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-------2025高考物理數學法突破
《數列分析法（遞推法、累加法、通項法、過程或對象整體法）》
等差數列前n項求和公式：Sn＝＝na1＋d（d為公差）
等比數列前n項求和公式：Sn＝（q為公比，q≠1）
無窮遞縮等比數列所有項求和公式：S＝（q為公比，0＜|q|＜1）
1．遞推法
技巧：從前往后依次推導，推導幾項之后發現規律，依據規律得出最終結論。
經驗：無論處理什么樣的物理問題，盡量避免使用遞推法。使用遞推法主要有三大劣勢：
①推導麻煩。用遞推法，一般要推導三四項才能準確找到規律。
②很多問題不易找到正確的規律。根據少數的三四項，而且很多問題中推導出的前幾項表達式復雜，往往難以發現規律。
③不能確保你所找到的規律是否正確。從理論上講，用不完全歸納法找到的規律到底是否正確，應該用數學歸納法加以證明。但如果又增加一個數學歸納法的證明過程，問題的處理就更麻煩了。
【例1】如圖所示，在足夠大的光滑絕緣水平面上靜止著兩個質量均為m、相距為L的小球A和B，小球A帶＋q的電荷量，小球B不帶電。若沿水平向右的方向加一場強大小為E的勻強電場，A球將受力而運動，并與B球反復發生彈性碰撞（碰撞時間不計），碰后兩球速度交換，若碰撞過程中無電荷轉移，求：
（1）A與B第一次碰后瞬間B球的速率；
（2）從A開始運動到兩球第二次相碰經歷多長時間；
（3）兩球從第n次碰撞到第n＋1次碰撞時間內A球所通過的路程。
【例2】（遞推法或累加法）（注意：本問題不能用過程整體法，為什么？）如圖所示，有很多塊質量都為的木塊互相緊靠著沿一直線排列于光滑水平面上，每相鄰兩塊木塊間均用長為L的柔軟輕線連接著。現用一恒力F沿排列方向拉第一塊木塊，以后各木塊依次被拉動。求第n塊木塊剛被拉動時的速度大小。
2．累加法
技巧：通項由正、負兩部分組成，且兩部分與前、后項存在一定的規律性，或構成等差等比數列，等等，往往可用累加法相抵消，或用求和公式處理
【例3】（1）將一條足夠長的直線軌道依次分為長度均為s＝3m的各段。一質點從一端由靜止出發沿該軌道運動，第一段的加速度a1＝2m/s2，以后每次經過等分點時加速度均突然變為前一段的，則質點的終極速度為 m/s；
（2）若以加速度a1＝2m/s2由靜止出發做勻加速度直線運動，每經過t＝2s的時間后加速度變為前面過程的，則質點的終極速度為 m/s。
【例4】超市里用的購物車為顧客提供了購物方便，又便于收納。收納時一般采用完全非彈性碰撞的方式把購物車收到一起，如圖甲所示。某興趣小組在超市對同款購物車（以下簡稱“車”）的碰撞進行了研究，分析時將購物車簡化為可視為質點的小物塊，已知車的凈質量m＝15kg，g＝10m/s2。
（1）首先測車與超市地面間的動摩擦因數：取一輛車停在水平地面上，現給它向前的水平初速度v0＝2m/s，測得該車能沿直線滑行x0＝2m，求車與超市地面間的動摩擦因數 ；
（2）取編號為A、B的車，B車裝上m0＝15kg的貨物后停在超市水平地面上，空車A的前端裝上輕彈簧，將A車停在B車的正后方且相距x＝5.5m處。現給A車施加向前的水平推力F0＝75N，作用時間t0＝1s后撤除。設A車與B車間的碰撞為彈性正碰（忽略相互作用時間），兩車所在直線上沒有其他車，求在A車運動的全過程中A車與地面間產生的摩擦熱；
（3）如圖乙所示，某同學把n（n＞2）輛空車等間距擺在超市水平地面上的一條直線上，相鄰兩車間距d＝1m，用向前的水平恒力F＝300N一直作用在1車上，推著1車與正前方的車依次做完全非彈性正碰（碰撞時間極短），通過計算判斷，他最多能推動多少輛車？
[數列求和公式：，]
3．通項法
技巧：直接選定通項求解
【例5】如圖所示，一排人站在沿x軸的水平軌道旁，原點O兩側的人序號都為n（n＝l、2、3、…）。每人只有一個沙袋。x＞0一側的每個沙袋質量為m＝14kg；x＜0一側的每個沙袋質量為m'＝10kg。一質量為M＝48kg的小車以某初速度從原點出發向正x方向滑行。不計軌道阻力。當車每經過一人身旁時，此人就把沙袋以水平速度u朝與車速相反的方向沿車面扔到車上，u的大小等于扔此袋之前的瞬間車速大小的2n倍（n是此人的序號數）。
（1）空車出發后，車上堆積了幾個沙袋時車就反向滑行？
（2）車上最終有大小沙袋共多少個？
4．過程整體法
技巧：取所有對象、對整個過程，根據物理原理及規律一起分析處理
【例6】如圖所示，質量M＝10kg，上表面光滑的足夠長木板在水平拉力F＝50N作用下，以v0＝5m/s的初速度沿水平地面向右勻速運動，現有足夠多的小鐵塊，它們質量均為m＝1kg，將一鐵塊無初速度地放在木板最右端，當木板運動了L＝1m時，又無初速度地在木板最右端放上第二個鐵塊，只要木板運動了1m就在木板最右端無初速放一鐵塊。
（1）第一個鐵塊放上后，木板再運動1m時，木板的速度多大？
（2）最終有幾個鐵塊留在木板上？
（3）最后一個鐵塊與木板右端距離多大？（g取10m/s2）
5．無窮遞縮等比數列所有項求和
【例7】如圖所示，物塊A的質量mA＝3kg，足夠長的平板小車B的質量mB＝1kg，B置于光滑的水平地面上，B的右端離右邊的豎直墻壁P足夠遠，A與B之間的動摩擦因數μ＝0.2。A以v0＝4m/s的水平初速度向右滑上B的左端，B每一次都是在與A共速后再與墻壁發生碰撞，且每一次碰后B都是以原速率向左反彈。不計碰撞時間，求B與墻壁發生第一次碰撞后直至最終停止，小車B走過的總路程。
《數列分析法（遞推法、累加法、通項法、過程或對象整體法）》解析
等差數列前n項求和公式：Sn＝＝na1＋d（d為公差）
等比數列前n項求和公式：Sn＝（q為公比，q≠1）
無窮遞縮等比數列所有項求和公式：S＝（q為公比，0＜|q|＜1）
1．遞推法
技巧：從前往后依次推導，推導幾項之后發現規律，依據規律得出最終結論。
經驗：無論處理什么樣的物理問題，盡量避免使用遞推法。使用遞推法主要有三大劣勢：
①推導麻煩。用遞推法，一般要推導三四項才能準確找到規律。
②很多問題不易找到正確的規律。根據少數的三四項，而且很多問題中推導出的前幾項表達式復雜，往往難以發現規律。
③不能確保你所找到的規律是否正確。從理論上講，用不完全歸納法找到的規律到底是否正確，應該用數學歸納法加以證明。但如果又增加一個數學歸納法的證明過程，問題的處理就更麻煩了。
【例1】如圖所示，在足夠大的光滑絕緣水平面上靜止著兩個質量均為m、相距為L的小球A和B，小球A帶＋q的電荷量，小球B不帶電。若沿水平向右的方向加一場強大小為E的勻強電場，A球將受力而運動，并與B球反復發生彈性碰撞（碰撞時間不計），碰后兩球速度交換，若碰撞過程中無電荷轉移，求：
（1）A與B第一次碰后瞬間B球的速率；
（2）從A開始運動到兩球第二次相碰經歷多長時間；
（3）兩球從第n次碰撞到第n＋1次碰撞時間內A球所通過的路程。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】如圖所示（略）
【例2】（遞推法或累加法）（注意：本問題不能用過程整體法，為什么？）如圖所示，有很多塊質量都為的木塊互相緊靠著沿一直線排列于光滑水平面上，每相鄰兩塊木塊間均用長為L的柔軟輕線連接著。現用一恒力F沿排列方向拉第一塊木塊，以后各木塊依次被拉動。求第n塊木塊剛被拉動時的速度大小。
【答案】
【解析】
方法1：遞推法。
第1塊木塊與第2塊木塊碰前的速度設為v1′，由動能定理得
第1塊木塊與第2塊木塊碰后的共同速度設為v2，由動量守恒得
前2塊木塊與第3塊木塊碰前的速度設為v2′，由動能定理得
前2塊木塊與第3塊木塊碰后的共同速度設為v3，由動量守恒得
前3塊木塊與第4塊木塊碰前的速度設為v3′，由動能定理得
前3塊木塊與第4塊木塊碰后的共同速度設為v4，由動量守恒得
依此類推，前n 1塊木塊與第n塊木塊碰后的共同速度vn，即第n塊木塊剛被拉動時的速度為
方法2：累加法。
設前k 1塊木塊剛結合時的速度為，結合后拉過距離L時的速度為，由動能定理得
（1）
設前k 1塊木塊與第k塊木塊碰后的共同速度為，由動量守恒得
（2）
（2）代入（1）得
（3）
為了累加時相消方便，（3）式兩邊各乘以k 1，且把右邊的k 1放入中括號中，得
（4）
（4）式中的k依次取2、3、4、…、n，依次列式進行累加
（其中v1＝0）
… …
左右兩邊分別累加，得
2．累加法
技巧：通項由正、負兩部分組成，且兩部分與前、后項存在一定的規律性，或構成等差等比數列，等等，往往可用累加法相抵消，或用求和公式處理
【例3】（1）將一條足夠長的直線軌道依次分為長度均為s＝3m的各段。一質點從一端由靜止出發沿該軌道運動，第一段的加速度a1＝2m/s2，以后每次經過等分點時加速度均突然變為前一段的，則質點的終極速度為 m/s；
（2）若以加速度a1＝2m/s2由靜止出發做勻加速度直線運動，每經過t＝2s的時間后加速度變為前面過程的，則質點的終極速度為 m/s。
【答案】（1）6m/s；（2）12m/s
【解析】設各段的加速度依次為a1、a2、a3、…
（1）累加法。設到達各段末的速度依次為v1、v2、v3、…，則
各式兩邊分別累加，得：
取n為無窮大，即所有項求和，得終極速度：
（2）另類累加法。
終極速度
【例4】超市里用的購物車為顧客提供了購物方便，又便于收納。收納時一般采用完全非彈性碰撞的方式把購物車收到一起，如圖甲所示。某興趣小組在超市對同款購物車（以下簡稱“車”）的碰撞進行了研究，分析時將購物車簡化為可視為質點的小物塊，已知車的凈質量m＝15kg，g＝10m/s2。
（1）首先測車與超市地面間的動摩擦因數：取一輛車停在水平地面上，現給它向前的水平初速度v0＝2m/s，測得該車能沿直線滑行x0＝2m，求車與超市地面間的動摩擦因數 ；
（2）取編號為A、B的車，B車裝上m0＝15kg的貨物后停在超市水平地面上，空車A的前端裝上輕彈簧，將A車停在B車的正后方且相距x＝5.5m處。現給A車施加向前的水平推力F0＝75N，作用時間t0＝1s后撤除。設A車與B車間的碰撞為彈性正碰（忽略相互作用時間），兩車所在直線上沒有其他車，求在A車運動的全過程中A車與地面間產生的摩擦熱；
（3）如圖乙所示，某同學把n（n＞2）輛空車等間距擺在超市水平地面上的一條直線上，相鄰兩車間距d＝1m，用向前的水平恒力F＝300N一直作用在1車上，推著1車與正前方的車依次做完全非彈性正碰（碰撞時間極短），通過計算判斷，他最多能推動多少輛車？
[數列求和公式：，]
【答案】（1）0.1；（2）90J；（3）30輛
【解析】
（1）由動能定理得
（2）A車質量mA＝15kg，在F0作用下的加速度
經t0＝1s獲得的速度，t0＝1s內的位移
撤去F0后繼續發生的位移
設A與B碰前A的速度為v2，又由動能定理得
B車總質量mB＝m+m0＝30kg，設A、B彈性碰撞后速度分別為v3、v4，由彈性碰撞規律得
代入數據并解得：，
碰后A車的動能在以后的過程中全部因摩擦而生熱，則所求摩擦熱
（3）先推導出一條規律：
設原來的k輛車整體速度為v，動能
再與一輛車發生完全非彈性碰撞結合成的整體（共k+1輛車）速度設為v'，
碰撞中動量守恒：
則碰后的總動能：
設每一次碰撞前，運動的車總動能依次為、、、、…、、
每一輛車運動時所受摩擦力，對各段推動過程依次用動能定理，得：
… … … …
+)
將右邊各式累加，得：
當≤0時，就不能推動后面的車了，即：
≤0
≤≥
結論：最多能推動30輛車
3．通項法
技巧：直接選定通項求解
【例5】如圖所示，一排人站在沿x軸的水平軌道旁，原點O兩側的人序號都為n（n＝l、2、3、…）。每人只有一個沙袋。x＞0一側的每個沙袋質量為m＝14kg；x＜0一側的每個沙袋質量為m'＝10kg。一質量為M＝48kg的小車以某初速度從原點出發向正x方向滑行。不計軌道阻力。當車每經過一人身旁時，此人就把沙袋以水平速度u朝與車速相反的方向沿車面扔到車上，u的大小等于扔此袋之前的瞬間車速大小的2n倍（n是此人的序號數）。
（1）空車出發后，車上堆積了幾個沙袋時車就反向滑行？
（2）車上最終有大小沙袋共多少個？
【答案】（1）3個；（2）11個
【解析】
（1）在小車沿正x方向滑行過程中：
設第（n－1）個沙袋扔到車上后的車速為vn－1，第n個沙袋扔到車上后的車速為vn，由動量守恒定律有
小車反向運動的條件是vn－1＞0，vn＜0，即：M－nm＞0，且M－（n+1）m＜0
代入數據，得：＜，＞
n應為整數，故n＝3，即車上堆積3個沙袋后車就反向滑行；
（2）車反向滑行直到x＜0一側第1人所在位置，車速保持不變，而車的質量為M+3m
若車在朝負x方向滑行過程中，第（n－1）個沙袋扔到車上后車速為v′n-1，第n個沙袋扔到車上后車速為v′n
現取在圖中向左的方向（負x方向）為速度v′n、v′n-1的正方向，則由動量守恒定律有
車不再向左滑行的條件是vn-1′＞0，vn′≤0，即：M+3m－nm′＞0，M+3m－(n+1)m′≤0
代入數據，得：＜，≥，8≤＜9
n＝8時，車停止滑行，即在x＜0一側第8個沙袋扔到車上后車就停住。
故車上最終共有大小沙袋3+8＝11（個）。
4．過程整體法
技巧：取所有對象、對整個過程，根據物理原理及規律一起分析處理
【例6】如圖所示，質量M＝10kg，上表面光滑的足夠長木板在水平拉力F＝50N作用下，以v0＝5m/s的初速度沿水平地面向右勻速運動，現有足夠多的小鐵塊，它們質量均為m＝1kg，將一鐵塊無初速度地放在木板最右端，當木板運動了L＝1m時，又無初速度地在木板最右端放上第二個鐵塊，只要木板運動了1m就在木板最右端無初速放一鐵塊。
（1）第一個鐵塊放上后，木板再運動1m時，木板的速度多大？
（2）最終有幾個鐵塊留在木板上？
（3）最后一個鐵塊與木板右端距離多大？（g取10m/s2）
【答案】（1）m/s；（2）7個；（3）m
【解析】
（1）求動摩擦因數μ
長木板在拉力F作用下勻速運動，則
在以后的過程中，F總是與μMg平衡，不予考慮。
第一個鐵塊放上去且木板運動1m時設木板速度為v1，由動能定理得：
（2）設最終放了n個鐵塊，則木板克服摩擦力做的總功
代入數據解得n＞6.5。n取整數，最終有7個。
（3）設第7個鐵塊放上后木板繼續運動距離d而停下，則
代入數據解得
5．無窮遞縮等比數列所有項求和
【例7】如圖所示，物塊A的質量mA＝3kg，足夠長的平板小車B的質量mB＝1kg，B置于光滑的水平地面上，B的右端離右邊的豎直墻壁P足夠遠，A與B之間的動摩擦因數μ＝0.2。A以v0＝4m/s的水平初速度向右滑上B的左端，B每一次都是在與A共速后再與墻壁發生碰撞，且每一次碰后B都是以原速率向左反彈。不計碰撞時間，求B與墻壁發生第一次碰撞后直至最終停止，小車B走過的總路程。
【答案】2m
【解析】B與墻發生第一次碰撞后，兩物體的v t圖像如圖所示（推算過程略）
第一次反彈后，B向左的位移設為x1，對B用動能定理
，則（面積比等于相似比的平方）
即各次反彈后，B向左的位移依次構成等比數列，公比
且每次碰撞后，B先向左運動再反向向右運動，
向左向右運動的路程相等，則B走過的總路程
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