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第2節　振動的描述
[學習目標]　1．知道振幅、周期和頻率的概念，了解全振動的含義及簡諧運動的圖像是一條正弦(或余弦)曲線。2．掌握簡諧運動圖像的物理意義和應用。3．掌握簡諧運動的位移公式，能理解表達式中各量的物理意義。4．知道振動圖像和位移公式在生產、生活中的應用。
知識點一　振動特征的描述
1．振幅(A)
(1)定義：振動物體離開平衡位置的最大距離。
(2)物理意義：表示振動幅度大小或振動強弱的物理量，是標量。
(3)聲音大小由發聲體振動的振幅決定，振幅越大，發出的聲音就越大。
2．周期(T)和頻率(f)
(1)周期：做簡諧運動的物體，完成一次全振動所經歷的時間。
(2)頻率：在一段時間內，物體完成全振動的次數與這段時間之比。
(3)固有周期(或固有頻率)：物體僅在回復力作用下的振動周期(或頻率)，叫作固有周期(或固有頻率)。
(4)物理意義：周期和頻率都是表示物體振動快慢的物理量，周期越短，頻率越高，表示物體振動越快，周期與頻率的關系是T＝。
(5)發聲體的固有頻率不同，發出聲音的音調也不同。
　簡諧運動的位移是矢量，振幅是標量，振幅等于位移的最大值，但是最大位移并不是振幅。
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)振動物體離開平衡位置的最大距離叫振幅。 (√)
(2)振幅隨時間做周期性變化。 (×)
(3)物體兩次通過平衡位置的時間叫作周期。 (×)
知識點二　簡諧運動的位移圖像及位移公式
1．簡諧運動的位移圖像
(1)坐標系的建立
以橫軸表示做簡諧運動物體運動的時間，縱軸表示做簡諧運動的物體運動過程中相對平衡位置的位移。
(2)圖像的特點
一條正弦(或余弦)曲線。
(3)圖像意義
表示做簡諧運動的物體的位移隨時間按正弦(或余弦)規律變化的情況。
(4)圖像信息
如圖所示，從圖像上可知周期和振幅。還可知道任一時刻的位移大小和方向。
2．簡諧運動的位移公式
簡諧運動的一般表達式為x＝A sin ωt＝Asint。
(1)x表示振動物體相對于平衡位置的位移，t表示振動時間。
(2)A表示簡諧運動的振幅。
(3)ω叫作簡諧運動的角速度(或圓頻率)，表示簡諧運動的快慢，ω＝＝2πf。
　圖像上的一個點表示什么意義？
提示：表示物體在某一時刻所處的位置(或位移)。
2．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)簡諧運動的位移圖像反映了物體在不同時刻相對平衡位置的位移。 (√)
(2)簡諧運動圖像上可以看出振子的運動軌跡。 (×)
(3)x＝A sin ωt中的A為振幅，是矢量。 (×)
3．填空
x＝A sin ωt，該表達式表示的是物體由平衡位置開始計時，沿正方向運動。
(1)如圖所示，振子在A、B間振動，O為平衡位置。振子從某一時刻經過O點計時，至下一次再經過O點的時間為一個周期嗎？
(2)簡諧運動的表達式一般表示為x＝A sin (ωt＋φ)，那么簡諧運動的函數表達式能否用余弦函數表示？
提示：(1)不是。從O→B→O→A→O為一次全振動。經過一個周期振子必須從同一方向經過O點，即經過一個周期，位移、速度第一次同時與初始時刻相同。
(2)簡諧運動的位移和時間的關系既可以用正弦函數表示，也可以用余弦函數表示，只是對應的初相位不同。
考點1　振幅、周期和頻率
1．對全振動的理解
(1)振動特征：一個完整的振動過程。
(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)等各物理量第一次同時與初始狀態相同。
(3)時間特征：歷時一個周期。
(4)路程特征：振幅的4倍。
2．振幅和振動系統的能量關系
對一個確定的振動系統來說，系統能量僅由振幅決定，振幅越大，振動系統能量越大。
3．振幅與路程的關系
振動中的路程是標量，是隨時間不斷增大的，其中常用的定量關系是
(1)一個周期內的路程為4倍的振幅。
(2)半個周期內的路程為2倍的振幅。
4．振幅與周期的關系
在簡諧運動中，一個確定的振動系統的周期(或頻率)是固定的，與振幅無關。
角度1　對頻率、周期的理解
【典例1】　(雙選)關于簡諧運動的頻率，下列說法正確的是 (　　)
A．頻率越高，振動質點運動的速度越大
B．頻率越高，單位時間內速度的方向變化的次數越多
C．頻率是50 Hz時，1 s內振動物體速度方向改變100次
D．彈簧振子的固有頻率與物體通過平衡位置時的速度大小有關
BC　[簡諧運動的頻率與物體運動的快慢沒有關系，描述物體運動的快慢用速度，而速度是變化的，物體振動過程中最大速度大，也不能說明它的頻率大。振動得越快和運動得越快意義是不同的，故A錯誤；做簡諧運動的物體在一個周期內速度的方向改變兩次，頻率越高，單位時間內所包含的周期個數越多，速度方向變化的次數就越多，故B、C正確；彈簧振子的固有頻率與物體通過平衡位置的速度沒有關系，它由振動系統的固有量：質量m和彈簧的勁度系數k決定，故D錯誤。]
角度2　振幅與振動物體的路程
【典例2】　如圖所示，彈簧振子在B、C間振動，O為平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子從B到C的運動時間是1 s，則下列說法正確的是(　　)
A．振子從B經O到C完成一次全振動
B．振動周期是1 s，振幅是10 cm
C．經過兩次全振動，振子通過的路程是20 cm
D．從B開始經過3 s，振子通過的路程是30 cm
[思路點撥]　(1)振子從B經O到C的時間為T。
(2)振子的振幅是5 cm，完成一次全振動的路程為振幅的4倍。
D　[振子從B→O→C僅完成了半次全振動，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm。彈簧振子在一次全振動過程中通過的路程為4A＝20 cm，所以兩次全振動中通過的路程為40 cm，3 s的時間為1.5T，所以振子通過的路程為30 cm。故D正確，A、B、C錯誤。]
　振幅與路程的關系
振動中的路程是標量，是隨時間不斷增大的。一個周期內的路程為4倍的振幅，半個周期內的路程為2倍的振幅。
(1)若從特殊位置開始計時，如平衡位置、最大位移處，周期內的路程等于振幅。
(2)若從一般位置開始計時，周期內的路程與振幅之間的大小關系不確定。路程可能大于、等于或小于振幅。
[跟進訓練]
1．(角度1)有一個在光滑水平面內的彈簧振子，第一次用力把彈簧壓縮x后釋放讓它振動，第二次把彈簧壓縮2x后釋放讓它振動，則先后兩次振動的周期之比和振幅之比分別為(　　)
A．1∶1　1∶1　　　　　　 B．1∶1　1∶2
C．1∶4　1∶4 D．1∶2　1∶2
B　[彈簧的壓縮量即為振子振動過程中偏離平衡位置的最大距離，即振幅，故振幅之比為1∶2；而對同一振動系統，其周期由振動系統自身的性質決定，與振幅無關，故周期之比為1∶1。故B正確。]
2．(角度2)一個物體做簡諧運動時，周期是T，振幅是A，那么物體(　　)
A．在任意內通過的路程一定等于A
B．在任意內通過的路程一定等于2A
C．在任意內通過的路程一定等于3A
D．在任意T內通過的路程一定等于2A
B　[物體做簡諧運動，是變加速運動，在任意內通過的路程不一定等于A，故A錯誤；物體做簡諧運動，在任意內通過的路程一定等于2A，故B正確；物體做簡諧運動，在任意內通過的路程不一定等于3A，故C錯誤；物體做簡諧運動，在一個周期內完成一次全振動，位移為零，路程為4A，故D錯誤。]
考點2　簡諧運動的圖像和公式
1．簡諧運動圖像的應用
(1)由圖像可以直接確定周期和頻率。
(2)可直接讀出振子在某一時刻相對于平衡位置的位移大小。
(3)可直接讀出振子正(負)位移的最大值，確定振幅的大小。
(4)x-t圖像上某一點的斜率表示該時刻的速度，斜率的絕對值為速度的大小，斜率的正負表示速度的方向。
(5)根據a＝＝－x，由圖像可以比較不同時刻質點加速度的大小和方向。
(6)可以由圖像信息寫出簡諧運動表達式。
2．對簡諧運動表達式x＝A sin ωt的理解
(1)x：表示振動質點相對于平衡位置的位移。
(2)A：表示振幅，描述簡諧運動振動的強弱。
(3)ω：圓頻率，它與周期、頻率的關系為ω＝＝2πf。可見ω、T、f相當于一個量，描述的都是振動的快慢。
3．對簡諧運動表達式x＝A sin (ωt＋φ0)的理解
(1)式中(ωt＋φ0)表示相位，描述做周期性運動的物體在各個不同時刻所處的不同狀態，是描述不同振動的振動步調的物理量。它是一個隨時間變化的量，相當于一個角度，相位每增加2π，意味著物體完成了一次全振動。
(2)式中φ0表示t＝0時簡諧運動質點所處的狀態，稱為初相位或初相。
(3)相位差：即某一時刻的相位之差。兩個具有相同圓頻率ω的簡諧運動，設其初相位分別為φ01和φ02；其相位差Δφ＝(ωt＋φ02)－(ωt＋φ01)＝φ02－φ01。當Δφ＝0時，兩質點振動步調一致；當Δφ＝π時，兩質點振動步調完全相反。
角度1　簡諧運動的表達式
【典例3】　如圖所示，一彈簧振子在M、N間沿光滑水平桿做簡諧運動，坐標原點O為平衡位置，MN＝4 cm。從小球在圖中N點時開始計時，到第一次經過O點的時間為0.1 s，則小球振動的周期為　　　　s，振動方程的表達式為x＝　　　　　　　　cm。
[解析]　如題圖，從正向最大位移處開始計時，振動方程的表達式為x＝A cos ωt；其中振幅A＝2 cm；據題可得周期T＝4×0.1 s＝0.4 s，則ω＝＝5π rad/s，則振動方程的表達式為x＝2cos 5πt(cm)。
[答案]　0.4　2cos 5πt
角度2　簡諧運動的圖像
【典例4】　[鏈接教材P43例題]如圖甲所示，輕彈簧上端固定，下端系一質量為m＝1 kg的小球，小球靜止時彈簧伸長量為10 cm?，F使小球在豎直方向上做簡諧運動，從小球在最低點釋放時開始計時，小球相對平衡位置的位移隨時間t變化的規律如圖乙所示，重力加速度g取10 m/s2。
(1)寫出小球相對平衡位置的位移隨時間的變化關系式。
(2)求出小球在0～12.9 s內運動的總路程和12.9 s時刻的位置。
(3)求小球運動到最高點時加速度的大小。
甲　　　　　　　　　　　乙
[解析]　(1)由振動圖像可知：A＝5 cm，T＝1.2 s
則ω＝＝ rad/s
小球相對平衡位置的位移隨時間的變化關系式
y＝A cos ωt＝5cos t(cm)。
(2)12.9 s＝10T，則小球在0～12.9 s內運動的總路程s＝43A＝215 cm；12.9 s時刻的位置：y＝0，即在平衡位置。
(3)小球在平衡位置時彈簧伸長量10 cm，則
k＝＝ N/m＝100 N/m
小球在最高點時，彈簧伸長5 cm，則
mg－kΔx′＝ma
解得a＝5 m/s2。
[答案]　(1)y＝5cos t(cm)　(2)215 cm　平衡位置　(3)5 m/s2
　簡諧運動圖像的應用技巧
(1)判斷質點任意時刻的位移大小和方向：
質點任意時刻的位移大小看質點離開平衡位置距離的大小即可，也可比較圖像中縱坐標值的大小。方向由坐標值的正負判斷或質點相對平衡位置的方向判斷。
(2)判斷質點任意時刻的加速度(回復力)大小和方向：
由于加速度(回復力)的大小與位移大小成正比，方向與位移方向相反，所以只要從圖像中得出質點在任意時刻的位移大小和方向即可。
【教材原題P43例題】　某彈簧振子做簡諧運動，其位移隨時間變化的關系式為x＝A sin t，單位為cm，則彈簧振子(　　)
A．第1 s末與第3 s末的位移相同
B．第1 s末與第3 s末的速度相同
C．第3 s末至第5 s末的位移方向都相同
D．第3 s末至第5 s末的速度方向都相同
分析　(1)位移可通過位移公式求解
判斷t時刻的位移，可將時間t代入關系式x＝A sin t計算。將t＝1 s和t＝3 s代入關系式，可求得兩時刻位移相同，A正確。
(2)速度可通過位移圖像求解
根據位移關系式畫出x-t圖像，將該圖像與彈簧振子振動過程對比，可得如圖2-16所示的對應圖像。
第1 s末彈簧振子向正方向運動，遠離平衡位置，而第3 s末彈簧振子向負方向運動，衡位置，兩個時刻的速度方向相反，B錯誤。
第3 s末至第5 s末的速度方向一直為負，D正確。
從圖像還可看出，第3 s末至第4 s末的位移方向為正，第4 s末至第5 s末的位移方向為負，C錯誤。
所以，答案為AD。
[跟進訓練]
3．(角度1)彈簧振子做簡諧運動，振子運動范圍為0.8 cm，周期為0.5 s，計時開始時具有正向最大加速度，則它的振動方程是(　　)
A．x＝8×10-3 sin (m)
B．x＝4×10-3 sin (m)
C．x＝8×10-3 sin (m)
D．x＝4×10-3 sin (m)
B　[振子振動范圍為0.8 cm，所以2A＝0.8 cm，振幅A＝0.4 cm，周期為0.5 s，所以ω＝＝4π rad/s，而初始時刻具有正向最大加速度，即在負向最大位移處，綜上可得它的振動方程為x＝4×10-3·sin (4πt－)(m)，B正確，A、C、D錯誤。]
4．(角度2)(雙選)彈簧振子做簡諧運動的振動圖像如圖所示，則(　　)
A．t＝0時，振子位移為零，速度為零，加速度為零
B．t＝1 s時，振子位移最大，速度為零，加速度最大
C．t1和t2時刻振子具有相同的速度
D．t3和t4時刻振子具有相同的加速度
BD　[t＝0時刻，振子位于平衡位置，位移為零，加速度為零，但速度為最大值，選項A錯誤；t＝1 s時，振子位于正向最大位移處，位移最大，加速度最大，而速度為零，選項B正確；t1和t2時刻振子位于正向同一位置，t1時刻是經此點向正方向運動，t2時刻回到此點向負方向運動，兩時刻速度大小相等，但方向相反，所以速度不相同，選項C錯誤；t3和t4時刻振子位移相同，即處在同一位置，因此有大小相等、方向相同的加速度，選項D正確。]
1．關于振幅的各種說法，正確的是(　　)
A．振幅是振子離開平衡位置的最大距離
B．位移是矢量，振幅是標量，位移的大小等于振幅
C．振幅等于振子運動軌跡的長度
D．振幅越大，表示振動越強，周期越長
A　[振幅是振子離開平衡位置的最大距離，是標量，在簡諧運動中大小不變，而位移是變化的，故A對，B、C錯；振幅越大，振動越強，但與周期無關，故D錯。]
2．兩個簡諧運動的表達式分別為x1＝4sin 4πt(cm)和x2＝2sin 2πt(cm)，它們的振幅之比、各自的頻率之比是(　　)
A．2∶1，2∶1　　　　　　 B．1∶2，1∶2
C．2∶1，1∶2 D．1∶2，2∶1
A　[由題意知A1＝4 cm，A2＝2 cm，ω1＝4π rad/s，ω2＝2π rad/s，則A1∶A2＝2∶1，f1∶f2＝ω1∶ω2＝2∶1。故A正確，B、C、D錯誤。]
3．(源自人教版教材改編)如圖甲所示，懸掛在豎直方向上的彈簧振子，在C、D兩點之間做簡諧運動，O點為平衡位置。振子到達D點時開始計時，以豎直向上為正方向，一個周期內的振動圖像如圖乙所示，下列說法正確的是 (　　)
A．振子在O點受到的彈簧彈力等于零
B．振子在1 s內通過的路程一定為6 cm
C．t＝1.0 s時，彈簧的彈性勢能最大
D．振子在C點和D點的加速度相同
B　[O點是平衡位置，振子在該位置所受的彈簧彈力與重力平衡，A錯誤；由振動圖像可知1 s＝T，A＝3 cm，振子在半個周期內通過的路程等于2A＝6 cm ，故B正確；彈簧振子在D點時，彈簧形變量最大，彈簧彈性勢能最大，而t＝1.0 s時，彈簧振子處在C點，故C錯誤；根據彈簧振子簡諧運動的對稱性可知，振子在C點和D點的加速度大小相等，方向相反，故D錯誤。]
4．5月12日是全國防災減災日?，F代地震儀的工作原理如圖甲所示：彈簧下吊著一個重錘，在重錘上有一只筆，筆在一個轉動的圓筒上記錄，當地面振動時，重錘會上下振動，筆就會在轉動的圓筒上畫出振動的波形。地震振動的速度較快，轉動的圓筒速度也要快一些才便于觀察和記錄地震的波形形狀。在某次測試時，在圓筒的記錄紙上得到一條曲線，如圖乙所示。
(1)若圓筒邊緣的線速度為1 m/s，則由圖乙中數據算出重錘的振動周期為多少？
(2)作出重錘的振動圖像，并寫出對應的振動方程。
[解析]　(1)由題圖乙可知，當紙帶勻速前進20 cm時，彈簧振子恰好完成一次全振動，所以振子的振動周期為
T＝＝0.2 s。
(2)由題圖乙可以看出重錘的振幅為2 cm，且t＝0時刻時重錘向上運動，振動圖像如圖所示。
振動方程為
x＝A sin ωt
其中A＝2 cm
ω＝＝10π rad/s
代入可得x＝2sin 10πt(cm)。
[答案]　(1)0.2 s　(2)見解析圖，x＝2sin 10πt(cm)
回歸本節知識，自我完成以下問題：
1．在簡諧運動中，完成一次全振動通過的路程為多大？需要多少時間？
提示：4A(其中A為振幅)，一個周期T。
2．簡諧運動的圖像是一條什么樣的曲線？從圖像上可以直接得到什么信息？
提示：正弦(或余弦)曲線，振幅、周期。
3．請寫出簡諧運動的位移公式。
提示：x＝A sin ωt或x＝A sin (ωt＋φ0)。
課時分層作業(五)　振動的描述
?題組一　振幅、周期和頻率
1．如圖所示，O點為彈簧振子的平衡位置，小球在B、C間做無摩擦的往復運動。若小球從C點第一次運動到O點歷時0.1 s，則小球振動的周期為(　　)
A．0.1 s　　　　　　　　 B．0.2 s
C．0.3 s D．0.4 s
D　[振子從C點第一次運動到O點的時間為0.1 s，對應的時間為一個周期的，故該彈簧振子的周期為0.4 s，D正確。]
2．(雙選)下列關于簡諧運動的周期、頻率、振幅的說法正確的是(　　)
A．振幅是矢量，方向是從平衡位置指向最大位移處
B．周期和頻率的乘積是一個常數
C．振幅增大，周期也增大，而頻率減小
D．在自由振動下，做簡諧運動的物體的頻率是固定的，與振幅無關
BD　[振幅是一個標量，沒有方向，選項A錯誤；周期和頻率互為倒數，其乘積是1，選項B正確；在自由狀態下，振動物體的周期(或頻率)與振幅的大小無關，只由振動物體本身的性質決定，選項C錯誤，D正確。]
3．(雙選)彈簧振子在AOB之間做簡諧運動，如圖所示，O為平衡位置，測得AB間距為8 cm，完成30次全振動所用時間為60 s。則(　　)
A．振動周期是2 s，振幅是8 cm
B．振動頻率是2 Hz
C．振子完成一次全振動通過的路程是16 cm
D．振子過O點時計時，3 s內通過的路程為24 cm
CD　[A、B之間的距離為8 cm，則振幅是4 cm，A錯；T＝2 s，f＝0.5 Hz，B錯；振子完成一次全振動通過的路程是4A，即16 cm，3 s內運動了1.5個周期，故總路程為24 cm，C、D對。]
?題組二　簡諧運動的表達式
4．一彈簧振子的位移y隨時間t變化的關系式為y＝0.1sin (2.5πt)，位移y的單位為m，時間t的單位為s。則(　　)
A．彈簧振子的振幅為0.2 m
B．彈簧振子的周期為1.25 s
C．在t＝0.2 s時，振子的運動速度為零
D．在任意0.2 s時間內，振子的位移均為0.1 m
C　[由y＝0.1sin (2.5πt)知，彈簧振子的振幅為0.1 m，選項A錯誤；彈簧振子的周期為T＝＝ s＝0.8 s，選項B錯誤；在t＝0.2 s時，y＝0.1 m，即振子到達位移最大點，此時振子的運動速度為零，選項C正確；只有當振子從平衡位置或者從位移最大點開始計時時，經過0.2 s，振子的位移才為A＝0.1 m，選項D錯誤。]
5．(雙選)物體A做簡諧運動的振動位移xA＝3sin m，物體B做簡諧運動的振動位移xB＝5sin m。比較A、B的運動(　　)
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是標量，A、B周期相等，為100 s
C．A振動的頻率fA等于B振動的頻率fB
D．A的相位始終超前B的相位
CD　[振幅是標量，A、B的振幅分別是3 m、5 m，A錯；周期是標量，A、B的周期T＝＝ s≈6.28×10-2 s，B錯；因為TA＝TB，故fA＝fB，C對；Δφ＝φAO－φBO＝為定值，D對。故選CD。]
?題組三　簡諧運動的圖像
6．裝有沙粒的試管豎直靜立于水面，如圖所示，將試管豎直提起少許，然后由靜止釋放并開始計時，在一定時間內試管在豎直方向近似做簡諧運動。若取豎直向上為正方向，則下列描述試管振動的圖像中可能正確的是 (　　)
A　　　 　B　　 　　C　　　　D
D　[試管在豎直方向上做簡諧運動，平衡位置是在重力與浮力相等的位置，開始時向上提起試管的距離，就是其偏離平衡位置的位移，即正向最大位移，故正確答案為D。]
7．在水平方向上做簡諧運動的質點其振動圖像如圖所示，假設向右為正方向，則質點速度向右且增大的時間是(　　)
A．0～1 s內　　 B．1～2 s內
C．2～3 s內 D．3～4 s內
D　[x-t圖線的斜率等于速度，則3～4 s內圖線的切線斜率為正且增大，速度為正即向右且增大，故選D。]
8．一質點做簡諧運動，其位移—時間圖像如圖所示，由圖像可知(　　)
A．t＝1 s時，質點速度為正的最大值，加速度為零
B．t＝2 s時，質點速度為零，加速度為負的最大值
C．t＝3 s時，質點速度為正的最大值，加速度為零
D．t＝4 s時，質點速度為零，加速度為正的最大值
C　[t＝1 s時，位移為零，加速度為零，速度最大，圖像斜率為負，即速度為負，選項A錯誤；t＝2 s時，位移為負的最大值，加速度為正的最大值，速度為零，選項B錯誤；t＝3 s時，位移為零，加速度為零，速度最大，圖像斜率為正，即速度為正，選項C正確；t＝4 s時，質點位移為正的最大值，加速度為負的最大值，速度為零，選項D錯誤。]
9．如圖所示，一個勁度系數為k的輕彈簧下端固定在擋板上，上端與物塊A連接在一起，物塊B緊挨著物塊A靜止在斜面上。某時刻將B迅速移開，A將在斜面上做簡諧運動，已知物塊A、B的質量分別為mA、mB，若取沿斜面向上為正方向，移開B的時刻為計時起點，則A的振動位移隨時間變化的圖像是(　　)
A　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
B　[物塊A、B緊挨在一起平衡時彈簧壓縮量Δx1＝g sin θ，移走B后，A平衡時彈簧壓縮量Δx2＝，因此，A的最大位移Δx＝Δx1－Δx2＝，故A、C錯誤；又t＝0時，A在負位移最大值處，故B正確，D錯誤。]
10．如圖所示，甲質點在x1軸上做簡諧運動，O1為其平衡位置，A1、B1為其所能到達的最遠處。乙質點沿x2軸從A2點開始做初速度為零的勻加速直線運動。已知A1O1＝A2O2，甲、乙兩質點分別經過O1、O2時速率相等，設甲質點從A1運動到O1的時間為t1，乙質點從A2運動到O2的時間為t2，則(　　)
A．t1＝t2　　 B．t1>t2
C．t1C　[已知A1O1＝A2O2，甲、乙兩質點分別經過O1、O2時速率相等，結合題意，作出甲質點從A1到O1與乙質點從A2到O2過程的v-t圖像，如圖所示。容易得出t111．如圖所示，虛線和實線分別為甲、乙兩個彈簧振子做簡諧運動的圖像。已知甲、乙兩個振子質量相等，則(　　)
A．甲、乙兩振子的振幅分別為2 cm、1 cm
B．甲、乙兩個振子的相位差總為π
C．前2 s內甲、乙兩振子的加速度均為正值
D．第2 s內甲、乙振子速度方向相同，都指向平衡位置
A　[根據振動圖像，甲振子的振幅為2 cm、乙振子的振幅為1 cm，A對；由于兩個振子的周期和頻率不同，其相位差亦會變化，B錯；前2 s內，甲在平衡位置的上方，加速度指向平衡位置，方向為負方向；而乙在平衡位置的下方，加速度指向平衡位置，方向為正方向，C錯；第2 s內甲從正向最大位移處向平衡位置運動，速度方向為負方向，指向平衡位置；乙向負向位移最大處運動，速度方向為負方向，且指向負向最大位移處，D錯。故選A。]
12．如圖所示為一彈簧振子的振動圖像，試完成以下問題：
(1)寫出該振子做簡諧運動的表達式。
(2)在第2 s末到第3 s末這段時間內，彈簧振子的加速度、速度、動能和彈性勢能各是怎樣變化的？
(3)該振子在前100 s的總位移是多少？通過的路程是多少？
[解析]　(1)由振動圖像可得
A＝5 cm，T＝4 s，φ＝0
則ω＝＝ rad/s
故該振子做簡諧運動的表達式為
x＝5sin t(cm)。
(2)由題圖可知，在t＝2 s時振子恰好通過平衡位置，此時加速度為零，隨著時間的延續，位移值不斷加大，加速度的值也變大，速度值不斷變小，動能不斷減小，彈性勢能逐漸增大，當t＝3 s時，加速度的值達到最大，速度等于零，動能等于零，彈性勢能達到最大值。
(3)振子經過一個周期位移為零，路程為4×5 cm＝20 cm，前100 s剛好經過25個周期，所以前100 s 振子位移x＝0，振子通過的路程s＝20×25 cm＝500 cm。
[答案]　(1)x＝5sin t(cm)　(2)見解析
(3)0　500 cm
13．彈簧振子以O點為平衡位置，在B、C兩點間做簡諧運動，在t＝0時刻，振子從O、B間的P點以速度v向B點運動；在t＝0.2 s時，振子速度第一次變為－v；在t＝0.5 s 時，振子速度第二次變為－v。
(1)求彈簧振子振動周期T。
(2)若B、C之間的距離為25 cm，求振子在4.0 s內通過的路程。
(3)若B、C之間的距離為25 cm。從平衡位置計時，彈簧振子向正方向運動，寫出彈簧振子的位移表達式，并畫出彈簧振子的振動圖像。
[解析]　(1)彈簧振子簡諧運動的示意圖如圖甲所示。由對稱性可得T＝0.5×2 s＝1.0 s。
甲
(2)B、C間的距離為2個振幅，則振幅
A＝×25 cm＝12.5 cm
振子4.0 s內通過的路程為
s＝4×4A＝4×4×12.5 cm＝200 cm。
(3)根據x＝A sin ωt，A＝12.5 cm，ω＝＝2π
得x＝12.5sin 2πt(cm)
振動圖像如圖乙所示。
乙
[答案]　(1)1.0 s　(2)200 cm　(3)見解析
18 / 18第2節　振動的描述
[學習目標]　
1．知道振幅、周期和頻率的概念，了解全振動的含義及簡諧運動的圖像是一條正弦(或余弦)曲線。
2．掌握簡諧運動圖像的物理意義和應用。
3．掌握簡諧運動的位移公式，能理解表達式中各量的物理意義。
4．知道振動圖像和位移公式在生產、生活中的應用。
知識點一　振動特征的描述
1．振幅(A)
(1)定義：振動物體離開________的最大距離。
(2)物理意義：表示振動幅度大小或______的物理量，是標量。
(3)聲音大小由發聲體振動的________決定，________越大，發出的聲音就越大。
2．周期(T)和頻率(f)
(1)周期：做簡諧運動的物體，完成一次________所經歷的時間。
(2)頻率：在一段時間內，物體完成全振動的次數與這段時間________。
(3)固有周期(或固有頻率)：物體僅在回復力作用下的振動周期(或頻率)，叫作固有周期(或固有頻率)。
(4)物理意義：周期和頻率都是表示物體振動________的物理量，周期越短，頻率越________，表示物體振動越________，周期與頻率的關系是T＝________。
(5)發聲體的固有頻率不同，發出聲音的______也不同。
　簡諧運動的位移是矢量，振幅是標量，振幅等于位移的最大值，但是最大位移并不是振幅。
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)振動物體離開平衡位置的最大距離叫振幅。 (　　)
(2)振幅隨時間做周期性變化。 (　　)
(3)物體兩次通過平衡位置的時間叫作周期。 (　　)
知識點二　簡諧運動的位移圖像及位移公式
1．簡諧運動的位移圖像
(1)坐標系的建立
以橫軸表示做簡諧運動物體運動的______，縱軸表示做簡諧運動的物體運動過程中相對________的位移。
(2)圖像的特點
一條正弦(或余弦)曲線。
(3)圖像意義
表示做簡諧運動的物體的________隨時間按正弦(或余弦)規律變化的情況。
(4)圖像信息
如圖所示，從圖像上可知________和__________。還可知道任一時刻的________大小和方向。
2．簡諧運動的位移公式
簡諧運動的一般表達式為x＝A sin ωt＝________。
(1)x表示振動物體相對于________的位移，t表示________。
(2)A表示簡諧運動的________。
(3)ω叫作簡諧運動的________，表示簡諧運動的快慢，ω＝＝2πf。
　圖像上的一個點表示什么意義？
2．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)簡諧運動的位移圖像反映了物體在不同時刻相對平衡位置的位移。 (　　)
(2)簡諧運動圖像上可以看出振子的運動軌跡。 (　　)
(3)x＝A sin ωt中的A為振幅，是矢量。 (　　)
3．填空
x＝A sin ωt，該表達式表示的是物體由________開始計時，沿________運動。
(1)如圖所示，振子在A、B間振動，O為平衡位置。振子從某一時刻經過O點計時，至下一次再經過O點的時間為一個周期嗎？
(2)簡諧運動的表達式一般表示為x＝A sin (ωt＋φ)，那么簡諧運動的函數表達式能否用余弦函數表示？
考點1　振幅、周期和頻率
1．對全振動的理解
(1)振動特征：一個完整的振動過程。
(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)等各物理量第一次同時與初始狀態相同。
(3)時間特征：歷時一個周期。
(4)路程特征：振幅的4倍。
2．振幅和振動系統的能量關系
對一個確定的振動系統來說，系統能量僅由振幅決定，振幅越大，振動系統能量越大。
3．振幅與路程的關系
振動中的路程是標量，是隨時間不斷增大的，其中常用的定量關系是
(1)一個周期內的路程為4倍的振幅。
(2)半個周期內的路程為2倍的振幅。
4．振幅與周期的關系
在簡諧運動中，一個確定的振動系統的周期(或頻率)是固定的，與振幅無關。
角度1　對頻率、周期的理解
【典例1】　(雙選)關于簡諧運動的頻率，下列說法正確的是 (　　)
A．頻率越高，振動質點運動的速度越大
B．頻率越高，單位時間內速度的方向變化的次數越多
C．頻率是50 Hz時，1 s內振動物體速度方向改變100次
D．彈簧振子的固有頻率與物體通過平衡位置時的速度大小有關
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角度2　振幅與振動物體的路程
【典例2】　如圖所示，彈簧振子在B、C間振動，O為平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子從B到C的運動時間是1 s，則下列說法正確的是(　　)
A．振子從B經O到C完成一次全振動
B．振動周期是1 s，振幅是10 cm
C．經過兩次全振動，振子通過的路程是20 cm
D．從B開始經過3 s，振子通過的路程是30 cm
[思路點撥]　(1)振子從B經O到C的時間為T。
(2)振子的振幅是5 cm，完成一次全振動的路程為振幅的4倍。
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　振幅與路程的關系
振動中的路程是標量，是隨時間不斷增大的。一個周期內的路程為4倍的振幅，半個周期內的路程為2倍的振幅。
(1)若從特殊位置開始計時，如平衡位置、最大位移處，周期內的路程等于振幅。
(2)若從一般位置開始計時，周期內的路程與振幅之間的大小關系不確定。路程可能大于、等于或小于振幅。
[跟進訓練]
1．(角度1)有一個在光滑水平面內的彈簧振子，第一次用力把彈簧壓縮x后釋放讓它振動，第二次把彈簧壓縮2x后釋放讓它振動，則先后兩次振動的周期之比和振幅之比分別為(　　)
A．1∶1　1∶1　　　　　 B．1∶1　1∶2
C．1∶4　1∶4 D．1∶2　1∶2
2．(角度2)一個物體做簡諧運動時，周期是T，振幅是A，那么物體(　　)
A．在任意內通過的路程一定等于A
B．在任意內通過的路程一定等于2A
C．在任意內通過的路程一定等于3A
D．在任意T內通過的路程一定等于2A
考點2　簡諧運動的圖像和公式
1．簡諧運動圖像的應用
(1)由圖像可以直接確定周期和頻率。
(2)可直接讀出振子在某一時刻相對于平衡位置的位移大小。
(3)可直接讀出振子正(負)位移的最大值，確定振幅的大小。
(4)x-t圖像上某一點的斜率表示該時刻的速度，斜率的絕對值為速度的大小，斜率的正負表示速度的方向。
(5)根據a＝＝－x，由圖像可以比較不同時刻質點加速度的大小和方向。
(6)可以由圖像信息寫出簡諧運動表達式。
2．對簡諧運動表達式x＝A sin ωt的理解
(1)x：表示振動質點相對于平衡位置的位移。
(2)A：表示振幅，描述簡諧運動振動的強弱。
(3)ω：圓頻率，它與周期、頻率的關系為ω＝＝2πf?？梢姦?、T、f相當于一個量，描述的都是振動的快慢。
3．對簡諧運動表達式x＝A sin (ωt＋φ0)的理解
(1)式中(ωt＋φ0)表示相位，描述做周期性運動的物體在各個不同時刻所處的不同狀態，是描述不同振動的振動步調的物理量。它是一個隨時間變化的量，相當于一個角度，相位每增加2π，意味著物體完成了一次全振動。
(2)式中φ0表示t＝0時簡諧運動質點所處的狀態，稱為初相位或初相。
(3)相位差：即某一時刻的相位之差。兩個具有相同圓頻率ω的簡諧運動，設其初相位分別為φ01和φ02；其相位差Δφ＝(ωt＋φ02)－(ωt＋φ01)＝φ02－φ01。當Δφ＝0時，兩質點振動步調一致；當Δφ＝π時，兩質點振動步調完全相反。
角度1　簡諧運動的表達式
【典例3】　如圖所示，一彈簧振子在M、N間沿光滑水平桿做簡諧運動，坐標原點O為平衡位置，MN＝4 cm。從小球在圖中N點時開始計時，到第一次經過O點的時間為0.1 s，則小球振動的周期為________s，振動方程的表達式為x＝______________cm。
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角度2　簡諧運動的圖像
【典例4】　[鏈接教材P43例題]如圖甲所示，輕彈簧上端固定，下端系一質量為m＝1 kg的小球，小球靜止時彈簧伸長量為10 cm?，F使小球在豎直方向上做簡諧運動，從小球在最低點釋放時開始計時，小球相對平衡位置的位移隨時間t變化的規律如圖乙所示，重力加速度g取10 m/s2。
(1)寫出小球相對平衡位置的位移隨時間的變化關系式。
(2)求出小球在0～12.9 s內運動的總路程和12.9 s時刻的位置。
(3)求小球運動到最高點時加速度的大小。
甲　　　　　　　　　　　乙
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　簡諧運動圖像的應用技巧
(1)判斷質點任意時刻的位移大小和方向：
質點任意時刻的位移大小看質點離開平衡位置距離的大小即可，也可比較圖像中縱坐標值的大小。方向由坐標值的正負判斷或質點相對平衡位置的方向判斷。
(2)判斷質點任意時刻的加速度(回復力)大小和方向：
由于加速度(回復力)的大小與位移大小成正比，方向與位移方向相反，所以只要從圖像中得出質點在任意時刻的位移大小和方向即可。
[跟進訓練]
3．(角度1)彈簧振子做簡諧運動，振子運動范圍為0.8 cm，周期為0.5 s，計時開始時具有正向最大加速度，則它的振動方程是(　　)
A．x＝8×10-3 sin (m)
B．x＝4×10-3 sin (m)
C．x＝8×10-3 sin (m)
D．x＝4×10-3 sin (m)
4．(角度2)(雙選)彈簧振子做簡諧運動的振動圖像如圖所示，則(　　)
A．t＝0時，振子位移為零，速度為零，加速度為零
B．t＝1 s時，振子位移最大，速度為零，加速度最大
C．t1和t2時刻振子具有相同的速度
D．t3和t4時刻振子具有相同的加速度
1．關于振幅的各種說法，正確的是(　　)
A．振幅是振子離開平衡位置的最大距離
B．位移是矢量，振幅是標量，位移的大小等于振幅
C．振幅等于振子運動軌跡的長度
D．振幅越大，表示振動越強，周期越長
2．兩個簡諧運動的表達式分別為x1＝4sin 4πt(cm)和x2＝2sin 2πt(cm)，它們的振幅之比、各自的頻率之比是(　　)
A．2∶1，2∶1　　　　　　 B．1∶2，1∶2
C．2∶1，1∶2 D．1∶2，2∶1
3．(源自人教版教材改編)如圖甲所示，懸掛在豎直方向上的彈簧振子，在C、D兩點之間做簡諧運動，O點為平衡位置。振子到達D點時開始計時，以豎直向上為正方向，一個周期內的振動圖像如圖乙所示，下列說法正確的是 (　　)
A．振子在O點受到的彈簧彈力等于零
B．振子在1 s內通過的路程一定為6 cm
C．t＝1.0 s時，彈簧的彈性勢能最大
D．振子在C點和D點的加速度相同
4．5月12日是全國防災減災日?，F代地震儀的工作原理如圖甲所示：彈簧下吊著一個重錘，在重錘上有一只筆，筆在一個轉動的圓筒上記錄，當地面振動時，重錘會上下振動，筆就會在轉動的圓筒上畫出振動的波形。地震振動的速度較快，轉動的圓筒速度也要快一些才便于觀察和記錄地震的波形形狀。在某次測試時，在圓筒的記錄紙上得到一條曲線，如圖乙所示。
(1)若圓筒邊緣的線速度為1 m/s，則由圖乙中數據算出重錘的振動周期為多少？
(2)作出重錘的振動圖像，并寫出對應的振動方程。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
回歸本節知識，自我完成以下問題：
1．在簡諧運動中，完成一次全振動通過的路程為多大？需要多少時間？
2．簡諧運動的圖像是一條什么樣的曲線？從圖像上可以直接得到什么信息？
3．請寫出簡諧運動的位移公式。
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