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第三節　單擺
學 習 目 標 思 維 導 圖
1.知道什么是單擺． 2.理解單擺振動回復力的來源及做簡諧運動的條件． 3.知道單擺周期的決定因素，掌握單擺的周期公式．
知識點一　單擺及單擺的回復力
【情境導學】
擺鐘的鐘擺在擺動時是做簡諧運動，做簡諧運動的物體一定受到回復力的作用，是什么力作為鐘擺的回復力呢？擺鐘的鐘擺擺到最低點時，回復力為零，合外力為零嗎？
【知識梳理】
1．單擺
(1)概念：如果懸掛物體的繩子的________和________可以忽略不計，繩長比物體的尺寸大很多，物體可以看作質點，這樣的裝置可以看作單擺．
(2)若單擺的擺角________，單擺擺球的擺動可近似看成簡諧運動．
2．單擺的回復力
重力mg沿圓弧切線方向的分力F為單擺擺球的回復力，得F＝________， 在偏角很小(小于5°)時，有sin θ≈________，則單擺所受的回復力F≈________，可見單擺的擺動在擺角很小時是________.
狀元隨筆　 不可誤認為回復力是重力G與擺線拉力T的合力．
【重難突破】
1．實際的擺可以看成單擺的條件
(1)形變要求：當擺線的形變量比擺線的長度小得多時，擺線的伸縮可以忽略．可把擺線看成不可伸長的線．
(2)質量要求：擺線質量與擺球質量相比小得多，這時可以認為擺線是沒有質量的．
(3)長度要求：擺球的直徑與擺線的長度相比可以忽略時，可把擺球看成質點．
(4)受力要求：忽略擺動過程中擺球所受空氣阻力的作用．
2．單擺的受力特點
(1)擺球受力：如圖所示，擺球受細線拉力和重力作用．
(2)向心力來源：細線對擺球的拉力和擺球重力沿徑向的分力的合力．
(3)回復力來源：擺球重力沿圓弧切線方向的分力F＝mg sin θ為單擺擺球的回復力．
例1 圖中O點為單擺的固定懸點，現將擺球(可視為質點)拉至A點，此時細線處于張緊狀態，釋放擺球，擺球將在豎直平面內的A、C點之間來回擺動，B點為運動中的最低位置，則在擺動過程中(　　)
A．擺球在A點和C點處，速度為零，合力也為零
B．擺球在A點和C點處，速度為零，回復力也為零
C．擺球在B點處，速度最大，回復力也最大
D．擺球在B點處，速度最大，細線拉力也最大
【變式訓練1】　(多選)單擺是為研究振動而抽象出的理想化模型，其理想化條件是(　　)
A．擺線質量不計
B．擺線不伸縮
C．擺球的直徑比擺線長度小得多
D．只要是單擺的運動就是一種簡諧運動
知識點二　單擺的周期公式
【情境導學】
(1)發現擺鐘走時不準時，為什么要調整擺錘下面的螺母？
(2)將走時準確的擺鐘，由赤道拿到兩極，走時還準嗎？
【知識梳理】
1．探究影響單擺周期的因素
如圖所示，在鐵架臺的橫梁上固定兩個單擺，按照以下幾種情況，把它們拉起一定角度后同時釋放，觀察兩擺的振動周期.
(1)兩擺的擺球質量、擺長相同，振幅不同(都在小偏角下).
(2)兩擺的擺長、振幅相同，擺球質量不同.
(3)兩擺的振幅、擺球質量相同，擺長不同.
比較三種情況下兩擺的周期，可以得出：在擺角很小的情況下，單擺的周期與擺球質量和擺角________(選填“有關”或“無關”)，與單擺擺長有關．即T∝________．
2．周期公式：1659年，荷蘭物理學家惠更斯在研究單擺的振動時，發現擺球做簡諧運動的周期T跟擺長L的二次方根成________，跟重力加速度g的二次方根成________，用公式表示為T＝________.
①單擺的簡諧運動周期與裝置的固有因素________，與外界條件________；(均選填“有關”或“無關”)
②單擺的簡諧運動周期也叫作單擺的________；
③彈簧振子的簡諧運動周期和頻率也是固有的，與彈簧的勁度系數和小球的質量________(選填“有關”或“無關”)．
【重難突破】
對單擺的周期公式的理解
由公式T＝2π知，某單擺做簡諧運動(擺角小于5°)的周期只與其擺長L和當地的重力加速度g有關，而與振幅和擺球質量無關，故又叫作單擺的固有周期．
(1)擺長L
①實際的單擺擺球不可能是質點，所以擺長應是從懸點到擺球球心的長度：即L＝L0＋，L0為擺線長，d為擺球直徑．
②等效擺長：圖(a)中甲、乙在垂直紙面方向擺起來效果是相同的，所以甲擺的擺長為L·sin α，這就是等效擺長．其周期T＝2π.圖(b)中，乙在垂直紙面方向擺動時，與甲擺等效；乙在紙面內小角度擺動時，與丙等效．
(2)重力加速度g
若單擺系統只處在重力場中且處于靜止狀態，g由單擺所處的空間位置決定．另外，在不同星球上M和R也是變化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只是在地球表面附近時的取值．不同地點g的取值不同．
例2 做簡諧運動的單擺，其擺長不變，若擺球的質量增加為原來的倍，擺球經過平衡位置的速度減為原來的，則單擺振動的(　　)
A．周期不變，振幅不變
B．周期不變，振幅變小
C．周期改變，振幅不變
D．周期改變，振幅變大
【變式訓練2】　圖甲為生活中常見的一種擺鐘，圖乙為擺鐘內擺的結構示意圖，圓盤固定在擺桿上，螺母可以沿擺桿上下移動．在龍巖走時準確的擺鐘移到北京，要使擺鐘仍然走時準確，則(　　)
A．因擺鐘周期變大，應將螺母適當向上移動
B．因擺鐘周期變大，應將螺母適當向下移動
C．因擺鐘周期變小，應將螺母適當向上移動
D．因擺鐘周期變小，應將螺母適當向下移動
隨堂自主檢測
1．(多選)關于單擺，下列說法中正確的是(　　)
A．單擺擺球的回復力指向平衡位置
B．擺球經過平衡位置時加速度為零
C．擺球運動到平衡位置時，所受回復力等于零
D．擺角很小時，擺球所受合力的大小跟擺球相對平衡位置的位移大小成正比
2．在盛沙的漏斗下面放一木板，讓漏斗左右擺動起來，同時其中細沙勻速流出，經歷一段時間后，觀察木板上沙子的堆積情況，則沙堆的剖面應是下圖中的(　　)
3．(多選)關于單擺，下列說法正確的是(　　)
A．單擺的回復力是重力的分力
B.單擺的擺角小于5°，可看作簡諧運動
C．單擺的振幅不論多大，其周期均為T＝2π
D．單擺的振動是變加速運動
4．一單擺由甲地移到乙地后，發現走時變快了，其變快的原因及調整的方法是(　　)
A．g甲＞g乙，將擺長縮短
B．g甲＜g乙，將擺長放長
C．g甲＜g乙，將擺長縮短
D．g甲＞g乙，將擺長放長
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第三節　單擺
知識點一
情境導學
提示：重力沿圓弧切線方向的分力提供回復力，合外力不為零．
知識梳理
1．(1)伸縮　質量　(2)小于5°
2．mg sin θ　　－mg　簡諧運動
重難突破
[例1]　解析：擺球在擺動過程中，在最高點A、C點處速度為零，回復力最大，合力不為零，A、B錯誤；在最低點B點處，速度最大，回復力為零，細線的拉力也最大，C錯誤，D正確．
答案：D
【變式訓練1】　解析：單擺由擺線和擺球組成，擺線只計長度不計質量，擺球只計質量不計大小，且擺線不伸縮，A、B、C正確．把單擺的運動作為簡諧運動來處理是有條件的，只有在擺角很小的情況下才能視單擺的運動為簡諧運動，D錯誤．
答案：ABC
知識點二
情境導學
提示：(1)調整擺錘下面的螺母，可以改變擺的擺長，從而改變擺的周期，以調整擺鐘的走時快慢．　 (2)不準了．
知識梳理
1．(3)無關　
2．正比　反比　2π　①有關　無關　②固有周期
③有關
重難突破
[例2]　解析：由單擺的周期公式T＝2π可知，單擺擺長不變，則周期不變；擺球經過平衡位置的速度減為原來的，由于振動過程中機械能守恒，則有mgh＝mv2，則有2gh＝v2，據此式可知，速度變小，高度減小，所以偏離平衡位置的最大距離變小，即振幅變小，B正確．
答案：B
【變式訓練2】　解析：由龍巖到北京，重力加速度變大，因T＝2π，可知周期變小，則要使周期不變小，則應增加擺長，即將螺母適當向下移動，D正確 .
答案：D
隨堂自主檢測
1．解析：根據回復力的特點可知擺球受到的回復力方向總是指向平衡位置，A正確；擺球經過平衡位置時，由于做圓周運動，故存在向心加速度，B錯誤；擺球運動到平衡位置時，回復力等于零，C正確；擺角很小時，擺球所受回復力的大小跟擺球相對平衡位置的位移大小成正比，而不是合力的大小跟擺球相對平衡位置的位移大小成正比，D錯誤．
答案：AC
2．解析：不考慮空氣阻力，漏斗在從最左端向最右端運動和從最右端向最左端運動時，到達最底端運動速度最快，細沙漏到地面上的最少，兩端漏斗運動速度最慢，細沙漏到地面上的最多，B正確，A、C、D錯誤．
答案：B
3．解析：單擺的回復力是重力的切向分力，A正確；單擺做簡諧運動的條件是擺角很小，不超過5°，B正確；單擺做簡諧運動周期T＝2π，要求擺角很小，不超過5°，C錯誤；單擺振動過程中加速度不斷變化，是變加速運動，D正確．
答案：ABD
4．解析：根據單擺的周期公式T＝2π，知走時變快了，則周期變小了，說明乙地的重力加速度大于甲地的重力加速度，即g甲＜g乙，為了增大周期，可以增大擺長，B正確．
答案：B
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第三節　單擺
學 習 目 標 思 維 導 圖
1.知道什么是單擺．
2.理解單擺振動回復力的來源及做簡諧運動的條件．
3.知道單擺周期的決定因素，掌握單擺的周期公式．
知識點一　單擺及單擺的回復力
【情境導學】
擺鐘的鐘擺在擺動時是做簡諧運動，做簡諧運動的物體一定受到回復力的作用，是什么力作為鐘擺的回復力呢？擺鐘的鐘擺擺到最低點時，回復力為零，合外力為零嗎？
提示：重力沿圓弧切線方向的分力提供回復力，合外力不為零．
【知識梳理】
1．單擺
(1)概念：如果懸掛物體的繩子的________和________可以忽略不計，繩長比物體的尺寸大很多，物體可以看作質點，這樣的裝置可以看作單擺．
(2)若單擺的擺角________，單擺擺球的擺動可近似看成簡諧運動．
伸縮
質量
小于5°
2．單擺的回復力
重力mg沿圓弧切線方向的分力F為單擺擺球的回復力，得F＝________， 在偏角很小(小于5°)時，有sin θ≈________，則單擺所受的回復力F≈________，可見單擺的擺動在擺角很小時是________.
狀元隨筆　 不可誤認為回復力是
重力G與擺線拉力T的合力．
mg sin θ

簡諧運動
【重難突破】
1．實際的擺可以看成單擺的條件
(1)形變要求：當擺線的形變量比擺線的長度小得多時，擺線的伸縮可以忽略．可把擺線看成不可伸長的線．
(2)質量要求：擺線質量與擺球質量相比小得多，這時可以認為擺線是沒有質量的．
(3)長度要求：擺球的直徑與擺線的長度相比可以忽略時，可把擺球看成質點．
(4)受力要求：忽略擺動過程中擺球所受空氣阻力的作用．
2．單擺的受力特點
(1)擺球受力：如圖所示，擺球受細線拉力和重力作用．
(2)向心力來源：細線對擺球的拉力和擺球
重力沿徑向的分力的合力．
(3)回復力來源：擺球重力沿圓弧切線方向
的分力F＝mg sin θ為單擺擺球的回復力．
例1 圖中O點為單擺的固定懸點，現將擺球(可視為質點)拉至A點，此時細線處于張緊狀態，釋放擺球，擺球將在豎直平面內的A、C點之間來回擺動，B點為運動中的最低位置，則在擺動過程中(　　)
A．擺球在A點和C點處，速度為零，合力也為零
B．擺球在A點和C點處，速度為零，回復力也為零
C．擺球在B點處，速度最大，回復力也最大
D．擺球在B點處，速度最大，細線拉力也最大
答案：D
解析：擺球在擺動過程中，在最高點A、C點處速度為零，回復力最大，合力不為零，A、B錯誤；在最低點B點處，速度最大，回復力為零，細線的拉力也最大，C錯誤，D正確．
【變式訓練1】　(多選)單擺是為研究振動而抽象出的理想化模型，其理想化條件是(　　)
A．擺線質量不計
B．擺線不伸縮
C．擺球的直徑比擺線長度小得多
D．只要是單擺的運動就是一種簡諧運動
答案：ABC
解析：單擺由擺線和擺球組成，擺線只計長度不計質量，擺球只計質量不計大小，且擺線不伸縮，A、B、C正確．把單擺的運動作為簡諧運動來處理是有條件的，只有在擺角很小的情況下才能視單擺的運動為簡諧運動，D錯誤．
知識點二　單擺的周期公式
【情境導學】
(1)發現擺鐘走時不準時，為什么要調整擺錘下面的螺母？
(2)將走時準確的擺鐘，由赤道拿到兩極，走時還準嗎？
提示：調整擺錘下面的螺母，可以改變擺的擺長，從而改變擺的周期，以調整擺鐘的走時快慢．
提示：不準了．
【知識梳理】
1．探究影響單擺周期的因素
如圖所示，在鐵架臺的橫梁上固定兩個單擺，按照以下幾種情況，把它們拉起一定角度后同時釋放，觀察兩擺的振動周期.
(1)兩擺的擺球質量、擺長相同，振幅不同(都在小偏角下).
(2)兩擺的擺長、振幅相同，擺球質量不同.
(3)兩擺的振幅、擺球質量相同，擺長不同.
比較三種情況下兩擺的周期，可以得出：在擺角很小的情況下，單擺的周期與擺球質量和擺角________(選填“有關”或“無關”)，與單擺擺長有關．即T∝________．
無關

2．周期公式：1659年，荷蘭物理學家惠更斯在研究單擺的振動時，發現擺球做簡諧運動的周期T跟擺長L的二次方根成________，跟重力
加速度g的二次方根成________，用公式表示為T＝________.
①單擺的簡諧運動周期與裝置的固有因素________，與外界條件________；(均選填“有關”或“無關”)
②單擺的簡諧運動周期也叫作單擺的________；
③彈簧振子的簡諧運動周期和頻率也是固有的，與彈簧的勁度系數和小球的質量________(選填“有關”或“無關”)．
正比
反比
有關
無關
固有周期
有關
(2)重力加速度g
若單擺系統只處在重力場中且處于靜止狀態，g由單擺所處的空間位置決定．另外，在不同星球上M和R也是變化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只是在地球表面附近時的取值．不同地點g的取值不同．
答案：B
【變式訓練2】　圖甲為生活中常見的一種擺鐘，圖乙為擺鐘內擺的結構示意圖，圓盤固定在擺桿上，螺母可以沿擺桿上下移動．在龍巖走時準確的擺鐘移到北京，要使擺鐘仍然走時準確，則(　　)
A．因擺鐘周期變大，應將螺母適當向上移動
B．因擺鐘周期變大，應將螺母適當向下移動
C．因擺鐘周期變小，應將螺母適當向上移動
D．因擺鐘周期變小，應將螺母適當向下移動
答案：D
1．(多選)關于單擺，下列說法中正確的是(　　)
A．單擺擺球的回復力指向平衡位置
B．擺球經過平衡位置時加速度為零
C．擺球運動到平衡位置時，所受回復力等于零
D．擺角很小時，擺球所受合力的大小跟擺球相對平衡位置的位移大小成正比
答案：AC
解析：根據回復力的特點可知擺球受到的回復力方向總是指向平衡位置，A正確；擺球經過平衡位置時，由于做圓周運動，故存在向心加速度，B錯誤；擺球運動到平衡位置時，回復力等于零，C正確；擺角很小時，擺球所受回復力的大小跟擺球相對平衡位置的位移大小成正比，而不是合力的大小跟擺球相對平衡位置的位移大小成正比，D錯誤．
2．在盛沙的漏斗下面放一木板，讓漏斗左右擺動起來，同時其中細沙勻速流出，經歷一段時間后，觀察木板上沙子的堆積情況，則沙堆的剖面應是下圖中的(　　)
答案：B
解析：不考慮空氣阻力，漏斗在從最左端向最右端運動和從最右端向最左端運動時，到達最底端運動速度最快，細沙漏到地面上的最少，兩端漏斗運動速度最慢，細沙漏到地面上的最多，B正確，A、C、D錯誤．

答案：ABD
4．一單擺由甲地移到乙地后，發現走時變快了，其變快的原因及調整的方法是(　　)
A．g甲＞g乙，將擺長縮短
B．g甲＜g乙，將擺長放長
C．g甲＜g乙，將擺長縮短
D．g甲＞g乙，將擺長放長
答案：B
1．在如圖所示的裝置中，可視為單擺的是(　　)
答案：A
解析：這些裝置都是實際的擺．我們在研究單擺的擺動過程時，通常忽略空氣等對單擺的阻力，因此實驗中我們總是盡量選擇質量大體積小的球和盡量細、不可伸長的線組成單擺．單擺是實際擺的理想化模型．所以只有A中所示裝置可視為單擺，A正確．
2．對單擺在豎直面內做簡諧運動，下列說法中正確的是(　　)
A．擺球所受向心力處處相同
B．擺球的回復力是它所受的合力
C．擺球經過平衡位置時所受回復力為零
D．擺球經過平衡位置時所受合外力為零
答案：C
解析：單擺在豎直面內做簡諧運動，拉力和重力沿徑向分力的合力提供向心力，向心力方向時刻改變，所以向心力不是處處相同；重力沿軌跡切線方向的分量提供回復力，所以在經過最低點時只有向心力，沒有回復力，C正確，A、B、D錯誤．
3．利用盛砂的漏斗演示簡諧運動，如果考慮漏斗里砂子逐漸減少，則砂擺的頻率將(　　)
A．逐漸增大 B．逐漸減小
C．先增大后減小 D．先減小后增大
答案：D
4．(多選)單擺是實際擺的理想化模型，關于單擺的周期下列說法正確的是(　　)
A．擺球的質量越大，周期就越大
B．擺長越長，周期越大
C．將單擺由上海運到北京周期會發生變化
D．周期為2 s的擺叫作秒擺
答案：BCD
5.如圖所示，在鐵架橫梁上依次掛上A、B兩個擺，擺長LA>LB，先讓A擺垂直水平橫梁的方向擺動起來，B擺隨后也跟著擺動起來，A、B兩個擺的周期依次為TA、TB，頻率分別為fA、fB，擺動穩定后可以發現(　　)
A．TA>TB B．TA＝TB
C．fA>fB D．fA答案：A
答案：C
7．如圖甲，一個小球在A、B間做簡諧運動，O點為最低點．以O點為坐標原點、以水平向右為正方向，小球的振動圖像如圖乙所示．重力加速度g大小取9.8 m/s2，π2≈9.8，不計空氣阻力，
下列說法正確的是(　　)
A．小球的振動方程為x＝5sin (2πt)cm
B．0～0.5 s時間內，小球的動能逐漸增大
C．動能和重力勢能相互轉化的周期為1 s
D．此單擺的擺長約為2 m
答案：C
8．一單擺做簡諧運動的圖像如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．該單擺做簡諧運動的振幅為4 cm
B．在t＝2 s時，擺球的速度為零
C．在t＝0.5 s和t＝3.5 s時，擺球偏離平衡位置的位移大小相等、方向相反
D．取重力加速度大小g＝10 m/s2，π2＝10，則該單擺的擺長為2 m
答案：C
9.惠更斯利用擺的等時性發明了擺鐘，鐘擺的周期可以通過調節等效擺長(整個鐘擺的重心到懸掛點的距離)控制，控制的方法是旋轉鐘擺下端的旋轉螺母以調節圓盤高度．下列關于擺鐘的說法正確的是(　　)
A．將擺鐘從廣州運到北京，應將圓盤向上移
B．擺鐘慢了，應將圓盤向上移
C．若夏天擺鐘準確，則到冬天要將圓盤向上移
D．若鐘擺周期為1 s，則等效擺長約為0.5 m
答案：B
10.如圖所示，曲面AO是一段半徑為2 m的光滑圓弧面，圓弧與水平面相切于O點，AO弧長10 cm.現將一小球先后從曲面的頂端A和AO弧的中點B由靜止釋放，到達底端O的速度分別為v1和v2，所經歷的時間分別是t1和t2，那么(　　)
A．v1＜v2，t1＜t2 B．v1＞v2，t1＝t2
C．v1＝v2，t1＝t2 D．上述三種都有可能
答案：B
11.(多選)如圖所示，兩單擺的擺長相同，平衡時兩擺球剛好接觸，現將擺球A在兩擺線所在平面內向左拉開一小角度后釋放，碰撞后，兩擺球分開各自做簡諧運動，以mA、mB分別表示擺球A、B的質量，
則(　　)
A．如果mA＞mB，下一次碰撞將發生在平衡位置右側
B．如果mA＜mB，下一次碰撞將發生在平衡位置左側
C．無論兩球質量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右側
D．無論兩球質量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左側
答案：CD
12．(16分)將一力傳感器連接到計算機上就可以測量快速變化的力，圖甲中O點為單擺的懸點，現將小球(可視為質點)拉到A點，此時細線處于張緊狀態，釋放擺球，則擺球在豎直平面內的AC之間來回擺動，其中B點為運動中最低位置．∠AOB＝∠COB＝α，α小于10°且是未知量，圖乙表示由計算機得到細線對擺球的拉力大小F隨時間變化的曲線，且圖中t＝0時刻為擺球從A點開始運動的時刻，根據力學規律和題中信息(g取10 m/s2 )，求：
(1)單擺的周期．
答案：1.3 s
解析：擺球受力分析如圖所示．
小球在一個周期內兩次經過最低點，根據該規律有，T＝0.4π s≈1.3 s.
(2)單擺的擺長．
答案：0.4 m

(3)擺球的質量．
答案：0.05 kg

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