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模型13 “中垂線”模型
模型展現
結論:PA=PB
證明:如圖,AB交l于點O,∵l⊥AB,∴∠AOP=∠BOP=90°,
∵O 為AB的中點,∴
在 和 中，
模型解題三步法
例 如圖，在 中，BD平分 ，點E在BC 的垂直平分線上，. ，則∠ACE的度數為 ( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
題以類解
1. 如圖,在 ABCD中,AC,BD相交于點O,過點O作OE⊥BD,交AD于點 E,連接BE.若 ABCD的周長為16,則△ABE的周長為( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
2. 如圖,在△ABC中,∠BAC=120°,點 E,G分別是邊 AB,AC 的中點,過點 E 作 ED⊥AB,交 BC于點 D,過點G作GF⊥AC,交 BC于點F,連接AD,AF,則∠DAF 的度數為 ( )
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
3. 如圖,在矩形ABCD 中,ABA. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
4.如圖，在平面直角坐標系中，點A,B,P的坐標分別為(1,0),(2,5),(4,2).若點 C 在第一象限，且橫、縱坐標均為整數，點P是△ABC 的外心,則點 C 的坐標為 .
模型解題三步法
例 D 【解析】∵ BD 平分∠ABC,∠ABD =25°,∴ ∠ABD =∠CBD =25°,∴ ∠ABC =2∠ABD=50°,∵∠A=70°,∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=60°,根據“中垂線”模型得:EB=EC,∴∠EBC=∠ECB=25°,∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=35°.
題以類解
1. C 【解析】找模型：是否存在一條線段的垂直平分線：OE 垂直平分 BD，抽離模型：如解圖，用模型：根據“中垂線”模型得：BE=DE，∴ △ABE 的周長為 AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD. 又∵ ABCD 的周長為16,∴AB+AD=8,∴△ABE的周長為8.
2. A 【解析】找模型：是否存在線段的垂直平分線:DE 垂直平分AB,FG 垂直平分AC,抽離模型：如解圖，用模型：根據“中垂線”模型得:DB=DA,FA=FC,∴∠B=∠DAB,∠C=∠FAC,在△ABC 中,∠BAC=120°,∴ ∠B+∠C=180°-∠BAC=60°,∴ ∠DAB+∠FAC=60°,∴∠DAF=∠BAC-(∠DAB+∠FAC)=120°-60°=60°.
3. B 【解析】由尺規作圖可知 MN 垂直平分AC,∴EF⊥AC,AO=CO,∵四邊形 ABCD 是矩形,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA,在△AOE和△COF 中 △COF(ASA),∴OE=OF,故結論①正確;∵MN垂直平分AC,∴ AF=CF(“中垂線”模型),∴ ∠CAF=∠ACB,∵ ∠AFB=∠FAO+∠ACB,∴∠AFB=2∠ACB,故結論②正確; EF,故結論③不正確;∵ △ABF 的周長為5,∴AB+BF+AF=5,∵AF=CF,∴AB+BF+AF=AB+BF+CF=AB+BC=5(“中垂線”模型),∴矩形ABCD的周長為 10，故結論④正確.綜上所述，其中正確結論的個數是3個.
4. (1,4)或(6,5)或(7,4) 【解析】如解圖,利用尺規作圖，以點 P 為圓心(到兩端點距離相等的點在該線段的垂直平分線上)，PB長為半徑作圓，所經過的格點即為點 C(外心到三角形三個頂點的距離相等)，∴點 C 的坐標為(1,4)或(6,5)或(7,4).

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