資源簡介

/ 讓教學更有效 精品試卷 |數學
第01講 平面向量的概念及線性運算
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 平面向量的線性運算及其幾何意義 (2) 向量共線定理 (3) 平面向量的坐標表示 2024年I卷5分2024年甲卷5分2024年上海卷5分2023年I卷5分2022年I卷5分2021年甲卷5分2021年乙卷5分2020年山東卷5分
（1）本講為新高考命題熱點，題型以選擇題為主，常以基礎簡單題出現，所以要對向量的概念和運算熟練掌握； （2）重點是平面向量的概念，平面向量的線性運算及其幾何意義，向量共線定理，平面向量的坐標表示，主要考查平面向量的線性運算，向量的平行和垂直及其坐標表示，共線定理、平面向量定理的應用.
(
考試要求
小
)
1、理解平面向量的意義，幾何表示及向量相等的含義；
2、掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義；
3、了解向量線性運算的性質及其幾何意義.
(
考點突破考綱解讀
)
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考點梳理
小
)
知識點1: 平面向量的概念
1、平面向量的概念
（1）向量定義：既有 又有 的量（位移、力、速度）；向量的大小叫做向量的 ；
（2）零向量：模為0的向量，記作0，手寫為“”；零向量的方向是 ，與任何向量都 ；
（3）單位向量：模為 的向量；與非零向量同向的單位向量為 ；
（4）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的向量；向量可以平移；
（5）相等向量：大小 ，方向 的向量；
（6）相反向量：大小相等，方向相反的向量；
知識點2: 平面向量的線性運算
1、線性運算
（1）向量的加法： ；
滿足三角形法則和四邊形法則
運算律：，
（2）向量的減法： ；
運算律：
（3）向量的數乘：
1）當時，與的方向 ；
2）當時，與的方向相反；
3）當時，；
運算律：，，
知識點3: 向量共線定理、定比分點
1、向量共線定理、定比分點
（1）若向量與共線，則（唯一）；
（2）若為線段的中點，為平面內任一點，則；
（3）三點共線 ；
（4）定比分點：若，則.
知識點4: 平面向量基本定理及坐標表示
1、平面向量基本定理
若是同一平面內的兩個不共線向量，則對于這個平面內的任一向量，有且只有一對實數，使得 ；
其中，不共線的向量叫做表示這一平面內的一組基底，唯一；
2、平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做向量的正交分解.
3、坐標運算
（1）原點，點，則終點減起點，模 ；
（2） 點，點，則終點減起點， ；
（3）數乘：，為實數，則；
（4）加減法：，，則，；
（5）中點坐標：點，點的中點坐標是；
（6）單位向量：非零向量的單位向量是 ；
(
題型展示
小
)
題型一: 平面向量的線性運算
【例1】（2022·全國新Ⅰ卷）在中，點D在邊AB上，．記，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1】在△中，為邊上的中線，為的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
題型二: 共線定理及其應用
【例2】（2024·上海）已知，且，則的值為 ．
【變式2】設向量，不平行，向量與平行，則實數 ．
題型三: 平面向量的坐標表示
【例3】（2024·全國新Ⅰ卷）設向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
【變式3】設向量，若，則 .
(
考場演練
)
【真題1】（2024·上海）已知，且，則的值為 ．
【真題2】（2024·全國甲卷）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【真題3】（2024·全國新Ⅰ卷）設向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
【真題4】（2023·全國新Ⅰ卷）已知向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【真題5】（2022·全國新Ⅰ卷）在中，點D在邊AB上，．記，則（ ）
A． B． C． D．
【真題6】（2021·全國甲卷）已知向量．若，則 ．
【真題7】（2021·全國乙卷）已知向量，若，則 ．
【真題8】（2020·山東）已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【真題9】（2018·全國）在△中，為邊上的中線，為的中點，則
A． B．
C． D．
【真題10】（2016·全國）已知向量，且，則___________.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第01講 平面向量的概念及線性運算
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考綱導向
小
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考點要求 考題統計 考情分析
(1) 平面向量的線性運算及其幾何意義 (2) 向量共線定理 (3) 平面向量的坐標表示 2024年I卷5分2024年甲卷5分2024年上海卷5分2023年I卷5分2022年I卷5分2021年甲卷5分2021年乙卷5分2020年山東卷5分
（1）本講為新高考命題熱點，題型以選擇題為主，常以基礎簡單題出現，所以要對向量的概念和運算熟練掌握； （2）重點是平面向量的概念，平面向量的線性運算及其幾何意義，向量共線定理，平面向量的坐標表示，主要考查平面向量的線性運算，向量的平行和垂直及其坐標表示，共線定理、平面向量定理的應用.
(
考試要求
小
)
1、理解平面向量的意義，幾何表示及向量相等的含義；
2、掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義；
3、了解向量線性運算的性質及其幾何意義.
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1: 平面向量的概念
1、平面向量的概念
（1）向量定義：既有大小又有方向的量（位移、力、速度）；向量的大小叫做向量的長度或者模；
（2）零向量：模為0的向量，記作0，手寫為“”；零向量的方向是任意的，與任何向量都平行（共線）；
（3）單位向量：模為單位長度的向量；與非零向量同向的單位向量為；
（4）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的向量；向量可以平移；
（5）相等向量：大小相等，方向相同的向量；
（6）相反向量：大小相等，方向相反的向量；
知識點2: 平面向量的線性運算
1、線性運算
（1）向量的加法：
滿足三角形法則和四邊形法則
運算律：，
（2）向量的減法：
運算律：
（3）向量的數乘：
1）當時，與的方向相同；
2）當時，與的方向相反；
3）當時，；
運算律：，，
知識點3: 向量共線定理、定比分點
1、向量共線定理、定比分點
（1）若向量與共線，則（唯一）；
（2）若為線段的中點，為平面內任一點，則；
（3）三點共線；
（4）定比分點：若，則.
知識點4: 平面向量基本定理及坐標表示
1、平面向量基本定理
若是同一平面內的兩個不共線向量，則對于這個平面內的任一向量，有且只有一對實數，使得；
其中，不共線的向量叫做表示這一平面內的一組基底，唯一；
2、平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做向量的正交分解.
3、坐標運算
（1）原點，點，則終點減起點，模；
（2） 點，點，則終點減起點，；
（3）數乘：，為實數，則；
（4）加減法：，，則，；
（5）中點坐標：點，點的中點坐標是；
（6）單位向量：非零向量的單位向量是；
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題型展示
小
)
題型一: 平面向量的線性運算
【例1】（2022·全國新Ⅰ卷）在中，點D在邊AB上，．記，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
點D在邊AB上，，，即，
；答案為B．
【變式1】在△中，為邊上的中線，為的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
根據向量的運算法則，可得
，
，答案為A.
題型二: 共線定理及其應用
【例2】（2024·上海）已知，且，則的值為 ．
【答案】15
【解析】
，，解得；故答案為15．
【變式2】設向量，不平行，向量與平行，則實數 ．
【答案】
【解析】
向量與平行，
，則．
題型三: 平面向量的坐標表示
【例3】（2024·全國新Ⅰ卷）設向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
【答案】C
【解析】
對A，當時，則，
，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；
對C，當時，，故，，即充分性成立，故C正確；
對B，當時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；
對D，當時，不滿足，不成立，即充分性不成立，故D錯誤；
答案為C.
【變式3】設向量，若，則 .
【答案】5
【解析】
由可得，又，
，即；故答案為5.
(
考場演練
)
【真題1】（2024·上海）已知，且，則的值為 ．
【答案】15
【解析】
，，解得；故答案為15．
【真題2】（2024·全國甲卷）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】
，所以，
即，故，答案為D.
【真題3】（2024·全國新Ⅰ卷）設向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
【答案】C
【解析】
對A，當時，則，，解得或，必要性不成立，A錯；
對C，當時，，故，，即充分性成立，故C正確；
對B，當時，則，解得，即必要性不成立，故B錯；
對D，當時，不滿足，不成立，即充分性不成立，故D錯；
答案為C.
【真題4】（2023·全國新Ⅰ卷）已知向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
，，，
由，
即；答案為D．
【真題5】（2022·全國新Ⅰ卷）在中，點D在邊AB上，．記，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
點D在邊AB上，，所以，即，
；答案為B．
【真題6】（2021·全國甲卷）已知向量．若，則 ．
【答案】.
【解析】
,
，解得；故答案為.
【真題7】（2021·全國乙卷）已知向量，若，則 ．
【答案】
【解析】
由題意結合向量平行的充分必要條件可得：，解得；故答案為.
【真題8】（2020·山東）已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
連結，則為的中位線，，
答案為A.
【真題9】（2018·全國）在△中，為邊上的中線，為的中點，則
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
根據向量的運算法則，可得
，
，答案為A.
【真題10】（2016·全國）已知向量，且，則___________.
【答案】
【解析】
，所以，解得.故答案為.
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