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第六章　圓周運動
專題三　豎直面內圓周運動模型及臨界問題
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拓展一
專題　講座
1. 模型概述
無支撐物（如球與繩連接，沿內軌道運動的“過山車”等）的豎直面內的圓周運動， 稱為“輕繩模型”.
2. 模型特點
比較項目 特點
情境圖示
彈力特征（最高點） 彈力可能向下，也可能等于零
比較項目 特點
受力示意圖
力學方程
臨界特征
物體能否過最高點的臨界點
研習　經典
[典例1]　（2024·浙江溫州期末）激光高速特技車（以下簡稱小車）依靠強磁電機提 供動力，能以很大的速度在空心球體中運動.如圖甲所示，某同學將魚缸固定在示數 已調零的臺秤上，打開小車開關，使小車在豎直面內做半徑為r＝0.064 m的勻速圓周 運動.已知魚缸的質量M＝0.90 kg，小車的質量m＝0.01 kg，重力加速度g＝10 m/s2， 不考慮空氣阻力等影響，運動模型如圖乙所示.
（1）求小車恰能過最高點A時的速度大小v1和此時臺秤的示數F1；
[答案]　0.8 m/s　9.0 N
（1）求小車恰能過最高點A時的速度大小v1和此時臺秤的示數F1；
[答案]　0.8 m/s　9.0 N
解得v1＝0.8 m/s此時小車與魚缸間彈力為0，則臺秤的示數F1＝Mg＝9.0 N.
（2）若小車在最高點A時，臺秤的示數為F2＝5.5 N，求此時小車速度大小v2.
[答案]　4.8 m/s
A. 0
C
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拓展二
專題　講座
1. 模型概述
有支撐物（如球與桿連接，小球在彎管內運動等）的豎直面內的圓周運動，稱為“輕 桿模型”.
2. 模型特點
比較項目 特點
情境圖示
彈力特征（最高點） 彈力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意圖
比較項目 特點
力學方程
臨界特征 v＝0，即F向＝0，此時FN＝mg
（兩力方向相反）
FN表現為拉力還是支持力的臨界點
研習　經典
[典例2]　如圖所示，小球A的質量為m＝0.5 kg.固定在長為L＝0.2 m的輕細直桿一端，
并隨桿一起繞桿的另一端O點在豎直平面內做圓周運動.如果小球經過最高位置時，桿
對球的作用力為拉力，拉力大小等于球的重力（取g＝10 m/s2）.求：
（1）球在最高點時的速度大小；
[答案]　2 m/s
（2）當小球經過最低點時速度為4 m/s，桿對球的作用力的大小；
[答案]　45 N
（3）如果把其中輕細桿變成等長的輕繩，小球剛好能通過最高點的速度為多大.
豎直面內的圓周運動問題的分析思路
（1）定模型：首先判斷是輕繩模型還是輕桿模型，兩種模型過最高點的臨界條 件不同.
（3）研究狀態：通常情況下豎直平面內的圓周運動只涉及最高點和最低點的運 動情況.
D
C. v2＝c時，桿對小球的彈力方向向下
D. v2＝2b時，桿對小球彈力大小為2mg
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拓展三
專題　講座
1. 涉及常見三種力
（1）與繩的彈力有關的臨界條件：繩彈力恰好為0或不被拉斷的最大值.
（2）與支持面彈力有關的臨界條件：支持力恰好為0.
（3）因靜摩擦力而產生的臨界問題：靜摩擦力達到最大值.
2. 常用解題方法
（1）極限法
把物理問題（或過程）推向極端，從而使臨界現象顯露，達到盡快求解的目的.
（2）假設法
有些物理過程轉化沒有明顯出現臨界問題的線索，但在變化過程中可能出現臨界問 題.因此分析時先假設出臨界狀態，然后再分析判定.
（3）數學方法
將物理過程轉化為數學公式，根據數學表達式，求得臨界條件，具體步驟如下：
①對物體進行受力分析.
②找到其中可以變化的力以及它的臨界值.
③求出向心力（合力或沿半徑方向的合力）的臨界值.
④用向心力公式求出運動學量（線速度、角速度、周期、半徑等）的臨界值.
研習　經典
AC
A. b一定比a先開始滑動
B. a、b所受的摩擦力始終相等
[訓練3]如圖所示，一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線 與軸線之間的夾角θ＝45°，一條長為L的輕繩（質量不計），一端固定在圓錐體的頂 點O處，另一端拴著一個質量為m的小物體（物體可看成質點），物體以速率v繞圓錐 體的軸線做水平勻速圓周運動.求：
答案：　2mg
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課堂強研習 合作學習 精研重難
課后提素養
A. 秋千對小明的作用力小于mg
B. 秋千對小明的作用力大于mg
C. 小明的速度為零，所受合力為零
D. 小明的加速度為零，所受合力為零
A
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解析：秋千擺到最高點，受力分析如圖所示
切向：mat＝mgsin θ，徑向：速度為0，向心力為0，則有T＝mgcos θ＜mg，在 最高點速度為0，向心力為0，但切向加速度不為0，所受合力不為零，故B、C、 D錯，A正確.
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2. （2024·江蘇南京協同體七校期中聯考）長度為0.5 m的輕質細桿OA，A端有一質量 為2 kg的小球，以O點為圓心，在豎直平面內做圓周運動，如圖所示，小球通過最高 點時的速度為1 m/s，取重力加速度g＝10 m/s2，則此時輕桿OA將（　　）
A. 受到16 N的壓力
B. 受到24 N的壓力
C. 受到24 N的拉力
D. 受到16 N的拉力
A
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5
A. 球A受到的向心力大于球B受到的向心力
B. 球A轉動的半徑是球B轉動半徑的一半
C. 當球A質量增大時，球A將向外運動
D. 當ω增大時，球B向外運動
BC
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解析：由于桿光滑，兩球之間的細繩的拉力提供向心力，繩上各點的拉力大小相等， 所以球A受到的向心力等于球B受到的向心力，A錯誤；根據F＝mω2r，A、B兩球的角 速度相等，mA＝2mB，得rB＝2rA，B正確；當A球質量增大時，需要的向心力變大，則 球A將做離心運動，向外運動，C正確；當ω增大時，兩球的向心力增大相同數值，兩 球相對于桿均不動，D錯誤.
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A. 人在最低點時對座椅的壓力小于mg
B. 人在最高點和最低點時的向心加速度大小不相等
C. 人在最高點時對座椅仍可能產生壓力，且壓力不一定小于mg
D. 車在最高點時人處于倒坐狀態，若沒有保險帶，人一定會掉下去
BC
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5. 如圖所示，內壁光滑的圓錐筒的軸線豎直，頂角為2θ＝60°，底面半徑為R，在底 面圓心O處系一個輕質細線，長也為R，細線的另一端連一個小球，小球可視為質 點，現給小球一個初速度，使其在水平面內做圓周運動.已知重力加速度為g，則：
（1）要使小球不碰到圓錐筒，小球的線速度大小不超過多大？
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解析：設小球恰好與筒壁接觸，但與筒壁間無作用力時，小球的線速度大小為v1，受 力分析如圖1所示，
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（2）要使細線無拉力，小球的線速度大小應滿足什么條件？
答案：　見解析
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