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-------2025高考物理數學法突破
《圓錐曲線方程與性質（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）》
1．拋物線方程
【例1】（拋物線方程、積定和最小）如圖所示，一個方向豎直向下的有界勻強電場，電場強度大小為E。勻強電場左右寬度和上下寬度均為L。一個帶正電荷的粒子（不計重力）從電場的左上方O1點以某一速度水平向右進入電場，該粒子剛好從電場的右下方A點離開電場；另一個質量為m、帶電荷量為―q（q＞0）的粒子（不計重力）從電場左下方O2點水平向右進入電場，進入電場時的初動能為Ek0。已知圖中O1、O2、A在同一豎直面內，設O1點為坐標原點，水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，建立坐標系（圖中未畫出），不計粒子間的相互作用。
（1）求帶正電荷的粒子的運動軌跡方程
（2）求帶負電荷的粒子運動到“帶正電荷粒子的運動軌跡”處的動能
（3）當帶負電荷的粒子進入電場的初動能為多大時，它運動到“帶正電荷粒子運動軌跡”處時的動能最小？動能的最小值為多少？
2．橢圓方程
焦點在x軸是的橢圓方程：
a：半長軸；b：半短軸；c：半焦距。
橢圓上的任意點到兩焦點的距離之和為定值，和為
【例2】如圖所示，在一個橢圓的兩個焦點F1和F2上分別固定一個帶電量為q0的正點電荷，在圖示坐標系中，橢圓方向為（a＞b＞0），E、F、G、H為橢圓上關于原點O中心對稱的四個點。已知點電荷Q所激發的電場中某點的電勢公式為，其中Q是點電荷的電量，r是電場中該點
到點電荷的距離，k為靜電力常量。則下列說法正確的有（ ）
A．E點和G點場強相同
B．一正的試探電荷沿ABC運動，電場力先做正功后做負功
C．從B沿直線運動到D，場強先減小后增大
D．橢圓上各點電勢的最大值為
【例3】（2023年湖南卷）如圖，質量為M的勻質凹槽放在光滑水平地面上，凹槽內有一個半橢圓形的光滑軌道，橢圓的半長軸和半短軸分別為a和b，長軸水平，短軸豎直．質量為m的小球，初始時刻從橢圓軌道長軸的右端點由靜止開始下滑。以初始時刻橢圓中心的位置為坐標原點，在豎直平面內建立固定于地面的直角坐標系xOy，橢圓長軸位于x軸上。整個過程凹槽不翻轉，重力加速度為g。
（1）小球第一次運動到軌道最低點時，求凹槽的速度大小以及凹槽相對于初始時刻運動的距離；
（2）在平面直角坐標系xOy中，求出小球運動的軌跡方程；
（3）若，求小球下降高度時，小球相對于地面的速度大小（結果用a、b及g表示）。
3．雙曲線方程
平面上兩列相同的波形成穩定的干涉圖樣，振動加強（振動減弱）的點呈現雙曲線分布規律。
一對等量異性點電荷的電場中，一個平面上的等勢線不為雙曲線，也不為橢圓和圓。
《圓錐曲線方程與性質（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）》解析
1．拋物線方程
【例1】（拋物線方程、積定和最小）如圖所示，一個方向豎直向下的有界勻強電場，電場強度大小為E。勻強電場左右寬度和上下寬度均為L。一個帶正電荷的粒子（不計重力）從電場的左上方O1點以某一速度水平向右進入電場，該粒子剛好從電場的右下方A點離開電場；另一個質量為m、帶電荷量為―q（q＞0）的粒子（不計重力）從電場左下方O2點水平向右進入電場，進入電場時的初動能為Ek0。已知圖中O1、O2、A在同一豎直面內，設O1點為坐標原點，水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，建立坐標系（圖中未畫出），不計粒子間的相互作用。
（1）求帶正電荷的粒子的運動軌跡方程
（2）求帶負電荷的粒子運動到“帶正電荷粒子的運動軌跡”處的動能
（3）當帶負電荷的粒子進入電場的初動能為多大時，它運動到“帶正電荷粒子運動軌跡”處時的動能最小？動能的最小值為多少？
【答案】（1）；
（2）；
（3）時，
【解析】
（1）待定系數法。
設正粒子運動軌跡方程為
粒子過A點，將x＝L、y＝L代入得
則所求的軌跡方程為
（2）設負粒子初速度為v0，則
經時間t：
將正、負粒子的軌跡方程聯立成方程組并解得交點坐標為
，
由動能定理，得負粒子到達軌跡交點時的動能
（3）變形：
因為定值
則時Ek最小，最小值
2．橢圓方程
焦點在x軸是的橢圓方程：
a：半長軸；b：半短軸；c：半焦距。
橢圓上的任意點到兩焦點的距離之和為定值，和為
【例2】如圖所示，在一個橢圓的兩個焦點F1和F2上分別固定一個帶電量為q0的正點電荷，在圖示坐標系中，橢圓方向為（a＞b＞0），E、F、G、H為橢圓上關于原點O中心對稱的四個點。已知點電荷Q所激發的電場中某點的電勢公式為，其中Q是點電荷的電量，r是電場中該點
到點電荷的距離，k為靜電力常量。則下列說法正確的有（ ）
A．E點和G點場強相同
B．一正的試探電荷沿ABC運動，電場力先做正功后做負功
C．從B沿直線運動到D，場強先減小后增大
D．橢圓上各點電勢的最大值為
【答案】BD
【解析】
A：E點和G點電場方向不同，A錯；
B：設橢圓上某點P到F1、F2的距離分別為r1、r2，則P點的電勢
由不等式性質知，r1+r2＝2a為定值，則r1＝r2＝a時r1r2積最大，電勢φ最小
而A、C兩點，r1與r2相差最大，r1r2積最小，電勢φ最大
沿ABC運動，電勢先減小后增大，正電荷的電勢能先減小后增大
則電場力先做正功后做負功，B對；
C：若橢圓接近于圓，則兩焦點靠近中心O場強最大的點P在橢圓內部，
從B到O，場強先增大（到P點時最大）后減小（到O點時為0），
從O到D，場強先增大后減小。所以C錯；
D：由B的推導可知，橢圓上A、C兩點電勢最大。按圖中A點計算
，
D對
【例3】（2023年湖南卷）如圖，質量為M的勻質凹槽放在光滑水平地面上，凹槽內有一個半橢圓形的光滑軌道，橢圓的半長軸和半短軸分別為a和b，長軸水平，短軸豎直．質量為m的小球，初始時刻從橢圓軌道長軸的右端點由靜止開始下滑。以初始時刻橢圓中心的位置為坐標原點，在豎直平面內建立固定于地面的直角坐標系xOy，橢圓長軸位于x軸上。整個過程凹槽不翻轉，重力加速度為g。
（1）小球第一次運動到軌道最低點時，求凹槽的速度大小以及凹槽相對于初始時刻運動的距離；
（2）在平面直角坐標系xOy中，求出小球運動的軌跡方程；
（3）若，求小球下降高度時，小球相對于地面的速度大小（結果用a、b及g表示）。
【答案】（1），；
（2）；（3）
【思維】
（1）人船模型→水平方向動量守恒→機械能守恒定律→凹槽速度大小→凹槽相對于初始時刻向右運動的距離
（2）橢圓標準方程→人船模型→小球運動的軌跡方程
（3）→小球運動的軌跡方程→小球軌跡為半徑為b的圓→水平方向動量守恒→機械能守恒定律→小球相對于地面速度大小
【解析】
（1）小球第一次運動到軌道最低點的過程，水平方向由動量守恒定律，mv1＝Mv2，
由機械能守恒定律，mgb＝+
聯立解得：v2＝
根據人船模型，mx1＝Mx2，x1+x2＝a
解得：凹槽相對于初始時刻向右運動的距離x2＝
（2）小球向左運動過程中凹槽向右運動，當小球的坐標為時，凹槽水平向右運動的位移為，根據上式有
則小球現在在凹槽所在的橢圓上，根據數學知識可知此時的橢圓方程為
整理得
（）
（3）將代入小球的軌跡方程化簡可得
即此時小球的軌跡為以（a b，0）為圓心，b為半徑的圓
則當小球下降的高度為時如圖，此時可知速度和水平方向的的夾角為60°
小球下降的過程中，系統水平方向動量守恒
系統機械能守恒
聯立得
3．雙曲線方程
平面上兩列相同的波形成穩定的干涉圖樣，振動加強（振動減弱）的點呈現雙曲線分布規律。
一對等量異性點電荷的電場中，一個平面上的等勢線不為雙曲線，也不為橢圓和圓。
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