B．t＝2 s時(shí)，甲單擺的重力勢(shì)能最大，乙單擺的動(dòng)能最小
C．甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比為4∶1
D．甲、乙兩單擺的擺球在最低點(diǎn)時(shí)，向心加速度大小一定不相等
D　[甲、乙兩單擺的振幅分別為4 cm和2 cm，則振幅之比為2∶1，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；t＝2 s時(shí)，甲單擺在平衡位置，則重力勢(shì)能不為最大，乙單擺在最高點(diǎn)，則動(dòng)能最小，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；甲、乙兩單擺的周期之比為1∶2，根據(jù)T＝2π可知，擺長(zhǎng)之比為1∶4，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；設(shè)擺球擺動(dòng)的最大偏角為θ，由mgl(1－cos θ)＝mv2及a＝可得，擺球在最低點(diǎn)時(shí)向心加速度a＝2g(1－cos θ)，甲擺振幅較大，擺長(zhǎng)較小，則甲擺的擺角θ較大，所以a甲＞a乙，選項(xiàng)D正確。故選D。]
1．(雙選)下列有關(guān)單擺運(yùn)動(dòng)過程中的受力，說法正確的是(　　)
A．單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力
B．單擺經(jīng)過平衡位置時(shí)合力提供向心力
C．單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是擺線拉力的一個(gè)分力
D．在擺角很小的情況下，單擺回復(fù)力符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)
BD　[單擺經(jīng)過平衡位置時(shí)，重力和擺線拉力的合力提供向心力，B正確；單擺的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向的一個(gè)分力，而不是重力，也不是擺線拉力的分力，A、C錯(cuò)誤；當(dāng)擺角θ＜5°時(shí)，單擺回復(fù)力符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，D正確。]
2．(雙選)一單擺做小角度擺動(dòng)，其振動(dòng)圖像如圖所示，以下說法正確的是(　　)
A．t1時(shí)刻擺球速度為零，擺球的回復(fù)力最大
B．t2時(shí)刻擺球速度為零，懸線對(duì)它的拉力最小
C．t3時(shí)刻擺球速度為零，擺球的回復(fù)力最小
D．t4時(shí)刻擺球速度最大，懸線對(duì)它的拉力最大
AD　[由振動(dòng)圖像知，t1和t3時(shí)刻擺球偏離平衡位置的位移最大，此時(shí)擺球的速度為零，擺球的回復(fù)力最大，A正確，C錯(cuò)誤；t2和t4時(shí)刻擺球位移為零，正在通過平衡位置，速度最大，由于擺球做圓周運(yùn)動(dòng)(一部分)，由牛頓第二定律得出懸線對(duì)擺球拉力最大，D正確，B錯(cuò)誤。]
3．(源自人教版教材改編)如圖所示為同一地點(diǎn)的兩單擺甲、乙的振動(dòng)圖像，下列說法正確的是 (　　)
A．甲擺的擺長(zhǎng)大于乙擺的擺長(zhǎng)
B．甲擺的頻率大于乙擺的頻率
C．在t＝0.5 s時(shí)，甲擺正經(jīng)過平衡位置向x軸正方向運(yùn)動(dòng)
D．在t＝1.0 s時(shí)，乙擺的速率大于甲擺的速率
D　[由題圖可知，甲擺的周期等于乙擺的周期，則甲擺的頻率等于乙擺的頻率，B錯(cuò)誤；根據(jù)單擺周期公式T＝2π，可得擺長(zhǎng)L＝，由于兩擺的周期相同，則甲擺的擺長(zhǎng)等于乙擺的擺長(zhǎng)，A錯(cuò)誤；在t＝0.5 s時(shí)，甲擺正經(jīng)過平衡位置向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，C錯(cuò)誤；在t＝1.0 s時(shí)，乙擺在平衡位置，此時(shí)乙擺速率最大，甲擺在離平衡位置最遠(yuǎn)處，則此時(shí)甲擺的速率為零，易知此時(shí)乙擺的速率大于甲擺的速率，D正確。]
4．(新情境題，以雙線擺為背景，考查單擺的周期公式)如圖所示的雙線擺，如果擺球大小不計(jì)，其擺線長(zhǎng)均為L(zhǎng)，線與天花板間的夾角為α，重力加速度為g，求：
(1)此雙線擺等效為單擺時(shí)的擺長(zhǎng)；
(2)當(dāng)小球垂直于紙面做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期。
[解析]　(1)擺球垂直紙面做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，由題圖可知此雙線擺等效為單擺時(shí)的擺長(zhǎng)是l＝L sin α。
(2)根據(jù)單擺的振動(dòng)周期T＝2π可得擺球垂直紙面做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為
T＝2π。
[答案]　(1)L sin α　(2)2π
回歸本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問題：
1．單擺的回復(fù)力由什么來提供？
提示：重力G沿圓弧切線方向的分力mg sin θ提供單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力。
2．單擺在偏角多大的條件下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)？
提示：偏角很小，通常θ＜5°。
3．單擺的周期公式是什么？與什么因素有關(guān)？
提示：T＝2π。與擺長(zhǎng)l和重力加速度g有關(guān)。
課時(shí)分層作業(yè)(六)　單擺
?題組一　單擺及其受力、運(yùn)動(dòng)分析
1．在如圖所示的裝置中，可視為單擺的是(　　)
A　　　 　B　　　　　C　　　　　D
A　[單擺的懸線要求無彈性且粗細(xì)、質(zhì)量可忽略，擺球的直徑與懸線長(zhǎng)度相比可忽略，故A對(duì)，B、C錯(cuò)；懸點(diǎn)必須固定，故D錯(cuò)。]
2．關(guān)于單擺，下列說法正確的是(　　)
A．?dāng)[球受到的回復(fù)力方向總是指向平衡位置
B．?dāng)[球受到的回復(fù)力是它所受的合力
C．?dāng)[球經(jīng)過平衡位置時(shí)，所受的合力為零
D．?dāng)[角很小時(shí)，擺球所受合力的大小跟擺球相對(duì)于平衡位置的位移大小成正比
A　[回復(fù)力是使擺球回到平衡位置的力，其方向總是指向平衡位置，A選項(xiàng)正確；擺球所受的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向的分力，不是擺球所受的合力，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)，回復(fù)力為零，但由于擺球做圓周運(yùn)動(dòng)，有向心力，合力不為零，方向指向懸點(diǎn)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；擺角很小時(shí)，回復(fù)力與擺球相對(duì)于平衡位置的位移大小成正比，但合力沒有此關(guān)系，D選項(xiàng)錯(cuò)誤。]
3．(雙選)如圖所示，對(duì)于做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的單擺，當(dāng)所受回復(fù)力逐漸增大時(shí)，隨之變小的物理量是(　　)
A．?dāng)[線上的張力
B．?dāng)[球的振幅
C．?dāng)[球的重力勢(shì)能
D．?dāng)[球的動(dòng)能
AD　[回復(fù)力逐漸增大時(shí)，擺球的重力沿切線方向的分力增大，速度變小，動(dòng)能變小，重力勢(shì)能增大，向心力減小，張力減小，振幅不變。故選AD。]
4．有一個(gè)正在擺動(dòng)的秒擺(T＝2 s)，若取擺球正從平衡位置向左運(yùn)動(dòng)時(shí)開始計(jì)時(shí)，那么當(dāng)t＝1.6 s時(shí)，以下對(duì)擺球的運(yùn)動(dòng)情況及回復(fù)力變化情況正確的是(　　)
A．正在向左做減速運(yùn)動(dòng)，回復(fù)力正在增大
B．正在向右做減速運(yùn)動(dòng)，回復(fù)力正在增大
C．正在向右做加速運(yùn)動(dòng)，回復(fù)力正在減小
D．正在向左做加速運(yùn)動(dòng)，回復(fù)力正在減小
D　[秒擺的周期為T＝2 s，取擺球正從平衡位置向左運(yùn)動(dòng)時(shí)開始計(jì)時(shí)，當(dāng)t＝1.6 s時(shí)，即T?題組二　單擺的周期
5．發(fā)生下述哪一種情況時(shí)，單擺周期會(huì)增大(　　)
A．增大擺球質(zhì)量　　　 B．縮短擺長(zhǎng)
C．減小單擺振幅 D．將單擺由山下移到山頂
D　[由單擺的周期公式T＝2π可知，g減小時(shí)周期會(huì)變大，D正確。]
6．將單擺和彈簧振子都放在豎直向上做勻加速運(yùn)動(dòng)的電梯中，則(　　)
A．兩者的振動(dòng)周期都不變
B．兩者的振動(dòng)周期都變小
C．單擺的振動(dòng)周期變小，彈簧振子的振動(dòng)周期不變
D．單擺的振動(dòng)周期變小，彈簧振子的振動(dòng)周期變大
C　[彈簧振子的振動(dòng)周期只與其本身的因素有關(guān)，跟物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)，所以彈簧振子的周期不變；當(dāng)電梯加速向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，單擺的等效重力加速度變大，單擺的周期變小，所以選項(xiàng)C正確。]
7．惠更斯利用擺的等時(shí)性原理制成了第一座擺鐘。如圖1所示為日常生活中我們能見到的一種擺鐘。圖2所示為擺的結(jié)構(gòu)示意圖，圓盤固定在擺桿上，螺母可以沿?cái)[桿上下移動(dòng)。在甲地走時(shí)準(zhǔn)確的擺鐘移到乙地未做其他調(diào)整時(shí)擺動(dòng)加快了，下列說法正確的是(　　)
圖1　　　　　　　圖2
A．甲地的重力加速度較大，若要調(diào)準(zhǔn)可將螺母適當(dāng)向下移動(dòng)
B．甲地的重力加速度較大，若要調(diào)準(zhǔn)可將螺母適當(dāng)向上移動(dòng)
C．乙地的重力加速度較大，若要調(diào)準(zhǔn)可將螺母適當(dāng)向下移動(dòng)
D．乙地的重力加速度較大，若要調(diào)準(zhǔn)可將螺母適當(dāng)向上移動(dòng)
C　[由甲地到乙地?cái)[動(dòng)加快則說明周期變小，因T＝2π，則重力加速度變大，要使周期不變小，則應(yīng)增加擺長(zhǎng)，即將螺母適當(dāng)向下移動(dòng)，C正確。]
8．(雙選)將一單擺向左拉至圖示最左側(cè)位置，從靜止釋放，當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，擺線碰到障礙物，擺球繼續(xù)向右擺動(dòng)。用頻閃照相機(jī)拍到如圖所示的單擺運(yùn)動(dòng)過程的頻閃照片，以下說法正確的是 (　　)
A．?dāng)[線碰到障礙物前后的周期之比為3∶2
B．?dāng)[線碰到障礙物前后的擺長(zhǎng)之比為3∶2
C．?dāng)[球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)，線速度不變，半徑減小，擺線張力變大
D．?dāng)[球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)，角速度變大，半徑減小，擺線張力不變
AC　[由單擺的周期公式T＝2π知，L∝T2，由于是頻閃照片，題圖中相鄰兩小球的影像的時(shí)間間隔是相同的，所以周期之比是9∶6＝3∶2，周期平方比即擺長(zhǎng)比是9∶4，故A正確，B錯(cuò)誤；小球在擺動(dòng)過程中機(jī)械能守恒，擺線經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)，小球線速度不變，由v＝ωr可知r減小，角速度變大。由向心力知識(shí)，T－mg＝m可知，r減小，擺線張力T變大，故C正確，D錯(cuò)誤。]
9．?dāng)[長(zhǎng)為l的單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，若從某時(shí)刻開始計(jì)時(shí)(即取作t＝0)，當(dāng)振動(dòng)至t＝時(shí)，擺球恰具有負(fù)向最大速度，則單擺的振動(dòng)圖像是圖中的(　　)
A　　　　　B　　　　C　　　　　D
D　[t＝＝T，擺球具有最大速度時(shí)，單擺應(yīng)在平衡位置，y＝0，v方向沿y軸負(fù)方向，故D選項(xiàng)正確。]
10．(雙選)如圖所示為同一地點(diǎn)的兩單擺甲、乙的振動(dòng)圖像，下列說法中正確的是(　　)
A．甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)相等
B．甲擺的振幅比乙擺大
C．甲擺的機(jī)械能比乙擺大
D．在t＝0.5 s時(shí)有正向最大加速度的是甲擺
AB　[由題圖看出，兩個(gè)單擺的周期相同，同一地點(diǎn)g相同，由單擺的周期公式T＝2π 得知，甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)L相等，故A正確；甲擺的振幅為10 cm，乙擺的振幅為7 cm，則甲擺的振幅比乙擺大，故B正確；盡管甲擺的振幅比乙擺大，兩擺的擺長(zhǎng)也相等，但由于兩擺的質(zhì)量未知，無法比較機(jī)械能的大小，故C錯(cuò)誤；在t＝0.5 s時(shí)，乙擺具有最大負(fù)向位移，由a＝－ 可知，乙擺具有正向最大加速度，故D錯(cuò)誤。]
11．(雙選)如圖所示，一個(gè)光滑凹槽半徑為R，弧長(zhǎng)為L(zhǎng)(已知R L)?，F(xiàn)將一質(zhì)量為m的小球從凹槽邊緣由靜止釋放，小球以最低點(diǎn)為平衡位置做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。已知重力加速度大小為g，下列說法正確的是(　　)
A．小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力為重力和支持力的合力
B．小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力為重力沿凹槽圓弧切線方向的分力
C．小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為2π
D．小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為2π
BD　[小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力為重力沿凹槽圓弧切線方向的分力，選項(xiàng)B正確，A錯(cuò)誤；小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓弧的半徑相當(dāng)于擺長(zhǎng)，則其周期為2π，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。]
12．將力傳感器連接到計(jì)算機(jī)上就可以測(cè)量快速變化的力。圖甲中O點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，現(xiàn)將小擺球(可視為質(zhì)點(diǎn))拉至A點(diǎn)，此時(shí)細(xì)線處于張緊狀態(tài)，釋放擺球，則擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的A、B、C之間來回?cái)[動(dòng)，其中B點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)中的最低位置，∠AOB＝∠COB＝θ，θ小于5°且是未知量。圖乙表示由計(jì)算機(jī)得到的細(xì)線對(duì)擺球的拉力F的大小隨時(shí)間t變化的曲線，且圖中t＝0時(shí)刻為擺球從A點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻。試根據(jù)力學(xué)規(guī)律和題中(包括圖中)所給的信息，求擺球的振動(dòng)周期和擺長(zhǎng)。(g取10 m/s2)
甲　　　　　　　　　　　　乙
[解析]　一個(gè)周期內(nèi)擺球兩次經(jīng)過最低點(diǎn)，且在最低點(diǎn)細(xì)線的拉力最大，由F-t圖線可知，單擺的周期T＝0.4π s。
單擺的周期T＝2π，
解得L＝＝0.4 m。
[答案]　0.4π s　0.4 m
13．某中學(xué)的實(shí)驗(yàn)室內(nèi)有一秒擺(T＝2.0 s)，一位同學(xué)用其做實(shí)驗(yàn)，該同學(xué)使擺球偏離平衡位置的距離為 4 cm，然后靜止釋放擺球，得到如圖所示的振動(dòng)圖像。取地球表面的重力加速度g＝10 m/s2，π2＝10。不計(jì)空氣阻力。
(1)振動(dòng)圖像中A和b應(yīng)該標(biāo)注的數(shù)值為多少？
(2)求秒擺的擺長(zhǎng)；
(3)已知月球上的自由落體加速度為g′＝1.6 m/s2，求此秒擺在月球表面的振動(dòng)周期。
[解析]　(1)由題意可知，振幅為0.04 m，則A＝0.04。秒擺的周期是2 s，故b＝1。
(2)根據(jù)單擺周期公式
T＝2π
可知擺長(zhǎng)為
l＝1 m。
(3)當(dāng)此秒擺在月球上時(shí)由周期公式
T′＝2π
代入數(shù)據(jù)可得
T′＝5 s。
[答案]　(1)0.04　1　(2)1 m　(3)5 s
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