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-------2025高考物理數(shù)學法突破
《三角函數(shù)分析法》
▲三角函數(shù)常用變換公式、三角函數(shù)變化規(guī)律及其他基本性質（略）
誘導公式：奇變偶不變，符號看象限
【例1】某同學在操場練習擲鉛球，第一次以速度v0水平擲出鉛球，第二次以與水平方向成α角斜向上擲出鉛球，結果鉛球都落到了P點。已知鉛球兩次出手時的高度和速度大小均相同，兩次鉛球的
水平射程均為x，重力加速度大小為g，則鉛球出手時的高度為（ ）
A． B． C． D．
1．與類三角函數(shù)（兩角和與差的三角函數(shù)）
兩角和與差的三角函數(shù)：
和差化積：（口訣從左往右看）
（正弦加正弦，正弦在前面）
（正弦減正弦，正弦在后面）
（余弦加余弦，余弦肩并肩）
（余弦減余弦，余弦全不見）
積化和差：（口訣從右往左看）
（正弦加正弦，正弦在前面）
（正弦減正弦，正弦在后面）
（余弦加余弦，余弦肩并肩）
（余弦減余弦，余弦全不見）
【例2】如圖所示，大炮在山腳直接對著傾角為α＝30°的斜坡發(fā)射炮彈，重力加速度為g，炮彈初速度為v0，要使炮彈打到斜坡上盡可能遠的地方，則炮彈初速度方向與斜坡的夾角為多少？打到斜坡上的最遠距離為多少？
(
α
O
v
0
)
2．倍角與半角類三角函數(shù)（典型：sinθcosθ類型）
倍角公式：
；
半角公式：
，；，；
，
降冪公式：
，
萬能公式：
；；
【例3】做如圖所示的單擺實驗，將擺長為L的單擺上端固定在O1點處，下端連接一小球
（視為質點），在O1點正下方3L/4的O2處有一固定細釘。將小球向左拉開，使細繩與豎直方
向成一小角度（約為5°）后由靜止釋放，當小球擺至最低位置時，細繩會受到鐵釘?shù)淖钃酰o
機械能損失）。不計空氣阻力，設小球在運動過程中受到的回復力為F，則下列圖像中，能描述
小球在開始的一個周期內的F－t關系的是（ ）
3．類三角函數(shù)
輔助角公式：，其中輔助角φ滿足。
(
θ
β
P
F
)當α＋φ＝90°時，有極大值。
【例4】如圖，傾斜角θ＝30°的傳送帶沿逆時針方向勻速轉動，一質量為m的物塊P
用細線拉著在傳送帶上保持對地靜止。物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)，調整細線
的方向，當細線拉力最小時，細線與水平方向的夾角β等于（ ）
A．0° B．30° C．60° D．90°
【例5】如圖，傾角為37°的斜面足夠長，從斜面上b點正上方2.5m處的a點，
以2m/s的速率拋出一個小球，方向不定，且小球的軌跡與abO在同一豎直平面內，
取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，則小球落回斜面的最長時間為（ ）
A．0.5s B．1s C．1.5s D．2s
4．類三角函數(shù)
（1）均值不等式法
(
L
m
O
)（2）求導法
【例6】如圖所示，用一長為L細線連接一質量為m的小球懸掛于O點，將小球
拉至細線水平，由靜止釋放小球，求小球在擺至最低點過程中其重力做功的最大功率。
【例7】如圖所示，正方形ABCD的對角線長為2a，在A、C兩點分別放置電荷量為＋q的點電荷，P為正方形ABCD外接圓上任意一點，O為外接圓的圓心，靜電力常量為k，下列說法正確的是（ ）
A．B、D兩點的電場強度相同
B．將負電荷沿直線由B移到D的過程中，電場力先做正功后做負功
C．對角線BD連線上電場強度E的最大值為
D．若兩點電荷在P點的電場強度大小分別是E1、E2，則為定值
5．正弦定理（拉密定理）的應用
（秒殺技法：“對角垂直力最大”！記住該結論，動態(tài)分析5s得解）
（1）數(shù)學知識：
①正弦定理：如圖所示的△ABC中，
②
③正弦函數(shù)在0°～180°范圍內的圖象及增減性如右圖所示
（2）拉密定理：一物體受三個共點力作用而平衡，則各
力與對角的正弦之比相等，即：
（3）重要結論：在存在“恒力對恒角”的情況下，對于兩個變力，記住口訣“對角垂直力最大”
①一個力的對角能夠在變化過程中（不是起、止時刻）垂直，則這個力一定是先變大后變小
②對角趨近垂直時力增大，遠離垂直時力變小
規(guī)律來由：存在一對“恒力對恒角”時（如前面的表達式中，假設F3與θ3恒定），則每個力與對角的正弦之比為定值。由此可知，某個對角為90°時分母的正弦最大，所以分子中的力也最大。
▲“恒力對恒角”，如果所對的“恒角”為直角，則直接用矢量作圖法也比較簡單
【例8】如圖所示，將兩塊光滑平板OA、OB固定連接，構成頂角為60°的楔形槽，
楔形槽內放置一質量為m的光滑小球，整個裝置保持靜止，初始時OA板在水平地面上，
現(xiàn)使楔形槽繞O點順時針緩慢轉動至OA板豎直，則轉動過程中（ ）
A．初始時OA板對小球的作用力最大 B．轉過30°時OA板對小球的作用力最大
C．轉過60°時OB板對小球的作用力最大 D．轉過90°時OB板對小球的作用力最大
【例9】我國已在空間站中實施了多次“天宮課堂”面向全國公眾直播，
大家對其中的水球光學實驗印象深刻。如圖所示，在完全失重環(huán)境下，從水袋
中擠出一個大水球漂浮在空中，然后用針管將氣體注入水球中，最終形成一個
外半徑為R內半徑為r的均勻水球殼。用兩條離中心軸線遠近不同的平行光線
1和2在水球的軸截面內照射水球，若光線1剛好在水球內表面發(fā)生全反射，
且光線2投射到內表面上，則下列說法正確的有（ ）
A．光線2在水球內表面一定發(fā)生全反射
B．光線1進入水球前到中心軸線的距離一定等于r
C．光線1進入水球前到中心軸線的距離與R和r的具體大小有關
D．若換用同樣形狀和大小的玻璃球殼，只是折射率發(fā)生了變化，其他方面都不變，光線1仍然剛好發(fā)生全反射
▲重要的二級結論：
光線從空心球殼之外沿內表面的切線方向射入，則剛好在內表面上
發(fā)生全反射，而與內外半徑的大小及介質折射率無關。
證明：由正弦定理得
由此可見，光線折射進球殼后投射到內表面上的入射角θ正好等于臨界角C，剛好發(fā)生全反射，而與R、r及n無關。離軸線距離小于r的光線能夠進入空腔，大于r的光線不能進入空腔。
6．余弦定理的應用
《三角函數(shù)分析法》解析
▲三角函數(shù)常用變換公式、三角函數(shù)變化規(guī)律及其他基本性質（略）
誘導公式：奇變偶不變，符號看象限
【例1】某同學在操場練習擲鉛球，第一次以速度v0水平擲出鉛球，第二次以與水平方向成α角斜向上擲出鉛球，結果鉛球都落到了P點。已知鉛球兩次出手時的高度和速度大小均相同，兩次鉛球的
水平射程均為x，重力加速度大小為g，則鉛球出手時的高度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】AB：平拋，水平方向得下落時間，則下落高度
（1）
所以A、B錯；
CD：斜拋，水平方向得運動時間，則下落高度
（2）
由（1）、（2）兩式得：
，所以D對
1．與類三角函數(shù)（兩角和與差的三角函數(shù)）
兩角和與差的三角函數(shù)：
和差化積：（口訣從左往右看）
（正弦加正弦，正弦在前面）
（正弦減正弦，正弦在后面）
（余弦加余弦，余弦肩并肩）
（余弦減余弦，余弦全不見）
積化和差：（口訣從右往左看）
（正弦加正弦，正弦在前面）
（正弦減正弦，正弦在后面）
（余弦加余弦，余弦肩并肩）
（余弦減余弦，余弦全不見）
【例2】如圖所示，大炮在山腳直接對著傾角為α＝30°的斜坡發(fā)射炮彈，重力加速度為g，炮彈初速度為v0，要使炮彈打到斜坡上盡可能遠的地方，則炮彈初速度方向與斜坡的夾角為多少？打到斜坡上的最遠距離為多少？
(
α
O
v
0
)【答案】30°，
【解析】
(
α
O
v
0
g
x
y
s
β
α
)方法1：平行 垂直分解法。如圖所示
y方向類似于豎直上拋運動，飛行時間
x方向勻減速運動，位移（即拋射距離）
當時s最大，最大值
(
α
O
v
0
β
x
y
x
y
)方法2：水平 豎直分解法。如圖所示
α＝30°為定值，當α+2β＝90°即β＝30°時s最小，s的最小值
(
α
O
v
0
v
0
t
β
α
+90
°
90
°-
α
-
β
s
)
方法3：斜交分解法。如右圖，將斜拋運動視作以v0的勻速運動和自由落體運動。
對位移矢量三角形用正弦定理得：
當β＝30°時s最小，
2．倍角與半角類三角函數(shù)（典型：sinθcosθ類型）
倍角公式：
；
半角公式：
，；，；
，
降冪公式：
，
萬能公式：
；；
【例3】做如圖所示的單擺實驗，將擺長為L的單擺上端固定在O1點處，下端連接一小球
（視為質點），在O1點正下方L的O2處有一固定細釘。將小球向左拉開，使細繩與豎直方
向成一小角度（約為5°）后由靜止釋放，當小球擺至最低位置時，細繩會受到鐵釘?shù)淖钃酰o
機械能損失）。不計空氣阻力，設小球在運動過程中受到的回復力為F，則下列圖像中，能描述
小球在開始的一個周期內的F－t關系的是（ ）
【答案】B
【解析】先分析在左右兩邊擺動的周期關系：左邊擺長為，右邊擺長為，，
則左右兩邊的周期之比為2∶1，D錯；
再分析在左右兩邊的最大回復力F的大小關系：
由數(shù)學知識可知，當角度θ（弧度數(shù)）很小時，sinθ≈θ
設左右兩邊的最大擺角分別為α、β
因擺動中機械能守恒，則在左右兩邊的最高處時高度相同，則
左邊的最大回復力，右邊的最大回復力，則，A錯C錯。
3．類三角函數(shù)
輔助角公式：，其中輔助角φ滿足。
(
θ
β
P
F
)當α＋φ＝90°時，有極大值。
【例4】如圖，傾斜角θ＝30°的傳送帶沿逆時針方向勻速轉動，一質量為m的物塊P
用細線拉著在傳送帶上保持對地靜止。物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)，調整細線
的方向，當細線拉力最小時，細線與水平方向的夾角β等于（ ）
A．0° B．30° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】設細線拉力為T，物塊受到的滑動摩擦力為f
將物塊受力按如圖所示正交分解，有：
，
又因為
可得
利用輔助角公式，有
其中
當時，T有最小值，此時
即，C正確，ABD錯誤。
【例5】如圖，傾角為37°的斜面足夠長，從斜面上b點正上方2.5m處的a點，
以2m/s的速率拋出一個小球，方向不定，且小球的軌跡與abO在同一豎直平面內，
取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，則小球落回斜面的最長時間為（ ）
A．0.5s B．1s C．1.5s D．2s
【答案】B
【解析】
方法1：水平—豎直分解法（輔助角公式法）
設小球從B點拋出時的速度方向與水平方向成角
則有：，
兩式聯(lián)立得：
解得：
舍去負的時間，則時間為：
根據(jù)數(shù)學知識可知：
當時最大，即t最大，最大值為：，B對
方法2：平行—垂直分解法
將小球的運動如圖分解
因g的垂直分量gy＝8m/s2恒定，垂直位移d＝2m恒定，拋出速度大小v0＝2m/s恒定
則v0垂直于斜面時時間t最長，有：
(
v
0
t
37
°
h
h
)
代入數(shù)據(jù)解得t＝1s
方法3：斜交分解法
將小球的運動看成以初速度v0的勻速直線運動，和自由落體運動
以a點為圓心，以位移v0t為半徑作圓
為使時間最長，就應使自由落體位移最大
作斜面的平行線與圓上方相切，切點到斜面最遠，自由落體位移最大
由幾何關系得：，代入數(shù)據(jù)解得t＝1s
4．類三角函數(shù)
（1）均值不等式法
(
L
m
O
)（2）求導法
【例6】如圖所示，用一長為L細線連接一質量為m的小球懸掛于O點，將小球
拉至細線水平，由靜止釋放小球，求小球在擺至最低點過程中其重力做功的最大功率。
(
L
m
O
mg
θ
θ
v
)【答案】
【解析】當細線擺過角度θ時小球速度大小設為v，由動能定理得
此時重力的功率
方法1：和定積最大
由不等式性質得：時P最大
最大值
【例7】如圖所示，正方形ABCD的對角線長為2a，在A、C兩點分別放置電荷量為＋q的點電荷，P為正方形ABCD外接圓上任意一點，O為外接圓的圓心，靜電力常量為k，下列說法正確的是（ ）
A．B、D兩點的電場強度相同
B．將負電荷沿直線由B移到D的過程中，電場力先做正功后做負功
C．對角線BD連線上電場強度E的最大值為
D．若兩點電荷在P點的電場強度大小分別是E1、E2，則為定值
【答案】BCD
【解析】
A：B、D兩點的電場強度方向相反，A錯；
B：負電荷在BD上受力方向如圖所示，B對；
C：如圖所示，角度為θ時電場強度
方法1：和定積最大。
因為定值
則時E最大，最大值
方法2：求導法。
當其導數(shù)等于0時E最大，即：
（后面略）
D：勾股定理。
為定值，D對。
5．正弦定理（拉密定理）的應用
（秒殺技法：“對角垂直力最大”！記住該結論，動態(tài)分析5s得解）
（1）數(shù)學知識：
①正弦定理：如圖所示的△ABC中，
②
③正弦函數(shù)在0°～180°范圍內的圖象及增減性如右圖所示
（2）拉密定理：一物體受三個共點力作用而平衡，則各
力與對角的正弦之比相等，即：
（3）重要結論：在存在“恒力對恒角”的情況下，對于兩個變力，記住口訣“對角垂直力最大”
①一個力的對角能夠在變化過程中（不是起、止時刻）垂直，則這個力一定是先變大后變小
②對角趨近垂直時力增大，遠離垂直時力變小
規(guī)律來由：存在一對“恒力對恒角”時（如前面的表達式中，假設F3與θ3恒定），則每個力與對角的正弦之比為定值。由此可知，某個對角為90°時分母的正弦最大，所以分子中的力也最大。
▲“恒力對恒角”，如果所對的“恒角”為直角，則直接用矢量作圖法也比較簡單
【例8】如圖所示，將兩塊光滑平板OA、OB固定連接，構成頂角為60°的楔形槽，
楔形槽內放置一質量為m的光滑小球，整個裝置保持靜止，初始時OA板在水平地面上，
現(xiàn)使楔形槽繞O點順時針緩慢轉動至OA板豎直，則轉動過程中（ ）
A．初始時OA板對小球的作用力最大 B．轉過30°時OA板對小球的作用力最大
C．轉過60°時OB板對小球的作用力最大 D．轉過90°時OB板對小球的作用力最大
【答案】BD
【解析】
恒力G對恒角θ＝120°；
FA所對的角α從60°變到150°，所以先變大后變小；
FB所對的角β從180°變到90°，所以一直變大。
【例9】我國已在空間站中實施了多次“天宮課堂”面向全國公眾直播，
大家對其中的水球光學實驗印象深刻。如圖所示，在完全失重環(huán)境下，從水袋
中擠出一個大水球漂浮在空中，然后用針管將氣體注入水球中，最終形成一個
外半徑為R內半徑為r的均勻水球殼。用兩條離中心軸線遠近不同的平行光線
1和2在水球的軸截面內照射水球，若光線1剛好在水球內表面發(fā)生全反射，
且光線2投射到內表面上，則下列說法正確的有（ ）
A．光線2在水球內表面一定發(fā)生全反射
B．光線1進入水球前到中心軸線的距離一定等于r
C．光線1進入水球前到中心軸線的距離與R和r的具體大小有關
D．若換用同樣形狀和大小的玻璃球殼，只是折射率發(fā)生了變化，其他方面都不變，光線1仍然剛好發(fā)生全反射
【答案】ABD
▲重要的二級結論：
光線從空心球殼之外沿內表面的切線方向射入，則剛好在內表面上
發(fā)生全反射，而與內外半徑的大小及介質折射率無關。
證明：由正弦定理得
由此可見，光線折射進球殼后投射到內表面上的入射角θ正好等于臨界角C，剛好發(fā)生全反射，而與R、r及n無關。離軸線距離小于r的光線能夠進入空腔，大于r的光線不能進入空腔。
6．余弦定理的應用
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