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第1節　與圓有關的概念及其性質
(6年6考,3分)
　　從近6年的考試內容來看,圓周角定理及其推論、圓周角定理及其推論與垂徑定理相結合、圓中最值問題是常考內容,難度不大,常以選擇題、填空題的形式出現.
【回歸教材·過基礎】
【知識體系】
【知識清單】
知識點1與圓有關的概念及性質　常考
圓的定義 平面上到定點的距離等于定長的所有點的集合,其中定點為① ,定長為②
確定圓的條件 不在同一條直線上的三個點確定一個圓
圓的對稱性 (1)圓是③ 對稱圖形,任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸;(2)圓是④ 圖形,圓心是對稱中心;(3)圓具有旋轉不變性對稱
有關概念 (如圖) 弦 連接圓上任意兩點的線段叫作弦(線段AD)
直徑 經過圓心的弦叫作直徑(線段AB),直徑是圓中最長的弦
弦心距 圓心到弦的距離(線段OE的長)
弧 圓上任意兩點間的部分叫圓弧:大于半圓的弧叫⑤ (如);小于半圓的弧叫⑥ (如)
等弧 同圓或等圓中,能夠互相重合的弧
圓心角 頂點在圓心的角(如∠AOC)
圓周角 頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交的角(如∠ADC)
知識點2圓心角、弧、弦及弦心距的關系　常考
定理 在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的⑦ 相等,所對的⑧ 相等,弦的弦心距也相等
常用結論 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦及弦心距中有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量也分別相等
數學語言 如圖,∠AOB=∠COD AB=CD = OE=OF
知識點3垂徑定理及其推論　常考
垂徑定理 垂直于弦的直徑⑨ ,并且平分弦所對的兩條弧
推論 平分弦(不是直徑)的直徑⑩ 于弦,并且平分弦所對的兩條弧
常用結論 弦的 經過圓心,并且平分弦所對的兩條弧
根據圓的對稱性,如圖,有以下五個結論:(1)= ;(2)=;(3)AM= ;(4)AB⊥CD;(5)CD是直徑.只要滿足其中兩個,另外三個結論一定成立,即知二推三
常作輔助線:過圓心作弦的垂線,構造直角三角形,得r2=d2+2
知識點4圓周角定理及其推論　常考
定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的 如圖,∠P=∠AOB
推論 同弧或等弧所對的圓周角 (如圖1,∠A=∠B,∠C=∠D,如圖2,∠E=∠F) 圖1　　　　　圖2
半圓(或直徑)所對的圓周角是 (如圖,∠ACB=90°),90°的圓周角所對的弦是 (如圖,∠ACB所對的弦是直徑AB)
知識點5圓的內接多邊形　輪考
溫馨提示:圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角(和它相鄰的內角的對角)
【真題精粹·重變式】
考向1圓周角定理及其推論
1.(2022·陜西7題3分)如圖,△ABC內接于☉O,∠C=46°,連接OA,則∠OAB的度數為 ( )
A.44° B.45° C.54° D.67°
　　
第1題圖　　　　　　第2題圖
2.(2024·陜西11題3分)如圖,BC是☉O的弦,連接OB,OC,∠A是所對的圓周角,則∠A與∠OBC的和的度數是 .
3.(2020·陜西9題3分)如圖,△ABC內接于☉O,∠A=50°,E是邊BC的中點,連接OE并延長,交☉O于點D,連接BD,則∠D的度數為 ( )
A.55° B.65° C.60° D.75°
考向2垂徑定理及其有關的計算
4.如圖,△ABC是☉O的內接三角形,∠C=30°,☉O的半徑為5,若P是☉O上的一點,在△ABP中,PB=AB,則PA的長為 ( )
A.5 B. C.5 D.5
5.(2023·陜西7題3分)陜西飲食文化源遠流長,“老碗面”是陜西地方特色美食之一.圖2是從正面看到的一個“老碗”(圖1)的形狀示意圖,是☉O的一部分,D是的中點,連接OD,與弦AB交于點C,連接OA,OB.已知AB=24 cm,碗深CD=8 cm,則☉O的半徑OA為 ( )
A.13 cm B.16 cm
C.17 cm D.26 cm
考向3圓內接四邊形
6.如圖,四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,AD=BC,若∠BAC=45°,∠B=75°,則下列等式成立的是 ( )
A.AB=2CD
B.AB=CD
C.AB=CD
D.AB=CD
參考答案
回歸教材·過基礎
知識清單
①圓心　②半徑　③軸　④中心對稱　⑤優弧　⑥劣弧
⑦弦　⑧弧　⑨平分弦　⑩垂直　垂直平分線　
BM　一半　相等　直角　直徑　內接多邊形　三角形外接圓的圓心　三個頂點　三邊中垂線的交點　不在同一條直線上的三個點　互補
真題精粹·重變式
1.A　2.90°　3.B　4.D　5.A　6.B

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