資源簡介

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現代文閱讀Ⅰ
把握共性之“新”　打通應考之“脈”
第2章 機械振動
第4節　科學測量：用單擺測量重力加速度
[實驗目標]　1．用單擺測量重力加速度。2．會用秒表測量時間。3．能分析實驗誤差的來源，并能采用適當方法減小測量誤差。
必備知識·自主預習儲備
一、實驗原理與設計
1．單擺做簡諧運動時，由周期公式T＝2π，可得g＝。因此，測出單擺擺長和振動周期，便可計算出當地的重力加速度。
2．用秒表測量30～50次全振動的時間，計算平均做一次全振動的時間，得到的便是振動周期。
二、實驗器材
長約1 m的細線、開有小孔的金屬小球、帶有鐵夾的鐵架臺、刻度尺、秒表、游標卡尺。
三、實驗步驟
1．取長約1 m的細線，細線的一端連接
小球，另一端用鐵夾固定在鐵架臺上，
讓擺球自由下垂，如圖所示。
實驗裝置示意圖
2．用刻度尺測擺線長度l線，用游標卡尺測小球的直徑d。測量多次，取平均值，計算擺長l＝l線＋。
3．將小球從平衡位置拉至一個偏角小于5°的位置并由靜止釋放，使其在豎直面內振動。待振動穩定后，從小球經過平衡位置時開始用秒表計時，測量N次全振動的時間t，則周期T＝。如此重復多次，取平均值。
4．改變擺長，重復實驗多次。
5．將每次實驗得到的l、T代入g＝計算重力加速度，取平均值，即為測得的當地重力加速度。
四、數據處理
1．平均值法：每改變一次擺長，將相應的l和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值。設計如表所示實驗表格。
實驗次數 擺長l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s-2) g的平均值
1 g＝
2
3
2．圖像法：由T＝2π得T2＝l，作出T2-l圖像，即以T2為縱軸，以l為橫軸，其斜率k＝。由圖像的斜率即可求出重力加速度g。
五、注意事項
1．選擇材料時應選擇細而不易伸長的線，比如用單根尼龍絲、絲線等，長度一般不應短于1 m，小球應選用密度較大的金屬球，直徑最好不超過2 cm。
2．單擺懸線的上端不可隨意卷在鐵夾的桿上，應夾緊在鐵夾中，以免擺動時擺線下滑、擺長改變。
3．注意擺動時控制擺線偏離豎直方向不超過5°。
4．擺球擺動時，要使之保持在同一個豎直平面內，不要形成圓錐擺。
5．計算單擺的振動次數時，應以擺球通過最低點時開始計時，以后擺球應從同一方向通過最低點時計數，要多測幾次全振動的時間，用取平均值的辦法求周期。
六、誤差分析
1．本實驗的系統誤差主要來源于單擺模型本身是否符合要求，即懸點是否固定，是單擺還是復擺，球、線是否符合要求，振動是圓錐擺還是同一豎直平面內的振動，以及測量哪段長度作為擺長等。
2．本實驗的偶然誤差主要來自時間(單擺周期)的測量上。因此，要注意測準時間(周期)，要從擺球通過平衡位置開始計時，最好采用倒數計時計數的方法，不能多記或漏記振動次數。為了減小偶然誤差，應進行多次測量后取平均值。
3．本實驗在長度(擺線長、擺球的直徑)的測量中，讀數讀到毫米位即可，時間的測量中，秒表讀數的有效數字的末位在“秒”的十分位即可。
關鍵能力·情境探究達成
類型一　實驗操作與測量
【典例1】　根據單擺周期公式T＝2π，可以通過實驗測量當地的重力加速度。如圖所示，將細線的上端固定在鐵架臺上，下端系一小鋼球，就做成了單擺。
(1)用游標卡尺測量小鋼球的直徑，示數如圖所示，讀數為______ mm。
18.6
(2)以下是實驗過程中的一些做法，其中正確的有____________。
a．擺線要選擇細些的、伸縮性小些的，并且盡可能長一些
b．擺球盡量選擇質量大些、體積小些的
c．為了使擺的周期大一些，以方便測量，開始時拉開擺球，使擺線相距平衡位置有較大的角度
d．拉開擺球，使擺線偏離平衡位置不大于5°，在釋放擺球的同時開始計時，當擺球回到開始位置時停止計時，此時間間隔Δt即為單擺周期T
e．拉開擺球，使擺線偏離平衡位置不大于5°，釋放擺球，當擺球振動穩定后，從平衡位置開始計時，記下擺球做50次全振動所用的時間Δt，則單擺周期T＝
abe
[解析]　(1)該游標尺為十分度的，根據讀數規則可讀出小鋼球直徑大小為18 mm＋6×0.1 mm＝18.6 mm。
(2)根據用單擺測量重力加速度的實驗要求可判斷正確的為abe。
類型二　數據處理和誤差分析
【典例2】　利用單擺可以測量當地的重力加速度。如圖甲所示，將細線的上端固定在鐵架臺上，下端系一小球，做成單擺。
(1)若已知擺球直徑為2.00 cm，讓刻度尺的零點對準擺線的懸點，擺線豎直下垂，如圖乙所示，則單擺擺長是__________m。
(2)在某次測量時，將小球拉離平衡位置一個小角度，由靜止釋放小球，穩定后在小球某次經過平衡位置時開始計時，經過25個全振動時停止計時，測量結果如圖丙所示。則秒表測得的時間t＝_______s，計算出單擺周期T＝_______s。
0.875 0
100.0
4.0
(3)為了提高測量精度，需多次改變l值，并測得相應的T值。現將測得的六組數據標示在以l為橫坐標，以T2為縱坐標的坐標系上，即圖中用“·”表示的點，則：
試根據圖中給出的數據點作出T2和l的
關系圖線，根據圖線可求出g＝____m/s2。
圖線不過原點，_______(選填“會”或
“不會”)影響重力加速度的測量。(取
π2＝10，結果保留2位有效數字)
見解析圖
10
不會
[解析]　(1)由題圖乙可知擺長
l＝(88.50－1.00) cm＝87.50 cm＝0.875 0 m。
(2)秒表測得的時間為
t＝60 s＋40.0 s＝100.0 s
計算出單擺周期為
T＝＝4.0 s。
(3)把在一條直線上的點連在一起，誤差較大的點平均分布在直線的兩側，如圖所示：
則直線斜率k＝
由g＝＝
可得g＝10 m/s2
T2-L圖線不過原點，但圖線的斜率沒有改變，故不會影響重力加速度的測量。
類型三　創新實驗設計
【典例3】　在“利用單擺測重力加速度”的實驗中。
(1)從下列器材中選擇最合適的器材_______(填寫器材代號)。
A．小鐵球
B．小塑料球
C．20 cm長的細線
D．100 cm長的細線
E．手表
F．時鐘
G．秒表
ADG
(2)若實驗測得的g值偏大，可能的原因是______。
A．擺球的質量太大
B．測擺長時，僅測了線長，未加小球半徑
C．測周期時，把n次全振動誤記為(n＋1)次
D．擺球上端未固定牢固，振動中出現松動(擺長變長)
C
(3)某同學想進一步驗證單擺的周期和重力加速度的關系，但又不可能去不同的地區做實驗。該同學就將單擺與光電門傳感器安裝在一塊摩擦不計、足夠大的板上，使板傾斜α角度，讓擺球在板的平面內做小角度擺動，如圖甲所示。利用該裝置可以驗證單擺的周期和等效重力加速度的關系。若保持擺長不變，則實驗中需要測量的物理量有____________________________________。若從實驗中得到所測物理量數據的關系圖線如圖乙所示，則圖像中的縱坐標表示
_____，橫坐標表示____________。
甲　　　　　　　乙
板的傾角α和單擺振動的周期T
T2
[解析]　(1)在題目列出的器材中，最合適的有：小鐵球、100 cm長的細線以及秒表，故選ADG。
(2)根據T＝2π，可得g＝，可知擺球的質量對測量結果無影響，故A錯誤；測擺長時，僅測了線長，未加小球半徑，這樣測得的擺長偏小，則測得的重力加速度g值偏小，故B錯誤；測周期時，把n次全振動誤記為(n＋1)次，則測得的周期偏小，則測得的重力加速度g值偏大，故C正確；擺球上端未固定牢固，振動中出現松動，擺長變長，這時測得的擺長偏短，則測得的重力加速度g值偏小，故D錯誤。
(3)此單擺的等效重力加速度為g′＝g sin α，則單擺的周期T＝2π，則保持擺長不變時，要測量的物理量是：板的傾角α和單擺振動的周期T。
將T＝2π變形為T2＝·，若從實驗中得到所測物理量數據的關系圖線如題圖乙所示，則圖像中的縱坐標表示T2，橫坐標表示。
學習效果·隨堂評估自測
1．甲、乙兩個學習小組分別利用單擺測量重力加速度。
(1)甲組同學采用如圖甲所示的實驗裝置。
甲　　　　　乙
丙
①為比較準確地測量出當地重力加速度的數值，除秒表外，在下列器材中，還應該選用_______(用器材前的字母表示)。
a．長度接近1 m的細繩
b．長度為30 cm左右的細繩
c．直徑為1.8 cm的塑料球
d．直徑為1.8 cm的鐵球
e．最小刻度為1 cm的米尺
f．最小刻度為1 mm的米尺
adf
②該組同學先測出懸點到小球球心的距離L，然后用秒表測出單擺完成n次全振動所用的時間t。請寫出重力加速度的表達式g＝
_______(用所測物理量表示)。
③在測量擺長后，測量周期時，擺球振動過程中懸點O處擺線的固定出現松動，擺長略微變長，這將會導致所測重力加速度的數值_______(選填“偏大”“偏小”或“不變”)。
偏小
(2)乙組同學在圖甲所示裝置的基礎上再增加一個速度傳感器，如圖乙所示。將擺球拉開一小角度使其做簡諧運動，速度傳感器記錄了擺球振動過程中速度隨時間變化的關系，如圖丙所示的v-t圖線。
①由圖丙可知，該單擺的周期T＝______s。
②更換擺線長度后，多次測量，根據實驗數據，利用計算機作出T2-L圖線，并根據圖線擬合得到方程＝4.04L。由此可以得出當地的重力加速度g＝______(取π2＝9.86，結果保留3位有效數字)。
2.0
9.76
[解析]　(1)①根據T＝2π得g＝，知需要測量擺長，即擺線長和小球的直徑，擺線應選1 m左右的不可伸長的線，小球應選用質量大、體積小的金屬球，測量擺線長的米尺的最小刻度應為1 mm，故選adf。
②因為T＝，則g＝＝。
③擺長略微變長，則擺長的測量值偏小，則導致測得的重力加速度偏小。
(2)①由v-t圖線可知，單擺的周期T＝2.0 s。
②由T＝2π，得T2＝L
即圖線的斜率k＝＝4.04 s2·m-1
解得g≈9.76 m/s2。
2．將一單擺裝置豎直懸掛于某一深度為h(未知)且開口向下的小筒中(單擺的下部分露于筒外)，如圖甲所示，將懸線拉離平衡位置一個小角度后由靜止釋放，設單擺擺動過程中懸線不會碰到筒壁，如果本實驗的長度測量工具只能測量出筒的下端口到擺球球心的距離L，并通過改變L而測出對應的擺動周期T，再以T2為縱軸、L為橫軸作出函數關系圖像，那么就可以通過此圖像得出小筒的深度h和當地的重力加速度g。
甲　　　　　　　乙
(1)測量單擺的周期時，某同學在擺球某次通過最低點時，按下秒表開始計時，同時數“1”，當擺球第二次通過最低點時數“2”，依此法往下數，當他數到“59”時，停止計時，讀出這段時間t，則該單擺的周期為 (　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
√
(2)如果實驗中所得到的T2-L關系圖像如圖乙所示，那么真正的圖像應該是a、b、c中的_____。
(3)由圖像可知，小筒的深度h＝______m；當地重力加速度g＝_______m/s2。(取π＝3.14，后一空結果取3位有效數字)
a
0.3
9.86
[解析]　(1)58個“半周期”，這段時間t含有29個周期，該單擺的周期為，選項A正確。
(2)設擺線在筒內部分的長度為h，由T＝2π得＝L＋h，可知T2-L關系圖線為a。
(3)將T2＝0，L＝－30 cm代入上式可得
h＝30 cm＝0.3 m
將T2＝1.20 s2，L＝0代入上式可求得
g＝π2 m/s2≈9.86 m/s2。
3．用單擺測量重力加速度的實驗裝置如圖所示。
(1)測出懸點O到小球球心的距離(擺長)l及單擺完成n次全振動所用的
時間t，則重力加速度g＝_________(用l、n、t表示)。
(2)下表是某同學記錄的3組實驗數據，并做了部分計算處理。
組次 1 2 3
擺長l/cm 80.00 90.00 100.00
50次全振動時間t/s 90.0 95.5 100.5
振動周期T/s 1.80 1.91
重力加速度g/(m·s-2) 9.74 9.73
請計算出第3組實驗中的T＝_________s，g＝______m/s2(π取3.14)。
2.01
9.76
(3)用多組實驗數據作出T2-l圖像，也可以求出重力加速度g。已知三位同學作出的T2-l圖線的示意圖如圖中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都過原點，圖線b對應的g值最接近當地重力加速度的值。則相對于圖線b，下列分析正確的是______(填選項前的字母)。
A．出現圖線a的原因可能是誤將懸點到小球下端的距離記為擺長l
B．出現圖線c的原因可能是誤將49次全振動記為50次
C．圖線c對應的g值小于圖線b對應的g值
B
(4)某同學在家里測重力加速度。他找到細線和鐵鎖，制成一個單擺，如圖所示，由于家里只有一根量程為0～30 cm的刻度尺，于是他在細線上的A點做了一個標記，使得懸點O到A點間的細線長度小于刻度尺量程。保持該標記以下的細線長度不變，通過改變O、A間細線長度以改變擺長。實驗中，當O、A間細線的長度分別為l1、l2時，測得相應單擺的周期為T1、T2。由此可得重力加速度g＝
_________(用l1、l2、T1、T2表示)。
[解析]　(1)單擺的振動周期T＝
根據T＝2π，得g＝＝。
(2)T3＝＝2.01 s
根據T＝2π，
得g＝≈9.76 m/s2。
(3)根據T＝2π，得T2＝l，即當l＝0時，T2＝0。出現圖線a的原因是計算擺長時過短，可能是誤將懸點O到小球上端的距離記為擺長，選項A錯誤；對于圖線c，其斜率k變小了，根據k＝，可能是T變小了或l變大了，選項B中誤將49次全振動記為50次，則周期T變小，選項B正確；由＝k得g＝，則圖線c的斜率k變小，重力加速度g變大，選項C錯誤。
(4)設A點到鐵鎖重心的距離為l0。根據單擺的周期公式T＝2π，得T1＝2π，T2＝2π。聯立以上兩式，解得重力加速度g＝。
4．(創新應用)某小組在做“用單擺測定重力加速度”實驗后，為進一步探究，將單擺的輕質細線改為剛性重桿。通過查資料得知，這樣做成的“復擺”做簡諧運動的周期T＝2π ，式中Ic為由該擺決定的常量，m為擺的質量，g為重力加速度，r為轉軸到重心C的距離。如圖甲所示，實驗時在桿上不同位置打上多個小孔，將其中一個小孔穿在光滑水平軸O上，使桿做簡諧運動，測量并記錄r和相應的運動周期T；然后將不同位置的孔穿在軸上重復實驗，實驗數據見表，并測得擺的質量m＝0.50 kg。
甲　　 乙
r/m 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20
T/s 2.11 2.14 2.20 2.30 2.43 2.64
(1)由實驗數據得出圖乙所示的擬合直線，圖中縱軸表示________。
(2)Ic的國際單位為_________，由擬合直線得到Ic的值為________(保留到小數點后兩位)。
(3)若擺的質量測量值偏大，重力加速度g的測量值_______(選填“偏大”“偏小”或“不變”)。
T2r
kg·m2
0.17
不變
[解析]　(1)由T＝2π，可得T2r＝r2，所以題圖乙中縱軸表示T2r。
(2)Ic單位與mr2單位一致，因為mr2的國際單位為kg·m2，所以Ic的國際單位為kg·m2；
結合T2r＝r2和題圖乙中的截距和斜率，解得Ic的值約為0.17。
(3)重力加速度g的測量值是通過求斜率得到的，與質量無關，所以若擺的質量測量值偏大，重力加速度g的測量值不變。
謝 謝！

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