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專題強(qiáng)化6　帶電粒子在電場和重力場中的運(yùn)動
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.會應(yīng)用運(yùn)動和力、功和能的關(guān)系分析帶電粒子在電場和重力場中的運(yùn)動問題(重難點(diǎn))。2.會利用“等效法”解決帶電粒子在電場和重力場中圓周運(yùn)動的臨界問題(重難點(diǎn))。
一、帶電粒子在電場和重力場中的直線運(yùn)動
例1　(1)如圖甲，一帶電液滴沿直線從b點(diǎn)運(yùn)動到d點(diǎn)，bd與水平面成30°角，勻強(qiáng)電場方向豎直向下，液滴的質(zhì)量為m，帶電荷量為q，重力加速度為g，則液滴帶　　　　(填“正”或“負(fù)”)電，電場強(qiáng)度E=，液滴做　　　　　　運(yùn)動。
(2)如圖乙，若其他條件不變，電場方向調(diào)整為　　　，電場強(qiáng)度為　　　　，液滴做　　　　運(yùn)動，加速度大小a=　　　。
帶電粒子在電場中做直線運(yùn)動的條件
不可忽略重力的帶電粒子(如油滴、小球等)在勻強(qiáng)電場中做直線運(yùn)動時，重力與靜電力的合力為恒力。
1.若合力的方向與運(yùn)動方向在同一條直線上，帶電粒子做勻變速直線運(yùn)動；
2.合力為0，帶電粒子做勻速直線運(yùn)動，此種情況下，電場通常為豎直方向。
二、帶電粒子在電場和重力場中的“拋體”運(yùn)動
例2　在水平面MN的下方存在豎直向下的勻強(qiáng)電場，質(zhì)量為m的帶電小球由MN上方的A點(diǎn)以一定初速度水平拋出，從B點(diǎn)進(jìn)入電場，到達(dá)C點(diǎn)時速度方向恰好水平，A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，且AB=BC，如圖所示。重力加速度為g，由此可知小球帶　　　　(填“正”或“負(fù)”)電，小球從A到B與從B到C的運(yùn)動時間　　　　(填“相等”或“不相等”)，靜電力大小為　　　　，小球從A到B與從B到C的速度變化量的大小　　　　(填“相等”或“不相等”)。
處理帶電粒子在電場和重力場中“拋體”運(yùn)動的方法
1.明確研究對象并對其進(jìn)行受力分析。
2.將運(yùn)動正交分解，分方向進(jìn)行分析，把曲線運(yùn)動轉(zhuǎn)化為分方向的直線運(yùn)動，利用牛頓運(yùn)動定律、運(yùn)動學(xué)公式求解。
3.涉及到功和能量問題可利用功能關(guān)系和動能定理處理。
①功能關(guān)系：靜電力做的功等于電勢能的減少量，W電=Ep1-Ep2。
②動能定理：合力做的功等于動能的變化量，W=Ek2-Ek1。
三、帶電粒子在電場和重力場中的圓周運(yùn)動
例3　將光滑絕緣圓軌道置于豎直面內(nèi)，一帶正電，質(zhì)量為m的小球能在圓軌道內(nèi)完成完整的圓周運(yùn)動，圓軌道的圓心為O。重力加速度為g，軌道半徑為R。
(1)在圖甲中作圖確定小球速度最大的位置A及小球速度最小的位置B。
(2)若將此軌道置于豎直向上勻強(qiáng)電場中，電場強(qiáng)度大小為E=。
①小球受到重力與靜電力合力大小為　　　　，方向　　　　。
②在圖乙中作圖確定小球速度最大時所處的位置C及小球速度最小時所處的位置D。
③若小球恰好完成圓周運(yùn)動，則vD=　　　　，vC=　　　　。
(3)若將此軌道置于水平向右的電場中，電場強(qiáng)度大小為E=，tan 53°=。
①小球受重力與靜電力的合力大小為　　　　，方向?yàn)椤　　　　　　　　　　?
②在圖丙中作圖確定小球速度最大時所處的位置M和速度最小時所處的位置N。
③若小球恰好完成圓周運(yùn)動，則vN=　　　　vM=　　　　。
解決電場和重力場中的圓周運(yùn)動問題的方法
1.首先分析帶電體的受力情況進(jìn)而確定向心力的來源。
2.用“等效法”的思想找出帶電體在電場和重力場中的等效“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”。
(1)等效重力法
將重力與靜電力進(jìn)行合成，如圖所示，則F合為等效重力場中的“等效重力”，F(xiàn)合的方向?yàn)椤暗刃е亓Α钡姆较颍吹刃е亓鲋械摹柏Q直向下”方向。a=視為等效重力場中的“等效重力加速度”。
(2)幾何最高點(diǎn)(最低點(diǎn))與物理最高點(diǎn)(最低點(diǎn))
①幾何最高點(diǎn)(最低點(diǎn))：是指圖形中所畫圓的最上(下)端，是符合人視覺習(xí)慣的最高點(diǎn)(最低點(diǎn))。
②物理最高點(diǎn)(最低點(diǎn))：是指“等效重力F合”的反向延長線過圓心且與圓軌道的交點(diǎn)，即物體在圓周運(yùn)動過程中速度最小(大)的點(diǎn)。
答案精析
例1　(1)負(fù)　勻速直線　
(2)水平向左　　勻加速直線　2g
例2　負(fù)　相等　2mg　相等
解析　由題意可知，小球受到的靜電力向上，與電場方向相反，所以小球帶負(fù)電，兩個運(yùn)動過程水平方向的位移相等，所以運(yùn)動時間也相等，在豎直方向有h=gt2，h=×t2，解得F=2mg，速度變化量等于加速度與時間的乘積，即Δv=at，結(jié)合以上的分析可得，AB過程Δv=gt，BC過程|Δv|=|·t|=gt，故速度變化量的大小相等。
例3　(1)見解析圖(a)　(2)①mg　豎直向上
②見解析圖(b)　③　　(3)①mg
與水平方向成53°角斜向右下方　②見解析圖(c)　
③　
解析　(1)
(2)①F合=Eq-mg=mg，方向豎直向上
②小球速度最大和最小時所處位置如圖(b)
③在D點(diǎn)：qE-mg=m
得：vD=，從D→C的過程中：
(qE-mg)·2R=m-m
得：vC=。
(3)①如圖(d)所示，重力與靜電力的合力F合大小為mg，方向與水平方向成53°角斜向右下方。
②過圓心O作與F合方向一致的直線，交圓周于M、N兩點(diǎn)，如圖(c)。
③在N點(diǎn)：F合=mg=m，得：vN=
從N→M的過程中，F(xiàn)合·2R=m-m
得：vM=。　專題強(qiáng)化練6　帶電粒子在電場和重力場中的運(yùn)動
分值：70分
[1~3題，每題4分]
1.(多選)(2024·撫州市高二期中)如圖所示，某一空間為真空，只有水平向右的勻強(qiáng)電場和豎直向下的重力場，在豎直平面內(nèi)有初速度為v0的帶電微粒，恰能沿圖示虛線由A點(diǎn)向B點(diǎn)做直線運(yùn)動。下列說法正確的是
A.微粒只能帶負(fù)電荷
B.微粒可能做勻加速直線運(yùn)動
C.僅改變初速度的方向(與原速度不共線)，微粒將做曲線運(yùn)動
D.運(yùn)動過程中微粒電勢能減小
2.(多選)如圖所示，真空中存在豎直向下的勻強(qiáng)電場，一個帶電油滴(考慮重力)沿虛線由a向b運(yùn)動，以下判斷正確的是
A.油滴一定帶負(fù)電
B.油滴的電勢能一定增加
C.油滴的動能一定減少
D.油滴的動能與電勢能之和一定減少
3.(多選)(2024·南陽市高二月考)如圖所示，用絕緣細(xì)線拴一帶負(fù)電小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，勻強(qiáng)電場方向豎直向下，則
A.小球可能做勻速圓周運(yùn)動
B.當(dāng)小球運(yùn)動到最高點(diǎn)a時，線的張力一定最小
C.當(dāng)小球運(yùn)動到最高點(diǎn)a時，小球的電勢能一定最小
D.當(dāng)小球運(yùn)動到最低點(diǎn)b時，小球的速度一定最大
4.(8分)(2025·天津市高二期中)如圖所示，紙面內(nèi)存在方向與水平成θ角的勻強(qiáng)電場，在電場中的A點(diǎn)以速度v1=3 m/s水平向右拋出一帶正電的小球，小球沿直線向右運(yùn)動的最大距離LAB=0.6 m。已知小球的質(zhì)量m=0.02 kg，電荷量q=1.25×10-6 C，重力加速度g取10 m/s2，不計(jì)空氣阻力。求：
(1)(2分)A、B兩點(diǎn)間電勢差UAB；
(2)(3分)小球由A到B的時間t；
(3)(3分)電場強(qiáng)度E的大小。
[5、6題，每題6分]
5.(多選)(2024·廈門市高二期中)如圖所示，在豎直平面內(nèi)有水平向右、電場強(qiáng)度為E=1×104 N/C的勻強(qiáng)電場。在勻強(qiáng)電場中有一根長L=2 m的絕緣細(xì)線，一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為0.08 kg的帶電小球，它靜止時懸線與豎直方向成37°角，若小球獲得初速度恰能繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，取小球在靜止時的位置為電勢能零點(diǎn)和重力勢能零點(diǎn)，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10 m/s2。下列說法正確
A.小球的帶電荷量q=6×10-5 C
B.小球在運(yùn)動至圓周軌跡上的最高點(diǎn)時有動能的最小值
C.小球在運(yùn)動至圓周軌跡上的最高點(diǎn)時有機(jī)械能的最小值
D.小球繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動過程中電勢能和機(jī)械能之和保持不變
6.(多選)(2025·渭南市高二階段練習(xí))一個質(zhì)量為m的帶電小球，在一勻強(qiáng)電場中，以某一水平速度拋出，小球運(yùn)動時的加速度方向豎直向下，大小為，不計(jì)空氣阻力，已知重力加速度大小為g，則小球在豎直方向下落h高度時，以下說法正確的是
A.小球的機(jī)械能減少
B.小球的電勢能增加
C.小球的動能增加
D.小球的重力勢能減少mgh
7.(11分)(2024·河北卷)如圖，豎直向上的勻強(qiáng)電場中，用長為L的絕緣細(xì)線系住一帶電小球，在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動。圖中A、B為圓周上的兩點(diǎn)，A點(diǎn)為最低點(diǎn)，B點(diǎn)與O點(diǎn)等高。當(dāng)小球運(yùn)動到A點(diǎn)時，細(xì)線對小球的拉力恰好為0，已知小球的電荷量為q(q>0)、質(zhì)量為m，A、B兩點(diǎn)間的電勢差為U，重力加速度大小為g，求：
(1)(3分)電場強(qiáng)度E的大小。
(2)(8分)小球在A、B兩點(diǎn)的速度大小。
8.(11分)(2024·漳州市高二期末)如圖，豎直平面內(nèi)有水平向右的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度的大小為E，場中有一根長為L的絕緣細(xì)線，一端固定O點(diǎn)，另一端系著質(zhì)量為m的帶正電小球，初始時小球靜止于電場中的A點(diǎn)，此時細(xì)線與豎直方向夾角為θ=37°，已知重力加速度大小為g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。
(1)(3分)求O、A兩點(diǎn)間電勢差UOA；
(2)(3分)求小球的帶電荷量q；
(3)(5分)現(xiàn)給小球一個方向與細(xì)線垂直的初速度，讓小球恰能繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，求小球運(yùn)動的最小速度vmin。
[9、10題，每題8分]
9.(2024·黑吉遼卷)在水平方向的勻強(qiáng)電場中，一帶電小球僅在重力和電場力作用下于豎直面(紙面)內(nèi)運(yùn)動。如圖，若小球的初速度方向沿虛線，則其運(yùn)動軌跡為直線，若小球的初速度方向垂直于虛線，則其從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動到O點(diǎn)等高處的過程中
A.動能減小，電勢能增大
B.動能增大，電勢能增大
C.動能減小，電勢能減小
D.動能增大，電勢能減小
10.(多選)(2025·天津市高二期末)如圖所示，在范圍足夠大的水平向右的勻強(qiáng)電場中，將一個帶電小球以一定的初速度從A點(diǎn)豎直向上拋出，經(jīng)過最高點(diǎn)B之后又運(yùn)動至與拋出點(diǎn)等高的位置C點(diǎn)(圖中未畫出)的過程中，不計(jì)空氣阻力，下列說法正確的是
A.在整個運(yùn)動過程中，小球運(yùn)動到B點(diǎn)時速度最小
B.在整個運(yùn)動過程中，小球的機(jī)械能一直在增大
C.AB和BC兩段過程的水平距離相等
D.AB和BC兩段過程，小球速度的變化量相同
答案精析
1.AC　[由題意可知，重力豎直向下，靜電力只能水平向左，故微粒只有帶負(fù)電荷才能做直線運(yùn)動且一定是勻減速，故A正確，B錯誤；合力方向一定，僅改變初速度方向(與原速度不共線)，則初速度和合力不共線，將做曲線運(yùn)動，故C正確；靜電力方向與運(yùn)動方向夾角為鈍角，則靜電力做負(fù)功，電勢能變大，故D錯誤。]
2.AD　[物體做曲線運(yùn)動時，受到的合力的方向指向物體運(yùn)動軌跡彎曲的凹側(cè)，由此可知，該油滴受到的靜電力的方向是向上的，與電場方向相反，所以油滴一定帶負(fù)電，故A正確； 該油滴受到的靜電力做正功，電勢能減小，故B錯誤；該油滴受到合外力做正功，油滴的動能增加，故C錯誤；重力對油滴做負(fù)功，重力勢能增加，根據(jù)能量守恒，油滴的動能和電勢能之和一定減小，故D正確。]
3.AC　[當(dāng)重力等于靜電力時，只有細(xì)線的拉力提供向心力，小球可能做勻速圓周運(yùn)動，故A正確；當(dāng)重力小于靜電力時，a點(diǎn)為等效最低點(diǎn)，則小球運(yùn)動到最高點(diǎn)a時，小球的速度最大，線的張力最大，故B、D錯誤；根據(jù)沿著電場線方向電勢逐漸降低可知，在圓周上a點(diǎn)的電勢最高，根據(jù)Epa=qφa，當(dāng)小球運(yùn)動到最高點(diǎn)a時，帶負(fù)電小球的電勢能一定最小，故C正確。]
4.(1)-7.2×104 V　(2)0.4 s　(3)2×105 N/C
解析　(1)小球由A到B過程根據(jù)動能定理有
qUAB=0-m
解得UAB=-7.2×104 V
(2)根據(jù)速度位移關(guān)系式有0-=-2aLAB
根據(jù)速度時間關(guān)系式有0=v1-at
聯(lián)立解得a=7.5 m/s2，t=0.4 s
(3)根據(jù)Eqsin θ=mg，Eqcos θ=ma
解得E=2×105 N/C。
5.AD　[小球靜止時懸線與豎直方向成37°角，受到重力、靜電力和拉力，受力分析如圖
根據(jù)平衡條件，有qE=mgtan 37°
解得q==6×10-5 C，故A正確；小球恰能繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，在等效最高點(diǎn)A速度最小，動能最小，故B錯誤；根據(jù)能量守恒定律，電勢能和機(jī)械能之和保持不變，所以機(jī)械能最小的位置是電勢能最大的位置，即與O點(diǎn)等高的最左的位置，故C錯誤；小球在運(yùn)動過程中只有重力與靜電力做功，所以電勢能和機(jī)械能之和保持不變，故D正確。]
6.BCD　[由牛頓第二定律可知，小球所受的合力F合=ma=mg，方向向下，對小球下落過程，根據(jù)動能定理可知，小球的動能增加ΔEk=mgh，C正確；
下落h高度過程中，對小球由牛頓第二定律有靜電力F=mg-ma=mg，且方向豎直向上，則下落過程靜電力做功W=-mgh，故小球的電勢能增加mgh，B正確；
小球在豎直方向上下降h高度時重力做正功mgh，因此，小球的重力勢能減少mgh，D正確；
小球的電勢能增加，根據(jù)能量守恒定律可知，小球的機(jī)械能減少mgh，A錯誤。]
7.(1)　(2)　
解析　(1)由勻強(qiáng)電場中電勢差與電場強(qiáng)度的關(guān)系，電場強(qiáng)度E=
(2)在A點(diǎn)細(xì)線對小球的拉力為0，
根據(jù)牛頓第二定律得Eq-mg=m
A到B過程根據(jù)動能定理得
qU-mgL=m-m
聯(lián)立解得vA=，vB=。
8.(1)　(2)　(3)
解析　(1)O、A兩點(diǎn)間電勢差為UOA=ELsin θ
解得UOA=
(2)小球靜止時，由平衡條件得=tan θ
解得q==
(3)重力和靜電力都是恒力，它們的合力G等也是恒力，等效重力為
G等==
如圖所示
小球做圓周運(yùn)動過程，在等效最高點(diǎn)B點(diǎn)時速度最小，恰能通過B點(diǎn)有G等=m
解得vmin=。
9.D　[根據(jù)題意若小球的初速度方向沿虛線，則其運(yùn)動軌跡為直線，可知電場力和重力的合力沿著虛線方向，又電場強(qiáng)度方向?yàn)樗椒较颍鶕?jù)力的合成可知電場力方向水平向右；若小球的初速度方向垂直于虛線(如題圖)，則其從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動到O點(diǎn)等高處的過程中重力對小球做功為零，電場力的方向與小球的位移方向相同，則電場力對小球做正功，小球的動能增大，電勢能減小，故選D。]
10.BD　[在整個運(yùn)動過程中受向下的重力和水平向右的靜電力，其合力方向指向右下方，則當(dāng)速度方向與合力方向垂直時(等效“最高點(diǎn)”)小球的速度最小，則小球運(yùn)動到B點(diǎn)時速度不是最小，選項(xiàng)A錯誤；在整個運(yùn)動過程中，靜電力一直對小球做正功，則小球的機(jī)械能一直在增大，選項(xiàng)B正確；豎直方向受重力作用做豎直上拋運(yùn)動，則AB和BC兩段過程的時間相等，水平方向做初速度為零的勻加速運(yùn)動，可知AB和BC兩段過程的水平距離之比為1∶3，小球所受重力和靜電力均為恒力，其合力也為恒力，則小球的加速度恒定，根據(jù)Δv=aΔt可知，AB和BC兩段過程小球速度的變化量相同，選項(xiàng)C錯誤，D正確。](共52張PPT)
帶電粒子在電場和重力場中的運(yùn)動
專題強(qiáng)化6
第
十
章
1.會應(yīng)用運(yùn)動和力、功和能的關(guān)系分析帶電粒子在電場和重力場中的運(yùn)動問題(重難點(diǎn))。
2.會利用“等效法”解決帶電粒子在電場和重力場中圓周運(yùn)動的臨界問題(重難點(diǎn))。
學(xué)習(xí)目標(biāo)
內(nèi)容索引
專題強(qiáng)化練
一、帶電粒子在電場和重力場中的直線運(yùn)動
二、帶電粒子在電場和重力場中的“拋體”運(yùn)動
三、帶電粒子在電場和重力場中的圓周運(yùn)動
< 一 >
帶電粒子在電場和重力場中的直線運(yùn)動
　(1)如圖甲，一帶電液滴沿直線從b點(diǎn)運(yùn)動到d點(diǎn)，bd與水平面成30°角，勻強(qiáng)電場方向豎直向下，液滴的質(zhì)量為m，帶電荷量為q，重力加速度為g，則液滴帶　　　(填“正”或“負(fù)”)電，電場強(qiáng)度E＝，液滴做　　　　　　運(yùn)動。
例1
負(fù)
勻速直線
(2)如圖乙，若其他條件不變，電場方向調(diào)整
為　　　　　，電場強(qiáng)度為　　　　，液滴做
　　　　　　運(yùn)動，加速度大小a＝　　　。
水平向左
勻加速直線
2g
帶電粒子在電場中做直線運(yùn)動的條件
不可忽略重力的帶電粒子(如油滴、小球等)在勻強(qiáng)電場中做直線運(yùn)動時，重力與靜電力的合力為恒力。
1.若合力的方向與運(yùn)動方向在同一條直線上，帶電粒子做勻變速直線運(yùn)動；
2.合力為0，帶電粒子做勻速直線運(yùn)動，此種情況下，電場通常為豎直方向。
總結(jié)提升
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< 二 >
帶電粒子在電場和重力場中的“拋體”運(yùn)動
　在水平面MN的下方存在豎直向下的勻強(qiáng)電場，質(zhì)量為m的帶電小球由MN上方的A點(diǎn)以一定初速度水平拋出，從B點(diǎn)進(jìn)入電場，到達(dá)C點(diǎn)時速度方向恰好水平，A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，且AB＝BC，如圖所示。重力加速度為g，由此可知小球帶　　(填“正”或“負(fù)”)電，小球從A到B與從B到C的運(yùn)動時間　　　(填“相等”或“不相等”)，靜電力大小為　　　，小球從A到B與從B到C的速度變化量的大小_______(填“相等”或“不相等”)。
例2
負(fù)
相等
2mg
相等
由題意可知，小球受到的靜電力向上，與電場方向相反，所以小球帶負(fù)電，兩個運(yùn)動過程水平方向的位移相等，所以運(yùn)動時間也相等，在豎直方向有h＝gt2，h＝×t2，解得F＝2mg，速度變化量等于加速度與時間的乘積，即Δv＝at，結(jié)合以上的分析可得，AB過程Δv＝gt，BC過程|Δv|＝|·t|＝gt，故速度變化量的大小相等。
處理帶電粒子在電場和重力場中“拋體”運(yùn)動的方法
1.明確研究對象并對其進(jìn)行受力分析。
2.將運(yùn)動正交分解，分方向進(jìn)行分析，把曲線運(yùn)動轉(zhuǎn)化為分方向的直線運(yùn)動，利用牛頓運(yùn)動定律、運(yùn)動學(xué)公式求解。
3.涉及到功和能量問題可利用功能關(guān)系和動能定理處理。
①功能關(guān)系：靜電力做的功等于電勢能的減少量，W電＝Ep1－Ep2。
②動能定理：合力做的功等于動能的變化量，W＝Ek2－Ek1。
總結(jié)提升
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< 三 >
帶電粒子在電場和重力場中的圓周運(yùn)動
　將光滑絕緣圓軌道置于豎直面內(nèi)，一帶正電，質(zhì)量為m的小球能在圓軌道內(nèi)完成完整的圓周運(yùn)動，圓軌道的圓心為O。重力加速度為g，軌道半徑為R。
(1)在圖甲中作圖確定小球速度最大的位置A及小球速度最小的位置B。
例3
答案　見解析圖(a)
(2)若將此軌道置于豎直向上勻強(qiáng)電場中，電場強(qiáng)度大小為E＝。
①小球受到重力與靜電力合力大小為　　　，方向　　　　　。
F合＝Eq－mg＝mg，方向豎直向上
mg
豎直向上
②在圖乙中作圖確定小球速度最大時所處的位置C及小球速度最小時所處的位置D。
答案　見解析圖(b)
小球速度最大和最小時所處位置如圖(b)
③若小球恰好完成圓周運(yùn)動，則vD＝　　　　，vC＝　　　　。
在D點(diǎn)：qE－mg＝m
得：vD＝，從D→C的過程中：(qE－mg)·2R＝mm
得：vC＝。
(3)若將此軌道置于水平向右的電場中，電場強(qiáng)度大小為E＝，tan 53°＝。
①小球受重力與靜電力的合力大小為　　　　，方向?yàn)椤　　　　　　　　　　　　　　　?
與水平方向成53°角斜向右下方
如圖(d)所示，重力與靜電力的合力F合大小為mg，方向與水平方向成53°角斜向右下方。
②在圖丙中作圖確定小球速度最大時所處的位置M和速度最小時所處的位置N。
答案　見解析圖(c)
過圓心O作與F合方向一致的直線，交圓周于M、N兩點(diǎn)，如圖(c)。
③若小球恰好完成圓周運(yùn)動，則vN＝　　　　vM
＝　　　　。
在N點(diǎn)：F合＝mg＝m，得：vN＝
從N→M的過程中，F(xiàn)合·2R＝mm
得：vM＝。
解決電場和重力場中的圓周運(yùn)動問題的方法
1.首先分析帶電體的受力情況進(jìn)而確定向心力的來源。
2.用“等效法”的思想找出帶電體在電場和重
力場中的等效“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”。
(1)等效重力法
將重力與靜電力進(jìn)行合成，如圖所示，則F合為等效重力場中的“等效重力”，F(xiàn)合的方向?yàn)椤暗刃е亓Α钡姆较颍吹刃е亓?br/>中的“豎直向下”方向。a＝視為等效重力場中的“等效重力加速度”。
總結(jié)提升
(2)幾何最高點(diǎn)(最低點(diǎn))與物理最高點(diǎn)(最低點(diǎn))
①幾何最高點(diǎn)(最低點(diǎn))：是指圖形中所畫圓的最上(下)端，是符合人視覺習(xí)慣的最高點(diǎn)(最低點(diǎn))。
②物理最高點(diǎn)(最低點(diǎn))：是指
總結(jié)提升
“等效重力F合”的反向延長線過圓心且與圓軌道的交點(diǎn)，即物體在圓周運(yùn)動過程中速度最小(大)的點(diǎn)。
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< 四 >
專題強(qiáng)化練
題號 1 2 3 4 5
答案 AC AD AC (1)－7.2×104 V　(2)0.4 s　(3)2×105 N/C AD
題號 6 7 8 9 10
答案 BCD D BD
對一對
答案
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1.(多選)(2024·撫州市高二期中)如圖所示，某一空間為真空，只有水平向右的勻強(qiáng)電場和豎直向下的重力場，在豎直平面內(nèi)有初速度為v0的帶電微粒，恰能沿圖示虛線由A點(diǎn)向B點(diǎn)做直線運(yùn)動。下列說法正確的是
A.微粒只能帶負(fù)電荷
B.微粒可能做勻加速直線運(yùn)動
C.僅改變初速度的方向(與原速度不共線)，微粒
將做曲線運(yùn)動
D.運(yùn)動過程中微粒電勢能減小
基礎(chǔ)強(qiáng)化練
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答案
√
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答案
由題意可知，重力豎直向下，靜電力只能水平向左，故微粒只有帶負(fù)電荷才能做直線運(yùn)動且一定是勻減速，故A正確，B錯誤；
合力方向一定，僅改變初速度方向(與原速度不共線)，則初速度和合力不共線，將做曲線運(yùn)動，故C正確；
靜電力方向與運(yùn)動方向夾角為鈍角，則靜電力做負(fù)功，電勢能變大，故D錯誤。
2.(多選)如圖所示，真空中存在豎直向下的勻強(qiáng)電場，一個帶電油滴(考慮重力)沿虛線由a向b運(yùn)動，以下判斷正確的是
A.油滴一定帶負(fù)電
B.油滴的電勢能一定增加
C.油滴的動能一定減少
D.油滴的動能與電勢能之和一定減少
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答案
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答案
物體做曲線運(yùn)動時，受到的合力的方向指向物體運(yùn)動軌跡彎曲的凹側(cè)，由此可知，該油滴受到的靜電力的方向是向上的，與電場方向相反，所以油滴一定帶負(fù)電，故A正確；
該油滴受到的靜電力做正功，電勢能減小，故B錯誤；
該油滴受到合外力做正功，油滴的動能增加，故C錯誤；
重力對油滴做負(fù)功，重力勢能增加，根據(jù)能量守恒，油滴的動能和電勢能之和一定減小，故D正確。
3.(多選)(2024·南陽市高二月考)如圖所示，用絕緣細(xì)線拴一帶負(fù)電小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，勻強(qiáng)電場方向豎直向下，則
A.小球可能做勻速圓周運(yùn)動
B.當(dāng)小球運(yùn)動到最高點(diǎn)a時，線的張力一定最小
C.當(dāng)小球運(yùn)動到最高點(diǎn)a時，小球的電勢能一定最小
D.當(dāng)小球運(yùn)動到最低點(diǎn)b時，小球的速度一定最大
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答案
√
√
當(dāng)重力等于靜電力時，只有細(xì)線的拉力提供向心力，小球可能做勻速圓周運(yùn)動，故A正確；
當(dāng)重力小于靜電力時，a點(diǎn)為等效最低點(diǎn)，則小球運(yùn)動到最高點(diǎn)a時，小球的速度最大，線的張力最大，故B、D錯誤；
根據(jù)沿著電場線方向電勢逐漸降低可知，在圓周上a點(diǎn)的電勢最高，根據(jù)Epa＝qφa，當(dāng)小球運(yùn)動到最高點(diǎn)a時，帶負(fù)電小球的電勢能一定最小，故C正確。
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答案
4.(2025·天津市高二期中)如圖所示，紙面內(nèi)存在方向與水平成θ角的勻強(qiáng)電場，在電場中的A點(diǎn)以速度v1＝3 m/s水平向右拋出一帶正電的小球，小球沿直線向右運(yùn)動的最大距離LAB＝0.6 m。已知小球的質(zhì)量m＝0.02 kg，電荷量q＝1.25×10－6 C，重力加速度g取10 m/s2，不計(jì)空氣阻力。求：
(1)A、B兩點(diǎn)間電勢差UAB；
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答案
答案　－7.2×104 V
小球由A到B過程根據(jù)動能定理有qUAB＝0－m
解得UAB＝－7.2×104 V
(2)小球由A到B的時間t；
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答案
答案　0.4 s
根據(jù)速度位移關(guān)系式有0－＝－2aLAB
根據(jù)速度時間關(guān)系式有0＝v1－at
聯(lián)立解得a＝7.5 m/s2，t＝0.4 s
(3)電場強(qiáng)度E的大小。
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答案
答案　2×105 N/C
根據(jù)Eqsin θ＝mg，Eqcos θ＝ma
解得E＝2×105 N/C。
5.(多選)(2024·廈門市高二期中)如圖所示，在豎直平面內(nèi)有水平向右、電場強(qiáng)度為E＝1×104 N/C的勻強(qiáng)電場。在勻強(qiáng)電場中有一根長L＝2 m的絕緣細(xì)線，一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為0.08 kg的帶電小球，它靜止時懸線與豎直方向成37°角，若小球獲得初速度恰能繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，取小球在靜止時的位置為電勢能零點(diǎn)和重力勢能零點(diǎn)，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2。下列說法正確
A.小球的帶電荷量q＝6×10－5 C
B.小球在運(yùn)動至圓周軌跡上的最高點(diǎn)時有動能的最小值
C.小球在運(yùn)動至圓周軌跡上的最高點(diǎn)時有機(jī)械能的最小值
D.小球繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動過程中電勢能和機(jī)
械能之和保持不變
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答案
√
能力綜合練
√
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答案
小球靜止時懸線與豎直方向成37°角，受到重力、靜電力和拉力，受力分析如圖
根據(jù)平衡條件，有qE＝mgtan 37°
解得q＝＝6×10－5 C，故A正確；
小球恰能繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，在等效最
高點(diǎn)A速度最小，動能最小，故B錯誤；
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答案
根據(jù)能量守恒定律，電勢能和機(jī)械能之和保持不變，所以機(jī)械能最小的位置是電勢能最大的位置，即與O點(diǎn)等高的最左的位置，故C錯誤；
小球在運(yùn)動過程中只有重力與靜電力做功，所以電勢能和機(jī)械能之和保持不變，故D正確。
6.(多選)(2025·渭南市高二階段練習(xí))一個質(zhì)量為m的帶電小球，在一勻強(qiáng)電場中，以某一水平速度拋出，小球運(yùn)動時的加速度方向豎直向下，大小為，不計(jì)空氣阻力，已知重力加速度大小為g，則小球在豎直方向下落h高度時，以下說法正確的是
A.小球的機(jī)械能減少
B.小球的電勢能增加
C.小球的動能增加
D.小球的重力勢能減少mgh
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答案
√
√
√
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答案
由牛頓第二定律可知，小球所受的合力F合＝ma＝mg，方向向下，對小球下落過程，根據(jù)動能定理可知，小球的動能增加ΔEk＝mgh，C正確；
下落h高度過程中，對小球由牛頓第二定律有靜電力F＝mg－ma＝mg，且方向豎直向上，則下落過程靜電力做功W＝－mgh，故小球的電勢能增加mgh，B正確；
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答案
小球在豎直方向上下降h高度時重力做正功mgh，因此，小球的重力勢能減少mgh，D正確；
小球的電勢能增加，根據(jù)能量守恒定律可知，小球的機(jī)械能減少mgh，A錯誤。
7.(2024·河北卷)如圖，豎直向上的勻強(qiáng)電場中，用長為L的絕緣細(xì)線系住一帶電小球，在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動。圖中A、B為圓周上的兩點(diǎn)，A點(diǎn)為最低點(diǎn)，B點(diǎn)與O點(diǎn)等高。當(dāng)小球運(yùn)動到A點(diǎn)時，細(xì)線對小球的拉力恰好為0，已知小球的電荷量為q(q>0)、質(zhì)量為m，A、B兩點(diǎn)間的電勢差為U，重力加速度大小為g，求：
(1)電場強(qiáng)度E的大小。
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答案
答案　　
由勻強(qiáng)電場中電勢差與電場強(qiáng)度的關(guān)系，電場強(qiáng)度E＝
(2)小球在A、B兩點(diǎn)的速度大小。
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答案
答案　　
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答案
在A點(diǎn)細(xì)線對小球的拉力為0，
根據(jù)牛頓第二定律得Eq－mg＝m
A到B過程根據(jù)動能定理得
qU－mgL＝mm
聯(lián)立解得vA＝，vB＝。
8.(2024·漳州市高二期末)如圖，豎直平面內(nèi)有水平向右的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度的大小為E，場中有一根長為L的絕緣細(xì)線，一端固定O點(diǎn)，另一端系著質(zhì)量為m的帶正電小球，初始時小球靜止于電場中的A點(diǎn)，此時細(xì)線與豎直方向夾角為θ＝37°，已知重力加速度大小為g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)求O、A兩點(diǎn)間電勢差UOA；
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答案
答案　　
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答案
O、A兩點(diǎn)間電勢差為UOA＝ELsin θ
解得UOA＝
(2)求小球的帶電荷量q；
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答案
答案　
小球靜止時，由平衡條件得＝tan θ
解得q＝
(3)現(xiàn)給小球一個方向與細(xì)線垂直的初速度，讓小球恰能繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，求小球運(yùn)動的最小速度vmin。
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答案　
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答案
重力和靜電力都是恒力，它們的合力G等也是恒力，
等效重力為
G等＝
如圖所示
小球做圓周運(yùn)動過程，在等效最高點(diǎn)B點(diǎn)時速度最小，恰能通過B點(diǎn)有
G等＝m
解得vmin＝。
9.(2024·黑吉遼卷)在水平方向的勻強(qiáng)電場中，一帶電小球僅在重力和電場力作用下于豎直面(紙面)內(nèi)運(yùn)動。如圖，若小球的初速度方向沿虛線，則其運(yùn)動軌跡為直線，若小球的初速度方向垂直于虛線，則其從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動到O點(diǎn)等高處的過程中
A.動能減小，電勢能增大
B.動能增大，電勢能增大
C.動能減小，電勢能減小
D.動能增大，電勢能減小
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尖子生選練
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答案
根據(jù)題意若小球的初速度方向沿虛線，則其運(yùn)動軌跡為直線，可知電場力和重力的合力沿著虛線方向，又電場強(qiáng)度方向?yàn)樗椒较颍鶕?jù)力的合成可知電場力方向水平向右；若小球的初速度方向垂直于虛線(如題圖)，則其從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動到O點(diǎn)等高處的過程中重力對小球做功為零，電場力的方向與小球的位移方向相同，則電場力對小球做正功，小球的動能增大，電勢能減小，故選D。
10.(多選)(2025·天津市高二期末)如圖所示，在范圍足夠大的水平向右的勻強(qiáng)電場中，將一個帶電小球以一定的初速度從A點(diǎn)豎直向上拋出，經(jīng)過最高點(diǎn)B之后又運(yùn)動至與拋出點(diǎn)等高的位置C點(diǎn)(圖中未畫出)的過程中，不計(jì)空氣阻力，下列說法正確的是
A.在整個運(yùn)動過程中，小球運(yùn)動到B點(diǎn)時速度最小
B.在整個運(yùn)動過程中，小球的機(jī)械能一直在增大
C.AB和BC兩段過程的水平距離相等
D.AB和BC兩段過程，小球速度的變化量相同
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答案
在整個運(yùn)動過程中受向下的重力和水平向右的靜電力，其合力方向指向右下方，則當(dāng)速度方向與合力方向垂直時(等效“最高點(diǎn)”)小球的速度最小，則小球運(yùn)動到B點(diǎn)時速度不是最小，選項(xiàng)A錯誤；
在整個運(yùn)動過程中，靜電力一直對小球做正功，則小球的機(jī)械能一直在增大，選項(xiàng)B正確；
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答案
豎直方向受重力作用做豎直上拋運(yùn)動，則AB和BC兩段過程的時間相等，水平方向做初速度為零的勻加速運(yùn)動，可知AB和BC兩段過程的水平距離之比為1∶3，小球所受重力和靜電力均為恒力，其合力也為恒力，則小球的加速度恒定，根據(jù)Δv＝aΔt可知，AB和BC兩段過程小球速度的變化量相同，選項(xiàng)C錯誤，D正確。
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本課結(jié)束
第
十
章

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