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第十一章　解答題突破
第43課時(shí)　與圓有關(guān)的計(jì)算與證明
1. （2024·大慶節(jié)選）如圖11-43-1，△ABC為☉O的內(nèi)接三角形，AB為☉O的直徑，將△ABC沿直線AB翻折到△ABD，點(diǎn)D在☉O上.連接CD，交AB于點(diǎn)E，延長BD，CA，兩線相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作☉O的切線交BP于點(diǎn)G.
（1）求證：AG∥CD；
圖11-43-1
證明：（1）∵將△ABC沿直線AB翻折到△ABD，∴AB⊥CD.
∵AB為☉O的直徑，AG是切線，∴AG⊥AB. ∴AG∥CD.
（2）求證：PA2=PG·PB.
圖11-43-1
2. （2024·貴州）如圖11-43-2，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)F在半圓上，點(diǎn)P在AB的延長線上，PC與半圓相切于點(diǎn)C，與OF的延長線相交于點(diǎn)D，AC與OF相交于點(diǎn)E，DC=DE.
（1）寫出圖中一個(gè)與∠DEC相等的角：　 ；
　圖11-43-2
∠DCE（答案不唯一）　
（2）求證：OD⊥AB；
（2）證明：如答圖11-43-1，連接OC.
∵PC與半圓相切于點(diǎn)C，
∴∠OCD=90°. ∴∠DCE+∠ACO=90°.
∵OA=OC，∴∠A=∠ACO.
∵DC=DE，∴∠DCE=∠DEC=∠AEO.
∴∠A+∠AEO=90°. ∴∠AOE=90°.
∴OD⊥AB.
答圖11-43-1
　圖11-43-2
（3）若OA=2OE，DF=2，求BP的長.
答圖11-43-1
3. （2024·赤峰）如圖11-43-3，△ABC中，∠ACB=90°，
AC=BC，☉O經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，與斜邊AB交于點(diǎn)E，連接
CO并延長交AB于點(diǎn)M，交☉O于點(diǎn)D，過點(diǎn)E作EF∥CD，
交AC于點(diǎn)F.
（1）求證：EF是☉O的切線；
圖11-43-3
（1）證明：如答圖11-43-2，連接OE.
∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=∠ABC=45°. ∴∠COE=2∠ABC=90°.
∵EF∥CD∴∠COE+∠OEF=180°.∴∠OEF=90°.
∵OE是☉O的半徑，∴EF是☉O的切線.
答圖11-43-2
答圖11-43-2
4. （2024·廣西）如圖11-43-4，已知☉O是△ABC的外接圓，AB=AC. D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，連接DE并延長至點(diǎn)F，使DE=EF，連接AF.
（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；
圖11-43-4
（2）求證：AF與☉O相切；
（2）證明：如答圖11-43-3，連接AD.
∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC.
∴AD垂直平分BC. ∴AD經(jīng)過圓心O.
由（1）知AF∥BC，∴DA⊥AF.
∵OA為☉O的半徑，∴AF與☉O相切.
答圖11-43-3
答圖11-43-3
5. （2024·呼和浩特）如圖11-43-5，△ACD內(nèi)接于☉O，直徑AB交CD于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作射線DF，使得∠ADF=∠ACD，延長DC交過點(diǎn)B的切線于點(diǎn)E，連接BC.
（1）求證：DF是☉O的切線；
　圖11-43-5
　答圖11-43-4
　答圖11-43-4
②求☉O的半徑.
　答圖11-43-4

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