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模型40 三角形內切圓
模型展現
圖示
條件 ⊙O是△ABC的內切圓(點 O 為△ABC的內心,⊙O 分別與邊AB,BC,AC 相切于點D,E,F)
結論 1.∠BOC=90°+ ∠BAC,∠AOC =90°+ ∠ABC,∠AOB = 90°+ ∠ACB 2. S△ABC= (AB+BC+AC)·OD
結論分析
結論1：
證明:∵AB,BC,AC分別是⊙O的切線,點D,E,F為切點,∴∠ODA=∠OEB=∠OFC=90°,
同理可證得
結論2:
自主證明：
模型解題三步法
例1 如圖,⊙O 內切于△ABC,若 則 ∠C的度數為 .
例2 如圖,在△ABC中, ,點D 是△ABC 的內心,則 BD 的長為 .
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題以類解
1.如圖，在 中， ⊙O為 的內切圓，且半徑為 ，若 的面積為15 ，則AC的長為 ( )
A.6 B.8 C. 10 D. 12
2.如圖，在 中。 過點B作 于點D，P是 內一點，連接CP交BD于點E，且 連接AP，若點 P恰好為 內心，則 的度數為 ( )
3. 新考法 新圖形 如圖，在四邊形ABCD中, ⊙O是四邊形AB-CD的內切圓，若 則 的值為 .
4.請閱讀下列材料，并完成相應的任務：
我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作《數書九章》中提出了“三斜求積術”，三斜即指三角形的三條邊長，可以用該方法求三角形面積.若改用現代數學語言表示，其形式為：設a，b，c為三角形三邊，S為三角形的面積，則 這是中國古代數學的瑰寶之一，而在文明古國古希臘，也有一個數學家海倫給出了求三角形面積的另一個公式，若設 (周長的一半)，則 海倫公式與秦九韶公式實質上是同一公式.下列是秦九韶公式→海倫公式的變形過程：
任務：
(1)將上述變形過程補充完整；
(2)若 的三邊長分別為5，12，13，求 的面積；
(3)請你證明下面這個公式：如圖， 的內切圓⊙O 的半徑為r，三角形的三邊長為a,b,c,記 為三角形的面積，s求證：
模型40 三角形內切圓
模型展現
自主證明：
·OF,
∵OD=OE=OF,
模型解題三步法
例1 20° 【解析】找模型：是否存在三角形：△ABC，三角形是否存在內切圓：⊙O，是否存在內切圓圓心：點O，抽離模型：如解圖，用模型：根據“三角形內切圓”模型得， ∠C=20°.
例2 【解析】如解圖，作△ABC 的內切圓⊙D,連接 DA,DE,DF,DH.∵ ∠BAC= 根據“直角三角形內切圓”模型得，DE= .四邊形 AEDH 是正方形,∴ AE = DE = 1,∴ BE =3,∴ BD =
題以類解
1. B 【解析】找模型：是否存在三角形：△ABC，三角形是否存在內切圓：⊙O，是否存在內切圓圓心：點O，抽離模型：如解圖，用模型：根據“三角形內切圓”模型得，S△ABC l
2. C 【解析】找模型：是否存在三角形：△ABE，是否存在內心：點P，抽離模型：如解圖，用模型：作△ABE的內切圓⊙P，根據“三角形 內 切圓”模 型得, ∠BPE = 90°+ ∠BAE,∵∠BPE=108°,∴∠BAE=36°,∵AB=BC,BD⊥AC,∴∠ABE=∠CBE(等腰三角形三線合二),∵BE=BE,AB=CB,∴△ABE≌△CBE(SAS),∴ ∠BCE=∠BAE=36°, ∵∠BPE=108°,∴ ∠CBP = 36°,∵∠CBE=∠ABE=2∠PBE,∴∠CBE=24°,∴∠PEB=∠BCE+∠CBE=60°.
3. 【解析】如解圖，延長 BA，CD 相交于點H,記AD,BC,CD分別切⊙O 于點G,E,F,連接EG,則EG過點O,∵AD=3,BC=6,且AD∥BC,∴ AD 是△BCH 的中位線,∴ CH =2CD,BH=2AB,設⊙O 的半徑為r則 EG=2r,易得四邊形ABEG 為矩形,∴AB=EG=2r,AG=BE=r,∴BH=4r,∵點 E,F,G是切點,∴ DF=GD,CF=CE(雙切線的性質),∵CE=6-r,DG=3-r,∴CD=9-2r,CH=2CD=18-4r，根據“直角三角形內切圓”模型得，r= 解得r=2,∴AH=4,∴ HD=5,∴ cos∠DCB =
4. (1)解:
原式
(2)解:∵△ABC三邊長分別為5,12,13,
(3)證明:如解圖,連接OA,OB,OC,記切點分別為D,E,F,連接OD,OE,OF,
= pr..

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