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-------2025高考物理數(shù)學(xué)法突破
《二次式分析法（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）》
1．二次函數(shù)
（1）函數(shù)圖象：
①a＞0時(shí)：開(kāi)口向上的拋物線，有最小值
②a＜0時(shí)：開(kāi)口向下的拋物線，有最大值
（2）對(duì)稱軸方程：x＝－
（3）頂點(diǎn)坐標(biāo)：（－，）
①a＞0時(shí)：有最小值
②a＜0時(shí)：有最大值
【例1】人們有時(shí)用“打夯”的方式把松散的地面夯實(shí)。設(shè)某次打夯符合以下模型：如圖所示，兩人同時(shí)通過(guò)繩子對(duì)重物各施加一個(gè)恒力，力的大小均為F＝500N，方向都與豎直方向成θ＝37°角，重物離開(kāi)地面H后人停止施力，最后重物自由下落把地面夯實(shí)h深度。設(shè)重物的質(zhì)量為m，打夯時(shí)重物對(duì)地面的平均沖擊力為f＝1.05×104N，g取10m/s2。
（1）若H＝50cm，m＝50kg，求重物落到地面時(shí)的速度v；
（2）若H＝（50kg≤m≤60kg，k＝25kg·m），求重物把地面夯實(shí)的最大深度hm。
2．二次方程
（1）求根公式：（熟練掌握和應(yīng)用）
（2）根的判別式：
① ＞0：有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解（物理問(wèn)題的多解狀態(tài)，如往返運(yùn)動(dòng)經(jīng)同一位置的狀態(tài)）
② ＝0：有一個(gè)實(shí)數(shù)解（重根狀態(tài)，往往為物理問(wèn)題的極值狀態(tài)）
③ ＜0：無(wú)實(shí)數(shù)解（如物理運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，無(wú)實(shí)數(shù)解，一般表示不相遇、不相碰）
▲重要技巧：用根的判別式求極值
（3）韋達(dá)定理：兩根之積；兩根之和
（4）物理問(wèn)題中，注意兩根的物理意義
特別要注意負(fù)根在表示矢量或標(biāo)量方面的物理意義，兩個(gè)正根也不一定都有意義
在剎車類問(wèn)題中，如果時(shí)間有大小兩個(gè)正根，往往大的無(wú)意義
【例2】某學(xué)生投實(shí)心球訓(xùn)練，以探究水平射程跟拋射角的關(guān)系，扔球速度為12m/s，出手高度為1.25m，重力加速度g＝10m/s2，則他扔球后球的落點(diǎn)到出手點(diǎn)的水平距離可能為（ ）
A．12m B．12.5m C．15m D．18m
(
v
0
v
1
37°
甲
x/m
10
8
0
1.0
t
0
t/s
乙
)【例3】如圖甲所示，傾角為37°、足夠長(zhǎng)的傳送帶以恒定速率v1沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。一小煤塊以初速度v0＝12m/s從傳送帶的底部沖上傳送帶，規(guī)定沿傳送帶斜向上為煤塊運(yùn)動(dòng)的正方向，該煤塊運(yùn)動(dòng)的位移x隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖乙所示。已知圖線在前1.0s內(nèi)和在1.0s～t0內(nèi)為兩段不同的
二次函數(shù)，t0時(shí)刻圖線所對(duì)應(yīng)的切線正好水平，重力加速
度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，則（ ）
A．傳送帶轉(zhuǎn)動(dòng)速率v1為8m/s
B．圖乙中t0的數(shù)值為2.0
C．0～t0內(nèi)煤塊在傳送帶上的劃痕長(zhǎng)度為6m
D．煤塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.25
3．二次不等式
《二次式分析法（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）》解析
1．二次函數(shù)
（1）函數(shù)圖象：
①a＞0時(shí)：開(kāi)口向上的拋物線，有最小值
②a＜0時(shí)：開(kāi)口向下的拋物線，有最大值
（2）對(duì)稱軸方程：x＝－
（3）頂點(diǎn)坐標(biāo)：（－，）
①a＞0時(shí)：有最小值
②a＜0時(shí)：有最大值
【例1】人們有時(shí)用“打夯”的方式把松散的地面夯實(shí)。設(shè)某次打夯符合以下模型：如圖所示，兩人同時(shí)通過(guò)繩子對(duì)重物各施加一個(gè)恒力，力的大小均為F＝500N，方向都與豎直方向成θ＝37°角，重物離開(kāi)地面H后人停止施力，最后重物自由下落把地面夯實(shí)h深度。設(shè)重物的質(zhì)量為m，打夯時(shí)重物對(duì)地面的平均沖擊力為f＝1.05×104N，g取10m/s2。
（1）若H＝50cm，m＝50kg，求重物落到地面時(shí)的速度v；
（2）若H＝（50kg≤m≤60kg，k＝25kg·m），求重物把地面夯實(shí)的最大深度hm。
【答案】（1）4m/s，方向豎直向下；（2）4cm
【解析】
（1）由動(dòng)能定理得
（2）由動(dòng)能定理得
將代入后推導(dǎo)得
（50kg≤m≤60kg）
分母y＝ m2+1050m函數(shù)圖像為開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸方程為m＝525（kg）
由此可知，當(dāng)m＝50kg時(shí)y最小，h最大，h的最大值
2．二次方程
（1）求根公式：（熟練掌握和應(yīng)用）
（2）根的判別式：
① ＞0：有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解（物理問(wèn)題的多解狀態(tài)，如往返運(yùn)動(dòng)經(jīng)同一位置的狀態(tài)）
② ＝0：有一個(gè)實(shí)數(shù)解（重根狀態(tài)，往往為物理問(wèn)題的極值狀態(tài)）
③ ＜0：無(wú)實(shí)數(shù)解（如物理運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，無(wú)實(shí)數(shù)解，一般表示不相遇、不相碰）
▲重要技巧：用根的判別式求極值
（3）韋達(dá)定理：兩根之積；兩根之和
（4）物理問(wèn)題中，注意兩根的物理意義
特別要注意負(fù)根在表示矢量或標(biāo)量方面的物理意義，兩個(gè)正根也不一定都有意義
在剎車類問(wèn)題中，如果時(shí)間有大小兩個(gè)正根，往往大的無(wú)意義
【例2】某學(xué)生投實(shí)心球訓(xùn)練，以探究水平射程跟拋射角的關(guān)系，扔球速度為12m/s，出手高度為1.25m，重力加速度g＝10m/s2，則他扔球后球的落點(diǎn)到出手點(diǎn)的水平距離可能為（ ）
(
x
y
O
v
0
θ
重根情況
拋射最遠(yuǎn)
雙根情況
)A．12m B．12.5m C．15m D．18m
【答案】ABC
【解析】
方法1：二次方程根的判別式法
如圖建立坐標(biāo)系對(duì)鉛球的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行水平—豎直分解
初速度v0＝12m/s，豎直位移－h(huán)＝1.45m，設(shè)拋射角為θ，則
水平位移 （1）
豎直位移 （2）
由（1）得，代入（2）得
分析斜拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，關(guān)于tanθ的一元二次方程，重根時(shí)x最大，即方程根的判別式 ＝0時(shí)x最大，所以
水平距離最大值為15.6m，ABC正確。
(
v
0
v

v
v
x
θ
θ
)方法2：二級(jí)結(jié)論法。
▲二級(jí)結(jié)論：若初、末速度大小確定，當(dāng)它們的方向垂直時(shí)水平射程最大。
（說(shuō)明：如右圖，水平射程。而v0、v大小都確定，
則它們的夾角為90°三角形面積最大。）
拋出速度v0＝12m/s，下落高度h＝1.45m，設(shè)落地速度為v，由動(dòng)能定理得
當(dāng)初、末速度垂直時(shí)水平距離最大，最大值
，ABC正確
(
v
0
v
1
37°
甲
x/m
10
8
0
1.0
t
0
t/s
乙
)【例3】如圖甲所示，傾角為37°、足夠長(zhǎng)的傳送帶以恒定速率v1沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。一小煤塊以初速度v0＝12m/s從傳送帶的底部沖上傳送帶，規(guī)定沿傳送帶斜向上為煤塊運(yùn)動(dòng)的正方向，該煤塊運(yùn)動(dòng)的位移x隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖乙所示。已知圖線在前1.0s內(nèi)和在1.0s～t0內(nèi)為兩段不同的
二次函數(shù)，t0時(shí)刻圖線所對(duì)應(yīng)的切線正好水平，重力加速
度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，則（ ）
A．傳送帶轉(zhuǎn)動(dòng)速率v1為8m/s
B．圖乙中t0的數(shù)值為2.0
C．0～t0內(nèi)煤塊在傳送帶上的劃痕長(zhǎng)度為6m
D．煤塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.25
【答案】BD
【解析】分析可知，1.0s以前煤塊速度大于傳送帶速度，煤塊受傳送帶的摩擦力平行于傳送帶向下；
1.0s時(shí)刻達(dá)到共速；
(
v
1
37°
Gx
f
Gx
f
)此后煤塊受傳送帶的摩擦力平行于斜面向上，但煤塊加速度平行于傳送帶向下。
0～1.0s內(nèi)：t1＝1s，x1＝8m，設(shè)加速大小為a1，則
設(shè)動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，則由牛頓第二定律得
，D對(duì)；
t1＝1s時(shí)煤塊與傳送帶的速度
，A錯(cuò)；
1.0s～t0煤塊的加速度大小
t0時(shí)刻煤塊速度減到0，則
，B對(duì)；
如右所示v－t圖，0～1.0s，煤塊相對(duì)于傳送帶上滑，x相1＝4m；
1.0s～t0煤塊相對(duì)于傳送帶下滑，x相2＝－2m，劃痕與前一段過(guò)程重疊。
所以，劃痕長(zhǎng)度為4m，C錯(cuò)。
3．二次不等式
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