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第十章　靜電場中的能量
電勢差與電場強度的關系
1
知道電勢差與電場強度的關系式,了解其適用條件
重點
2
會用關系式U=Ed處理勻強電場問題,利用公式E=????????定性分析非勻強電場
?
重點
如果只畫出帶電體空間分布的電場線和等勢面的剖面圖，等勢面就成了等勢線。圖中每相鄰兩條等勢線之間的電勢差是相等的。電場線密的地方等勢線也密，電場線稀疏的地方等勢線也稀疏，這是為什么？
一 勻強電場中電勢差與電場強度的關系
如圖甲所示,在電場強度為E的勻強電場中,A、B是相距為d且沿電場方向上的兩點,其電勢差為UAB,現(xiàn)將一個電荷量為+q的電荷由A移到B。
(1)從力和位移的角度計算靜電力所做的功;
UAB
+q
甲
WAB=Fd=qEd;
(2)通過A、B間的電勢差計算靜電力所做的功;
WAB=qUAB;
(3)比較兩次計算功的大小并總結電勢差與電場強度的關系;
兩次計算功的大小相等,UAB = Ed;
(4)如果A、B兩點不在同一條電場線上(如圖乙)，上述結論還成立嗎？請嘗試進行論證。
WAB＝Flcos θ＝Fd＝qEd，
WAB＝qUAB，
UAB＝Ed. 故仍成立.
θ
注意：d一定是兩點沿電場方向的距離！
乙
[要點歸納]　
1.勻強電場中電勢差與電場強度的關系
(1)勻強電場中兩點間的電勢差等于________________________________
。
(2)公式: 。
(3)電場強度單位的換算: =1 N/C。?
(4)應用:在定量計算中,此關系式只適用于勻強電場,公式中d必須是沿電場強度方向的距離,當電場中的兩點不在同一條電場線上時,d應為兩點在電場強度方向上的投影距離,亦為電場中兩點所在的等勢面間的距離。
電場強度與這兩點沿電場方向的距離
的乘積
UAB=Ed
1 V/m
2.由E=????????????????可知,電場強度在數(shù)值上等于沿電場方向單位距離上降低的電勢,
電場強度是電勢差對空間位置的變化率,電勢隨空間變化的快慢,反映了電場強度的大小。
?
如圖,圖中虛線為等勢線,B、C、D三點位于同一等勢線上。
(1)比較A與B、A與C、A與D間電勢差的大小;
答案　UAB=UAC=UAD
(2)電勢沿AB、AC、AD三條線,哪一個方向降落最快?
答案　AB方向
E
A
B
D
C
電場中電場強度方向指向電勢降落最快的方向。
(1)由公式E=????????????????得電場強度跟兩點的電勢差成正比,跟兩點的距離成反比。
(　　)
(2)勻強電場中沿電場線方向,任何相同距離上電勢降落必定相等。(　　)
(3)勻強電場中電勢降低的方向必是電場強度方向。(　　)
?
√
×
×
1.(2023·云南文山市第一中學高二期末)如圖所示,A、B、C是勻強電場中一直角三角形的三個頂點,其中∠C=30°,AB方向與電場方向平行,AC邊長0.8 m。已知A、C兩點的電勢φA=9 V,φC=3 V,下列說法正確的是
A.勻強電場的電場強度大小為7.5 V/m
B.勻強電場的電場強度大小為15 V/m
C.勻強電場的電場強度大小為53 V/m
D.B點比C點電勢低
?
√
針對訓練1　(2024·眉山市高二期中)如圖所示,勻強電場電場強度大小E=100 V/m,A、B兩點相距10 cm, A、B連線與電場線夾角為60°,則UBA為
A.5 V B.53 V
C.-5 V D.-53 V
?
√
2.(2024·天津市五校高二期中)如圖所示,勻強電場中A、B、C三點構成一個直角三角形(電場線與三角形所在平面平行),其中∠A=30°,邊長AC=16 cm。將電荷量q=-6×10-6 C的點電荷由A點移到B點,靜電力做功2.4×10-5 J,再由B點移到C點,該點電荷克服靜電力做功2.4×10-5 J,取B點的電勢為零,求:
(1)A、C兩點的電勢;
答案　 (1)-4 V　-4 V
(2) 10033 V/m,方向垂直AC斜向左上
?
(2)勻強電場的電場強度。
2. (1)將點電荷由A點移到B點,由勻強電場的電勢差與靜電力做功的關系式可得UAB=????????????????=2.4×10?5?6×10?6 V=-4 V
由電勢差定義可得UAB=φA-φB
解得φA=-4 V
將點電荷由B點移到C點,由勻強電場的電勢差與靜電力做功的關系式可得UBC=????????????????=?2.4×10?5?6×10?6 V=4 V
由電勢差定義可得UBC=φB-φC
解得φC=-4 V
?
(2)因φA=φC,因此直線AC是勻強電場的一條等勢線,由電場線與等勢線垂直且由高電勢指向低電勢,如圖所示,LBC=LAC·sin 30°=8 cm
可得電場強度大小E=????????????????=????????????????????????sin60°=10033 V/m
方向垂直AC斜向左上。
?
電勢差的三種求解方法
1.應用定義式UAB=φA-φB來求解。
2.應用關系式UAB=????????????????來求解。
3.應用關系式UAB=Ed(勻強電場)來求解。UAB=Ed闡述的是一個矢量的大小與另一個標量間的關系,所以不帶符號計算,結果的正負根據(jù)題意另行判斷。
?
二 利用公式E=????????定性分析非勻強電場
?
E=????????
?
一定
小（密）
大
運用E=????????怎樣解釋電場線密的地方等差等勢線也密?
?
[要點歸納]　
UAB=Ed只適用于勻強電場的定量計算,在非勻強電場中,不能進行定量計算,但可以定性地分析有關問題。
3.(2024·陜西西安市東方中學月考)如圖所示,一條100 kV超高壓輸電線斷裂并垂落地面,地面電場可等效為場源電荷所形成的電場。圖中圓1、2、3、4的圓心均為垂落點O,圓半徑之比r1∶r2∶r3∶r4=1∶2∶3∶4,關于相鄰兩圓之間電勢差的絕對值,以下關系正確的是
A.U12=U23=U34 B.U12 C.U12>U23>U34 D.U23>U12>U34
√
針對訓練2　(多選)如圖所示,一個電場的電場線分布關于y軸對稱,O、M、N是y軸上的三個點,且OM=MN,P點在y軸的右側,MP⊥ON,則
A.M點的電勢比P點的電勢高
B.將負電荷由O點移動到P點,靜電力做正功
C.M、N兩點間的電勢差大于O、M兩點間的電勢差
D.在O點由靜止釋放一個不計重力的帶正電的粒子,
該粒子將沿y軸做直線運動
√
√
電勢差與電場強度的關系
勻強電場中電勢差與電場強度的關系
關系式的適用條件：勻強電場
關系式中的d指的是兩點沿電場線方向的距離
關系式????=????????
?
單位：1 V/m 或 1 N/C
物理意義： E在數(shù)值上等于沿電場線方向單位距離上降低的電勢
利用公式????=????????定性分析非勻強電場
?
當電勢差U一定時，若電場線越密，則E越大，沿場強方向的距離d越小，即等差等勢面越密；反之等差等勢面的密集程度也可反映場強的大小
1.由題圖可知,BC與電場線方向垂直,為等勢線,則φB=φC=3 V,
由幾何知識可知dAB=dACsin 30°=0.8×12 m=0.4 m,
則勻強電場的電場強度大小為E=????????????????????????=9?30.4 V/m=15 V/m,
故A、C、D錯誤,B正確。
?
針對訓練1　根據(jù)沿電場線方向電勢降低可知B點電勢低于A點電勢,則UBA為負值,
根據(jù)勻強電場中電勢差與電場強度的關系可得UBA=-EdABcos 60°=-5 V,故選C。
3.地面電場可等效為場源電荷為正電荷所形成的電場,根據(jù)點電荷周圍電場的特點可知,越靠近場源電荷,電場強度越大,由于相鄰兩圓間的距離相等,由公式U=????d可知U12>U23>U34,故選C。
?
針對訓練2　分別過M、P點作等勢線,可得過P點的等勢線在過M點的等勢線上方,因沿著電場線方向電勢降低,則
有φM>φP,A對;將負電荷由O點移到P點,由于UOP>0,
則W=qUOP<0,靜電力做負功,B錯;
由U=Ed定性分析可知,MN間的平均電場強度小于OM間的平均電場強度,故M、N兩點間的電勢差小于O、M兩點間的電勢差,C錯;
根據(jù)題意可知,y軸上的電場強度方向沿y軸向上,所以在O點由靜止釋放一不計重力的帶正電的粒子,其所受靜電力沿y軸正方向,則該粒子將沿y軸做直線運動,D對。
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