資源簡介

第42屆全國中學生物理競賽預賽試題解答及評分標準
（2025年9月6日9:00-12:00）
一、選擇題（本題60分，共5小題，每小題12分。在每小題給出的4個選項中，有的小題只有一項符合題意，有的小題有多項符合題意。將符合題意的選項前面的英文字母寫在答題紙上相應小題題號后面的括號內。全部選對的給12分，選對但不全的給6分，有選錯或不答的給0分。）
1. B 2. A 3. A 4. D 5. BD
二、填空題（本題100分，共5小題，每小題20分，每空10分。把答案填在答題紙上相應題號后面的下橫線上。只需給出結果，不要寫出求得結果的過程。）
7.,
8. 7.7,
9.
10. 3.7，7
三、計算題（本題240分，共6小題，每小題40分。計算題的解答應寫出必要的文字說明、方程式和重要的演算步驟，只寫最后結果的不給分。有數值計算的，答案中必須明確寫出數值，有單位的必須寫出單位。）
11.
（1）對于入射到介質1、2的交界面上的A點的光線，令入射角為，反射角為，折射角為，如題解圖11a所示。由折射定律得
①
由反射定律得
②
由題設，光線在A點的反射光線和折射光線相互垂直，即
③
折射光線到達介質2、3的交界面上的B點，令入射角為，反射角為，折射角為，同樣有
④
⑤
由題給條件，折射光線在B點剛好能發生全反射，因而
⑥
由幾何關系得
⑦
由④⑤⑥⑦式得
⑧
由①②③式得
⑨
由⑨式得
⑩
由⑧⑩式得

（2）如題解圖11b，以某一初始入射角入射到介質1、2的交界面上的A點，折射角為。注意，此時限制條件③⑥不一定滿足。但 式不受入射角的取值的影響，仍成立，因而有

可見，光線在介質2中入射到介質2、3的交界面上反射時，不會發生半波損失。*
同理，由于

光線在介質1中入射到介質1、2的交界面上反射時，也不會發生半波損失。 **
A點的折射光線經介質2、3交界面上的B點反射后，再經介質1、2交界面上的C點折射。光線在A、B和C三點入射角、反射角、折射角分別以（1）中類似記號打撇號表示，它們滿足相應的折射定律公式與反射定律公式以及幾何關系。
由于介質1、2的交界面和介質2、3交界面相互平行，在介質1中光線a和b也相互平行。在介質1中自C點向光線a作垂線交光線a于D點。由幾何關系可知

經凸透鏡匯聚后在其焦平面的光線a和b的光程差為

利用 式、折射定律、反射定律和幾何關系得

利用①式， 式可化簡為

a和b經凸透鏡匯聚后在其焦平面上發生干涉，觀察到第一級亮條紋，因而

由 式得

由① 式得

此即

評分標準：本題40分。
第（1）問20分，①式3分，②式2分，③式1分，④⑤式各2分，⑥⑦式各1分，⑧式2分，
⑨式1分，⑩式3分， 式2分；
第（2）問20分， 式2分，*1分，**1分， 式2分， 式3分， 式各2分， 式1分，
式各2分。
12.
（1）在平面內將原坐標系繞軸沿順指針方向旋轉，形成新的坐標系，如題解圖12a所示。
新坐標系中的基矢為
， *2’
這里，沿磁場方向，垂直于磁場方向。將電場分解為沿著磁場方向的電場
①
和垂直磁場方向的電場
②
磁感應強度僅在方向不為零，有
③
設時刻在新坐標系中粒子的速度和加速度分別為
，
粒子受到電場力和磁場力的作用，按牛頓第二定律（并利用①②式）得
（即 ） ④
（即 ） ⑤
⑥
值得注意的是，運動方程⑤只與沿磁場方向的物理量有關，而方程④和⑥只與垂直于磁場方向的物理量有關。因此，粒子的運動可分解為沿磁場方向的運動和垂直于磁場方向的運動，這兩個運動相互獨立。**
（2）沿著磁場方向，粒子僅受到靜電力作用
粒子沿磁場方向做勻加速運動，由⑤式得
⑦
設點的-坐標和-坐標分別為和。粒子從坐標原點運動到，沿磁場方向的位移大小為
⑧
設粒子從坐標原點運動到的時間為，按勻加速運動學公式有
⑨
由⑦⑧⑨式和題給數據得
⑩
（3）在垂直于磁場的平面內，粒子受到磁場的作用力以及由②式所示的電場對它的作用力
設點的-坐標和-坐標分別為和。粒子從坐標原點運動到，電場力對它做的功為

磁場力不做功。根據功能原理，粒子在點時它在垂直磁場的平面內運動的速度大小滿足

粒子在點時磁場對該粒子的作用力的大小為

聯立② 式和題給數據得

（4）已知粒子的運動軌跡始終在同一個平面內。由運動方程⑤式可知，

從而

粒子要保持在同一個平面內運動，需要且僅需要在垂直于磁場的平面內的某一固定方向上粒子的運動速度是不為零的矢量，而在垂直于的方向上恒為零。設與的夾角為，有
由此得
由④⑥式及上式得
此即
由此得
于是

從而由④⑥式
，
粒子在方向做勻速運動。
設初始時刻粒子沿著方向運動的速度為，剛釋放粒子時它沿著磁場方向的速度滿足

粒子沿磁場方向做勻變速運動，在方向做勻速運動，所以它在時刻的位移矢量

聯立②⑦ 式得

此即



評分標準：本題40分。
第（1）問12分，*2分，①②式各1分，④⑤⑥式各2分，**2分；
第（2）問7分，⑦式1分, ⑧⑨⑩式各2分；
第（3）問8分， 式各2分；
第（4）問13分， 式各1分， 式各2分， 式各1分。
13.
（1）滑塊與斜面達到共同速度時，滑塊到達最高點。設此時斜面的速度大小和滑塊上升的高度分別為和。對于滑塊與斜面構成的體系，有能量守恒
①
以及水平方向上動量守恒
②
由①②式得
③
④
（2）設滑塊上升至離地面高度（）處時，斜面的速度為，滑塊的速度為，滑塊相對于斜面的速度為，相應的速度大小分別為、和。矢量、和組成一個三角形，由題意知，相對于的偏角為。由余弦定理有
⑤
對于滑塊和斜面構成的體系，有能量守恒
⑥
以及水平方向上動量守恒
⑦
由⑤⑥⑦式有
⑧
解得
⑨
由于③式的限制，⑨式根號前取了負號。由⑦⑨式得
⑩
（3）由⑩式得


式是顯然成立的。斜面和滑塊各受恒力作用，均做勻加速運動。滑塊相對于斜面運動的平均速度為

由④ 式得，滑塊從O點開始運動到最高點的時間為

由 式得，滑塊相對于斜面的加速度為

式中負號表示滑塊加速度方向沿斜面向下。由⑦ 式得，斜面的加速度為

式中正號表示斜面加速度方向向右。
[解法（二）
由⑩式得


由 式得

可見，滑塊在斜面上相對于斜面做勻加速運動。滑塊相對于斜面的加速度為

式中負號表示滑塊加速度方向沿斜面向下。由⑦ 式得，斜面的加速度為

式中正號表示斜面加速度方向向右。由、 ’ ’及勻加速運動公式得，滑塊從O點開始運動到最高點的時間為

]
評分標準：本題40分。
第（1）問10分，*2分，①②③④各2分；
第（2）問15分，⑤⑥⑦各3分，⑧⑨⑩各2分；
第（3）問15分， 各2分， 式各3分。
14.
（1）振子a做簡諧振動，設其振幅為A，圓頻率為ω，初相為φ，則a相對于原點的位移可表示為
①
從而a的速度表示為
②
式中
③
將題給數據代入③式得
④
a從左邊4 m處從靜止釋放，可得
⑤
⑥
將④⑤⑥式代入①②式得，在時有
⑦
⑧
（2）設從到碰撞時a的相位增加，則有
⑨
在碰撞前的瞬間，設a位于，速度為。將代入⑦⑧式得
⑩

物塊b在電場力作用下做勻變速運動，在碰撞前的瞬間，其速度為

在碰撞后的瞬間，設c的速度為，因碰撞時間極短，故動量守恒，

由 式和題給數據得

彈簧和c構成新振子。設新振子的圓頻率為，可得

由 式和題給數據得

新振子受到的合力為
系統處于新的平衡位置時，設此時彈簧伸長量為x2，有

由 式和題給數據得

若以新的平衡位置為坐標原點，設此時c的坐標為，則由⑩ 式得

設c的振幅為，初相位為，相對于的位移可表示為

從而c的速度表示為

c在振動的過程中能量守恒，故

解得

已利用了 式。為新振子的計時零點，故

在 式中取得


由 式得

由 式有


考慮到，有

若以新的平衡位置為坐標原點，將 式代入簡諧運動方程，有

即

評分標準：本題40分。
第（1）問9分，①式1分，②式2分，③④式各1分，⑤⑥式各2分；
第（2）問31分，⑦式2分，⑧⑨⑩式各1分， 式3分， 式1分， 式3分， 式各1分， 式3分， 式各1分， 式各2分， 式各1分， 式各2分， 式1分。
15．
（1）取磁感應強度的正方向為垂直于紙面向外。圓形區域的磁場由螺線管的磁感應強度公式給出
為方便起見，以下記。由對稱性可知，徑向的感應電動勢為零。AB邊和CD上的感應電動勢和分別為
為求AD邊上的感應電動勢，取回路, 這個回路上的電動勢就是邊AD上的電動勢，由法拉第電磁感應定律有
磁感應強度的變化率為
聯立④⑤式得
同理，為求BC邊上的感應電動勢，取回路。回路上的電動勢是BC邊上的感應電動勢，回路和的磁通量相同，由法拉第電磁感應定律有
聯立⑤⑦式得
對梯形回路，上面兩電動勢方向相反，因此回路總電動勢為
聯立⑥⑦⑨式得
（2）梯形各邊AB, BC, CD, DA 的電阻分別是
其等效電路如題解圖15a所示。由安培定律，回路中的電流為
聯立⑩ 式得
BC兩端的電勢差為
聯立⑧ 式得
通過CD段的電流有效值為
CD段消耗的平均功率為
聯立 式得
（3）根據法拉第電磁感應定律，弧段的感應電動勢為

聯立⑤ 式得

此外，可求得弧段的電阻為，則等效電路為題解圖15b所示。由基爾霍夫定律，可列出兩回路方程

聯立⑥⑨ 式解得
通過DA段的電流為
聯立⑩ 式得
評分標準：本題40分。
第（1）問15分，①式2分，②③式各1分，④式2分，⑤⑥式各1分，⑦式3分，⑧⑨式各1分，⑩式2分（感應電動勢的表達式相差一個正負號不扣分）；
第（2）問11分， 式2分， 式1分， 式各2分， 式各1分， 式2分；
第（3）問14分， 式2分， 式1分， 式各3分， 式各1分， 式各2分。
16．
（1）設行星質量為M，衛星軌道半徑為r，衛星離行星表面的高度為h，衛星在分裂前的速率為。根據萬有引力定律和牛頓第二定律，有
①
對行星表面質量為m’的物體，根據萬有引力定律有
②
根據圓周運動線速度和角速度關系有
③
由幾何關系得
④
聯立①②③④式，可得
， ⑤
, ⑥
. ⑦
代入題給數據得
, ⑧
. ⑨
（2）設衛星分裂后P、Q的速度分別為、，P、Q的質量分別為、。按題意，有
⑩

由于衛星分裂時間極短，故分裂前后動量守恒

設Q運動到B點時的速率為。由于Q從A運動到B的過程中角動量守恒，機械能守恒，有


聯立⑩ 式并略去不合題意的解得




由②⑤⑦ 式及題給數據得



（3）由于Q在A點和B點時的速度均與當時Q所在矢徑（從行星中心指向Q）垂直，因此Q的軌道為橢圓，即Q為行星的衛星。 *
A、B點為Q的橢圓軌道和其長軸的交點，有

式中，為Q的橢圓軌道的半長軸。設Q的運動周期為，由開普勒第三定律得

聯立 式得

由⑤ 式和題給數據得

評分標準：本題40分。
第（1）問15分，①式3分，②③式各2分，④⑤⑥⑦式各1分，⑧⑨式各2分；
第（2）問17分，⑩ 式各1分， 式各2分， 式各1分， 式2分；
第（3）問8分，*2分， 式1分， 式2分， 式1分， 式2分。
2第 42 屆全國中學生物理競賽預賽試題解答及評分標準
（2025年 9月 6日 9:00-12:00）
一、選擇題（本題 60 分，共 5 小題，每小題 12 分。在每小題給出的 4 個選項中，有的小題只有一項符合
題意，有的小題有多項符合題意。將符合題意的選項前面的英文字母寫在答題紙上相應小題題號后面的括
號內。全部選對的給 12分，選對但不全的給 6分，有選錯或不答的給 0分。）
1. B 2. A 3. A 4. D 5. BD
二、填空題（本題 100 分，共 5 小題，每小題 20 分，每空 10 分。把答案填在答題紙上相應題號后面的下
橫線上。只需給出結果，不要寫出求得結果的過程。）
sin cos sin cos
6. 3 , 3 ( )2 sin
2 2 2 2 2 2
7. √√3 , 6
8. 7.7, 1.8 × 102
9. 24， 6.2
10. 3.7，7
三、計算題（本題 240分，共 6小題，每小題 40分。計算題的解答應寫出必要的文字說明、方程式和重要
的演算步驟，只寫最后結果的不給分。有數值計算的，答案中必須明確寫出數值，有單位的必須寫出單位。）
11.
（1）對于入射到介質 1、2 的交界面上的 A 點的光線，令入射角為 iA ，反射角為 rA ，
折射角為 tA ，如題解圖 11a 所示。由折射定律得
n1 sin iA = n2 sin tA ①
題解圖 11a
由反射定律得
iA = rA ②
由題設，光線在 A 點的反射光線和折射光線相互垂直，即
π
iA + tA = ③
2
折射光線到達介質 2、3 的交界面上的 B 點，令入射角為 iB ，反射角為 rB ，折射角為 tB ，同樣有
n2 sin iB = n3 sin tB ④
iB = rB ⑤
由題給條件，折射光線在 B 點剛好能發生全反射，因而
π
tB = ⑥
2
由幾何關系得
1
iB = rA ⑦
由④⑤⑥⑦式得
n2 sin tA = n3 ⑧
由①②③式得
sin t n
A = 1 ⑨
cos tA n2
由⑨式得
n
sin tA =
1 ⑩
n21 + n
2
2
由⑧⑩式得
n n
n = 1 23
n21 + n
2
2
（2）如題解圖 11b，以某一初始入射角 i A 入射到介質 1、2 的交界面上的 A 點，折
射角為 t A 。注意，此時限制條件③⑥不一定滿足。但 式不受入射角的取值的影
響，仍成立，因而有
n
n = 13 n2 n2
n2 2
題解圖 11b
1 + n2
可見，光線在介質 2 中入射到介質 2、3 的交界面上反射時，不會發生半波損失。*
同理，由于
n1 n2
光線在介質 1 中入射到介質 1、2 的交界面上反射時，也不會發生半波損失。 **
A 點的折射光線經介質 2、3 交界面上的 B 點反射后，再經介質 1、2 交界面上的 C 點折射。光線在 A、
B 和 C 三點入射角、反射角、折射角分別以（1）中類似記號打撇號表示，它們滿足相應的折射定律公式與
反射定律公式以及幾何關系。
由于介質 1、2 的交界面和介質 2、3 交界面相互平行，在介質 1 中光線 a 和 b 也相互平行。在介質 1
中自 C 點向光線 a 作垂線交光線 a 于 D 點。由幾何關系可知
ACD = i A
經凸透鏡匯聚后在其焦平面的光線 a 和 b 的光程差為
AC
l = 2 n AB n 2 sin i ba 2 1 A
2
利用 式、折射定律、反射定律和幾何關系得
d sin t
l A ba = 2n2 2n1d sin iA
cos t A cos t A
利用①式， 式可化簡為
l ba = 2dn2 cos tA
a 和 b 經凸透鏡匯聚后在其焦平面上發生干涉，觀察到第一級亮條紋，因而
l = ba
由 式得
= 2dn cos t 2 A
由① 式得
2
n2
2 = 4d 2n22 (1
1 sin2 i A )
n22
此即
n 2
i A = arcsin
2 1
n1 4n
2
2d
2

評分標準：本題 40 分。
第（1）問 20 分，①式 3 分，②式 2 分，③式 1分，④⑤式各 2 分，⑥⑦式各 1 分，⑧式 2 分，
⑨式 1 分，⑩式 3 分， 式 2 分；
第（2）問 20 分， 式 2 分，*1 分，**1 分， 式 2 分， 式 3 分， 式各 2 分， 式 1 分，
式各 2 分。
12.
（1）在 x-y 平面內將原坐標系S 繞 軸沿順指針方向旋轉 45 ，形成新的坐標系S ，如題解圖 12a 所示。
新坐標系S 中的基矢 i 、j 為
1 1
i = (i j)， j = (i + j) *2’
2 2
這里， j 沿磁場方向， i 垂直于磁場方向。將電場分解為沿著磁場方向的電場
E 1
E = E j = (i + j)j j ①
2 2 題解圖 12a
和垂直磁場方向的電場
E 1
E = E i = (i j) ②
i i
2 2
磁感應強度僅在 j 方向不為零，有
1
B = Bj = B (i + j)j ③
2
設 t時刻在新坐標系中粒子的速度和加速度分別為
v = (v ,v ,v ) ， a = (a ,a ,a )j i j k j i j k
粒子受到電場力和磁場力的作用，按牛頓第二定律（并利用①②式）得
E
q(E v B) = mai k i （即 q( v B) = mak i ） ④
2
E
qE = maj j （即 q = ma j ） ⑤
2
qvi B = mak ⑥
值得注意的是，運動方程⑤只與沿磁場方向的物理量有關，而方程④和⑥只與垂直于磁場方向的物理量有
關。因此，粒子的運動可分解為沿磁場方向的運動和垂直于磁場方向的運動，這兩個運動相互獨立。**
（2）沿著磁場方向 j ，粒子僅受到靜電力作用
E 1
F = qE = q (i + j)j j
2 2
粒子沿磁場方向做勻加速運動，由⑤式得
1 qE
a =j ⑦
2 m
設 P 點的 x -坐標和 y -坐標分別為 a和 b。粒子從坐標原點運動到 P ，沿磁場方向的位移大小為
3
1 1
d = (ai + bj) (i + j) = (a + b)j ⑧
2 2
設粒子從坐標原點運動到 P(a,b) 的時間為 t，按勻加速運動學公式有
1
d = a t
2
j j ⑨
2
由⑦⑧⑨式和題給數據得
2(a + b)m 2cm
t = = ⑩
qE qE
（3）在垂直于磁場的平面內，粒子受到磁場的作用力以及由②式所示的電場對它的作用力
E 1
F = qE = q (i j)
i i
2 2
設 P 點的 x -坐標和 y -坐標分別為 a 和 b 。粒子從坐標原點運動到 P ，電場力F 對它做的功為 i
W = F (a i + b j)i i
磁場力不做功。根據功能原理，粒子在 P 點時它在垂直磁場的平面內運動的速度大小 v
i 滿足
1
W = mv
2
i i 0
2
粒子在 P 點時磁場對該粒子的作用力的大小為
f = qv B i
聯立② 式和題給數據得
(a b )qE c qE
f = qB = qB
m m
（4）已知粒子的運動軌跡始終在同一個平面內。由運動方程⑤式可知，
a 0j
從而
v 0j
粒子要保持在同一個平面內運動，需要且僅需要在垂直于磁場的平面內的某一固定方向 n上粒子的運動
速度是不為零的矢量，而在垂直于 n的方向上恒為零。設 n與 i 的夾角為 ，有
v sin v cos = 0i k
由此得
a sin a cos = 0i k
由④⑥式及上式得
qE sin qB(v cos + v sin ) =m(a sin a cos ) = 0 i i k i k
此即
E
v cos + v sin =
i sin = const
i k
B
由此得
a cos + a sin = 0 i k
于是
a = 0 a = 0 i k
從而由④⑥式
E
v = 0， v = i = const 0i k
B
4
粒子在 z方向做勻速運動。
設初始時刻粒子沿著 z方向運動的速度為 v0 ，剛釋放粒子時它沿著磁場方向的速度 vk 0 j 滿足
v2 20 = v0 v
2
j 0k
粒子沿磁場方向做勻變速運動，在 方向做勻速運動，所以它在 時刻的位移矢量
1 1
2r = (v0 t + a0 t ) (i + j) + v tkj j 0k
2 2
聯立②⑦ 式得
E2 1 qE 1 E
2r = v0 t + t
2
(i + j) + tk
2B
2 2 2m 2 2B
此即
1 22 E qE x = v t + t20
2B22 4m
1 E 2 qE
y = v20 t + t
2
2 2B
2 4m
E
z = t
2B
評分標準：本題 40 分。
第（1）問 12 分，*2 分，①②式各 1 分，④⑤⑥式各 2 分，**2 分；
第（2）問 7 分，⑦式 1 分, ⑧⑨⑩式各 2 分；
第（3）問 8 分， 式各 2 分；
第（4）問 13 分， 式各 1 分， 式各 2 分， 式各 1 分。
13.
（1）滑塊與斜面達到共同速度時，滑塊到達最高點。設此時斜面的速度大小和滑塊上升的高度分別為V
max
和 hmax 。對于滑塊與斜面構成的體系，有能量守恒
1 1
mv2 = (M +m)V 2 +mgh ①
2 0 2 max max
以及水平方向上動量守恒
mv = (M +m)V ②
0 max
由①②式得
m
V = v ③
max 0
M +m
2
M v
h = 0
max ④
M +m 2g
（2）設滑塊上升至離地面高度 h（ 0 h hmax）處時，斜面的速度為Vh，滑塊的速度為
v
h，滑塊相對于斜
面的速度為vRh=vh Vh，相應的速度大小分別為V 、 v 和 v vh h Rh。矢量Vh、 h和vRh組成一個三角形，由題意
知，vRh相對于V 的偏角為 。由余弦定理有 h
v2 =V 2h h + v
2
Rh + 2VhvRh cos ⑤
對于滑塊和斜面構成的體系，有能量守恒
5
1 1 1
mv20 = MV
2
h + mv
2
h +mgh ⑥
2 2 2
以及水平方向上動量守恒
mv =MV +m(V + v cos ) ⑦ 0 h h Rh
由⑤⑥⑦式有
2
V h m V h sin
2 2gh m mcos2
2 + + = 0 ⑧
v0 M +m v
2 2
0 cos v0 M +m M +msin
2
解得
m sin2 2gh (M +m)cos2
V h = 1 1 + v0 ⑨
M +m cos2 v2 2
0
M +msin

由于③式的限制，⑨式根號前取了負號。由⑦⑨式得
sin2 2gh (M +m)cos2 v
vRh = 1 +
0
⑩
cos2 2 v0 M +msin
2 cos
（3）由⑩式得
M
v = v Rh h=0 M +msin2
0

vRh = 0 max
式是顯然成立的。斜面和滑塊各受恒力作用，均做勻加速運動。滑塊相對于斜面運動的平均速度為
vRh + v v
v h=0
Rhmax Rh h=0
Rh = =
2 2
由④ 式得，滑塊從 O 點開始運動到最高點的時間為
hmax
sin M (M +msin
2 ) v
t = = 0
vRh M +m g sin
由 式得，滑塊相對于斜面的加速度為
vRh vRh=0 (M +m)sin
a maxRh = = g
t M +msin
2
式中負號表示滑塊加速度方向沿斜面向下。由⑦ 式得，斜面的加速度為
mcos msin cos
ah = aRh = g
M +m M +msin
2
式中正號表示斜面加速度方向向右。
[解法（二）
由⑩式得
M
vRh = vh=0 0
M +msin
2
2

2 M (M +m)sin h vRh = v0 2 g
M +msin
2 M +msin
2 sin
由 式得
2 2 (M +m)sin h vRh = (vRh ) 2 gh=0 2
M +msin sin
6
可見，滑塊在斜面上相對于斜面做勻加速運動。滑塊相對于斜面的加速度為
(M +m)sin
aRh = g
M +msin2
式中負號表示滑塊加速度方向沿斜面向下。由⑦ 式得，斜面的加速度為
mcos msin cos
ah = aRh = g
M +m M +msin2
式中正號表示斜面加速度方向向右。由 vRh = 0 、 ’ ’及勻加速運動公式得，滑塊從 O 點開始運動到最高max
點的時間為
v 2Rh vRh M (M +msin ) v
t = h=max h=0 = 0
aRh M +m g sin
]
評分標準：本題 40 分。
第（1）問 10 分，*2 分，①②③④各 2 分；
第（2）問 15 分，⑤⑥⑦各 3 分，⑧⑨⑩各 2 分；
第（3）問 15 分， 各 2 分， 式各 3 分。
14.
（1）振子 a 做簡諧振動，設其振幅為 A，圓頻率為 ω，初相為 φ，則 a 相對于原點O 的位移 x可表示為
x = Acos( t + ) ①
從而 a 的速度 v表示為
v = A sin( t + ) ②
式中
k
= ③
m
1
將題給數據代入③式得
= 4.0 s 1 ④
a 從左邊 4 m 處從靜止釋放，可得
A = 4.0 m ⑤
= π ⑥
π
將④⑤⑥式代入①②式得，在 t [0, s) 時有
24
4.0 4.0
x = 4.0cos( t + π) m = 4.0cos( t) m ⑦
s s
4.0
v =16sin( t) m/s ⑧
s
（2）設從 = 0到碰撞時 a 的相位增加 ，則有
π π
= ( s 0) = ⑨
24 6
π
在碰撞前的瞬間，設 a 位于 x ，速度為v 。將 t = s1 1 代入⑦⑧式得 24
x1 = 2 3 m ⑩
7
v = 8.0 m/s 1
物塊 b 在電場力作用下做勻變速運動，在碰撞前的瞬間，其速度為
Eq π
v2 = v0 + s = 16 m/s
m2 24
在碰撞后的瞬間，設 c 的速度為 v'3 ，因碰撞時間極短，故動量守恒，
m1v1 +m2v2 = (m1 +m2)v'3
由 式和題給數據得
v'3 = 10 m s
1
彈簧和 c 構成新振子。設新振子的圓頻率為 ，可得
k
=
m1 +m2
由 式和題給數據得
= 2.0 s 1
新振子受到的合力為
F = kx + Eq
系統處于新的平衡位置時 F = 0，設此時彈簧伸長量為 x2，有
Eq = kx2
由 式和題給數據得
x2 =1.0 m
若以新的平衡位置為坐標原點O ，設此時 c 的坐標為 x 3 ，則由⑩ 式得
x 3 = x1 x2 = (2 3 +1.0) m
設 c 的振幅為 A ，初相位為 ，相對于O 的位移可表示為
x = A cos( t + )
從而 c 的速度 v 表示為
v = A sin( t + )
c 在振動的過程中能量守恒，故
1 1 1
kA 2 = kx 23 + (m +m )v
2
1 2 3
2 2 2
解得
v 2 v 2
A = x 23 +
3 = x 23 +
3
k 2
m1 +m2
π
已利用了 式。 t = s 為新振子的計時零點 t = 0，故
24
π
t = t s
24
在 式中取 t = 0得
x 3 = A cos
v = A sin 3
8
由 式得
v
tan = 3
x 3
由 式有
A = 6.7 m
tan = 1.1
考慮到 x 3 0 , v 3 0，有
= 2.3
若以新的平衡位置為坐標原點，將 式代入簡諧運動方程，有
t π
x = 6.7m cos 2( ) + 2.3
s 24
即
t π
x = 6.7m cos[2( )+ 2.3]+1.0m
s 24
評分標準：本題 40 分。
第（1）問 9 分，①式 1 分，②式 2 分，③④式各 1 分，⑤⑥式各 2 分；
第（2）問 31 分，⑦式 2 分，⑧⑨⑩式各 1 分， 式 3 分， 式 1 分， 式 3 分， 式各 1 分，
式 3 分， 式各 1 分， 式各 2 分， 式各 1 分， 式各 2 分， 式 1 分。
15．
（1）取磁感應強度的正方向為垂直于紙面向外。圓形區域的磁場 ( )由螺線管的磁感應強度公式給出
( ) = 0 0 cos ①
為方便起見，以下記 0 ≡ 0 0。由對稱性可知，徑向的感應電動勢為零。AB 邊和 CD 上的感應電動勢 AB
和 CD分別為
AB = 0 ②
CD = 0 ③
為求 AD 邊上的感應電動勢，取回路 OAD, 這個回路上的電動勢就是邊 AD 上的電動勢 AD，由法拉第電磁
感應定律有
d ( )
AD = OAD ④
磁感應強度的變化率為
d ( )
= 0 sin ⑤ d
聯立④⑤式得
√3
AD =
2 0 0 sin ⑥ 4
同理，為求 BC 邊上的感應電動勢，取回路 OBC。回路 OBC上的電動勢是 BC 邊上的感應電動勢 BC，回
路 OBC和扇形 OAD的磁通量相同，由法拉第電磁感應定律有
d ( )
BC = 扇形 OAD ⑦ d
聯立⑤⑦式得

BC =
2 0 0 sin ⑧ 6
9
對梯形回路，上面兩電動勢方向相反，因此回路總電動勢 為
= BC AD ⑨
聯立⑥⑦⑨式得
π √3
= ( ) 2 0 0 sin ⑩ 6 4
（2）梯形各邊 AB, BC, CD, DA 的電阻分別是
2
, , ,
5 5 5 5
其等效電路如題解圖 15a 所示。由安培定律，回路中的電流為

′ =

聯立⑩ 式得
2π 3√3
′ = 2 0 sin 12 題解圖 15a
BC 兩端的電勢差為
2
′BC = BC 5
聯立⑧ 式得
√3 + π
= 2BC 0 0 sin 10
通過 CD 段的電流有效值為
′
′ max =
√2
CD 段消耗的平均功率為

′2CD = 5
聯立 式得
2
(2π 3√3)
CD =
4 2 20
2
0
2
1440
（3）根據法拉第電磁感應定律，弧AD 段的感應電動勢為
dB(t)
= S
AD 扇形OAD dt 題解圖 15b
聯立⑤ 式得
π
= a2B
AD 0
sin t
6
π
此外，可求得弧AD 段的電阻為 ，則等效電路為題解圖 15b 所示。由基爾霍夫定律，可列出兩回路方程
15
π R
I1 R + (I + I 1 2 ) = AD
15 5 AD
4
2 + ( 1 + 2) = BC AD 5 5
聯立⑥⑨ 式解得
60
1 = 12 + 5
5
2 = 12 + 5
10
通過 DA 段的電流為
= 1 + 2
聯立⑩ 式得
60 + 5π (2π 3√3)
= 2 0 0 sin 12 + 5π 12
評分標準：本題 40 分。
第（1）問 15 分，①式 2 分，②③式各 1 分，④式 2 分，⑤⑥式各 1 分，⑦式 3 分，⑧⑨式各 1 分，
⑩式 2 分（感應電動勢的表達式相差一個正負號不扣分）；
第（2）問 11 分， 式 2 分， 式 1 分， 式各 2 分， 式各 1 分， 式 2 分；
第（3）問 14 分， 式 2 分， 式 1 分， 式各 3 分， 式各 1 分， 式各 2 分。
16．
（1）設行星質量為 M，衛星軌道半徑為 r，衛星離行星表面的高度為 h，衛星在分裂前的速率為 vA 。根據
萬有引力定律和牛頓第二定律，有
2
Mm 2π
G = m r
r2 T ①
對行星表面質量為 m’的物體，根據萬有引力定律有
Mm '
G = m 'g0 ②
R2
根據圓周運動線速度和角速度關系有
2π
vA = r
T ③
由幾何關系得
r = R + h ④
聯立①②③④式，可得
1/3
g T 2R2
r = 0 ， ⑤
4π
2

1/3
g T 2R2
h = 0 2 R , ⑥
4π
1/3
2πg 2
v = 0
R
A
T . ⑦
代入題給數據得
h = 8.00 106 m
, ⑧
v = 6.08 103 m s 1 . ⑨ A
（2）設衛星分裂后 P、Q 的速度分別為 v1 、 v2 ，P、Q 的質量分別為m1 、m2 。按題意，有
m2 =m m1 ⑩
v1 = v2 + u
由于衛星分裂時間極短，故分裂前后動量守恒
11
mvA =m1v1+m2v2
設 Q 運動到 B 點時的速率為 vB 。由于 Q 從 A 運動到 B 的過程中角動量守恒，機械能守恒，有
m2v2r = m2vBR
1 2 Mm 1 Mmm2v2 G
2 = m 22vB G
2
2 r 2 R
聯立⑩ 式并略去不合題意的解得
m 2GmMR m 2GmMR
m1 = vA , m = m v
u r(r + R)
2 A
u

r(r + R)


2GmMR
v1 = + u
r(r + R)
2GmMR
v2 =
r(r + R)
2GmMr
vB =
R(r + R)

由②⑤⑦ 式及題給數據得
m1 = 4.10 10
2 kg

m2 = 5.90 10
2 kg

vB =1.04 10
4 m / s

（3）由于 Q 在 A 點和 B 點時的速度均與當時 Q 所在矢徑（從行星中心指向 Q）垂直，因此 Q 的軌道為橢
圓，即 Q 為行星的衛星。 *
A、B 點為 Q 的橢圓軌道和其長軸的交點，有
r + R = 2a
式中， 為 Q 的橢圓軌道的半長軸。設 Q 的運動周期為T1 ，由開普勒第三定律得
a3 r3
=
T 21 T
2

聯立 式得
3/2
2T r + R
T1 =
4 r
由⑤ 式和題給數據得
T1 =162min
評分標準：本題 40 分。
第（1）問 15 分，①式 3 分，②③式各 2 分，④⑤⑥⑦式各 1 分，⑧⑨式各 2 分；
第（2）問 17 分，⑩ 式各 1 分， 式各 2 分， 式各 1 分， 式 2 分；
第（3）問 8 分，*2 分， 式 1分， 式 2分， 式 1分， 式 2 分。
12第 42 屆全國中學生物理競賽預賽試題
（2025 年 9 月 6 日 9:00-12:00）
考生須知
1. 考生考試前務必認真閱讀本須知。
2. 本試題共 4 頁，總分為 400 分。
3. 需要閱卷老師評閱的內容必須要寫在答題紙上相應題號后面的空白處；閱卷老師只評
閱答題紙上的內容；選擇題和填空題也必須在答題紙上作答；寫在試題紙和草稿紙上
的解答都不能給分。
一、選擇題（本題 60 分，共 5 小題，每小題 12 分。在每小題給出的 4 個選項中，有的小題只有一項
符合題意，有的小題有多項符合題意。將符合題意的選項前面的英文字母寫在答題紙上相應小題題號
后面的括號內。全部選對的給 12 分，選對但不全的給 6 分，有選錯或不答的給 0 分。）
1. 一頂端開口、豎直放置的大口徑圓柱體內裝有一定高度的理想流體，圓柱體底部有一小孔。若將流
體的高度增加為原來的 4 倍，則流體完全流完的時間為原來的（ ）倍。
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
2. 一理想氣體系統經歷一循環過程 a→b→c→d→e→a，其 - 圖如圖 2a 所
示。該循環過程中，系統對外做功以及吸、放熱情況分別是（ ）
A. 正功，吸熱 B. 負功，放熱 C. 正功，放熱 D. 負功，吸熱
圖 2a
3. 一帶正電荷的粒子以某一初速度進入勻強電場中。忽略重力影響，為了使粒子的速度方向在最短的
π
時間內發生 的偏轉，則電場方向與粒子的初速度方向之間的夾角是（ ）
6
2π π π π
A. B. C. D.
3 2 3 4
4. 1953 年諾貝爾物理學獎授予荷蘭科學家弗里茨·澤爾尼克，以表彰他提出相襯顯微技術。該技術可
清晰分辨兩種折射率相近的透明介質。現考慮一束光線經過含有細胞的培養液，產生三種不同光線 1、
2 和 3，其中光線 3 穿過細胞，光線 2 經過細胞邊緣附近，光線 1 和 2 相干，光線 2 和 3 相干，如圖 4a
所示。已知培養液的折射率為n0 ，細胞的折射率為n（n n0 ）。由于邊

緣效應，光線 2 在培養液中的光程相對于光線 1 的增加了 n0 （ 為光線
4
在培養液中的波長）；為增大細胞和培養液的對比度，在所有光線穿出培

養液后，再通過相位補償板使光線 2 又額外增加了 n0 的等效光程。假設
4
細胞的等效厚度為d，若通過目鏡觀測到光線 1和 2的干涉條紋為暗條紋，
光線 2 和 3 的干涉條紋為亮條紋，則細胞的折射率可能為（ ） 圖 4a

A. n + B. n0 + C. n0 1+ 0 D. n 1+0 d 2d d 2d
第 1頁 / 共 4頁
5. 原子核外只有一個電子的離子，稱為類氫離子，其電子的能級可以用玻爾理論類比于氫原子推出。
He+是典型的類氫離子。He+靜止時，其電子從能級 = 3躍遷至能級 = 2發射出的光子能量記為 He+。
He+朝向靜止的氫原子高速運動的速度達到某個臨界值 uc時，上述躍遷發射出的光子剛好可以電離處于
基態的氫原子。基態氫原子電離能為 13.6 eV。已知光源朝向接收器高速運動時，接收器測得的光子頻
c + u
率 與光源發出的光子頻率 存在如下關系： = （c 為真空中的光速，u 為相對運動速率）。
c u
以下表述正確的是（ ）
A. He+ =1.89 eV B. He+ =7.56 eV C. uc=0.29c D. uc=0.53c
二、填空題（本題 100 分，共 5 小題，每小題 20 分，每空 10 分。把答案填在答題紙相應題號后面的
下橫線上。只需給出結果，不要寫出求得結果的過程。）
6. 如圖 6a，平行金屬長直導軌與水平面成 角并固定，兩導軌之間的距離
為 ，導軌用導線與固定電阻R1、R2相連，勻強磁場垂直穿過導軌平面，
磁感應強度大小為 . 一質量為 的導體棒 ab 置于導軌上，它與導軌間的
動摩擦因數為 ；導體棒接入電路部分的電阻與R1、R2的阻值均為 R. 棒
在從靜止開始沿導軌向下滑動的過程中，始終與導軌垂直并密接，其最終
圖 6a
速度為_________，棒達到最終速度時整個裝置消耗的機械功率為
_________。已知重力加速度大小為 g. 不計導軌和導線的電阻。
7. 如圖 7a，三個質量均為 m 的質點由三根長度均為 l 的輕質細桿相連，組
成一個位于豎直平面內的△OAB，此系統可繞過 O 點且垂直于△OAB 的軸
轉動，C 為△OAB 的中心。初始時 OC 水平靜止；系統在重力作用下，OC
從水平位置轉到豎直位置時，質點 A 的速度大小為_________，O 點的支持
力大小為_________。已知重力加速度大小為 g. 不計摩擦。
圖 7a
8. 近地衛星入軌時，對入軌角度的要求極高。假設原計劃衛星處于一個圓軌道。若衛星入軌時其速度
方向相對圓軌道的切線方向有一小偏角 ，則會導致其軌道偏離圓軌道，而變成一個橢圓軌道。此小偏
角可能導致其近地點過低，影響衛星正常工作。現欲發射一圓軌道人造衛星，其軌道高度為 300 km，
衛星準確入軌后的運行速率應是_________km/s. 假設該衛星實際入軌時速度大小仍為原設計的值，但
速度方向在圓軌道所在平面內有1°的偏離，該衛星的近地點高度為_________km. 已知地球半徑為
6400km，重力加速度大小為9.8 m/s2，不考慮空氣阻力。
9. 冷藏泡沫塑料箱通常用于日常保溫。現有一封閉泡沫箱內壁總面積為 0.80 m2，壁厚為 2.0 cm，內部
放滿水、足量的冰塊和一瓶可樂，并整體處于 0℃，箱外溫度為 30℃。泡沫塑料箱的熱導率為 0.020
W/(m·K)，冰的熔化熱為 3.34×105 J/kg。傳入泡沫箱的熱傳導功率是_____W，在一天內融化的冰為
T
_____kg。（已知單位時間內通過導熱層由高溫處傳導到低溫處的熱量 H = k S ，其中 k、d 和 S 分別
d
為導熱層的熱導率、厚度和橫截面積， T 為導熱層兩側的溫度差。）
10. 自然界鈾礦中的鈾主要有兩種同位素：235U和238U，其它同位素含量極少，可忽略。前者半衰期約
為 7.0 億年，后者半衰期約為 45 億年，235U在自然界鈾元素中所占的原子數百分比稱為占比，其現代
值為 0.72%，由此推斷出 20 億年前鈾礦的235U占比為_________%。許多放射性核素并非一次衰變后就
第 2頁 / 共 4頁
穩定，而是經過多次衰變，最后生成穩定核素，這個過程稱為級聯衰變。一個235U核經歷數次 α 衰變、
β 衰變和 γ 衰變，最后生成的穩定核素為207Pb，問其間所經歷的 α 衰變為_________次。不計鈾元素與
任何其他元素之間的轉化。
三、計算題（本題 240 分，共 6 小題，每小題 40 分。計算題的解答應寫出必要的文字說明、方程式和
重要的演算步驟，只寫最后結果的不給分。有數值計算的，答案中必須明確寫出數值，有單位的必須
寫出單位。）
11. 如圖 11a，三種透明介質 1、2 和 3 的交界面為相互平行的無限大平面，兩平
面之間的距離為d ；介質 1、2 的折射率分別為 n1 、n2 。一束單色光自介質 1 入
射到介質 1、2 的交界面上的 A 點。
（1）當光線在 A 點的反射光線和折射光線相互垂直時，其折射光線到達介質 2、
圖 11a
3 的交界面上剛好能發生全反射。求介質 3 的折射率 n3 。
（2）如圖 11b，一束波長為 （ 為真空中的波長）的單色光以某一初始入射角
入射到介質 1、2 的交界面，反射光為光線 a，經介質 2、3 交界面上的 B 點反射
后再經介質 1、2 交界面上的 C 點折射后的出射光為光線 b；兩光線 a 和 b 經凸透
鏡匯聚后在其焦平面上發生干涉，觀察到第一級亮條紋。假設 n1 n2 ，求初始入
射角。 圖 11b
1
12.空間中存在恒定的勻強電場和勻強磁場，其電場強度 = ，磁感應強度 = ( + )，E 和 B
√2
分別表示電場強度和磁感應強度的大小，這里 , 和 分別表示坐標軸 x、y 和 z 方向的單位矢量，坐標
原點記為 O，如圖 12a 所示（ 軸未畫出）。不計重力。考慮此空間中一個質量為 m、
帶正電荷 q 的粒子。
（1）試選擇合適的新坐標系 O-x’y’z，使得粒子所受到的磁場力在新坐標系的某基矢
方向為零；列出在此坐標系中粒子的運動方程，并證明粒子沿磁場方向的運動和垂直
圖 12a
于磁場方向的運動相互獨立。
（2）若將粒子從 O 點在 t = 0 時刻由靜止釋放，P 為此后該粒子運動軌跡上的一點，其 x-坐標和 y-坐標
之和為 c. 計算該粒子由 O 點運動到 P 點所用的時間。
（3）若將粒子從 O 點在 t = 0 時刻由靜止釋放，P’為此后該粒子運動軌跡上的一點，其 x-坐標和 y-坐標
之差為 c’. 計算該粒子在 P’點所受的磁場力的大小。
（4）若將粒子從 O 點在 t = 0 時刻以某一非零初速率 v0 沿某一特定方向釋放，發現該粒子的運動軌跡
始終處在同一個平面內。計算該粒子在時刻 t 的位置( ( ), ( ), ( ))。
13. 如圖 13a，一滑塊（可視為質點）以初速度 v0 沿光滑水平地面向右運動，滑塊右方有一傾角為 的
光滑斜面（斜面足夠長）處于靜止狀態，斜面與地面光滑接觸，其交線
過地面 O 點。滑塊遇到斜面后能繼續沿斜面向上運動。已知滑塊和斜
面的質量分別為 m 和M ，重力加速度大小為 g. 求
圖 13a
（1）滑塊上升至最高點時離地面的高度和速度大小；
（2）滑塊在斜面上升高至離地面高度 h處時，斜面的速度大小和滑塊相對于斜面的速度大小；
（3）滑塊從 O 點運動到最高點所需時間，此過程中斜面運動的加速度和滑塊相對于斜面運動的加速度。
第 3頁 / 共 4頁
14. 如圖 14a，光滑水平地面上方有勻強電場，其場強方向水平向
右，大小 = 100 V/m；地面上一質量 1 = 0.010kg 的小物塊 a
與一水平輕質彈簧相連，彈簧的另一端固定在豎直墻面上，彈簧
圖 14a
的勁度系數 = 0.16 N/m. 將彈簧處于原長時 a 的位置記為原點
O，水平向右記為 正方向。 將物塊 a 從原點左移 4.0 m 后由靜止釋放，以釋放時刻為計時起點 = 0。
此時，另一質量 2 =0.030kg、電荷量 = +1.6 × 10
3C 的小物塊 b，以大小為16.7m/s的速度 v0 向左
π
運動，經過 s與 a 發生完全非彈性碰撞，碰撞時間極短，碰后兩物塊組成新物塊 c. 已知碰撞中沒有
24
電荷損失。求
（1）碰撞前物塊 a 在 （ ≥ 0）時刻的坐標 xa (t)和速度va (t) ；
（2）物塊 c 在 時刻的坐標 xc (t) .
15. 半徑為 、單位長度匝數為 的長直密繞螺線管中，通有隨時間 變化的勵磁電流 ( ) = 0 cos( ),
在 = 0時刻，磁場的方向垂直紙面向外。如圖 15a，一等腰梯形閉合回路ABCDA由均勻導線構成，其
上底長為 ，下底長為2 ，導線總電阻為 ；梯形回路平面在螺線管的橫截面
內，A、D 兩點在螺線管區域的邊緣。
（1）求梯形各邊上的感應電動勢，以及整個回路中的感應電動勢；
（2）求 B、C 兩點間的電勢差和 CD 段消耗的平均功率；
（3）若在梯形回路的 A、D 兩點間沿圓弧AD 也接入同樣導線，那么通過直
導線段 AD 的電流是多大？
閉合回路和圓弧導線均不與螺線管的導線連通。已知真空磁導率為 . 圖 15a 0
16. 太空中有一沒有大氣的球形行星，該行星有一沿圓形軌道運行的小衛星，其質量 = 1.00 × 103 kg，
運行周期 =258.4 min。此衛星運行至軌道上的 A 點時，瞬間分裂成沿原速度方向的兩塊 P 和 Q，P
在前，Q 在后。在分裂后的瞬間，P 相對 Q 的速度 = 3.00 × 103 m/s。此后，Q 沿著緊貼行星表面的
B 點的軌道運行（Q 不與行星表面接觸）。已知行星半徑 = 7.00 × 106 m，行星表面的“重力加速度”g
0
= 11.3 m/s2。
（1）求衛星分裂前的運行速率及距行星表面的高度；
（2）求 P、Q 的質量及 Q 到達 B 點時的速率；
（3）Q 從 B 點飛出后還能成為該行星的衛星嗎？若能，求出 Q 的運動周期；若不能，寫出 Q 的軌跡
方程。
第 4頁 / 共 4頁第42屆全國中學生物理競賽預賽試題
（2025年9月6日9:00-12:00）
考生須知
1. 考生考試前務必認真閱讀本須知。
2. 本試題共4頁，總分為400分。
3. 需要閱卷老師評閱的內容必須要寫在答題紙上相應題號后面的空白處；閱卷老師只評閱答題紙上的內容；選擇題和填空題也必須在答題紙上作答；寫在試題紙和草稿紙上的解答都不能給分。
一、選擇題（本題60分，共5小題，每小題12分。在每小題給出的4個選項中，有的小題只有一項符合題意，有的小題有多項符合題意。將符合題意的選項前面的英文字母寫在答題紙上相應小題題號后面的括號內。全部選對的給12分，選對但不全的給6分，有選錯或不答的給0分。）
1. 一頂端開口、豎直放置的大口徑圓柱體內裝有一定高度的理想流體，圓柱體底部有一小孔。若將流體的高度增加為原來的4倍，則流體完全流完的時間為原來的（ ）倍。
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
2. 一理想氣體系統經歷一循環過程a→b→c→d→e→a，其-圖如圖2a所示。該循環過程中，系統對外做功以及吸、放熱情況分別是（ ）
A. 正功，吸熱 B. 負功，放熱 C. 正功，放熱 D. 負功，吸熱
3. 一帶正電荷的粒子以某一初速度進入勻強電場中。忽略重力影響，為了使粒子的速度方向在最短的時間內發生的偏轉，則電場方向與粒子的初速度方向之間的夾角是（ ）
A. B. C. D.
4. 1953年諾貝爾物理學獎授予荷蘭科學家弗里茨·澤爾尼克，以表彰他提出相襯顯微技術。該技術可清晰分辨兩種折射率相近的透明介質。現考慮一束光線經過含有細胞的培養液，產生三種不同光線1、2和3，其中光線3穿過細胞，光線2經過細胞邊緣附近，光線1和2相干，光線2和3相干，如圖4a所示。已知培養液的折射率為，細胞的折射率為（）。由于邊緣效應，光線2在培養液中的光程相對于光線1的增加了（為光線在培養液中的波長）；為增大細胞和培養液的對比度，在所有光線穿出培養液后，再通過相位補償板使光線2又額外增加了的等效光程。假設細胞的等效厚度為，若通過目鏡觀測到光線1和2的干涉條紋為暗條紋，光線2和3的干涉條紋為亮條紋，則細胞的折射率可能為（ ）
A. B. C. D.
5. 原子核外只有一個電子的離子，稱為類氫離子，其電子的能級可以用玻爾理論類比于氫原子推出。He+是典型的類氫離子。He+靜止時，其電子從能級躍遷至能級發射出的光子能量記為。He+朝向靜止的氫原子高速運動的速度達到某個臨界值uc時，上述躍遷發射出的光子剛好可以電離處于基態的氫原子。基態氫原子電離能為13.6 eV。已知光源朝向接收器高速運動時，接收器測得的光子頻率與光源發出的光子頻率存在如下關系：（c為真空中的光速，u為相對運動速率）。以下表述正確的是（ ）
A. 1.89 eV B. 7.56 eV C. uc0.29c D. uc0.53c
二、填空題（本題100分，共5小題，每小題20分，每空10分。把答案填在答題紙相應題號后面的下橫線上。只需給出結果，不要寫出求得結果的過程。）
6. 如圖6a，平行金屬長直導軌與水平面成角并固定，兩導軌之間的距離為，導軌用導線與固定電阻、相連，勻強磁場垂直穿過導軌平面，磁感應強度大小為. 一質量為的導體棒ab置于導軌上，它與導軌間的動摩擦因數為；導體棒接入電路部分的電阻與、的阻值均為R. 棒在從靜止開始沿導軌向下滑動的過程中，始終與導軌垂直并密接，其最終速度為_________，棒達到最終速度時整個裝置消耗的機械功率為_________。已知重力加速度大小為g. 不計導軌和導線的電阻。
7. 如圖7a，三個質量均為m的質點由三根長度均為l的輕質細桿相連，組成一個位于豎直平面內的OAB，此系統可繞過O點且垂直于OAB的軸轉動，C為OAB的中心。初始時OC水平靜止；系統在重力作用下，OC從水平位置轉到豎直位置時，質點A的速度大小為_________，O點的支持力大小為_________。已知重力加速度大小為g. 不計摩擦。
8. 近地衛星入軌時，對入軌角度的要求極高。假設原計劃衛星處于一個圓軌道。若衛星入軌時其速度方向相對圓軌道的切線方向有一小偏角，則會導致其軌道偏離圓軌道，而變成一個橢圓軌道。此小偏角可能導致其近地點過低，影響衛星正常工作。現欲發射一圓軌道人造衛星，其軌道高度為300 km，衛星準確入軌后的運行速率應是_________km/s. 假設該衛星實際入軌時速度大小仍為原設計的值，但速度方向在圓軌道所在平面內有的偏離，該衛星的近地點高度為_________km. 已知地球半徑為6400km，重力加速度大小為，不考慮空氣阻力。
9. 冷藏泡沫塑料箱通常用于日常保溫。現有一封閉泡沫箱內壁總面積為0.80 m2，壁厚為2.0 cm，內部放滿水、足量的冰塊和一瓶可樂，并整體處于0，箱外溫度為30。泡沫塑料箱的熱導率為0.020 W/(m·K)，冰的熔化熱為3.34×105 J/kg。傳入泡沫箱的熱傳導功率是_____W，在一天內融化的冰為_____kg。（已知單位時間內通過導熱層由高溫處傳導到低溫處的熱量，其中k、d和S分別為導熱層的熱導率、厚度和橫截面積，為導熱層兩側的溫度差。）
10. 自然界鈾礦中的鈾主要有兩種同位素：和，其它同位素含量極少，可忽略。前者半衰期約為7.0億年，后者半衰期約為45億年，在自然界鈾元素中所占的原子數百分比稱為占比，其現代值為0.72%，由此推斷出20億年前鈾礦的占比為_________%。許多放射性核素并非一次衰變后就穩定，而是經過多次衰變，最后生成穩定核素，這個過程稱為級聯衰變。一個核經歷數次α衰變、β衰變和γ衰變，最后生成的穩定核素為，問其間所經歷的α衰變為_________次。不計鈾元素與任何其他元素之間的轉化。
三、計算題（本題240分，共6小題，每小題40分。計算題的解答應寫出必要的文字說明、方程式和重要的演算步驟，只寫最后結果的不給分。有數值計算的，答案中必須明確寫出數值，有單位的必須寫出單位。）
11. 如圖11a，三種透明介質1、2和3的交界面為相互平行的無限大平面，兩平面之間的距離為；介質1、2的折射率分別為、。一束單色光自介質1入射到介質1、2的交界面上的A點。
（1）當光線在A點的反射光線和折射光線相互垂直時，其折射光線到達介質2、3的交界面上剛好能發生全反射。求介質3的折射率。
（2）如圖11b，一束波長為（為真空中的波長）的單色光以某一初始入射角入射到介質1、2的交界面，反射光為光線a，經介質2、3交界面上的B點反射后再經介質1、2交界面上的C點折射后的出射光為光線b；兩光線a和b經凸透鏡匯聚后在其焦平面上發生干涉，觀察到第一級亮條紋。假設，求初始入射角。
12.空間中存在恒定的勻強電場和勻強磁場，其電場強度，磁感應強度，E和B分別表示電場強度和磁感應強度的大小，這里和分別表示坐標軸x、y和z方向的單位矢量，坐標原點記為O，如圖12a所示（軸未畫出）。不計重力。考慮此空間中一個質量為m、帶正電荷q的粒子。
（1）試選擇合適的新坐標系O-x’y’z，使得粒子所受到的磁場力在新坐標系的某基矢方向為零；列出在此坐標系中粒子的運動方程，并證明粒子沿磁場方向的運動和垂直于磁場方向的運動相互獨立。
（2）若將粒子從O點在時刻由靜止釋放，P為此后該粒子運動軌跡上的一點，其x-坐標和y-坐標之和為c. 計算該粒子由O點運動到P點所用的時間。
（3）若將粒子從O點在時刻由靜止釋放，P’為此后該粒子運動軌跡上的一點，其x-坐標和y-坐標之差為c’. 計算該粒子在P’點所受的磁場力的大小。
（4）若將粒子從O點在時刻以某一非零初速率沿某一特定方向釋放，發現該粒子的運動軌跡始終處在同一個平面內。計算該粒子在時刻t的位置。
13. 如圖13a，一滑塊（可視為質點）以初速度沿光滑水平地面向右運動，滑塊右方有一傾角為的光滑斜面（斜面足夠長）處于靜止狀態，斜面與地面光滑接觸，其交線過地面O點。滑塊遇到斜面后能繼續沿斜面向上運動。已知滑塊和斜面的質量分別為m和，重力加速度大小為g. 求
（1）滑塊上升至最高點時離地面的高度和速度大小；
（2）滑塊在斜面上升高至離地面高度處時，斜面的速度大小和滑塊相對于斜面的速度大小；
（3）滑塊從O點運動到最高點所需時間，此過程中斜面運動的加速度和滑塊相對于斜面運動的加速度。
14. 如圖14a，光滑水平地面上方有勻強電場，其場強方向水平向右，大小；地面上一質量kg的小物塊a與一水平輕質彈簧相連，彈簧的另一端固定在豎直墻面上，彈簧的勁度系數. 將彈簧處于原長時a的位置記為原點O，水平向右記為正方向。 將物塊a從原點左移4.0 m后由靜止釋放，以釋放時刻為計時起點。此時，另一質量0.030kg、電荷量 的小物塊b，以大小為的速度向左運動，經過與a發生完全非彈性碰撞，碰撞時間極短，碰后兩物塊組成新物塊c. 已知碰撞中沒有電荷損失。求
（1）碰撞前物塊a在時刻的坐標和速度；
（2）物塊c在時刻的坐標.
15. 半徑為單位長度匝數為的長直密繞螺線管中，通有隨時間變化的勵磁電流, 在時刻，磁場的方向垂直紙面向外。如圖15a，一等腰梯形閉合回路由均勻導線構成，其上底長為，下底長為，導線總電阻為；梯形回路平面在螺線管的橫截面內，A、D兩點在螺線管區域的邊緣。
（1）求梯形各邊上的感應電動勢，以及整個回路中的感應電動勢；
（2）求B、C兩點間的電勢差和CD段消耗的平均功率；
（3）若在梯形回路的A、D兩點間沿圓弧也接入同樣導線，那么通過直導線段AD的電流是多大？
閉合回路和圓弧導線均不與螺線管的導線連通。已知真空磁導率為.
16. 太空中有一沒有大氣的球形行星，該行星有一沿圓形軌道運行的小衛星，其質量，運行周期258.4 min。此衛星運行至軌道上的A點時，瞬間分裂成沿原速度方向的兩塊P和Q，P在前，Q在后。在分裂后的瞬間，P相對Q的速度。此后，Q沿著緊貼行星表面的B點的軌道運行（Q不與行星表面接觸）。已知行星半徑，行星表面的“重力加速度”g0 =。
（1）求衛星分裂前的運行速率及距行星表面的高度；
（2）求P、Q的質量及Q到達B點時的速率；
（3）Q從B點飛出后還能成為該行星的衛星嗎？若能，求出Q的運動周期；若不能，寫出Q的軌跡方程。
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