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(共63張PPT)
現代文閱讀Ⅰ
把握共性之“新”　打通應考之“脈”
第2章 機械振動
第3節　單擺
[學習目標]　1．知道單擺的振動是簡諧運動。2．通過實驗，探究單擺的周期與擺長的定量關系，掌握單擺的周期公式。3．會用單擺周期公式測定重力加速度。4．能夠利用單擺周期公式解釋與單擺有關的現象。
必備知識·自主預習儲備
知識點一　單擺的振動
1．單擺模型
把一根不能伸長的細線上端固定，下端拴一個小球，線的______和球的______可以忽略不計，這種裝置叫作單擺。
質量
大小
2．單擺的回復力
(1)回復力的來源：擺球的重力沿圓弧切線方向的______。
(2)回復力的特點：在擺角很小時(通常θ<____)，單擺所受的回復力大小與擺球位移大小成正比，方向與擺球位移方向相反，即F＝_______。
(3)運動規律
單擺在擺角很小的情況下可近似看作______運動，其振動圖像遵循正弦函數規律。
提醒　單擺的回復力不是擺球所受到的合力。
分力
5°
－x
簡諧
體驗　1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)單擺模型中對細線的要求是細線的伸縮可忽略，質量可忽略。 (　　)
(2)單擺模型中對小球的要求是密度較大，其直徑與線的長度相比可忽略。 (　　)
(3)單擺在任何情況下的運動都是簡諧運動。 (　　)
×
√
√
知識點二　單擺的周期
1．實驗探究
(1)探究方法：____________法。
(2)實驗結論
①單擺振動的周期與擺球質量______。
②擺長越長，周期______；擺長越短，周期______。
控制變量
無關
越大
越小
2．周期公式
(1)公式：T＝______。
(2)單擺的等時性：單擺的周期與振幅______。
提醒　單擺的擺長是懸點到小球球心的距離。
2π
無關
體驗　2．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)擺球質量越大，單擺的周期越長。 (　　)
(2)擺動幅度越大，單擺的周期越長。 (　　)
(3)擺線越長，單擺的周期越長。 (　　)
3．填空
如果擺鐘走慢了，你應該把擺長調______(選填“長些”或“短些”)。
×
√
×
短些
關鍵能力·情境探究達成
如圖所示，一根細線上端固定，下端連接一個金屬小球，用手使小球偏離豎直方向一個夾角，然后釋放。
討論：
(1)小球受到哪些力的作用？
(2)向心力和回復力分別是由什么力提供的？
(3)若增大小球質量，小球完成一次全振動的時間怎么變？
提示：(1)小球受重力和細線的拉力。
(2)細線的拉力和重力沿細線方向的分力的合力提供向心力。小球重力沿圓弧切線方向的分力提供回復力。
(3)不變。
考點1　單擺模型的回復力及運動情況
1．單擺的回復力
(1)單擺受力：如圖所示，受細線拉力和重力作用。
(2)向心力來源：細線拉力和重力沿徑向的
分力的合力。
(3)回復力來源：重力沿圓弧切線方向的分
力F提供了使擺球振動的回復力。
2．單擺做簡諧運動的推證
在偏角很小時，sin θ≈，又回復力F＝－mg sin θ，所以單擺的回復力為F＝－x(式中x表示擺球偏離平衡位置的位移，l表示單擺的擺長，負號表示回復力F與位移x的方向相反)，由此知回復力符合F＝－kx，單擺做簡諧運動。
【典例1】　關于單擺做簡諧運動，下列說法正確的是(　　)
A．經過平衡位置時所受的合力為零
B．經過平衡位置時所受的回復力為零
C．回復力是重力和擺線拉力的合力
D．回復力是重力沿圓弧半徑方向的分力
B　[單擺做簡諧運動，經過平衡位置時，回復力為零，但所受的合力提供向心力，不為零，故A錯誤，B正確；回復力是重力沿圓弧切線方向的分力，故C、D錯誤。故選B。]
√
規律方法　單擺中的回復力
(1)單擺振動中的回復力不是它受到的合外力，而是重力沿圓弧切線方向的一個分力。單擺振動過程中有向心力，這是與彈簧振子的不同之處。
(2)在最大位移處時，因速度為零，所以向心力為零，故此時合外力也就是回復力。
(3)在平衡位置處時，由于速度不為零，故向心力也不為零，即此時回復力為零，但合外力不為零。
√
[跟進訓練]
1．關于單擺的描述，正確的是(　　)
A．單擺的運動一定是簡諧運動
B．單擺運動的回復力是重力與繩子拉力的合力
C．單擺運動過程中經過平衡位置時達到平衡狀態
D．單擺經過平衡位置時回復力為零
D　[當單擺的偏角較小時單擺的運動才是簡諧運動，故A錯誤；單擺運動的回復力是重力在圓弧切線方向的分力提供的，故B錯誤；單擺運動過程中經過平衡位置時有向心加速度，所以沒有達到平衡狀態，故C錯誤；根據F＝－kx可知單擺經過平衡位置時回復力為零，故D正確。]
考點2　單擺的周期
1．單擺的周期公式：T＝2π。
2．對周期公式的理解
(1)單擺的周期公式在單擺偏角很小時成立(偏角為5°時，由周期公式算出的周期和精確值相差0.01%)。
(2)公式中l是擺長，即懸點到擺球球心的距離，即l＝l線＋r球。
(3)公式中g是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。
(4)周期T只與l和g有關，與擺球質量m及振幅無關。所以單擺的周期也叫固有周期。
3．擺長的確定
(1)圖(a)中，甲、乙在垂直紙面方向擺起來效果是相同的，所以甲擺的擺長為l sin α，這就是等效擺長，其周期T＝2π。圖(b)中，乙在垂直紙面方向擺動時，與甲擺等效；乙在紙面內小角度擺動時，與丙擺等效。
(a)　　 　　(b)　　 　　(c)
(2)如圖(c)所示，小球在光滑的半徑較大的圓周上做小幅度(θ很小)的圓周運動時，可等效為單擺，小球在A、B間做簡諧運動，周期T＝2π。
4．公式中重力加速度g的變化與等效
(1)若單擺系統只處在重力場中且處于靜止狀態，g由單擺所處的空間位置決定，即g＝，式中R為物體到地心的距離，M為地球的質量，g隨所在位置的高度的變化而變化。另外，在不同星球上M和R也是變化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只是在地球表面附近時的取值。
(2)等效重力加速度：若單擺系統處在非平衡狀態(如加速、減速、完全失重狀態)，則一般情況下，g值等于擺球相對靜止在自己的平衡位置時，擺線所受的張力與擺球質量的比值。如圖所示，球靜止在平衡位置O時，FT＝mg sin θ，等效重力加速度g′＝＝g sin θ。
角度1　單擺的周期公式
【典例2】　一個單擺的長為l，在其懸點O的正下方0.19l處有一釘子P(如圖所示)，現將擺球向左拉開到A，使擺線偏角θ＜5°，放手后使其擺動，重力加速度為g，求出單擺的振動周期。
[思路點撥]　(1)左邊和右邊擺長不同。
(2)單擺的周期等于兩個擺周期之和的一半。
[解析]　擺球釋放后到達右邊最高點B處，由機械能守恒可知B和A等高，則擺球始終做簡諧運動。擺球做簡諧運動的擺長有所變化，它的周期為兩個不同單擺的半周期的和
小球在左邊的周期為T1＝2π
小球在右邊的周期為T2＝2π
則整個單擺的周期為
T＝＝π＋π＝1.9π。
[答案]　1.9π
√
√
角度2　單擺振動的圖像
【典例3】　(雙選)如圖甲所示是單擺振動的情形，O是它的平衡位置，M、N是擺球所能到達的最遠位置。設擺球向右運動方向為正方向，如圖乙所示是這個單擺的振動圖像。已知當地的重力加速度大小g＝10 m/s2，取π2＝10，下列說法正確的是(　　)
A．單擺的振幅是0.14 m，振動的頻率是0.5 Hz
B．振動的表達式為x＝0.14 sin πt(m)
C．t＝1.5 s時擺球在M點
D．單擺的擺長為1 m
CD　[根據題圖乙所示單擺的振動圖像可知，該單擺的振幅、頻率分別為A＝0.07 m，f＝＝ Hz＝0.5 Hz，故A錯誤；根據單擺的振動表達式x＝A sin ωt，其中ω＝＝ rad/s＝π rad/s，代入可得x＝0.07sin πt(m)，故B錯誤；根據題意，擺球向右運動方向為正方向，而t＝1.5 s時擺球在負向最大位移處，因此可知，t＝1.5 s時擺球在M點，故C正確；設該單擺的擺長為L，根據單擺的周期公式T＝2π，代入數據可得L＝＝ m＝1 m，故D正確。故選CD。]
規律方法　求單擺周期的方法
(1)明確單擺的運動過程，看是否符合簡諧運動的條件。
(2)在運用T＝2π時，要注意l和g是否發生變化，如果發生變化，則分別求出不同l和g時的運動時間。
(3)改變單擺振動周期的途徑
①改變單擺的擺長。
②改變單擺的重力加速度(如改變單擺的位置或讓單擺失重或超重)。
(4)明確單擺振動周期與單擺的質量和振幅沒有任何關系。
[跟進訓練]
2．(角度1)若單擺的擺長不變，擺球的質量由20 g增加為40 g，擺球離開平衡位置的最大角度由4°減為2°，則單擺振動的(　　)
A．頻率不變，振幅不變　 B．頻率不變，振幅改變
C．頻率改變，振幅不變　　 D．頻率改變，振幅改變
√
B　[單擺的周期公式為T＝2π，與擺球的質量和擺角的大小無關，所以周期不變，頻率也不變，擺角減小，則振幅減小，故B正確，A、C、D錯誤。]
3．(角度2)圖1、2分別是甲、乙兩個單擺在同一位置處做簡諧運動的圖像，則下列說法中正確的是(　　)
A．甲、乙兩單擺的振幅之比為4∶1
B．t＝2 s時，甲單擺的重力勢能最大，
乙單擺的動能最小
C．甲、乙兩單擺的擺長之比為4∶1
D．甲、乙兩單擺的擺球在最低點時，向心加速度大小一定不相等
√
D　[甲、乙兩單擺的振幅分別為4 cm和2 cm，則振幅之比為2∶1，選項A錯誤；t＝2 s時，甲單擺在平衡位置，則重力勢能不為最大，乙單擺在最高點，則動能最小，選項B錯誤；甲、乙兩單擺的周期
之比為1∶2，根據T＝2π可知，擺長之比為1∶4，選項C錯誤；
設擺球擺動的最大偏角為θ，由mgl(1－cos θ)＝mv2及a＝可得，擺球在最低點時向心加速度a＝2g(1－cos θ)，甲擺振幅較大，擺長較小，則甲擺的擺角θ較大，所以a甲＞a乙，選項D正確。故選D。]
學習效果·隨堂評估自測
√
√
1．(雙選)下列有關單擺運動過程中的受力，說法正確的是(　　)
A．單擺運動的回復力是重力
B．單擺經過平衡位置時合力提供向心力
C．單擺運動的回復力是擺線拉力的一個分力
D．在擺角很小的情況下，單擺回復力符合簡諧運動特點
BD　[單擺經過平衡位置時，重力和擺線拉力的合力提供向心力，B正確；單擺的回復力是重力沿圓弧切線方向的一個分力，而不是重力，也不是擺線拉力的分力，A、C錯誤；當擺角θ＜5°時，單擺回復力符合簡諧運動特點，D正確。]
2．(雙選)一單擺做小角度擺動，其振動圖像如圖所示，以下說法正確的是(　　)
A．t1時刻擺球速度為零，擺球的回復力最大
B．t2時刻擺球速度為零，懸線對它的拉力最小
C．t3時刻擺球速度為零，擺球的回復力最小
D．t4時刻擺球速度最大，懸線對它的拉力最大
√
√
AD　[由振動圖像知，t1和t3時刻擺球偏離平衡位置的位移最大，此時擺球的速度為零，擺球的回復力最大，A正確，C錯誤；t2和t4時刻擺球位移為零，正在通過平衡位置，速度最大，由于擺球做圓周運動(一部分)，由牛頓第二定律得出懸線對擺球拉力最大，D正確，B錯誤。]
√
3．(源自人教版教材改編)如圖所示為同一地點的兩單擺甲、乙的振動圖像，下列說法正確的是 (　　)
A．甲擺的擺長大于乙擺的擺長
B．甲擺的頻率大于乙擺的頻率
C．在t＝0.5 s時，甲擺正經過平
衡位置向x軸正方向運動　　
D．在t＝1.0 s時，乙擺的速率大于甲擺的速率
D　[由題圖可知，甲擺的周期等于乙擺的周期，則甲擺的頻率等于
乙擺的頻率，B錯誤；根據單擺周期公式T＝2π，可得擺長L＝
，由于兩擺的周期相同，則甲擺的擺長等于乙擺的擺長，A錯誤；在t＝0.5 s時，甲擺正經過平衡位置向x軸負方向運動，C錯誤；在t＝1.0 s時，乙擺在平衡位置，此時乙擺速率最大，甲擺在離平衡位置最遠處，則此時甲擺的速率為零，易知此時乙擺的速率大于甲擺的速率，D正確。]
4．(新情境題，以雙線擺為背景，考查單擺的周期公式)如圖所示的雙線擺，如果擺球大小不計，其擺線長均為L，線與天花板間的夾角為α，重力加速度為g，求：
(1)此雙線擺等效為單擺時的擺長；
(2)當小球垂直于紙面做簡諧運動時的周期。
[解析]　(1)擺球垂直紙面做簡諧運動，由題圖可知此雙線擺等效為單擺時的擺長是l＝L sin α。
(2)根據單擺的振動周期T＝2π可得擺球垂直紙面做簡諧運動的周期為
T＝2π。
[答案]　(1)L sin α　(2)2π
回歸本節知識，自我完成以下問題：
1．單擺的回復力由什么來提供？
提示：重力G沿圓弧切線方向的分力mg sin θ提供單擺運動的回復力。
2．單擺在偏角多大的條件下做簡諧運動？
提示：偏角很小，通常θ＜5°。
3．單擺的周期公式是什么？與什么因素有關？
提示：T＝2π。與擺長l和重力加速度g有關。
題號
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√
課時分層作業(六)　單擺
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?題組一　單擺及其受力、運動分析
1．在如圖所示的裝置中，可視為單擺的是(　　)
A　　　B　　　C　 　D
題號
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A　[單擺的懸線要求無彈性且粗細、質量可忽略，擺球的直徑與懸線長度相比可忽略，故A對，B、C錯；懸點必須固定，故D錯。]
√
題號
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2．關于單擺，下列說法正確的是(　　)
A．擺球受到的回復力方向總是指向平衡位置
B．擺球受到的回復力是它所受的合力
C．擺球經過平衡位置時，所受的合力為零
D．擺角很小時，擺球所受合力的大小跟擺球相對于平衡位置的位移大小成正比
A　[回復力是使擺球回到平衡位置的力，其方向總是指向平衡位置，A選項正確；擺球所受的回復力是重力沿圓弧切線方向的分力，不是擺球所受的合力，B選項錯誤；擺球經過平衡位置時，回復力為零，但由于擺球做圓周運動，有向心力，合力不為零，方向指向懸點，C選項錯誤；擺角很小時，回復力與擺球相對于平衡位置的位移大小成正比，但合力沒有此關系，D選項錯誤。]
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3．(雙選)如圖所示，對于做簡諧運動的單擺，當所受回復力逐漸增大時，隨之變小的物理量是(　　)
A．擺線上的張力
B．擺球的振幅
C．擺球的重力勢能
D．擺球的動能
題號
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AD　[回復力逐漸增大時，擺球的重力沿切線方向的分力增大，速度變小，動能變小，重力勢能增大，向心力減小，張力減小，振幅不變。故選AD。]
√
√
4．有一個正在擺動的秒擺(T＝2 s)，若取擺球正從平衡位置向左運動時開始計時，那么當t＝1.6 s時，以下對擺球的運動情況及回復力變化情況正確的是(　　)
A．正在向左做減速運動，回復力正在增大
B．正在向右做減速運動，回復力正在增大
C．正在向右做加速運動，回復力正在減小
D．正在向左做加速運動，回復力正在減小
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D　[秒擺的周期為T＝2 s，取擺球正從平衡位置向左運動時開始計時，當t＝1.6 s時，即T題號
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?題組二　單擺的周期
5．發生下述哪一種情況時，單擺周期會增大(　　)
A．增大擺球質量　　　 B．縮短擺長
C．減小單擺振幅　　 D．將單擺由山下移到山頂
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D　[由單擺的周期公式T＝2π可知，g減小時周期會變大，D正確。]
√
6．將單擺和彈簧振子都放在豎直向上做勻加速運動的電梯中，則(　　)
A．兩者的振動周期都不變
B．兩者的振動周期都變小
C．單擺的振動周期變小，彈簧振子的振動周期不變
D．單擺的振動周期變小，彈簧振子的振動周期變大
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C　[彈簧振子的振動周期只與其本身的因素有關，跟物體的運動狀態無關，所以彈簧振子的周期不變；當電梯加速向上運動時，單擺的等效重力加速度變大，單擺的周期變小，所以選項C正確。]
7．惠更斯利用擺的等時性原理制成了第一座擺鐘。如圖1所示為日常生活中我們能見到的一種擺鐘。圖2所示為擺的結構示意圖，圓盤固定在擺桿上，螺母可以沿擺桿上下移動。在甲地走時準確的擺鐘移到乙地未做其他調整時擺動加快了，下列說法正確的是(　　)
題號
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圖1　　　　圖2
A．甲地的重力加速度較大，若要調準可將螺母適當向下移動
B．甲地的重力加速度較大，若要調準可將螺母適當向上移動
C．乙地的重力加速度較大，若要調準可將螺母適當向下移動
D．乙地的重力加速度較大，若要調準可將螺母適當向上移動
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C　[由甲地到乙地擺動加快則說明周期變小，因T＝2π，則重力加速度變大，要使周期不變小，則應增加擺長，即將螺母適當向下移動，C正確。]
√
8．(雙選)將一單擺向左拉至圖示最左側位置，從靜止釋放，當擺球運動到最低點時，擺線碰到障礙物，擺球繼續向右擺動。用頻閃照相機拍到如圖所示的單擺運動過程的頻閃照片，以下說法正確的是 (　　)
A．擺線碰到障礙物前后的周期之比為3∶2
B．擺線碰到障礙物前后的擺長之比為3∶2
C．擺球經過最低點時，線速度不變，半徑減小，擺線張力變大
D．擺球經過最低點時，角速度變大，半徑減小，擺線張力不變
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AC　[由單擺的周期公式T＝2π知，L∝T2，由于是頻閃照片，題
圖中相鄰兩小球的影像的時間間隔是相同的，所以周期之比是9∶6＝3∶2，周期平方比即擺長比是9∶4，故A正確，B錯誤；小球在擺動過程中機械能守恒，擺線經過最低點時，小球線速度不變，由v＝ωr可知r減小，角速度變大。由向心力知識，T－mg＝m可知，r減小，擺線張力T變大，故C正確，D錯誤。]
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9．擺長為l的單擺做簡諧運動，若從某時刻開始計時(即取作t＝0)，當振動至t＝時，擺球恰具有負向最大速度，則單擺的振動圖像是圖中的(　　)
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A　　　　　B　　　　C　　　　　D
D　[t＝＝T，擺球具有最大速度時，單擺應在平衡位置，y＝0，v方向沿y軸負方向，故D選項正確。]
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10．(雙選)如圖所示為同一地點的兩單擺甲、乙的振動圖像，下列說法中正確的是(　　)
A．甲、乙兩單擺的擺長相等
B．甲擺的振幅比乙擺大
C．甲擺的機械能比乙擺大
D．在t＝0.5 s時有正向最大加速度的是甲擺
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AB　[由題圖看出，兩個單擺的周期相同，同一地點g相同，由單擺的周期公式T＝2π 得知，甲、乙兩單擺的擺長L相等，故A正確；甲擺的振幅為10 cm，乙擺的振幅為7 cm，則甲擺的振幅比乙擺大，故B正確；盡管甲擺的振幅比乙擺大，兩擺的擺長也相等，但由于兩擺的質量未知，無法比較機械能的大小，故C錯誤；在t＝0.5 s時，乙擺具有最大負向位移，由a＝－ 可知，乙擺具有正向最大加速度，故D錯誤。]
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11．(雙選)如圖所示，一個光滑凹槽半徑為R，弧長為L(已知R L)。現將一質量為m的小球從凹槽邊緣由靜止釋放，小球以最低點為平衡位置做簡諧運動。已知重力加速度大小為g，下列說法正確的是(　　)
A．小球做簡諧運動的回復力為重力和支持力的合力
B．小球做簡諧運動的回復力為重力沿凹槽圓弧切線方向的分力
C．小球做簡諧運動的周期為2π
D．小球做簡諧運動的周期為2π
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BD　[小球做簡諧運動的回復力為重力沿凹槽圓弧切線方向的分力，選項B正確，A錯誤；小球做簡諧運動時，圓弧的半徑相當于擺長，則其周期為2π，選項C錯誤，D正確。]
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12．將力傳感器連接到計算機上就可以測量快速變化的力。圖甲中O點為單擺的固定懸點，現將小擺球(可視為質點)拉至A點，此時細線處于張緊狀態，釋放擺球，則擺球將在豎直平面內的A、B、C之間來回擺動，其中B點為運動中的最低位置，∠AOB＝∠COB＝θ，θ小于5°且是未知量。圖乙表示由計算機得到的細線對擺球的拉力F的大小隨時間t變化的曲線，且圖中t＝0時刻為擺球從A點開始運動的時刻。試根據力學規律和題中(包括圖中)所給的信息，求擺球的振動周期和擺長。(g取10 m/s2)
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甲　　　　　　　　乙
[解析]　一個周期內擺球兩次經過最低點，且在最低點細線的拉力最大，由F-t圖線可知，單擺的周期T＝0.4π s。
單擺的周期T＝2π，
解得L＝＝0.4 m。
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[答案]　0.4π s　0.4 m
13．某中學的實驗室內有一秒擺(T＝2.0 s)，一位同學用其做實驗，該同學使擺球偏離平衡位置的距離為 4 cm，然后靜止釋放擺球，得到如圖所示的振動圖像。取地球表面的重力加速度g＝10 m/s2，π2＝10。不計空氣阻力。
(1)振動圖像中A和b應該標注的
數值為多少？
(2)求秒擺的擺長；
(3)已知月球上的自由落體加速度為g′＝1.6 m/s2，求此秒擺在月球表面的振動周期。
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[解析]　(1)由題意可知，振幅為0.04 m，則A＝0.04。秒擺的周期是2 s，故b＝1。
(2)根據單擺周期公式
T＝2π
可知擺長為
l＝1 m。
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(3)當此秒擺在月球上時由周期公式
T′＝2π
代入數據可得
T′＝5 s。
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[答案]　(1)0.04　1　(2)1 m　(3)5 s
謝 謝！

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